一元二次不等式及其解法高一上學期數(shù)學湘教版（2019）必修第一冊

第1課時一元二次不等式及其解法(1)新知初探課前預習題型探究課堂解透新知初探課前預習最新課程標準1.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義．2．能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系．學科核心素養(yǎng)1.會求一元二次不等式的解集．(邏輯推理、直觀想象)2．會求分式不等式的解集．(邏輯推理、數(shù)學運算)3．能解決一元二次不等式的實際問題．(邏輯推理、數(shù)學建模)4．理解一元二次方程、一元二次函數(shù)與一元二次不等式之間的關(guān)系，并能解決相應的問題．(邏輯推理)教材要點要點一一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有________未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是______的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．一個2狀元隨筆一元二次不等式的二次項系數(shù)

a有a＞0或a＜0兩種，注意a≠0.當a＜0時，我們通常將不等式兩邊同乘以－1，化為二次項系數(shù)大于0的一元二次不等式，但要注意不等號要改變方向，這樣我們只需要研究二次項系數(shù)大于0的一元二次不等式．基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(

)(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為{x|x1＜x＜x2}，則必有a＞0.(

)(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2.(

)(4)若方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(

)×√√×

答案：A

3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是(

)A．1B．2C．3D．4答案：C

4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集為________．R解析：∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0無解．即函數(shù)y＝x2＋6x＋10的圖象在x軸上方，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集為R.題型探究課堂解透題型1不含參數(shù)的一元二次不等式的解法例1

解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；(2)4x2－4x＋1≤0.

方法歸納解不含參數(shù)的一元二次不等式的步驟1．通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正．2．對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．3．求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根．4．根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)圖象的草圖．5．根據(jù)圖象寫出不等式的解集．記憶口訣：設相應的二次函數(shù)的圖象開口向上，并與x軸相交，則有口訣：大于取兩邊；小于取中間．

BA題型2三個“二次”之間的關(guān)系例2

已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．

方法歸納一元二次不等式與其對應的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點值恰是對應一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項系數(shù)的聯(lián)系．(2)若一元二次不等式的解集為R或?，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的范圍．

題型3解含參數(shù)的一元二次不等式角度1對判別式“Δ”進行討論例3

解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.

角度2對根的大小進行討論例4

解關(guān)于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．解析：原不等式等價于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.(1)當－1－a＜－1＋a，即a＞0時，－1－a≤x≤－1＋a；(2)當－1－a＝－1＋a，即a＝0時，不等式即(x＋1)2≤0，∴x＝－1；(3)當－1－a＞－1＋a，即a＜0時，－1＋a≤x≤－1－a.綜上，當a＞0時，原不等式的解集為{x|－1－a≤x≤－1＋a}；當a＝0時，原不等式的解集為{x|x＝－1}；當a＜0時，原不等式的解集為{x|－1＋a≤x≤－1－a}．角度3對二次項系數(shù)進行討論例5

設a∈R，解關(guān)于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.

方法歸納解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟跟蹤訓練3

解關(guān)于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.

解析：原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0，a∈R，當a>1或a<0時，a2>a，原不等式的解集為{x|x<a，或x>a2}；當0<a<1時，a2<a，原不等式的解集為{x|x<a2，或x>a}當a＝1時，原不等式的解集為{x|x≠1}；當a＝0時，原不等式的解集為{x|x≠0}．易錯辨析忽視二次項系數(shù)致誤例6

若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集為(

)A．{x|－2＜x＜1}B．{x|x＜－2或x＞1}C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|0＜x＜3}

答案：D易錯警示易錯原因糾錯心得忽視a的范圍致誤，易錯選C.根據(jù)題中所給的二次不等式的解集，結(jié)合三個二次的關(guān)系得到a＜0，由根與系數(shù)的關(guān)系求出a，b，c的關(guān)系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可．

答案：C

答案：C

3．已知2a＋1＜0，則關(guān)于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是(

)A．{x|x＜5a或x＞－a}B．{x|x＞5a或x＜－a}C．{x|－a＜x＜5a}D．{x|5a＜x＜－a}答案：A

4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集內(nèi)，則k的取值范圍是___________．k≤2或k≥4解析：由題意知：k