2024-2025學(xué)年廣西高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

2024-2025學(xué)年廣西名校高三(上)調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(9月份)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.設(shè)集合4=[1,2a+1},B={3,a—1,3a—2},若4=8,則a=()

A.-2B.-1C.1D.3

2.若復(fù)數(shù)z是方程+5=o的一個(gè)根，則怙|=()

A.3B.A/3C.5D."

3.在平行四邊形4BCD中，AB=3,AD=也，=45°,DE=2EC,則族?族=()

A.1B.-C.2D.3

7T71

4.已知sin(1+a)=3sm(4—cr),則cos2a=()

4334

A.-mB.-mC.耳D.M

qq

5.設(shè)等比數(shù)列{a九}的刖？1項(xiàng)和為S"Cl2+a5=2,%+。6=1，則S5=()

A.早B.63C.4D.31

P1一

6.已知a=4+b=log32,c=log52,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

7.已知點(diǎn)P在拋物線M：y2=4x±,過(guò)點(diǎn)P作圓C：Q—2)2+y2=i的切線，若切線長(zhǎng)為2",則點(diǎn)P到M的

準(zhǔn)線的距離為()

A.5B.A/29C.6D.回

3

8.根據(jù)公式si?13a=3sina—4sinafs譏10。的值所在的區(qū)間是()

A.(吳)B,(|,1)C.(II)D.(1|)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.某品牌新能源汽車(chē)2024年上半年的銷(xiāo)量如下表：

月份t12345

銷(xiāo)量y(萬(wàn)輛)11.712.413.813.214.6

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是()

第1頁(yè)，共9頁(yè)

A.銷(xiāo)量的極差為3.6B,銷(xiāo)量的平均數(shù)為13.5

C.銷(xiāo)量的第40百分位數(shù)為13.8D.銷(xiāo)量的中位數(shù)為13.2

TT

10.已知函數(shù)/(x)=COS(3X—%)(3>0),則下列說(shuō)法中正確的是()

A.當(dāng)3=2時(shí)，一兀是/(%)的一個(gè)周期

B.將/(%)的圖象向右平移著個(gè)單位后，得到函數(shù)g(%)的圖象，若9(%)是奇函數(shù)，則3的最小值為2

C.若存在%1，久2W渡春1(巧工％2)，使得f(%l)=/(%2)=岑，則3的取值范圍是［10,+00)

D,存在3,使得f(x)在［-要由上單調(diào)遞減

11.已知雙曲線C：/=1的左、右焦點(diǎn)分別為％、F2,過(guò)點(diǎn)尸2且傾斜角為a的直線/與雙曲線的右支交

于4B兩點(diǎn)(4在第一象限)，則下列說(shuō)法中正確的是()

A.雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為避

B.<a(將

C.△48%的周長(zhǎng)的最小值為16

D.當(dāng)trma=一屆時(shí)，△冊(cè)F2的內(nèi)切圓面積為爭(zhēng)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/(%)=sin2x+3%+1,且/'(a)=4,則f(—a)=.

13.將一個(gè)底面半徑為2,高為避的圓柱形鐵塊熔鑄成一個(gè)實(shí)心鐵球，則該實(shí)心鐵球的表面積為.

14.已知有4B兩個(gè)盒子，其中4盒中有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，B盒中有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外

完全相同.甲從4盒，乙從8盒各隨機(jī)抽取一個(gè)球，若兩球同色，則甲勝，并將取出的2個(gè)球全部放入4盒

中，若兩球不同色，則乙勝，并將取出的2個(gè)球全部放入B盒中.按上述方法重復(fù)操作兩次后，4盒中有8個(gè)

球的概率是______.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

記aABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為S,已知4S=平(爐一口2一02).

(1)求NB的大??；

(2)若6=々，E是4C的中點(diǎn)，且4B1BE,求BE.

16.(本小題15分)

某高新技術(shù)企業(yè)新研發(fā)出了一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品由三個(gè)電子元件組裝而成，這三個(gè)電子元件在生產(chǎn)過(guò)程中的

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次品率均為［組裝過(guò)程中不會(huì)造成電子元件的損壞，當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)電子元件都不是次品時(shí)，產(chǎn)品能正常工

O

作，否則該產(chǎn)品為次品.

(I)設(shè)一件產(chǎn)品中所含電子元件為次品的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望；

(2)設(shè)a="任取一件產(chǎn)品為次品”，B="該產(chǎn)品僅有一個(gè)電子元件是次品”，求P(B|2)；

(3)安排質(zhì)檢員對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行逐一檢查，確保沒(méi)有次品流入市場(chǎng).現(xiàn)有兩種方案，

方案一：安排三個(gè)質(zhì)檢員先行檢測(cè)這三個(gè)元件，次品不進(jìn)入組裝生產(chǎn)線；

方案二：安排一個(gè)質(zhì)檢員檢測(cè)成品，若發(fā)現(xiàn)次品，則進(jìn)行電子元件的更換，保證產(chǎn)品能正常工作.更換電子

元件的費(fèi)用為15元/個(gè).

已知每位質(zhì)檢員的月工資為3000元，該企業(yè)每月生產(chǎn)該產(chǎn)品800件，請(qǐng)從企業(yè)獲益的角度考慮，應(yīng)該選擇

哪種方案？

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—A8CD中，平面PBD1底面4BCD,PB=PD=2,底面A8CD是邊長(zhǎng)為衣的正方形.

(1)求證：PA=PC；

(2)E是棱PA上一點(diǎn)，若AC與平面BDE所成角為60。，求四棱錐E-4BCD的體積.

18.(本小題17分)

橢圓氏總+f1=l(a＞匕＞0)的離心率為挈，過(guò)點(diǎn)P(a,b)的直線/與橢圓E交于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線Z過(guò)坐標(biāo)

原點(diǎn)。時(shí)，|MN|=2P.

(1)求橢圓E的方程.

(2)設(shè)4B分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作無(wú)軸的平行線分別與直線力B,NB交于C,。兩點(diǎn).試探

究D,C,M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否構(gòu)成等差數(shù)列，并說(shuō)明理由.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(久)=Inx+?-l(aGR),且x軸是曲線y=/(X)的切線，

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(1)求〃尤)的最小值;

(2)證明：告1+士1+…+《1<》2(716N*)；

n+1n+22n\'

(3)設(shè)F(%)=^--lnx—mf(^)(m>2),F(l)=F(n)(n>1),證明：對(duì)任意％G(l,n],

(m—l)/nx>x—1.

第4頁(yè)，共9頁(yè)

參考答案

l.c

2.D

3.X

4.C

5.C

6.A

7.C

8.B

9sB

10.ABC

ll.BCD

12.-2

13.1271

14上

,70

15.解:⑴由4S=道（抉-人2-2）,

可得4x|tlCS譏8=避（爐一層―。2）,

由余弦定理，可得sinB=一避cosB,

WfltanB=—4，又BE（0,兀），

所以B=手

（2）因?yàn)?81BE,所以乙4BE=90°,乙EBC=30°,

因?yàn)镋是ZC中點(diǎn)，所以=$△BEC，

即?BE=-|-a?BE?sm30°,即a=2c,

代入川=小+c2-2accosB,B=猙，b=",

解得c=1,所以BE=^AE2-AB2=^-.

16.解：（1）根據(jù)題意可得X的所有可能取值為0,1,2,3,

易知P（X=0）=（l—軟=|§，P（x=l）=W（l［）2xR|g,p（x=2）=《c4）ix《）2=W，

第5頁(yè)，共9頁(yè)

P(X=3)=4)3=壺

所以X的分布列如下:

X0123

343147211

P

512512512512

3

—r4曰廿口十目任4廠八八八343,4147,n21,nx1=192

可得期望值為E(X)=0x-T—T+1x--+2x--+37777778;

(2)由(1)可知P⑷=「泮=蜷，PQ4B)=累，

147

則P(8⑷=今圖)=強(qiáng)=147

169；

I)512

(3)若采用方案一，則每月支出總費(fèi)用為％=3X3000=9000元,

若采用方案二,

由(1)可知平均每個(gè)產(chǎn)品需更換的電子元件個(gè)數(shù)E(X)=稱(chēng)

則每月生產(chǎn)的800件產(chǎn)品平均需更換800E(X)=300個(gè)，

每月更換電子元件的總費(fèi)用為300X15=4500元，

則每月支出總費(fèi)用為丫2=1x3000+4500=7500元;

顯然Z<%，

所以從企業(yè)獲益的角度考慮，應(yīng)該選擇方案二.

17.(1)證明：設(shè)4c與8。相交于點(diǎn)0,連接。P,

因?yàn)榈酌?BCD是邊長(zhǎng)為我的正方形，

所以AC1BD,且點(diǎn)。既是AC的中點(diǎn)，也是8。的中點(diǎn)，

又平面PBD1底面4BCD,平面PBDC底面力BCD=BD,ACu平

面ABCD,

所以4C1平面PBD,

因?yàn)椤u平面PBO,所以AC1OP,

又點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

所以PA=PC.

(2)解：因?yàn)镻B=PD,。是BD的中點(diǎn)，所以BD1OP,

結(jié)合(1)可得，。4，OB,0P兩兩垂直，

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

第6頁(yè)，共9頁(yè)

則4(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,1,0),0(0,-1,0),P(0,0,?

所以需=(2,0,0),DB=(0,2,0),記=(1,0,—避)，

設(shè)方=溝=(尢0,-84),AG[0,1],

則方=DP+PE=(0,1,73)+(A,0,-732)=(2,1,73-732),

n-DB^=2y=0

設(shè)平面BDE的法向量為五=(x,y,z),則

n-DE=Ax+y+—O'

?。?A/3(A—1),則y=0,z=2,所以7=(4(4—1),0,4)，

因?yàn)?C與平面所成角為60。，

西?向2-\/3(1—A)

所以|cos<C4n>I==sm60°=同,解得；I=I，

\CA\?|n|-2x，3]_1)2+不2，

所以而=將,

所以四棱錐E—ABCO的體積U=P-ABCD=7XTXXS正方形/BCD=2X口X平X(")2=孚.

乙NO4Jj

18.解：⑴由題意得e*嚕所端/

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(a,b)的直線2過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。時(shí)，直線斜率為2=4,

則此時(shí)直線I的方程為y=京，設(shè)直線I與橢圓E交點(diǎn)”(配》。),

不妨取配＞°，則N(—x(),一為)，且yo=，o①，

因?yàn)閨MN|=2巡，所以其+羽=5②,

由①②可得配=￥，y°=孝，M哼斗,

總+工=1

所以既工2b2，解得

,a3

故橢圓E的方程為卷+y2=i.

(2)D,C,M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列，理由如下：

不妨設(shè)直線MN的方程為％=my+n,M(%i,yD，^(%2了2)(71工Ly2HD，

因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,l),所以租+九=3,

"x=my+n

聯(lián)立乃+丫2=1,消去工并整理得(血2+9)y2+2mny+n2-9=0,

,9夕一

由韋達(dá)定理得力+y=春黑，y/2=九2一9

2m2+9

所以/+備=-+久2(、1-1)

(yi-i)(y2-i)

第7頁(yè)，共9頁(yè)

2my1y2+(n—m)(yi+y2)—2n

—yiy2-(yi+yz)+1

2m?考二2+(n-m)?二^竺■—2n

________優(yōu)/+/7nz+9____

-2一9_—2nm,1

m2+9m2+9

—18(m+n)「

=(m+n)2

因?yàn)锽,D,N三點(diǎn)共線，所以潦y=若，

yi-iyz-yBo-i1

而膜B===五七=k=-F

即比i,12_久c

即yi+y1--6-荻-2?%_1，

則+xD=2xc,

故D,C,M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

19.(1)解：由/'(%)=Inx+^-l(aeR)得(。)=~^,

因切線方程為y=o,令(0)=9黃=0,得比=a,故可知切點(diǎn)為(a,0),

所以/(a)=Ina+?—1=0,得a=1,

故/(x)=dx+(一1，f(x)=q一白=妥，

當(dāng)x6(0,1)時(shí)，f(x)<0,/(%)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)％e(1,+8)時(shí)，f(x)>0,f(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，

故/。)的最小值為八1)=0.

(2)證明：由(1)可知f。)=lnx+--1>0,故"x>—,故In。+1)>7^7,

XXA.~T~1.

21

令尤='neN*,貝肛ng+l)2r=BpinC^)§pin(n+1)-Znn

n

111

故？i+]+九+23-+-^<ln(n+1)—Znn+l