2024-2025學(xué)年綏化市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年綏化市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷

考試時(shí)間：120分鐘

一、單選題

1設(shè)向量1=（12,加），3=（2加,6）,若則加=（）

A.-6B.0C.6D.±6

1i

2.已知z=1^,貝1）月=（）

A.2B.V2C.3D.G

3.已知向量a=（2,加），b=（m+1,-1）,a-Lb則加的值為（）

A.2B.1C.-1D.-2

4.如圖，已知正三棱柱45C-4用。],48]=后4瓦M(jìn)為4G的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值

A1RViocV6指

4410

5.已知一組數(shù)據(jù)為2,5,7,8,9,12,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為（）

A.9B,8.5C.8D.7

6.已知復(fù)數(shù)z滿足亍（l-i）=3+5i,則復(fù)數(shù)z=（）

A.4+4iB.4-4i

C.-l+4iD.-l-4i

TT

7.在VZ8C中，角48,C的對邊分別為a也c.已知a=4,b=5,C=—,貝ijc=（）

3

A.761B.V21C.276D.V19

8.若正三棱柱的所有棱長均為。，且其側(cè)面積為12,則此三棱柱外接球的表面積是（）

828.4

A.17TB.----7TC.3兀D.-71

333

二、多選題

9.若復(fù)數(shù)2=6-i，則下列說法正確的是（）

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限B.z的虛部為—i

C.z2=4-2V3iD.z的共輾復(fù)數(shù)1=J^+i

10.在空間中，已知a,b是兩條不同的直線，?,乃是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.若a//6,且，a±a,b1/3,則a//￡

B.若a_1_6，且a//a,b//〃，則:

C.若a與6相交，且a_La,b_L/?,則。與萬相交

II八

D.若q_L6，且a//a,b//p,則a_L尸

11.已知圓錐的底面半徑為1,其母線長是2,則下列說法正確的是()

2兀

A.圓錐的高是eB.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為

C.圓錐的表面積是3兀D.圓錐的體積是2叵

3

三、填空題

12.在V4BC中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=6，8=45°,C=75°,則6=.

13.已知球的半徑為3,則該球的表面積等于,則該球的體積等于

14.某校高一年級有1200名學(xué)生，高二年級有1000名學(xué)生，高三年級有800名學(xué)生，現(xiàn)要從該校全體

學(xué)生中抽取100人進(jìn)行視力檢查，應(yīng)從高一年級抽取人

四、解答題

15.已知向量另滿足卜卜后忖=2,且(a+B)-(a-2B)=2.

(1)求向量Z,b的夾角；

(2)求,a+可.

16.已知V48c內(nèi)角4瓦。的對邊分別為。，8c,設(shè)(si“—sin。)？=sin22—sinSsinC.

(1)求A；

(2)若6+C=4,A4BC的面積為必，求a的值.

2

17.某公司為了解員工對食堂的滿意程度，隨機(jī)抽取了200名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員工對食堂

的滿意程度進(jìn)行打分，所得分?jǐn)?shù)均在[40,100]內(nèi)，現(xiàn)將所得數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100],并得到如圖所示的頻率分布直方圖.

2

（1）求。的值，并估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）求這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（精確到0.1）；

（3）現(xiàn)從[70,80）,[80,90）,[90,100]這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24人，求

[70,80）這組中抽取的人數(shù).

18.如圖，在正方體48c。一481G，中,

（1）求證：4s〃平面

（2）求證：ACX±B.C

19.在正三棱柱A8C-48cl中，E為棱的中點(diǎn)，如圖所示.

（1）求證：////平面NEG；

（2）若二面角C-4E-。的大小為60°,求直線NC和平面NEC1所成角的正弦值

3

2024-2025學(xué)年綏化市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷

一、單選題

1,設(shè)向量0=（12，，"），"=（2掰,6）,若1〃3,則加=（

A.-6B.0C.6D.±6

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解加值.

【詳解】?.?向量1=（12,加），3=（2加,6），若

則12義6=21n之,解得m=±6-

故選：D.

A.2B.72C.3D.V3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得z,進(jìn)而可得目.

【詳解】由Z=1?=匕山=4=—1—i,

ii2-1

所以忖=1（—if+（-1）2=V2，

故選：B.

3.已知向量。=（2,冽），b=+1,-1）,若則加的值為（

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程等于零求解，可得結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意知a=（2,加），S=（z?z+l,-l）,a±b'

則a%=（2,加）?（加+1,-1）=2m+2-m=0,解之可得加=-2

故選：D

4.如圖，已知正三棱柱48C—4與。］，481=拒/8，〃為4cl的中點(diǎn)，則與8G所成角的余弦值

為（）

4

Vio「V6D,也

A1DR.-----------X-/.---

4410

【答案】B

【解析】

【分析】取ZC的中點(diǎn)。，則/Bq。（或其補(bǔ)角）為異面直線與8G所成角，解三角形即可求解.

【詳解】如圖，取ZC的中點(diǎn)。，連接。。、BD,易知⑷/〃Z?G，

所以異面直線與所成角就是直線。。與直線8G所成的角，即（或其補(bǔ)角），

由題意可知正三棱柱ABC-44G的所有棱長都相等,

可設(shè)三棱柱的棱長都為2,貝，忸。|=百，忸G|=2后,

因?yàn)殁頖『=\DC{f+\BDf,所以為直角三角形,

所以cos嗎。=%=當(dāng)

即異面直線AM與3。所成角的余弦值為叵.

4

故選：B.

5.已知一組數(shù)據(jù)為2,5,7,8,9,12,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為（）

A.9B.8.5C.8D.7

【答案】A

【解析】

【分析】利用百分位數(shù)的求解公式即可求解.

【詳解】因?yàn)?x80%=4.8,

5

所以這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是第5個(gè)數(shù)，即為9.

故選：A.

6.已知復(fù)數(shù)z滿足亍(1—i)=3+5i,則復(fù)數(shù)z=()

A.4+4iB.4-4i

C.-l+4iD.-l-4i

【答案】D

【解析】

【分析】由已知等式化簡求出三，從而可求出復(fù)數(shù)z.

因?yàn)樨“恕?/p>

=-1+4i,

所以z=—1—4i.

故選：D.

7T

7.在VZ8C中，角48,C的對邊分別為“c.已知。=4/=5,C=—,貝()

3

A.V61B.V21C.276D.V19

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理計(jì)算可得.

【詳解】由余弦定理可得c=a2+b2-2abcosC=^42+52-2x4x5x^-=721.

故選：B

8.若正三棱柱的所有棱長均為。，且其側(cè)面積為12,則此三棱柱外接球的表面積是()

828.4

A.—71B.—7TC.3兀D.-71

333

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三棱柱側(cè)面積公式求出。，確定球心的位置，如圖構(gòu)造直角三角形，由勾股定理求出外接

球半徑的平方，再根據(jù)球的表面積公式即可求解.

【詳解】由題意可得，正棱柱的底面是邊長和高都等于。的等邊三角形，側(cè)面積為3a2,

3a2=12><2=2,

取三棱柱48C—4與。1的兩底面中心0,01,連結(jié)。J,

取00.的中點(diǎn)。，則D為三棱柱外接球的球心，

連結(jié)BD，則BD為三棱柱外接球的半徑.

是邊長為2的正三角形，。是V48C的中心，

6

5(9=-xV3=—

33

又=1

2121

：.BD2=OB^+OD2=~.

3

728

???三棱柱外接球的表面積S=4成2=4兀x—=——兀.

33

故選：B.

二■多選題

9.若復(fù)數(shù)z=?-i，則下列說法正確的是（

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限B.z的虛部為—i

C.?=4-2V3iD.z的共輾復(fù)數(shù)I=/+i

【答案】AD

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷A；求出復(fù)數(shù)的虛部判斷B；求出復(fù)數(shù)的平方判斷C；求出共飄復(fù)數(shù)

判斷D作答.

【詳解】對于A,復(fù)數(shù)2=百-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（百1）在第四象限，A正確；

對于B,z的虛部為一1,B錯誤；

對于C,z?=（百-產(chǎn)=2-26，C錯誤；

對于D,z的共輒復(fù)數(shù)1=/+i，D正確.

故選：AD

10.在空間中，已知a,6是兩條不同的直線，乃是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.若a//6,且，al.a,bY/3,則a//夕

B.若aJ■夕，且a//a,blip,則:，

C.若a與6相交，且a_La,bL）3,則a與尸相交

7

II八

D,若aJ_6，且a//cr，b//p,則。_1_夕

【答案】AC

【解析】

【分析】利用空間線線、線面、面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷即可

【詳解】若。//6,且bl/3,即兩平面的法向量平行，則a//￡成立，故A正確；

若萬，豆alla,blip,則。與b互相平行或相交或異面，故B錯誤；

若。，6相交，且a_La,b1J3,即兩平面的法向量相交，則a,尸相交成立，故C正確；

若:工2,且a//&，blip,則0與尸平行或相交，故D錯誤；

故選：AC.

【點(diǎn)睛】此題考查空間線線、線面、面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

11.已知圓錐的底面半徑為1,其母線長是2,則下列說法正確的是（）

2兀

A.圓錐的高是百B.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為§

C.圓錐的表面積是3兀D.圓錐的體積是冥玩

3

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐及側(cè)面展開圖的性質(zhì)，表面積公式，體積公式求解判斷即可.

【詳解】圓錐的底面半徑為r=l,其母線長是/=2,

則圓錐的高〃=J/2—尸2_,故A正確；

設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為a,則。/=2口，解得。=兀，故B錯誤；

圓錐的表面積是S=兀尸之+兀〃=3兀，故C正確；

圓錐的體積是「=[“2%=匝，故D錯誤.

33

故選：AC.

三、填空題

12.在V4BC中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=6,8=45。，C=75°,則6=

【答案】72

【解析】

【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求/,根據(jù)正弦定理即可求b的值.

【詳解】在V4BC中，因?yàn)椤?百，8=45°,C=75°,則Z=180°—45°—75°=60°,

8

百—

由正弦定理3=上，可得：嘮竺叫=」X=JL

SIIL4siafiSIIM73

~2

故答案為：、匯.

13.已知球的半徑為3,則該球的表面積等于，則該球的體積等于

【答案】①.36兀②.36兀

【解析】

【分析】根據(jù)球的表面積公式和體積公式直接求解即可.

【詳解】因?yàn)榍虻陌霃綖?,

4

所以球的表面積為4兀x3?=36兀，體積為一71x3'=36兀.

3

故答案為：36兀，36兀

14.某校高一年級有1200名學(xué)生，高二年級有1000名學(xué)生，高三年級有800名學(xué)生，現(xiàn)要從該校全體

學(xué)生中抽取100人進(jìn)行視力檢查，應(yīng)從高一年級抽取人

【答案】40

【解析】

【分析】高一年級人數(shù)乘以抽樣比即可.

【詳解】由題意，應(yīng)從高一年級抽取的人數(shù)為：100x---------............=40.

1200+1000+800

故答案為：40.

四、解答題

15.已知向量行滿足忖=后忖=2,且(a+B)-(a-2B)=2.

(,1)求向量b的夾角；

(2)求,。+可.

3兀

【答案】(1)—

4

(2)V10

【解析】

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律得出限B=-2,再根據(jù)夾角公式得夾角的余弦值，即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)條件及(1)中結(jié)果，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

由心+孫,-町=2,得到,2_gq_2廬=2，又同=碼1=2,

所以4—小B—4=2，得到5石=—2,

9

_[a，b_2V2_「、_371

所以cosa,b=%^=16=—《-,又用be[O,可，所以用人=彳

【小問2詳解】

由⑴知=—2，又同=行忖=2,

所以忸+年=4^+4展B+廬=16-8+2=10,

所以恢+囚=所.

16.已知V48C內(nèi)角4瓦。的對邊分別為。，“c，設(shè)（si“—sin。）？=sin2/—sinSsinC.

（1）求A；

（2）若6+C=4QABC的面積為Y3,求。的值.

2

jr

【答案】（1）A=-

3

（2）6Z=710

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進(jìn)行化簡，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題

意，由三角形的面積公式可得A=6,結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

原式化簡可得：sin25-2sin5sinC+sin2C=sin2?!-sinSsinC，

整理得：sin25+sin2C-sin2^=sin5sinC，

由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc9

卜2「2_21jr

cosA="=-,因此三角形的內(nèi)角Z=；；

2bc23

【小問2詳解】

1,.i八66

*.*Sc=一L?csin44二一be,—二—，

“ABRCr2222

/.bc=2,

?//=b?+H-26ccos/4=（力+。）2-3bc-16-6=10,

a-VTo-

17.某公司為了解員工對食堂的滿意程度，隨機(jī)抽取了200名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員工對食堂

的滿意程度進(jìn)行打分，所得分?jǐn)?shù)均在[40,100]內(nèi)，現(xiàn)將所得數(shù)據(jù)分成6組：[40,50）,[50,60）,[60,70）,

10

[70,80),[80,90),[90,100],并得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求。的值，并估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(2)求這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)(精確到0.1)；

(3)現(xiàn)從[70,80),[80,90),[90,100]這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24人，求

[70,80)這組中抽取的人數(shù).

【答案】(1)a=0.015，x=72.5

(2)72.9(3)14

【解析】

【分析】(1)根據(jù)小矩形面積和為1得到關(guān)于。的方程，解出。值，再利用頻率分布直方圖中平均數(shù)公

式即可；

(2)首先確定中位數(shù)所在區(qū)間，再設(shè)中位數(shù)為加，列出方程，解出即可；

(3)求出各區(qū)間人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)即可得到答案.

【小問1詳解】

由題意知(0.005+0.010+0.025+0.035+4+0.010)x10=1,

解得a=0.015.

估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)

x=45x0.05+55x0.1+65x0.25+75x0.35+85x0.15+95x0.1,

x=72.5.

【小問2詳解】

[40,70)的頻率為(0.005+0.010+0,025)x10=0.4,

[40,80)的頻率為(0.005+0.010+0.025+0,035)x10=0.75,

所以中位數(shù)落在區(qū)間[70,80),設(shè)中位數(shù)為加，

所以(0.005+0.010+0.025)x10+(加—70)x0.035=0.5,

解得加合72.9，即估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為72.9.

【小問3詳解】

[70,80)的人數(shù):0.035x10x200=70,

[80,90)的人數(shù):0.015x10x200=30,

[90,100]的人數(shù)：0.010x10x200=20,

11

所以[70,80）這組中抽取的人數(shù)為：24x----------=14.

70+30+20

18.如圖，在正方體45c。一中，

（、1）求證：45〃平面；

（2）求證：ACX±BXC.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到48〃。。，即可得證；

（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到BCX±B[C、AB±BXC,即可證明B.C1平面ABCXDX,從而得證.

【小問1詳解】

在正方體ABCD-481G2中AB//DC,

又48.平面OCu平面所以平面44CD；

【小問2詳解】

連接8￡、ADX,在正方體4BCD—ZNIGA中BCC/i為正方形，

所以8Gl^C,

又平面8cq4，3Cu平面BCCR],所以28,80,

又ABIBC]=B,AB,BC{u平面ABC.D,,

所以耳c,平面，又幺。u平面NBCQI,