2025屆河北省阜城中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

2025屆河北省阜城中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，則時(shí)A. B.C. D.2．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1C.2 D.43．日常飲用水通常都是經(jīng)過(guò)凈化的，隨若水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用單位：元為那么凈化到純凈度為時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是（）元/t.A. B.C. D.4．已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過(guò)定點(diǎn)外還過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.5．設(shè)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.C. D.96．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.8．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.9．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.10．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.811．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在四面體中，BA，BC，BD兩兩垂直，，，則二面角的大小為_(kāi)_____14．已知函數(shù)，則滿足實(shí)數(shù)的取值范圍是__15．定義在R上的函數(shù)滿足，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則滿足的a的取值范圍是__________.16．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)且前項(xiàng)和為，求18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點(diǎn)（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值19．（12分）【閱讀材料1】我們?cè)谘芯績(jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，往往先選取若干個(gè)樣本點(diǎn)（），（），……，（），將樣本點(diǎn)畫在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，就得到樣本的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖，如果所有樣本點(diǎn)都落在某一條直線附近，變量之間就具有線性相關(guān)關(guān)系，如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一非線性函數(shù)圖象附近，變量之間就有非線性相關(guān)關(guān)系.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中經(jīng)常選擇線性或非線性（函數(shù)）回歸模型來(lái)刻畫相關(guān)關(guān)系，并且可以用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龌貧w模型的方程，還常用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸的效果，相關(guān)指數(shù)R2的計(jì)算公式為：當(dāng)R2越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好；當(dāng)R2越小時(shí)，回歸方程的擬合效果越差，R2是常用的選擇模型的指標(biāo)之一，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該盡量選擇R2較大的回歸模型.【閱讀材料2】2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征二號(hào)F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪胺3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當(dāng)0<x≤13時(shí)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①:；模型②:；當(dāng)x>13時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為.根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問(wèn)題：（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x≤13時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇擬合效果更好的模型.回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2（2）當(dāng)應(yīng)用改造的投入為20億元時(shí)，以回歸直線方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，計(jì)算公司的收益約為多少.附：①若最小二乘法求得回歸直線方程為，則；②③，當(dāng)時(shí)，.20．（12分）若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線y＝kx＋b為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，.（1）證明函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）證明和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.21．（12分）已知拋物線E：過(guò)點(diǎn)Q(1，2)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過(guò)F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足△PAB的垂心為原點(diǎn)O.（1）求拋物線E的方程；（2）求證：動(dòng)點(diǎn)P在定直線m上，并求的最小值.22．（10分）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】，所以是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，時(shí)則都是增函數(shù)，由對(duì)稱性可知時(shí)遞增，遞減，所以考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性單調(diào)性2、B【解析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【詳解】由，得，，，，，，.故選：B3、B【解析】由題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后令即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，則，故選：4、D【解析】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過(guò)垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).故選：D.5、B【解析】由雙曲線的的定義可得，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，由得出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的由焦點(diǎn)為，且點(diǎn)A在雙曲線的兩支之間.由雙曲線的定義可得,即所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào).故選：B6、B【解析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出即可得到結(jié)論【詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B7、A【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)寫出式子，由遞推式及求和公式寫出和，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項(xiàng)求和是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因?yàn)椋?，，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題能力，屬于難題.8、B【解析】直接利用正態(tài)分布的應(yīng)用和密度曲線的對(duì)稱性的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正態(tài)分布的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】此方程表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.10、D【解析】根據(jù)雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點(diǎn)三角形的余弦定理中即可求解【詳解】雙曲線，，所以，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可假設(shè)在第一象限，設(shè)，則，所以，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，解得：，所以故選：D11、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于，原函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于，原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：時(shí)，，所以單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)時(shí)，先正后負(fù)，所以在先增后減，因選項(xiàng)C是先減后增再減，故排除選項(xiàng)C，故選：D.12、A【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合雙曲線定義求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可計(jì)算作答.【詳解】因，令，，而雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)，由雙曲線定義知，，而，于是可得，在等腰中，，令雙曲線半焦距為c，在中，由余弦定理得：，而，，，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率的方法：(1)定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】取的中點(diǎn)為，連接，由面面角的定義得出二面角的平面角為，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出二面角的大小.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以二面角的平面角為，因?yàn)?，，所以為等腰直角三角形，即二面角的大小?故答案為：14、【解析】分別對(duì)，分別大于1，等于1，小于1的討論，即可.【詳解】對(duì)，分別大于1，等于1，小于1的討論，當(dāng),解得當(dāng)，不存在，當(dāng)時(shí)，，解得，故x的范圍為點(diǎn)睛】本道題考查了分段函數(shù)問(wèn)題，分類討論，即可，難度中等15、【解析】設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出在上單調(diào)遞減，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解，由的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，則由，則所以在上單調(diào)遞減.又由，即，即，所以故答案為：16、【解析】計(jì)算點(diǎn)漸近線的距離，從而得，由勾股定理計(jì)算，由雙曲線定義列式，從而計(jì)算得，即可計(jì)算出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，由可知，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，即垂直平分線段，所以到漸近線的距離為，可得，所以，由雙曲線定義可知，，即，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知變形得出，即可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算，利用并項(xiàng)求和法可求得.【小問(wèn)1詳解】證明：對(duì)任意的，，則，且，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比也為，故.【小問(wèn)2詳解】解：，所以，，因此，.18、（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镸，N是DA，PD的中點(diǎn)，所以MN//AP，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且Q為BC中點(diǎn)，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因?yàn)?，所以面PAQ//面MNC【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻D⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設(shè)二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則19、（1）模型②擬合效果更好（2）69.1（億元）【解析】（1）分別求出兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)，在進(jìn)行比較即可，（2）利用最小二乘法求出回歸方程，再求收益即可【小問(wèn)1詳解】對(duì)于模型①，因?yàn)?，故?duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，故模型②擬合效果更好【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，后五組的，由最小二乘法可得，所以當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為故當(dāng)投入20億元時(shí)，預(yù)測(cè)公司的收益約為：（億元）20、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出在上的單調(diào)性；（2）設(shè)和之間的隔離直線為y＝kx＋b，由題設(shè)條件得出對(duì)任意恒成立，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞增【小問(wèn)2詳解】設(shè)和之間的隔離直線為y＝kx＋b則對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立由對(duì)任意恒成立，得當(dāng)時(shí)，則有符合題意；當(dāng)時(shí)，則有對(duì)任意恒成立的對(duì)稱軸為又的對(duì)稱軸為即故和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在解決問(wèn)題一時(shí)，求了一階導(dǎo)得不了函數(shù)的單調(diào)性，再次求導(dǎo)得，進(jìn)而得出在恒成立，得在上的單調(diào)性.21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，的最小值為.【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，由此求得的值，進(jìn)而求得拋物線的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，寫出韋達(dá)定理，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程求得的坐標(biāo)，由此判斷出動(dòng)點(diǎn)在定直線上.求得的表達(dá)式，利用基本不等式求得其最小值.【詳解】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得，所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，所以，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去得，所以.由于為三角形的垂心，所以，所以直線的方程為，即.同理可求得直線的方程為.由，結(jié)合，解得，所以在定直線上.直線的方程為，到直線的距離為，到直線的距離為.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋