河南省洛陽中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

河南省洛陽中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下表：班級人數(shù)平均分數(shù)方差甲302乙203其中，則甲、乙兩個班數(shù)學(xué)成績的方差為（）A.2.2 B.2.6C.2.5 D.2.42．函數(shù)的大致圖像如圖所示，則它的解析式是A. B.C. D.3．函數(shù)的圖象大致是A. B.C. D.4．函數(shù)y＝ln（1﹣x）的圖象大致為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，，的圖象的3個交點可以構(gòu)成一個等腰直角三角形，則的最小值為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，其中為實數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是A. B.C. D.7．已知命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．若三點在同一直線上，則實數(shù)等于A. B.11C. D.39．若－4<x<1，則（）A.有最小值1 B.有最大值1C.有最小值－1 D.有最大值－110．設(shè)，，則A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，若，則的形狀一定是___________三角形.12．兩條平行直線與的距離是__________13．如圖，點為銳角的終邊與單位圓的交點，逆時針旋轉(zhuǎn)得，逆時針旋轉(zhuǎn)得逆時針旋轉(zhuǎn)得，則__________，點的橫坐標(biāo)為_________14．函數(shù)（且）的圖象必經(jīng)過點___________.15．寫出一個同時具有下列三個性質(zhì)的函數(shù)：___________.①函數(shù)為指數(shù)函數(shù)；②單調(diào)遞增；③.16．若方程組有解，則實數(shù)的取值范圍是__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點.（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.18．已知（1）求的值（2）求19．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖像向左平移單位長度，再將所得圖像上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求在上的值域20．如圖，直四棱柱中，上下底面為等腰梯形，．，，為線段的中點（1）證明：平面平面；21．已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）解不等式

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計算性質(zhì)即可計算.【詳解】設(shè)甲、乙兩班學(xué)生成績分別為，甲班平均成績?yōu)?，乙班平均成績?yōu)?，因為甲、乙兩班的平均成績相等，所以甲、乙兩班合在一起后平均成績依然為，因為，同理，∴甲、乙兩班合在一起后的方差為?故選：D.2、D【解析】由圖易知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)為偶函數(shù)，排除A，B；的圖象為開口向上的拋物線，顯然不適合，故選D點睛：識圖常用方法(1)定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題3、A【解析】因為2、4是函數(shù)的零點，所以排除B、C；因為時，所以排除D,故選A4、C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域和特殊點，判斷出正確選項.【詳解】由，解得，也即函數(shù)的定義域為，由此排除A,B選項.當(dāng)時，，由此排除D選項.所以正確的為C選項.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像識別，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】先根據(jù)函數(shù)值相等求出，可得，由此可知等腰直角三角形的斜邊上的高為，所以底邊長為，令底邊的一個端點為，則另一個端點為，由此可知，可得，據(jù)此即可求出結(jié)果.【詳解】令和相等可得，即；此時，即等腰直角三角形的斜邊上的高為，所以底邊長為，令底邊的一個端點為，則另一個端點為，所以，即，當(dāng)時，的最小值，最小值為故選：C6、C【解析】先由三角函數(shù)的最值得或，再由得，進而可得單調(diào)增區(qū)間.【詳解】因為對任意恒成立，所以，則或，當(dāng)時，，則（舍去），當(dāng)時，，則，符合題意，即，令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是；故選C.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)確定解析式，屬于中檔題.7、B【解析】原命題等價于恒成立，故即可，解出不等式即可.【詳解】因為命題“，使”是假命題，所以恒成立，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍是故選：B8、D【解析】由題意得：解得故選9、D【解析】先將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)－4<x<1，利用基本不等式求解.【詳解】又∵－4<x<1，∴x－1<0∴－(x－1)>0∴．當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝0時等號成立故選：D【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】利用對數(shù)運算法則即可得出【詳解】，，，，則.故選D.【點睛】本題考查了對數(shù)的運算法則，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、等腰【解析】根據(jù)可得，利用兩角和的正弦公式展開，再逆用兩角差的正弦公式化簡，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得，即可得的形狀.【詳解】因，，所以，即，所以，可得：，因為，，所以所以，即，故是等腰三角形.故答案為：等腰.12、【解析】直線與平行，，得，直線，化為，兩平行線距離為，故答案為.13、①.##0.96②.【解析】由終邊上的點得，，應(yīng)用二倍角正弦公式求，根據(jù)題設(shè)描述知在的終邊上，結(jié)合差角余弦公式求其余弦值即可得橫坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)知：，，∴，所在角為，則，∴點的橫坐標(biāo)為.故答案為：，.14、【解析】令得，把代入函數(shù)的解析式得，即得解.【詳解】解：因為函數(shù)，其中，，令得，把代入函數(shù)的解析式得，所以函數(shù)(且)的圖像必經(jīng)過點的坐標(biāo)為.故答案為：15、（答案不唯一）【解析】根據(jù)給定條件①可得函數(shù)的解析式，再利用另兩個條件判斷作答.【詳解】因函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則令，且，于是得，由于單調(diào)遞增，則，又，解得，取，所以.故答案為：（答案不唯一）16、【解析】，化為，要使方程組有解，則兩圓相交或相切，，即或，，故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明略（2）【解析】（Ⅰ）要證平面，由已知平面，已經(jīng)有，因此在直角梯形中證明即可，通過計算得，而是中點，則有；（Ⅱ）PB與平面ABCD所成的角是，下面關(guān)鍵是作出PB與平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分別與相交于，連接，則是PB與平面PAE所成的角，由這兩個角相等，可得，同樣在直角梯形中可計算出，也即四棱錐P-ABCD的高，體積可得．另外也可建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法求得結(jié)論，第（Ⅱ）小題中關(guān)鍵是求點的坐標(biāo)，注意這里直線與平面所成的角相等轉(zhuǎn)化為直線與平面的法向量的夾角相等試題解析：解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，是的中點，所以所以而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE（Ⅱ）過點Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是為直線ＰＢ與平面PAE所成的角，且由知，為直線與平面所成的角由題意，知因為所以由所以四邊形是平行四邊形，故于是在中，所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)則相關(guān)的各點坐標(biāo)為：（Ⅰ）易知因為所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以（Ⅱ）由題設(shè)和（Ⅰ）知，分別是，的法向量，而PB與所成的角和PB與所成的角相等，所以由（Ⅰ）知，由故解得又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為.考點：線面垂直的判斷，棱錐的體積18、（1）（2）【解析】根據(jù)條件可解出與的值，再利用商數(shù)關(guān)系求解【小問1詳解】，又，解得故【小問2詳解】由誘導(dǎo)公式得19、（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）.【解析】（1）利用二倍角正余弦公式及輔助角公式可得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期和遞減區(qū)間.（2）由（1）及圖象平移有，應(yīng)用整體法及正弦函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間值域.【小問1詳解】由題設(shè)，，所以的最小正周期為，令，，解得，，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問2詳解】由（1）知，，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，∵，則，∴，則∴在上的值域為20、（1）證明見解析；（2）點為中點.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得，利用勾股定理證明即可證得平面平面.(2)取的中點，證明和，利用面面平行的判定定理即可推理作答.【小問1詳解】因為為直四棱柱，則平面，而平面，于是得，在中，，，由余弦定理得，，因此，，即，又，平面，則平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】當(dāng)點為中點時，平面平面，連接，如圖，在等腰梯形中，，即，而，則四邊形為平行四邊形，即有，因平面，平面，則有平面，因為，，則四邊形為平行四邊形，有，而平面，平面，因此，平面，又，所以平面平面.21、（1）f（x）為奇函數(shù)，證明見解析；（2）當(dāng)a＞1時，不等式的解集為（0，1）；當(dāng)0＜a＜1時，不等式的解集為（﹣1，0）【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再求出f（﹣x）與f（x）的關(guān)系，利用函數(shù)的奇偶性的定義，得出結(jié)論；（2）分類討論底數(shù)的范圍，再利用函數(shù)的定義域