2025屆江西省吉安市四校數學高三第一學期期末考試試題含解析

2025屆江西省吉安市四校數學高三第一學期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．若的二項式展開式中二項式系數的和為32，則正整數的值為（）A．7 B．6 C．5 D．43．函數y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．4．下列選項中，說法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件5．設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（）A．且 B．且 C．且 D．且6．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．7．下列函數中，值域為R且為奇函數的是（）A． B． C． D．8．已知為非零向量，“”為“”的（）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．已知函數，則的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．202010．某中學2019年的高考考生人數是2016年高考考生人數的1.2倍，為了更好地對比該?？忌纳龑W情況，統(tǒng)計了該校2016年和2019年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結論正確的是（）.A．與2016年相比，2019年不上線的人數有所增加B．與2016年相比，2019年一本達線人數減少C．與2016年相比，2019年二本達線人數增加了0.3倍D．2016年與2019年藝體達線人數相同11．函數的圖象大致為A． B． C． D．12．是邊長為的等邊三角形，、分別為、的中點，沿把折起，使點翻折到點的位置，連接、，當四棱錐的外接球的表面積最小時，四棱錐的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的前項和公式為，則數列的通項公式為___．14．三棱柱中，，側棱底面，且三棱柱的側面積為.若該三棱柱的頂點都在同一個球的表面上，則球的表面積的最小值為_____．15．已知數列{an}的前n項和為Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，則數列{}前2020項和為_____16．已知F為雙曲線的右焦點，過F作C的漸近線的垂線FD，D為垂足，且（O為坐標原點），則C的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不同于的任意一點（1）求證：平面平面；（2）設為的中點，為上的動點（不與重合）求二面角的正切值的最小值18．（12分）為增強學生的法治觀念，營造“學憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學校開展了“憲法小衛(wèi)士”活動，并組織全校學生進行法律知識競賽．現從全校學生中隨機抽取50名學生，統(tǒng)計他們的競賽成績，已知這50名學生的競賽成績均在[50，100]內，并得到如下的頻數分布表：分數段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數51515123（1）將競賽成績在內定義為“合格”，競賽成績在內定義為“不合格”．請將下面的列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關？合格不合格合計高一新生12非高一新生6合計（2）在（1）的前提下，按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣，從這50名學生中抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2名學生，求這2名學生競賽成績都合格的概率．參考公式及數據：，其中．19．（12分）數列的前項和為，且.數列滿足，其前項和為.（1）求數列與的通項公式；（2）設，求數列的前項和.20．（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.（1）當時，求M點的極坐標；（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉與該曲線相交于點N，求的最大值.21．（12分）已知橢圓：的兩個焦點是，，在橢圓上，且，為坐標原點，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點.連接、與軸交于點，.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（為參數）．以平面直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程；（2）設和交點的交點為，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先得出兩直線平行的充要條件，根據小范圍可推導出大范圍，可得到答案.【詳解】直線，，的充要條件是，當a=2時，化簡后發(fā)現兩直線是重合的，故舍去，最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點睛】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．2、C【解析】

由二項式系數性質，的展開式中所有二項式系數和為計算．【詳解】的二項展開式中二項式系數和為，．故選：C．【點睛】本題考查二項式系數的性質，掌握二項式系數性質是解題關鍵．3、D【解析】分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．4、D【解析】

對于A根據命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對于B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角；對于C當m=0時，滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對于D根據元素與集合的關系即可做出判斷．【詳解】選項A根據命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項C當m=0時,滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質、向量夾角與性質、集合性質等，屬于簡單題.5、B【解析】由且可得，故選B.6、A【解析】

設切點為，對求導，得到，從而得到切線的斜率，結合直線方程的點斜式化簡得切線方程，聯立方程組，求得結果.【詳解】設切點為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【點睛】該題考查的是有關直線與曲線相切求參數的問題，涉及到的知識點有導數的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單題目.7、C【解析】

依次判斷函數的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域為，非奇非偶函數，排除；B.，值域為，奇函數，排除；C.，值域為，奇函數，滿足；D.，值域為，非奇非偶函數，排除；故選：.【點睛】本題考查了函數的值域和奇偶性，意在考查學生對于函數知識的綜合應用.8、B【解析】

由數量積的定義可得,為實數,則由可得,根據共線的性質,可判斷；再根據判斷,由等價法即可判斷兩命題的關系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以；若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數量積的應用.9、C【解析】

首先，根據二倍角公式和輔助角公式化簡函數解析式，根據所求函數的周期性，得到其周期為4，然后借助于三角函數的周期性確定其值即可．【詳解】解：．，，的周期為，，，，，．．故選：C【點睛】本題重點考查了三角函數的圖象與性質、三角恒等變換等知識，掌握輔助角公式化簡函數解析式是解題的關鍵，屬于中檔題．10、A【解析】

設2016年高考總人數為x，則2019年高考人數為，通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.【詳解】設2016年高考總人數為x，則2019年高考人數為，2016年高考不上線人數為，2019年不上線人數為，故A正確；2016年高考一本人數，2019年高考一本人數，故B錯誤；2019年二本達線人數，2016年二本達線人數，增加了倍，故C錯誤；2016年藝體達線人數，2019年藝體達線人數，故D錯誤.故選：A.【點睛】本題考查柱狀圖的應用，考查學生識圖的能力，是一道較為簡單的統(tǒng)計類的題目.11、D【解析】

由題可得函數的定義域為，因為，所以函數為奇函數，排除選項B；又，，所以排除選項A、C，故選D．12、D【解析】

首先由題意得，當梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時，外接球的半徑最小，通過圖形發(fā)現，的中點即為梯形的外接圓圓心，也即四棱錐的外接球球心，則可得到，進而可根據四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖，四邊形為等腰梯形，則其必有外接圓，設為梯形的外接圓圓心，當也為四棱錐的外接球球心時，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過作的垂線交于點，交于點，連接，點必在上，、分別為、的中點，則必有，，即為直角三角形.對于等腰梯形，如圖：因為是等邊三角形，、、分別為、、的中點，必有，所以點為等腰梯形的外接圓圓心，即點與點重合，如圖，，所以四棱錐底面的高為，.故選：D.【點睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題，關鍵是要找到外接球球心的位置，這個是一個難點，考查了學生空間想象能力和分析能力，是一道難度較大的題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意，根據數列的通項與前n項和之間的關系，即可求得數列的通項公式．【詳解】由題意，可知當時，；當時，.又因為不滿足，所以.【點睛】本題主要考查了利用數列的通項與前n項和之間的關系求解數列的通項公式，其中解答中熟記數列的通項與前n項和之間的關系，合理準確推導是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．14、【解析】

分析題意可知，三棱柱為正三棱柱，所以三棱柱的中心即為外接球的球心，設棱柱的底面邊長為，高為，則三棱柱的側面積為，球的半徑表示為，再由重要不等式即可得球表面積的最小值【詳解】如下圖，∵三棱柱為正三棱柱∴設，∴三棱柱的側面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為：【點睛】考查學生對幾何體的正確認識，能通過題意了解到題目傳達的意思，培養(yǎng)學生空間想象力，能夠利用題目條件，畫出圖形，尋找外接球的球心以及半徑，屬于中檔題15、【解析】

由已知可得?4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂項求和方法即可得出.【詳解】∵⊥，∴?4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.，滿足上式，.∴2（）.∴數列{}前2020項和為2（1）＝2（1）.故答案為：.【點睛】本題考查了向量垂直與數量積的關系、數列遞推關系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.16、2【解析】

求出焦點到漸近線的距離就可得到的等式，從而可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，由得，∴，，∴．故答案為：2.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是求出焦點到漸近線的距離，從而得出一個關于的等式．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）推導出，，從而平面，由面面垂直的判定定理即可得證．（2）過作，以為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系，設，利用空間向量法表示出二面角的余弦值，當余弦值取得最大時，正切值求得最小值；【詳解】（1）因為，面，，平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）過作，以為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系，則，設，則平面的一個法向量為設平面的一個法向量為則，即，令，如圖二面角的平面角為銳角，設二面角為，則，時取得最大值，最大值為，則最小值為【點睛】本題考查面面垂直的證明，利用空間向量法解決立體幾何問題，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）補充完整的列聯表如下：合格不合格合計高一新生121426非高一新生18624合計302050則的觀測值，所以有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關．（2）抽取的5名學生中競賽成績合格的有名學生，記為，競賽成績不合格的有名學生，記為，從這5名學生中隨機抽取2名學生的基本事件有：，共10種，這2名學生競賽成績都合格的基本事件有：，共3種，所以這2名學生競賽成績都合格的概率為．19、（1），；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令，由得出，兩式相減可推導出數列為等比數列，確定該數列的公比，利用等比數列的通項公式可求得數列的通項公式，再利用對數的運算性質可得出數列的通項公式；（2）運用等差數列的求和公式，運用數列的分組求和和裂項相消求和，化簡可得.【詳解】（1）當時，，所以；當時，，得，即，所以，數列是首項為，公比為的等比數列，.；（2）由（1）知數列是首項為，公差為的等差數列，.，.所以.【點睛】本題考查數列的遞推式的運用，注意結合等比數列的定義和通項公式，考查數列的求和方法：分組求和法和裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．20、（1）點M的極坐標為或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，進而求得點的極坐標