2025年高考數學一輪知識點復習：用樣本估計總體-專項訓練【含解析】

用樣本估計總體-專項訓練【原卷版】

基礎鞏固練

1.已知數據%i，%2,…，%n是某市九（nN3,71CN*）個普通職工的年收入（單位:元）,

若去掉一個最高年收入和一個最低年收入，則新數據與原數據相比，一定不變的

數字特征是（）.

A.平均數B.中位數C.方差D.極差

2.（2024.九省適應性測試）樣本數據16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數為（）.

A.14B.16

C.18D.20

3.（改編）如圖，這是根據某市6月1日至6月10日的最低氣溫（單位：。0

的情況繪制的折線統計圖，由圖可知這10天的最低氣溫的第40百分位數是（）.

溫度/工

O12345678910日期

A.20.5℃B.21℃C.21.5℃D.22℃

4.甲、乙兩臺機床同時生產一種零件，10天中，兩臺機床每天出的次品數統計

如表所示.

甲0102203124

乙2211121101

可，次分別表示甲、乙兩組數據的平均數，S/,S：分別表示甲、乙兩組數據的方

差，則下列選項正確的是（）.

A.—x2,sf>siB.xr>x2,sf>si

J*Ss

C.<X21>2D.>x2,sf<S2

5.[i]（原創(chuàng)）已知一組數據%1，久2,久3,…，%的平均數為3,方差為點那么另一

組數據6%i+2,6%2+2,6X3+2,-,6&+2的平均數和方差分別為（）.

A.6,B.6,1C.18,1D.20,4

6.（原創(chuàng)）某班有30名男生同學，高一入校體測時，經過計算得到平均身高為

170cm,標準差為s,后來發(fā)現錄入有錯誤，甲同學185cm誤記為165cm,乙同

學175cm誤記為195cm,更正后重新計算標準差則s與s1的大小關系是（）.

A.,s—S]B.s<SiC.s>S]D.不能確定

7.某市政府為了了解居民節(jié)約用水的意識，隨機調查了100戶居民某年的月均

用水量數據（單位：立方米），制成如圖所示的頻率分布直方圖.下列說法正確

的是（）.

八頻率/組距

0.5-............r—1

0.4-------------------

0.3..........-I......................

0.2--T~

0.1--------------……-----------------------

O0.511.522.533.544.5用水量

/立方米

A.該組樣本數據的極差是4立方米

B.可估計全市居民用戶月均用水量的中位數是2.25立方米

C.可估計全市居民用戶月均用水量的眾數是2立方米

D.可估計全市居民用戶中月均用水量超過3立方米的占15%

8.某市入夏的標準是立夏之后，連續(xù)五天的日平均氣溫不低于22吧立夏之后,

測得連續(xù)五天的平均氣溫數據滿足如下條件，其中能斷定該市入夏的是（）.

A.總體均值為25。。中位數為23°CB.總體均值為25。?？傮w方差大于0

C.總體中位數為23?,眾數為25久D.總體均值為25。?？傮w方差為1

綜合提升練

9.（多選題）某地旅游部門從2022年到該地旅游的游客中隨機抽取部分游客進

行調查，得到各年齡段游客的人數和旅游方式如圖所示，則下列結論不正確的是

（）.

自助游比率/%

30

25

老年人20

.20%）

中年人

35%

O老年人中年人青年人年齡段

A.估計2022年到該地旅游的游客選擇自助游的中年人的人數多于選擇自助游

的青年人人數的一半

B.估計2022年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數占總游客人數的

13.5%

C.估計2022年到該地旅游的游客選擇自助游的老年人和中年人的人數之和比

選擇自助游的青年人多

D.估計2022年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為25%

10.（多選題）某校為了了解學生的身體素質，對2023屆初三年級所有學生做

一分鐘仰臥起坐的個數情況進行了數據統計，結果如圖1所示.該校2024屆初三

學生人數較2023屆初三學生人數上升了10%,2024屆初三學生做一分鐘仰臥起

坐的個數分布條形圖如圖2所示，則（）.

60,70)[70,80]

50,60)15%5%

25%

[20,30)

10%

40,50)30,40)

25%20%

頻率圖1

n

45^

/

z

n

40^

z

z

nz

35^/

/^

zu

3n

0^

z

/

25n

^

/

z

20n

^

z

z

15n/

V^

/u

10n

^

/

z

5n

^

/

z

xO

c個

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]數

圖2

A.該校2023屆初三年級學生做一分鐘仰臥起坐的個數在［30,60）內的學生人數

占70%

B.該校2024屆初三學生做一分鐘仰臥起坐的個數在［60,80］內的學生人數比

2023屆初三學生做一分鐘仰臥起坐個數在［60,80］內的學生人數的2.2倍還多

C.該校2024屆初三學生做一分鐘仰臥起坐的個數和2023屆初三學生做一分鐘

仰臥起坐個數的中位數均在［50,60）內

D.相比2023屆初三學生做一分鐘仰臥起坐個數不小于50的人數占比，2024屆

初三學生做一分鐘仰臥起坐個數不小于50的人數占比增加

11.某班為了了解學生每月購買零食的支出情況，利用分層隨機抽樣抽取了一個

9人的樣本統計如表所示：

學生數平均支出/元支出平方的累加值方差

女生4"I*端=53800225

i=l

男生5片1°6就=577。。304

i=l

估計全班學生每月購買零食的平均支出的方差為,（精確到小數點后一

位）

12.（雙空題）已知在一次文藝比賽中，12名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成

一個評委小組，給參賽選手打分，下面是兩組評委對同一選手的打分：

小組A42,45,48,46,52,47,49,55,42,51,47,45.

小組B:55,36,70,66,75,49,46,68,42,62,58,47.

小組B的第75百分位數是,從評委打分相似性上看更像專業(yè)人士組成的

小組是組.

應用情境練

13.某科研機構研究發(fā)現，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量%（單位：克）與

藥物功效y（單位：藥物單位）之間具有關系式y=9%-/.檢測這種藥品一個批

次的6個樣本，得到成分甲的平均值為5克，標準差為招，則估計這批中醫(yī)藥的

藥物功效的平均值為?一

14.已知甲、乙兩班在我校舉行合唱比賽中，7位評委的評分情況如下：

甲:78,78,88,X,80,95,96.

乙：76,80,82,y,91,93,96.

其中甲班成績的中位數是81,乙班成績的平均數是86.若正實數a,匕滿足a,G,b

成等差數列且80-久，G,80-y成等比數列，則：+：的最小值為

創(chuàng)新拓展練

15.已知一組數據為1，%2，%3,…，%兀的平均數為高方差為s2.若3%1+1,3%2+1,

3久3+1，…，3&+1的平均數比方差大4,則s2—f的最大值為

16.某學校有800名學生，為了了解學生對《民法典》的認識程度，選取了100

名學生進行測試，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求TH的值；

（2）估計抽查的學生測試成績的中位數；（結果用分數形式表示）

（3）如果抽查的測試平均分超過萬分，那么就表示該學校通過測試，試判斷該

校能否通過測試.

用樣本估計總體-專項訓練【解析版】

基礎鞏固練

1.已知數據為1，久2,…，%n是某市n（n23,71eN*）個普通職工的年收入（單位:元）,

若去掉一個最高年收入和一個最低年收入，則新數據與原數據相比，一定不變的

數字特征是（B）.

A.平均數B.中位數C.方差D.極差

［解析］由中位數的定義知，去掉最高與最低后，新數據與原數據相比，中位數一

定不變.故選B.

2.（2024.九省適應性測試）樣本數據16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數為（B）.

A.14B.16

C.18D.20

［解析］將這些數據從小到大排列可得10,12,14,14,16,20,24,30,40.故其中位數為

16.故選B.

3.（改編）如圖，這是根據某市6月1日至6月10日的最低氣溫（單位：。0

的情況繪制的折線統計圖，由圖可知這10天的最低氣溫的第40百分位數是

（C）.

溫度/工

O12345678910日期

A.20.5℃B.21℃C.21.5℃D.22℃

［解析］由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大排列為19,20,21,21,

22,22,23,24,24,24,因為共有10個數據，所以10x40%=4,是整數,

則這10天的最低氣溫的第40百分位數是第4和第5個最低氣溫的平均數，即

V=21.5(。(2).故選(1

4.甲、乙兩臺機床同時生產一種零件，10天中，兩臺機床每天出的次品數統計

如表所示.

甲01022c)3124

乙22111211c)1

立，也分別表示甲、乙兩組數據的平均數，s苒,s：分別表示甲、乙兩組數據的方

差，則下列選項正確的是(B).

?SS

A.=±2，Si>S2B.xr>%212

C.%1<X2ysl>S2D.吊>元2，sl<S2

0+1+0+2+2+0+3+1+2+4

［解析］由表格數據知，=

101.5,%2

2+2+1+1+1+2+1+14-0+1"c

-----------------=l.Z,

10

?,?＞第2，

??Y=2x[(0—1.5)2x3+(1-1.5)2x2+(2-1.5)2x3+(3-1.5)2+

(4-1.5)2］=1.65,s：=卷x［(2—1.2)2x3+(l-1.2)2x6+(0-1.2)2］=

0.36,

???s：>s：,故選B.

5.［i］(原創(chuàng))已知一組數據久i，g,與，???，%的平均數為3,方差為點那么另一

組數據6%i+2,6久2+2,6%3+2,…，6期+2的平均數和方差分別為(D).

A.6,B.6,1C.18,1D.20,4

［解析］由數據為1，%2，%3,…，％?1的平均數為3,方差為2,可得數據6久1+2,6%2+2,

6處+2,…，6期+2的平均數為6x3+2=20,方差為62x；=4.故選D.

6.(原創(chuàng))某班有30名男生同學，高一入校體測時，經過計算得到平均身高為

170cm,標準差為s,后來發(fā)現錄入有錯誤，甲同學185cm誤記為165cm,乙同

學175cm誤記為195cm，更正后重新計算標準差si，則s與si的大小關系是(C).

A.s=S]B.s<SiC.s>S]D.不能確定

[解析]因為甲同學185cm誤記為165cm,乙同學175cm誤記為195cm,所以身

高總值不變，故平均身高不變，設除甲、乙以外的其余28人的身高分別為

…，為28，平均數為禮所以S=

總J(165—元)2+(195—君2+%—君2+(久2一君2+…+(g8—元)2,

S1二9J(185—8)2+(175—7)2+(X1—元)2+(%2—元)2+…+(久28—君2,

因為[(165-x)2+(195-元)2]-[(185-%)2+(175-x)2]=[(165-170)2+

(195-170)2]-[(185-170)2+(175-170)2]

=52+252-152-52=400>0,

所以s>s>故選C.

7.某市政府為了了解居民節(jié)約用水的意識，隨機調查了100戶居民某年的月均

用水量數據(單位：立方米)，制成如圖所示的頻率分布直方圖.下列說法正確

的是(D).

八頻率/組距

0.5--..........

0.4---------E.

0.3.....-I——一■…一一

0.2--1~■

0.1----------------------------

O0.511.522.533.544.5用水量

/立方米

A.該組樣本數據的極差是4立方米

B.可估計全市居民用戶月均用水量的中位數是2.25立方米

C.可估計全市居民用戶月均用水量的眾數是2立方米

D.可估計全市居民用戶中月均用水量超過3立方米的占15%

[解析]對于A,由頻率分布直方圖無法得到這組數據的最大值和最小值，故無法

準確判斷這組數據的極差，故A錯誤；

對于B,因為(0.2+0.3+04)x0.5=0.45,0.45+0.5X0.5=0.7,設中位數為

x,由0.45+0.5x(%—2)=0.5得％=2.1,故B錯誤；

對于C,眾數為衛(wèi)=2.25,故C錯誤；

2

對于D,月均用水量超過3立方米的頻率為(0.1+0.1+0.1)x0.5=0.15,故D正

確.故選D.

8.某市入夏的標準是立夏之后，連續(xù)五天的日平均氣溫不低于22。(1立夏之后，

測得連續(xù)五天的平均氣溫數據滿足如下條件，其中能斷定該市入夏的是(D).

A.總體均值為25。。中位數為23°CB.總體均值為25。?？傮w方差大于0

C.總體中位數為23。（:，眾數為25眩D.總體均值為25。?？傮w方差為1

［解析］對于A,總體均值為25。。中位數為23。。可能出現低于22。（2的情況，故

A不正確；

對于B,當總體方差大于0時，不知道總體方差的具體數值，因此不能確定數據

的波動大小，故B不正確；

對于C,中位數和眾數也不能確定，故C不正確：

對于D,當總體均值為25。。總體方差為1,根據方差公式s2=］（/—制2+

（%2—MT+（第3—元/+（孫一元）2+（%—元產］,因為方差為1,歹=25,所以若

存在有一^氣溫低于22℃,則方差大于1,或者通過假設汽2=%3=%4=工5=25,

則1=式光1-25）2,打=25-芯或=25+遮（舍去），此時五天最低溫度

為25—遮°C,大于22。（：，故D正確.故選D.

綜合提升練

9.（多選題）某地旅游部門從2022年到該地旅游的游客中隨機抽取部分游客進

行調查，得到各年齡段游客的人數和旅游方式如圖所示，則下列結論不正確的是

（CD）.

O老年人中年人青年人年齡段

A.估計2022年到該地旅游的游客選擇自助游的中年人的人數多于選擇自助游

的青年人人數的一半

B.估計2022年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數占總游客人數的

13.5%

C.估計2022年到該地旅游的游客選擇自助游的老年人和中年人的人數之和比

選擇自助游的青年人多

D.估計2022年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為25%

［解析］設2022年到該地旅游的游客總人數為a,由題意可知游客中老年人、中年

人、青年人的人數分別為0.2a,0.35a,0.45a,其中選擇自助游的老年人、中年

人、青年人的人數分別為0.04a,0.0875a,0.135a.

■\

因為0.0875a>0.135ax-=0.0675a,所以A正確；

2022年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數與總游客人數的比值為

0.135ax100%=13.5%,所以B正確;

a

因為0.04a+0.0875a=0.1275a<0.135a,所以C不正確;

2022年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為°°4a+°Q875a+0135a乂10Q%=

a

26.25%,所以D不正確.故選CD.

10.（多選題）某校為了了解學生的身體素質，對2023屆初三年級所有學生做

一分鐘仰臥起坐的個數情況進行了數據統計，結果如圖1所示.該校2024屆初三

學生人數較2023屆初三學生人數上升了10%,2024屆初三學生做一分鐘仰臥起

坐的個數分布條形圖如圖2所示，則（ABD）.

60,70)[70,80]

50,60)15%5%

25%

[20,30)

10%

40,50)30,40)

25%20%

頻率圖1

45n7

^Z

z

z^也%

40n/

^z

/^

zu

35nz

^/

/^34%

zu

30n

^

z

25^z

z

/x

^

/u

20/

^

15u

n/

z

v^

10zuU%

n/

^z

/^

5zu7%

n/

^z

/^4%

zui%

x

cn個

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]數

圖2

A.該校2023屆初三年級學生做一分鐘仰臥起坐的個數在［30,60）內的學生人數

占70%

B.該校2024屆初三學生做一分鐘仰臥起坐的個數在［60,80］內的學生人數比

2023屆初三學生做一分鐘仰臥起坐個數在［60,80］內的學生人數的2.2倍還多

C.該校2024屆初三學生做一分鐘仰臥起坐的個數和2023屆初三學生做一分鐘

仰臥起坐個數的中位數均在［50,60）內

D.相比2023屆初三學生做一分鐘仰臥起坐個數不小于50的人數占比，2024屆

初三學生做一分鐘仰臥起坐個數不小于50的人數占比增加

［解析］2023屆初三年級學生做一分鐘仰臥起坐的個數在［30,60）內的學生人數占

比為20%+25%+25%=70%,故A正確；

由于2024屆初三學生人數較2023屆上升了10%,假設2023屆初三學生人數為

a(a>0),

則2023屆初三學生做一分鐘仰臥起坐的個數在［60,80］內的學生人數為0.2a,

2024屆初三學生做一分鐘仰臥起坐的個數在［60,80］內的學生人數為aX

(1+10%)x(34%+7%)=0.451a,

則0,451a>0.2ax2.2,故B正確；

2023屆初三學生做一分鐘仰臥起坐個數的中位數在［40,50)內，

2024屆初三學生做一分鐘仰臥起坐個數的中位數在［50,60)內，故C錯誤；

2023屆初三學生做一分鐘仰臥起坐個數不小于50的人數占25%+15%+5%=

45%,

2024屆初三學生做一分鐘仰臥起坐個數不小于50的人數占41%+34%+7%=

82%,因為82%>45%,故D正確.故選ABD.

11.某班為了了解學生每月購買零食的支出情況，利用分層隨機抽樣抽取了一個

9人的樣本統計如表所示：

學生數平均支出/元支出平方的累加值方差

女生4工=115￡*=53800225

i=l

304

7=106—￡療=57700

男生5

1=1

估計全班學生每月購買零食的平均支出的方差為期’.(精確到小數點后一位)

［解析］依題意，設女生每月購買零食的支出的樣本為修，平均數為元=115；男生

每月購買零食的支出的樣本為力,平均數為歹=106；男女生每月購買零食的支

出的平均數為2,方差為s2.

則，=4x+5y_4X115+5X106110,

99

45

又2g=53800,2W=57700,

i=li=l

191/4*5\1

所以s2=22932*+2W_no2=2x(53800+57700)-

9t=l9Vi=li=l'9

1102~288.9,

所以估計全班學生每月購買零食的平均支出的方差為288.9.

12.(雙空題)已知在一次文藝比賽中，12名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成

一個評委小組，給參賽選手打分，下面是兩組評委對同一選手的打分：

小組A42,45,48,46,52,47,49,55,42,51,47,45.

小組8:55,36,70,66,75,49,46,68,42,62,58,47.

小組B的第75百分位數是67,從評委打分相似性上看更像專業(yè)人士組成的小組

是A組.

［解析］將小組B的數據進行排序得到36,42,46,47,49,55,58,62,66,68,70,75,又12X

75%=9,

所以B小組的第75百分位數是"吧=67.

1

=—X(42+45+48+46+52+47+49+55+42+51+47+45)工47,

sj=^X［(42-47)2+(45-47)2+???+(45-47)2］?14.08.

瑪=點X(55+36+70+66+75+49+46+68+42+62+58+47)?56,

sj=^X［(55-56)2+(36-56)2+…+(47-56)2］=139.

sj<sj,故4小組更像專業(yè)人士組成的小組.

應用情境練

13.某科研機構研究發(fā)現，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量久(單位：克)與

藥物功效y(單位：藥物單位)之間具有關系式y=9%--.檢測這種藥品一個批

次的6個樣本，得到成分甲的平均值為5克，標準差為招，則估計這批中醫(yī)藥的

藥物功效的平均值為1Z

［解析］設這6個樣本中成分甲的含量分別為％I，%2，%3,…，%6,平均值為元,

222

則(%1—X)+(%2—%)+卜(久6—君之=+%24-----卜%6)—6%=6X

(⑹2=18,

所以好+%2+—H^6—168,

于是以+力+…+=9(%1+%2+?--+%6)-(%1+%2+-+瞪)=102,

則歹="+為+…+以=17.

6

14.已知甲、乙兩班在我校舉行合唱比賽中，7位評委的評分情況如下：

甲:78,78,88,X,80,95,96.

乙：76,80,82,y,91,93,96.

其中甲班成績的中位數是81,乙班成績的平均數是86.