2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之一元二次方程

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之一元二次方

選擇題（共10小題）

1.關(guān)于尤的一元二次方程（a-1），+x+/-1=0的一個根是0,則。的值為（）

1

A.1B.-1C.1或-1D.-

2

2.若關(guān)于x的一元二次方程/-2x+姑+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則一次函數(shù)的大致圖象可

3.三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程/-12x+35=0的根，則該三角形的周長為（）

A.14B.12

C.12或14D.以上都不對

4.若關(guān)于x的一元二次方程（k-1）/+4x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上的取值范圍是（）

A.k<5B.k<5,且上=1C.%W5,且上D.k>5

5.一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程f-7x+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）

A.12B.9C.13D.12或9

6.對于一元二次方程〃/+/?%+。=0（〃W0）,下列說法：

①若a+b+c=O,則廿-4的20；

②若方程ax1+c=O有兩個不相等的實根，則方程ax1+bx-^c=O必有兩個不相等的實根；

③若c是方程aj?+bx+c=O的一個根，則一定有〃c+b+l=O成立；

2

④若xo是一元二次方程aj^+bx+c=O的根，則域—4ac=（2ax0+h）

⑤存在實數(shù)M、n（機(jī)/〃），arr?+bm+c=ar?+bn+c^

其中正確的（）

A.只有①②④B.只有①②④⑤C.①②③④⑤D.只有①②③

7.關(guān)于尤的一元二次方程(m-2)f+2x+l=0有實數(shù)根，則根的取值范圍是()

A.n7W3B.m<3C.加<3且D.且

8.某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每

次降價的百分率.設(shè)每次降價的百分率為無，下面所列的方程中正確的是()

A.560(1+x)2=315B.560(1-x)2=315

C.560(1-2x)2=315D.560(1-x2)=315

9.已知a、0是方程f-2x-4=0的兩個實數(shù)根，則。3+80+6的值為()

A.-1B.2C.22D.30

10.把方程xG+2)=5(%-2)化成一般式，則〃、b、。的值分別是()

A.1,-3,10B.1,7,-10C.1,-5,12D.1,3,2

二.填空題(共5小題)

11.已知m是關(guān)于％的方程x2-2x-3=0的一個根，則2川-4m=.

12.如果方程(x-1)(/-2x+。)=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍

是.

13.已知實數(shù)相，力滿足7〃-層=1,則代數(shù)式機(jī)2+2”2+4〃7_1的最小值等于.

14.如果恰好只有一個實數(shù)°是方程(必-9)/-21+1)x+l=0的根，貝蛛的值為.

a2—ab(a>￡>'),

?_.例如4*2,因為4>2,所以4*2=4-4X2

{ab—b"(aV6).

=8.若xi,X2是一元二次方程/-5x+6=0的兩個根，則無1*尤2=.

三.解答題(共5小題)

16.水果店張阿姨以每斤2元的價格購進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100

斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0」元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260

斤，張阿姨決定降價銷售.

(1)若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是斤(用含x的代數(shù)式表

示)；

(2)銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？

17.如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12/77的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材

料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個1根寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時,

豬舍面積為80/扇？

住房墻

I

1

l?n

18.如圖，A、B、C、。為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=6cm,動點P、。分別從點A、C同時出發(fā),

點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達(dá)8為止，點。以2cmls的速度向D移動.

(1)尸、。兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形P8CQ的面積為33cH2；

(2)P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點Q的距離是10cm.

19.等腰△ABC的直角邊AB=BC=10c〃z,點尸、。分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度

做直線運動，已知產(chǎn)沿射線A2運動，。沿邊BC的延長線運動，尸。與直線AC相交于點D設(shè)P點運

動時間為t,△PC。的面積為S.

(1)求出S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點尸運動幾秒時，S"C°=SDBC?

(3)作PELAC于點E,當(dāng)點P、。運動時，線段。E的長度是否改變？證明你的結(jié)論.

20.關(guān)于龍的一元二次方程(H3)x+2k+2=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程有一個根小于1,求左的取值范圍.

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之一元二次方程（2024年7月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.關(guān)于x的一元二次方程（a-1）/+x+/-1=0的一個根是0,則。的值為（）

1

A.1B.-1C.1或-1D.-

2

【考點】一元二次方程的解.

【專題】符號意識；應(yīng)用意識.

【答案】B

【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x=0代入方程，即可得到關(guān)于。的方程，再根據(jù)一元二次方程的定

義即可求解.

【解答】解:根據(jù)題意得：a2-1=0且a-1W0,

解得：a=-1.

故選：B.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，特別需要注意的條件是二次項系數(shù)不等于0.

2.若關(guān)于x的一元二次方程/-2x+幼+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則一次函數(shù)的大致圖象可

能是（）

【考點】根的判別式；一次函數(shù)的圖象.

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程x2-2無+奶+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，得到判別式大于0,求出kb的符

號，對各個圖象進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：：/-2x+奶+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

/.A=4-4（姑+1）>0,

解得kb<3

A.k>Q,b>Q,即姑>0,故A不正確;

B.k>0,b<Q,即姑<0,故8正確;

C.k<0,b<0,即姑>0,故C不正確;

D.k.<0,b—0,即姑=0,故。不正確;

故選：B.

【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式和一次函數(shù)的圖象，一元二次方程根的情況與判別式△

的關(guān)系：（1）A>0=方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）A=0o方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△<（）=

方程沒有實數(shù)根.

3.三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程12x+35=0的根，則該三角形的周長為（）

A.14B.12

C.12或14D.以上都不對

【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系.

【答案】B

【分析】易得方程的兩根，那么根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，排除不合題意的邊，進(jìn)而求得三角形周長即可.

【解答】解：解方程％2-12尤+35=0得：尤=5或x=7.

當(dāng)x=7時，3+4=7,不能組成三角形；

當(dāng)x=5時，3+4>5,三邊能夠組成三角形.

該三角形的周長為3+4+5=12,

故選：B.

【點評】本題主要考查三角形三邊關(guān)系，注意在求周長時一定要先判斷是否能構(gòu)成三角形.

4.若關(guān)于x的一元二次方程1）/+4x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上的取值范圍是（）

A.k<5B.k<5,且上C.kW5,且4D.k>5

【考點】根的判別式；一元二次方程的定義.

【答案】B

【分析】根據(jù)方程為一元二次方程且有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合一元二次方程的定義以及根的判別式

即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論.

【解答】解：二?關(guān)于x的一元二次方程（k-1）/+4尤+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

?代—1*°-1*0

,?(A>0'叫42—4(k-1)>0，

解得：％<5且左Wl.

故選：B.

【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于k的一元一次不等式

組.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)方程根的個數(shù)結(jié)合一元二次方程的定義以及

根的判別式得出不等式組是關(guān)鍵.

5.一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程/-7x+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是()

A.12B.9C.13D.12或9

【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì).

【答案】A

【分析】求出方程的解，即可得出三角形的邊長，再求出即可.

【解答】解：7尤+10=0,

(x-2)(x-5)=0,

x-2=0,x-5=0,

XI=2,X2~5，

①等腰三角形的三邊是2,2,5

V2+2<5,

???不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不符合題意；

②等腰三角形的三邊是2,5,5,此時符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長是2+5+5=12；

即等腰三角形的周長是12.

故選：A.

【點評】本題考查了等腰三角形性質(zhì)、解一元二次方程、三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用等知識，關(guān)鍵是求

出三角形的三邊長.

6.對于一元二次方程af+fer+cuO(〃#0),下列說法：

①若a+b+c=O,則b2-4ac①0；

②若方程〃/+c=0有兩個不相等的實根，則方程〃/+灰+。=0必有兩個不相等的實根；

③若c是方程a^+bx+c—Q的一個根，則一定有〃c+Z?+l=O成立；

22

④若xo是一元二次方程ox+Z?x+c=0的根，則爐—4ac=(2ax0+b)

⑤存在實數(shù)相、n使得〃/方十加計

其中正確的()

A.只有①②④B.只有①②④⑤C.①②③④⑤D.只有①②③

【考點】根的判別式.

【專題】壓軸題；判別式法；一元二次方程及應(yīng)用；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的

求根公式等對各選項分別討論，可得答案.

【解答】解：①若a+b+c=O,貝!Ix=1是方程辦的解，

由一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系可知A=廿-4ac^0,故①正確；

②..?方程ox2+c=0有兩個不相等的實根，

A=0-4ac>0f

-4ac>0,

22

則方程ax+bx+c=0的判別式△=b-4ac>0f

???方程af+Zzx+cnO必有兩個不相等的實根，故②正確；

③丁。是方程ax2+bx+c=0的一個根，

2

貝ac+bc+c=0f

.\c(〃c+/?+l)=0

若。=0,等式仍然成立，

但〃c+Z?+l=O不一定成立，故③不正確；

④若xo是一元二次方程cu?+bx+c=Q的根，

則由求根公式可得：

-b~l~Jb_4(zc_p,—b—Jb—4ac

xo=-----------或xo=-----5------

乙VV乙(X

2axo+b=，爐-4ac或2axo+b=—y/b2—4ac

22

'.b—4ac=(2ax0+b)

故④正確.

⑤令則存在實數(shù)機(jī)、n(mWn),am2+bm+c=air+bn+c；正確.

故選：B.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，牢固掌握二者的關(guān)系并靈活運用，是

解題的關(guān)鍵.

7.關(guān)于尤的一元二次方程(m-2)f+2x+l=0有實數(shù)根，則根的取值范圍是()

A.mW3B.m<3C.加<3且D.，wW3日nt聲2

【考點】根的判別式；一元二次方程的定義.

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程ajr+bx+c=OQWO)的根的判別式A=b2-4ac的意義得到m-2W0且4

20,即22-4X(,77-2)X1N0,然后解不等式組即可得到優(yōu)的取值范圍.

【解答】解：二.關(guān)于x的一元二次方程(m-2)/+2x+l=0有實數(shù)根，

2W0且△》(),即2?-4X(m-2)Xl20,

則4-4Cm-2)。0,

4-4〃計8'0,

-4機(jī)2-12,

解得：7WW3,

：.m的取值范圍是mW3且施W2.

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程辦2+bx+c=0(。=0)的根的判別式△=房-4ac：當(dāng)A>0,方程有

兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<(),方程沒有實數(shù)根.

8.某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，己知兩次降價的百分率相同，求每

次降價的百分率.設(shè)每次降價的百分率為x,下面所列的方程中正確的是()

A.560(1+x)2=315B.560(1-%)2=315

C.560(1-2x)2=315D.560(1-%2)=315

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】增長率問題.

【答案】B

【分析】設(shè)每次降價的百分率為X,根據(jù)降價后的價格=降價前的價格(1-降價的百分率)，則第一次

降價后的價格是560(1-x),第二次降價后的價格是560(1-%)2,據(jù)此即可列方程求解.

【解答】解：設(shè)每次降價的百分率為尤，由題意得：

560(1-%)2=315,

故選：B.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件,

這種價格問題主要解決價格變化前后的平衡關(guān)系，列出方程即可.

9.已知a、p是方程/-2x-4=0的兩個實數(shù)根，則a3+8p+6的值為()

A.-1B.2C.22D.30

【考點】一元二次方程的解.

【專題】計算題.

【答案】D

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a邛=2,由一元二次方程解的定義得到a?-2a-4=0,則a2=2a+4,

然后將其代入所求的代數(shù)式，并求值.

【解答】解：:a、0是方程/-2x-4=0的兩個實數(shù)根，

；.a+B=2,a2-2a-4=0,

.'.a2=2a+4

o?+8B+6=a?a2+8p+6

=a?(2a+4)+80+6

=2a2+4a+8p+6

=2(2a+4)+4(x+8p+6

=8a+80+14

=8(a+p)+14=30,

故選：D.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的解.解答本題時，利用根與系數(shù)得到a+B=2,a2-2a-4=0

是解題的關(guān)鍵.

10.把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，則a、b、c的值分別是()

A.1,-3,10B.1,7,-10C.1,-5,12D.1,3,2

【考點】一元二次方程的一般形式.

【專題】推理填空題；一元二次方程及應(yīng)用.

【答案】A

【分析】人Ac分別指的是一元二次方程的一般式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.

【解答】解：由方程x(x+2)=5(x-2),得

x2-3x+10=0,

：.a.b、c的值分別是1、-3、10；

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是：cur+bx+c=Q(a,b,c

是常數(shù)且。#0),在一般形式中ax2叫二次項，法叫一次項，c是常數(shù)項.其中a,b,c分別叫二次項

系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.

—.填空題(共5小題)

11.已知加是關(guān)于尤的方程/-2x-3=0的一個根，則2，/-4:〃=6.

【考點】一元二次方程的解.

【專題】推理填空題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)m是關(guān)于x的方程/-2%-3=0的一個根，通過變形可以得到2m2-4m值，本題得以解

決.

【解答】解：.根是關(guān)于x的方程/-Zx-3=0的一個根，

.,.m2-2m-3=0,

m2-2m—3,

2m2-4m=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

12.如果方程(x-1)(/-2x+2)=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)4的取值范圍是

3<%<4.

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系；根的判別式.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)原方程可得出：①x-1=0,②2=0;根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出②方程的X1+X2

和X1-X2的表達(dá)式，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出k的取值范圍.

【解答】解：由題意，得：x-1=0,J?-2x+7=0；

設(shè)--2%+彳=0的兩根分別是m、n(m三〃)；則加十〃=2,mn=-r；

m-n=J(m+n)2—4mn=A/4—k；

根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得：

m-n<.1<m+n,即A/4—k<1<2；

.*4-kVl,解得3〈仁4.

U-fc>0

【點評】此題主要考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系定理.

13.已知實數(shù)加，w滿足〃則代數(shù)式機(jī)?+2層+4機(jī)-1的最小值等于上.

【考點】配方法的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方.

【專題】壓軸題；整體思想.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】已知等式變形后代入原式，利用完全平方公式變形，根據(jù)完全平方式恒大于等于0,即可確定

出最小值.

【解答】解：-/=1,即"2=根-1,0,初三1,

原式=m2+2，W-2+4/n-l=m2+6/w+9-12—(m+3)2-12,

則代數(shù)式W+2〃2+4m-1的最小值等于(1+3)2-12=4.

故答案為：4.

【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

14.如果恰好只有一個實數(shù)a是方程(廬-9)/-2(KI)x+l=0的根，則/的值為±3或-5.

【考點】根的判別式.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況討論即可得到答案.

【解答】解：①當(dāng)原方程是一個一元一次方程時，方程只有一個實數(shù)根，

則1c-9=0,

解得k=±3,

②如果方程是一元二次方程時，則方程有兩個相等的實數(shù)根，

即A=廬-4ac=0,

即：4(H1)2-4(啟-9)=0

解得：k=-5.

故答案為±3或-5.

【點評】本題考查了根的判別式，同時還考查了分類討論思想，是一道好題.

a2—ab(a>b}

,,"—例如4*2,因為4>2,所以4*2=4o2-4X2

{ab—bz(a<D).

=8.若xi,X2是一元二次方程x2-5%+6=0的兩個根，則xi*%2=3或-3.

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【專題】壓軸題；新定義.

【答案】見試題解答內(nèi)容

c(a2—ab(a>b')

【分析】首先解方程廠-5尤+6=0,再根據(jù)a*b=[,求出xi*尤2的值即可.

[ab-b^{a<b).

【解答】解：：尤1,X2是一元二次方程f-5x+6=0的兩個根，

(%-3)(%-2)=0,

解得：尤=3或2,

①當(dāng)xi=3,X2=2時，XI*%2=32-3X2=3；

②當(dāng)xi=2,X2=3時，XI*X2=3X2-32=-3.

故答案為：3或-3.

【點評】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解決新問題，根據(jù)已知進(jìn)行分類

討論是解題關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.水果店張阿姨以每斤2元的價格購進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100

斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260

斤，張阿姨決定降價銷售.

(1)若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是(100+200X)斤(用含x的代數(shù)式表

示)；

(2)銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】銷售問題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)銷售量=原來銷售量+下降銷售量，據(jù)此列式即可；

(2)根據(jù)銷售量X每斤利潤=總利潤列出方程求解即可.

【解答】解：⑴將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是100+^x20=(100+200x)(斤)；

(2)根據(jù)題意得：(4-2-x)(100+200X)=300,

1

解得：了=2或彳=1,

11

當(dāng)x=宏時，銷售量是100+200Xi=200<260；

當(dāng)x=l時，銷售量是100+200=300（斤）.

:每天至少售出260斤，

**x=1.

答：張阿姨需將每斤的售價降低1元.

【點評】本題考查理解題意的能力，第一問關(guān)鍵求出每千克的利潤，求出總銷售量，從而利潤.第二問，

根據(jù)售價和銷售量的關(guān)系，以利潤作為等量關(guān)系列方程求解.

17.如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材

料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個1，"寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，

豬舍面積為80m2?

住房墻

I17

____[

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】幾何圖形問題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為X"?可以得出平行于墻的一邊的長為（25-2x+l）m.根據(jù)

矩形的面積公式建立方程求出其解就可以了.

【解答】解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為無機(jī)可以得出平行于墻的一邊的長為（25-2x+l）m,

由題意得

x（25-2x+l）=80,

化簡，得x2-13x+40=0,

解得：xi=5,X2=8,

當(dāng)x=5時，26-2x=16>12（舍去），當(dāng)x=8時，26-2x=10<12,

答：所圍矩形豬舍的長為10%、寬為8根.

【點評】本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，矩形的面積公式的運用及一元二次方程的解法

的運用，解答時尋找題目的等量關(guān)系是關(guān)鍵.

18.如圖，A、B、C、。為矩形的四個頂點，AB=l6cm,AD=6cm,動點P、。分別從點A、C同時出發(fā)，

點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達(dá)B為止，點。以2cw/s的速度向。移動.

（1）P>Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形P2C。的面積為33c”，；

(2)P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點。的距離是10cm.

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】幾何動點問題；壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)設(shè)P、。兩點從出發(fā)開始到尤秒時四邊形PBCQ的面積為33c:/,貝|尸8=(16-3x)cm,

1

QC=2xcm,根據(jù)梯形的面積公式可列方程：-(16-3x+2x)X6=33,解方程可得解；

(2)作垂足為E,設(shè)運動時間為t秒，用f表示線段長，用勾股定理列方程求解.

【解答】解：(1)設(shè)P、。兩點從出發(fā)開始到尤秒時四邊形P3CQ的面積為33cm2,

則尸8=(16-3x)cm,QC=2xcm,

根據(jù)梯形的面積公式得［(16-3無+2x)X6=33,

解之得尤=5,

(2)設(shè)P,。兩點從出發(fā)經(jīng)過/秒時，點P,。間的距離是10c%,

作QE_LAB,垂足為E,

則。E=AD=6,PQ=10,

'：PA=3t,CQ=BE=2t,

：.PE=AB-AP-BE=\16-5f|,

由勾股定理，得(16-5?)2+62=102,

解得〃=4.8,t2—1.6.

答：(1)尸、0兩點從出發(fā)開始到5秒時四邊形PBCQ的面積為33。后；

(2)從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時，點尸和點。的距離是lOcw

【點評】(1)主要用到了梯形的面積公式：S=l(上底+下底)X高；(2)作輔助線是關(guān)鍵，構(gòu)成直角

三角形后，用了勾股定理.

19.等腰△ABC的直角邊AB=BC=10c〃z,點P、。分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度

做直線運動，已知尸沿射線A8運動，。沿邊BC的延長線運動，P。與直線AC相交于點D設(shè)P點運

動時間為△PC。的面積為S.

(1)求出S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點P運動幾秒時，SAPCQ=SAABC?

(3)作PELAC于點￡,當(dāng)點P、。運動時，線段。E的長度是否改變？證明你的結(jié)論.

【考點】一元二次方程的應(yīng)用；全等三角形的應(yīng)用.

【專題】幾何動點問題；壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由題可以看出P沿A8向右運動，。沿向上運動，且速度都為Ics/s,S=^QCXPB,所以

求出0C、尸3與/的關(guān)系式就可得出S與f的關(guān)系，另外應(yīng)注意尸點的運動軌跡，它不僅在B點左側(cè)運

動，達(dá)到一定時間后會運動到右側(cè)，所以一些問題可能會有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時我們應(yīng)分條回答.

【解答】解：(1)當(dāng)t<10秒時，尸在線段A2上，此時C0=f,PB=10-t,

.,.S=xt(10-f)—(10/-z2),

當(dāng)會10秒時，P在線段A8得延長線上，止匕時CQ=f,PB=t-10,

：.S=^xt(r-10)=4(?-lOr).

(2)'：S^ABC^^AB-BC=50,

i

2

...當(dāng)tvio秒時,sApce=^(iot-t)=so,

整理得?-10f+100=0,此方程無解，

1

當(dāng)f>10秒時，S^PCQ=2(t2-10t)=50,

整理得尸-10-100=0,解得t=5±5有(舍去負(fù)值),

...當(dāng)點P運動5+5小秒時，SAPCQ^S^ABC.

(3)當(dāng)點P、。運動時，線段。E的長度不會改變.

證明：過。作QM_LAC,交直線AC于點

易證絲△QCM,

：.AE=PE=CM=QM=~t,

：.四邊形PEQM是平行四邊形，且OE是對角線EM的一半.

又,：EM=AC=：.DE=50

，當(dāng)點P、。運動時，線段。E的長度不會改變.

同理，當(dāng)點P在點3右側(cè)時，DE=5^2

綜上所述，當(dāng)點尸、。運動時，線段DE的長度不會改變.

B

【點評】做此類題應(yīng)首先找出未知量與已知量的對應(yīng)關(guān)系，利用已知量來表示未知量，許多問題就會迎

刃而解.

20.關(guān)于尤的一元二次方程/-(左+3)x+2A+2=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程有一個根小于1,求上的取值范圍.

【考點】根的判別式.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得△=(%-1)220,由此可證出方程總有兩個實數(shù)

根；

(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出尤1=2、琛=人1,根據(jù)方程有一根小于1,即可得出關(guān)

于左的一元一次不等式，解之即可得出發(fā)的取值范圍.

【解答】(1)證明：,在方程％2-(4+3)x+2A+2=0中，A=[-()t+3)]2-4XlX(2^+2)=^-2k+l

=(A:-1)22。，

，方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：,/x2-a+3)x+2k+2=(x-2)(x-z-l)=0,

??xi=2,X2~~k+1.

..?方程有一根小于1,

：.k+l<l,解得：k<0,

左的取值范圍為上<0.

【點評】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是:

(1)牢記“當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根"；(2)利用因式分解法解一元二次方程結(jié)合方程一根小于

1,找出關(guān)于人的一元一次不等式.

考點卡片

1.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有非負(fù)性.

任意一個數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的偶次方相加和為。時，則其中的每一項都必須等于①

2.一元二次方程的定義

(1)一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

(2)概念解析：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

(3)判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高

次數(shù)是2"；“二次項的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

3.一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一個關(guān)于尤的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式辦2+bx+c=0QW0).這種

形式叫一元二次方程的一般形式.

其中辦2叫做二次項，。叫做二次項系數(shù)；法叫做一次項；。叫做常數(shù)項.一次項系數(shù)。和常數(shù)項c可取任

意實數(shù)，二次項系數(shù)。是不等于。的實數(shù)，這是因為當(dāng)a=0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程

就不是一元二次方程了.

(2)要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式.

4.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解

也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這尤1,尤2是一元二次方程辦

的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

axi2+bxi+c=0(〃W0),ax22+Z?x2+c=0(aWO).

5.解一元二次方程?因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩

個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一

元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得

到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

6.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=//-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程取?+匕龍+c=0(a#0)的根與△=/-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)△>?時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當(dāng)△<0時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

7.根與系數(shù)的關(guān)系

(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：xi,無2是方程x2+°x+q=0的兩根時，xi+x2=~p,x\x2=q,反過

來可得P=-(X1+尤2),4=X1尤2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系

數(shù).

(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：尤1,X2是一元二次方程辦(aWO)的兩根時，xi+無2=

-X1X2-反過來也成立，即—=