人教版八年級數學上冊重難考點專題04角平分線的性質(知識串講+7大考點)特訓(原卷版+解析)

專題04角平分線的性質考點類型知識串講（一）角平分線的性質（1）概念：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。（2）角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；數學語言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB（二）角平分線的判定（1）判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．數學語言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP考點訓練考點1：尺規(guī)作圖——角平分線典例1：（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=120°．請用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點D，使得∠ADC=100°．（不寫作法，保留作圖痕跡）【變式1】（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BA延長線上一點，E為AC的中點．(1)利用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；①作∠DAC的平分線AP；②連接BE并延長交AP于點F．(2)猜想AF與BC位置和數量的關系，并說明理由．【變式2】（2023·廣東汕尾·校考二模）如圖，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A．．(1)作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(2)在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系，并證明你的結論．【變式3】（2022秋·福建南平·八年級福建省南平第一中學?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=70°,∠ACB=60°,∠ACB的平分線交AB于點D．(1)尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線BO交CD于點O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求∠BOD的度數．考點2：角平分線的性質應用——證明線段典例2：（2022秋·北京朝陽·八年級校考期中）如圖，在ΔABC中，∠C=90°，DE⊥AB，于點E，AD平分∠CAB，點F在AC上，BD=DF．求證：BE=FC【變式1】（2023秋·河南安陽·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC的兩條高BE、CD相交于點O，BD＝CE．(1)求證：BE＝CD；(2)判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．【變式2】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝12CD【變式3】（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點G．（1）求∠BGC的度數．（2）求證：GD＝GE．考點3：角平分線性質應用——和差關系典例3：（2022秋·河南安陽·八年級?？茧A段練習）如圖，點E是BC的中點，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分(1)DE平分∠ADC；(2)AD＝【變式1】（2023春·廣東廣州·七年級廣州市天河區(qū)匯景實驗學校?？计谥校┮阎?，如圖，∠ABC=∠ADC，BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3，求證：∠1+∠4=180°請根據條件進行推理，得出結論，并在括號內注明理由．證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知）∴∠1=12∠ABC∵∠ABC=∠ADC（_______________）∴∠1=∠2（等量代換）∵∠1=∠3（已知）∴∠2=∠_______．（_______________）∴AB//CD（_______________）∴∠1+∠4=180°（_______________）【變式2】（2023秋·四川南充·八年級四川省南充市白塔中學?？计谥校┤鐖D，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一點，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求證：AD＝CD＋AB．【變式3】（2022秋·全國·八年級專題練習）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．考點4：角平分線性質應用——面積問題典例4：（2023春·陜西西安·八年級西安行知中學校聯考期中）如圖，P為△ABC外角∠CBM,∠BCN的平分線的交點，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分別為D，E，F．(1)求證：PE=PF．(2)若四邊形ABPC的面積為20，且PD=4，求AB+AC的長．【變式1】（2023春·全國·八年級專題練習）已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B=180°．(1)若AB=12,AD=8，則AF=．(2)若△ABC的面積是24，△ADC的面積是16，則△BEC的面積等于．【變式2】（2023秋·吉林·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC=4，AB=14．回答問題：(1)P到AB的距離PD長為______，△PDB的周長為______；(2)求△APB的面積．【變式3】（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，△ABC的面積是84cm2，考點5：角平分線的判定典例5：（2023春·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，DE⊥AB交AB延長線于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．(1)求證：AD平分∠BAC；(2)直接寫出AB+AC與AE之間的數量關系．【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D，連接AD．求證：AD是∠BAC的外角平分線．【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．(1)求證：AE=CD；(2)求證：AE⊥CD；(3)連接BM，有以下兩個結論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有．【變式3】（2023秋·浙江溫州·九年級?？计谀┢叫兴倪呅蜛BCD中，E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且AE=CF．求證：考點6：角平分線性質與判定綜合典例6：（2022秋·山東日照·八年級校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，DE平分∠ADC，求證：AE是∠DAB的平分線.

【變式1】（2023春·全國·八年級專題練習）四邊形ABCD中，AB∥CD，DE平分(1)如圖1，若∠ABE=90°，E是BC的中點，求證：AE平分∠BAD；(2)如圖2，若AE平分∠BAD，求證：E是BC的中點；(3)在（2）的條件下，若AE=8，DE=6，求四邊形【變式2】（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平分∠BAD交BC于點M，M為(1)DM平分∠ADC；(2)AD=AB+CD．【變式3】（2022秋·重慶璧山·八年級校聯考期中）如圖，△ABC中，點D在邊AC延長線上，∠ACB=100°，∠BAC的平分線交BD于點E，過點E作EM⊥AD，垂足為M，且∠CEM=50°(1)求∠BCE的度數．(2)求證：BE平分∠CBF．考點7：角平分線性質的實際應用典例7：（2022秋·江蘇南京·八年級南京市竹山中學?？茧A段練習）已知：如圖公路AE、AF、BC兩兩相交．求作：加油站O，使得O到三條公路的距離相等．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【變式1】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）根據圖片回答下列問題．(1)如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．(2)如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求證：DB=DC．【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，已知△ABC．(1)請用尺規(guī)作圖．在△ABC內部找一點P，使得點P到AB、BC、AC的距離相等，（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡）；(2)若△ABC的周長為14cm，面積為212cm2，求點【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P．同步過關一、單選題1．（2022秋·全國·八年級期末）在△ABC內一點P到三邊的距離相等，則點P一定是△ABC（）A．三條角平分線的交點 B．三邊垂直平分線的交點C．三條高的交點 D．三條中線的交點2．（2023春·八年級課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）如圖，OC平分∠AOB，D是OC上一點，DE⊥OB于點E，若DE＝7，則點D到OA的距離為（

）A．7 B．11 C．14 D．214．（2023秋·福建南平·八年級?？计谥校┤鐖D，在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若CD＝9，則點D到斜邊AB的距離為（

）A．7 B．8 C．9 D．105．（2023秋·重慶涪陵·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若BD=5cm，則點D到邊AC的距離DE的長為（

A．4cm B．5cm C．5.5cm6．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC＝5，DE＝32，則△BCEA．3 B．154 C．4 D．7．（2023秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點P是△ABC內一點，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，則點P是△ABC（

）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高的交點 D．三條中線交點8．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，△ABC的面積為7，DE=2，AB=4，則AC的長是（）A．3 B．4 C．5 D．69．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，則∠ADE=（

）A．50° B．55° C．60° D．62.5°10．（2022秋·北京·八年級北京交通大學附屬中學?？计谥校┤鐖D，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為A．CM=CN B．OM=ON C．ON=CM D．∠MCO=∠NCO11．（2022·八年級單元測試）東湖高新區(qū)為打造成“向往之城”，正建設一批精品口袋公園．如圖，ΔABC是一個正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路AB、AC的距離相等，且使得SΔABH=SA．∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點B．∠BAC的角平分線與AB邊上中線的交點C．∠ABC的角平分線與AC邊上中線的交點D．∠ABC的角平分線與BC邊上中線的交點12．（2022秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，OP平分∠AOB，點E為OA上一點，OE＝4，點P到OB的距離是2，則△POE的面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．713．（2023秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）已知，如圖，OC是∠AOB內部的一條射線，P是射線OC上任意點，PD⊥OA，PE⊥OB，下列條件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分線的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50°，以下四個結論：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④點A在∠DOE的平分線上，其中結論正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．415．（2022秋·山東德州·八年級?？计谀┤鐖D，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、N．現有四個結論：①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°?其中結論正確的是（

）．（填寫結論的編號）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④二、填空題16．（2022秋·云南昆明·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E．若AC=5，DE=2，則AD的長為________．17．（2022·廣西貴港·統(tǒng)考三模）如圖，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于點E,若∠C=50°，則∠AED＝__________．18．（2022秋·江蘇連云港·八年級校考階段練習）已知：如圖，D是BC上一點，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若S△ABD=m，則S△ADC＝_____（用19．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，BO平分∠ABC,OD⊥BC于點D，點E為射線BA上一動點，若OD=5，則OE的最小值為_______．20．（2023秋·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,∠CAB的平分線AD交BC于點D．若AD=6，則點D到AB邊的距離是_______．21．（2022秋·內蒙古呼和浩特·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=3，則BC=________．

22．（2023春·全國·七年級專題練習）已知點A（?3+a,2a+9）在第二象限角平分線上，則a的值是___．23．（2023秋·湖北咸寧·八年級?？计谥校┤鐖D，點M是∠AOB平分線上一點，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OM＝3，如果P是OB上一動點，則線段MP的取值范圍是_____．24．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在x、y軸上分別截取OA、OB，使OA＝OB，再分別以點A、B為圓心，以大于12AB的長度為半徑畫弧，兩弧交于點C．若C的坐標為（3a，﹣a＋8），則a25．（2023春·八年級單元測試）如圖，△ABC與△BDE都為等邊三角形，連接AE與CD，延長AE交CD于點F，連接FB．給出下面四個結論：①AE=CD；②∠AFC=60°；③BF平分∠EBD；④FB平分∠EFD.其中所有正確結論的序號是__________．三、解答題26．（2023春·山西·七年級校聯考期末）如圖，已知△ABC的高AD，∠BAC的平分線AE，∠B=26°，∠AED=41°，求∠CAD的度數．27．（2023秋·八年級課時練習）如圖，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB=DC，求證：AD是∠BAC的平分線．28．（2023春·河北廊坊·八年級校考期末）校園的一角如圖所示，其中線段AB，BC，CD表示圍墻，圍墻內是學生的一個活動區(qū)域，小明想在圖中的活動區(qū)域中找到一點P，使得點P到三面圍墻的距離都相等．請在圖中找出點P．（用尺規(guī)作圖，不用寫作法，保留作圖痕跡）29．（2022秋·吉林·八年級?？计谥校┌褍蓚€同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖1所示方式疊合放置，得到如圖2的Rt△ABC和Rt△ABD，設M是AD與BC的交點，則這時MC的長度就等于點M到30．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點D,過點D作DE∥AB交AC(1)求證：AE=DE(2)若∠C=100°,∠B=40°,求∠AED的度數31．（2023春·廣西貴港·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求證：(1)CF=EB；(2)AB=AF+2BE．32．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）作∠BAC的平分線交BC于點D（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）在（1）的條件下，若CD=3，AB=10，則△ABD的面積為_________．33．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）AD是△ABC的角平分線，過點D作DE⊥AB于點E，且DE＝3，S△ABC＝20．（1）如圖1，若AB＝AC，求AC的長；（2）如圖2，若AB＝5，請直接寫出AC的長．34．（2022秋·八年級課時練習）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．35．（2022春·湖南長沙·七年級?？计谀?）如圖1，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度數；（2）如圖2，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=42°，①求∠CAB的度數；②求∠CAP的度數．

專題04角平分線的性質考點類型知識串講（一）角平分線的性質（1）概念：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。（2）角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；數學語言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB（二）角平分線的判定（1）判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．數學語言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP考點訓練考點1：尺規(guī)作圖——角平分線典例1：（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=120°．請用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點D，使得∠ADC=100°．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】∠BAD=∠ADC?∠B=100°?40°=60°，求得∠BAD=12∠BAC，故點D【詳解】解：∵∠BAD=∠ADC?∠B=100°?40°=60°∴∠BAD=∴點D是∠BAC的角平分線與BC的交點，如圖所示，作∠BAC的角平分線，與BC的交于點D，點D即為所求．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖作角平分線，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖方法是解題的關鍵，難點是分析所給條件證明點D在∠BAC的角平分線．【變式1】（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BA延長線上一點，E為AC的中點．(1)利用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；①作∠DAC的平分線AP；②連接BE并延長交AP于點F．(2)猜想AF與BC位置和數量的關系，并說明理由．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)AF∥BC且AF=BC；理由見解析【分析】（1）根據尺規(guī)作角平分線的方法按要求作圖即可；（2）求出∠FAE=∠C，利用ASA證明△AEF≌【詳解】（1）如圖①②（2）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，即∠C=1∵AF平分∠DAC，∴∠FAE=1∴∠FAE=∠C，又∵AE=CE，∠AEF=∠CEB，∴△AEF≌∴AF=BC．【點睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，角平分線定義，全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和步驟是解題的關鍵．【變式2】（2023·廣東汕尾·?？级＃┤鐖D，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A．．(1)作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(2)在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系，并證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)DE【分析】（1）利用基本作圖（作已知角的平分線）作∠BDC的平分線DE即可；（2）先根據角平分線的定義得出∠BDE=∠CDE，再利用三角形外角的性質得出∠BDC=∠A+∠ACD，結合∠ACD=∠A可得出∠BDE=∠A，最后利用平行線的判定即可得出【詳解】（1）解：如圖，DE為所作；；（2）解：DE∥理由如下：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠CDE，又∠BDC=∠A+∠ACD，∴∠BDE+∠CDE=∠A+∠ACD，∵∠ACD=∠A，∴∠BDE=∠A，∴DE∥【點睛】本題考查了基本作圖—作已知角的平分線，平行線的判定，三角形外角的性質，掌握平行線的判定是解題的關鍵.【變式3】（2022秋·福建南平·八年級福建省南平第一中學?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=70°,∠ACB=60°,∠ACB的平分線交AB于點D．(1)尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線BO交CD于點O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求∠BOD的度數．【答案】(1)見解析(2)55°【分析】（1）根據角平分線的作法即可作∠ABC的平分線BO交CD于點O；（2）根據內角和定理求出∠ABC，再根據角平分線定義求出∠OCB，∠OBC，再利用外角的性質求解．【詳解】（1）解：如圖，BO即為所求；（2）∵∠BAC=70°，∠ACB=60°，∴∠ABC=180°?70°?60°=50°，∵CD平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠OCB=12∠ACB=30°∴∠BOD=∠OCB+∠OBC=30°+25°=55°．【點睛】本題考查了作圖?基本作圖，三角形內角和定理和外角的性質，解決本題的關鍵是掌握角平分線的作法．考點2：角平分線的性質應用——證明線段典例2：（2022秋·北京朝陽·八年級?？计谥校┤鐖D，在ΔABC中，∠C=90°，DE⊥AB，于點E，AD平分∠CAB，點F在AC上，BD=DF．求證：BE=FC【答案】證明見詳解【分析】根據角平分線的性質可知DE=DC，再證明ΔDEB?ΔDCF【詳解】證明：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∠C=∠DEB=90°，∴在RtΔDEB和RtΔ∵DE=DCBD=DF∴ΔDEB?∴BE=FC．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質、角平分線的性質，根據角平分線的性質得出DE=DC是解答本題的關鍵．【變式1】（2023秋·河南安陽·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC的兩條高BE、CD相交于點O，BD＝CE．(1)求證：BE＝CD；(2)判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)點O在∠BAC的平分線上，理由見解析【分析】（1）由三角形的高得∠BEC=∠CDB=90°，由對頂角得∠BOD=∠COE，結合BD=CE，可證得ΔBOD?ΔCOE，從而得到OD=OE，OB=OC，則有OD+OC=OE+OB（2）連接AO，由三角形的高可得∠ADC=∠AEB=90°，結合（1）中的BE=CD，公共角∠BAE=∠CAD，可證得ΔADC?ΔAEB，從而得AD=AE，易證得Δ（1）證明：∵BE、CD是ΔABC的高，且相交于點O∴∠BEC=∠CDB=90°，在ΔBDO和ΔCEO中，∴Δ∴OD=OE，OB=OC，∴OD+OC=OE+OB，即CD=BE；（2）解：點O在∠BAC的平分線上，理由如下：連接AO，如圖所示：∵BE、CD是ΔABC的高，且相交于點O∴∠ADC=∠AEB=90°，∵由（1）得BE=CD，∴在ΔABE和ΔACD中，∴Δ∴AD=AE，∵由（1）得OD=OE，∴在ΔAOD和ΔAOE中，∴Δ∴∠DAO=∠EAO，∴點O在∠BAC的平分線上．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是結合圖形分析清楚題中的條件與圖中的條件，特別是圖中的公共角與公共邊．【變式2】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝12CD【答案】見解析【分析】分別延長BE、CA交于點F，首先結合題意推出△CFE≌△CBE，從而得到BE＝EF＝12BF，然后證明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD【詳解】證明：分別延長BE、CA交于點F，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．在△CFE與△CBE中，∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，∴BE＝EF＝12BF在△CFE與△CAD中，∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠F＝∠ADC．在△BFA與△CDA中，∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．∴BE＝12CD【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，理解角平分線的基本定義，熟練運用角平分線的性質構造輔助線，并且準確判定全等三角形是解題關鍵．【變式3】（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點G．（1）求∠BGC的度數．（2）求證：GD＝GE．【答案】（1）120°；（2）見解析【分析】（1）利用角平分線的定義，結合三角形內角和定理可得出∠GBC＋∠GCB，進一步求得∠BGC；（2）連接AG，過點G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分線的性質及逆定理可得GN＝GM＝GF，AG是∠CAB的平分線；在四邊形AMGN中，易得∠NGM＝180°?60°＝120°；在△BCG中，根據三角形內角和定理，可得∠CGB＝120°，即∠EGD＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，證明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得證GE＝GM．【詳解】解：（1）∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°?60°＝120°，∵∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點G，∴∠GBC＋∠GCB＝12∠ABC＋12∠ACB＝12（∠ABC∴∠BGC＝180°?（∠GBC＋∠GCB）＝120°；（2）連接AG，過點G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A＝60°，∴∠ACB＋∠ABC＝120°，∵CD，BE是角平分線，∴∠BCG＋∠CBG＝120°÷2＝60°，∴∠CGB＝∠EGD＝120°，∵G是∠ACB平分線上一點，∴GN＝GF，同理，GF＝GM，∴GN＝GM，∴AG是∠CAB的平分線，∴∠GAM＝∠GAN＝30°，∴∠NGM＝∠NGA＋∠AGM＝60°＋60°＝120°，∴∠EGD＝∠NGM＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，又∵GN＝GM，在Rt△EGN≌Rt△DGM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE＝GD．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質及角平分線的性質，作出輔助線構造三角形全等是解題的關鍵．考點3：角平分線性質應用——和差關系典例3：（2022秋·河南安陽·八年級校考階段練習）如圖，點E是BC的中點，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分(1)DE平分∠ADC；(2)AD＝【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由角平分線的性質得到EB＝EF，等量代換得到EF＝EC，利用（2）由（1）得出FD＝CD，利用HL證明Rt△AEF≌【詳解】（1）證明：如下圖，過E作EF⊥AD于F，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴EB＝∵點E是BC的中點，∴EB＝∴EF＝∵DC⊥BC，∴∠EFD＝在Rt△EFD和RtEF=ECED=ED∴Rt△EFD≌∴∠FDE＝∴DE平分∠ADC；（2）解：由（1）知，Rt△EFD≌∴FD＝在Rt△AEF和RtEF=EBAE=AE∴Rt△AEF≌∴AF＝∵AD＝∴AD＝【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質、角平分線的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理及作出合理的輔助線是解決問題的關鍵．【變式1】（2023春·廣東廣州·七年級廣州市天河區(qū)匯景實驗學校?？计谥校┮阎鐖D，∠ABC=∠ADC，BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3，求證：∠1+∠4=180°請根據條件進行推理，得出結論，并在括號內注明理由．證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知）∴∠1=12∠ABC∵∠ABC=∠ADC（_______________）∴∠1=∠2（等量代換）∵∠1=∠3（已知）∴∠2=∠_______．（_______________）∴AB//CD（_______________）∴∠1+∠4=180°（_______________）【答案】見解析【分析】首先根據角平分線定義可得∠1=12∠ABC，∠2=12【詳解】解：證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知），∴∠1=12∠ABC∵∠ABC=∠ADC（已知），∴∠1=∠2（等量代換），∵∠1=∠3（已知），∴∠2=∠3（等量代換），∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行），∴∠1+∠4=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．故答案為：角平分線的定義；已知；等量代換；3；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．【點睛】此題主要考查了平行線的判定和性質以及角平分線的性質，能靈活運用知識點進行推理是解此題的關鍵．【變式2】（2023秋·四川南充·八年級四川省南充市白塔中學校考期中）如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一點，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求證：AD＝CD＋AB．【答案】證明見解析【分析】過M作ME⊥AD于E，根據垂直定義和角平分線性質得出∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，根據全等三角形性質，推導得△MCD≌△MED，根據全等得出CD＝DE，同理得AE＝AB，即可得出答案．【詳解】如圖，過M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝EM，∴∠CDM=∠EDM∠C=∠DEM∴△MCD≌△MED（AAS），∴CD＝DE，∵∠BAM=∠EAM∴△ABM≌△AEM（AAS），∴AE＝AB，∴AD＝AE＋DE＝CD＋AB．【點睛】本題考查了角平分線、全等三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握角平分線、全等三角形的性質，從而完成求解．【變式3】（2022秋·全國·八年級專題練習）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．【答案】見詳解．【分析】根據PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再證Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．【詳解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，在Rt△MCD和Rt△NCE中，CD=CECM=CN∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），∴∠MCD=∠NCE，∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．【點睛】本題考查角平分線性質，三角形全等判定與性質，四邊形內角和，掌握角平分線性質，三角形全等判定與性質，四邊形內角和是解題關鍵．考點4：角平分線性質應用——面積問題典例4：（2023春·陜西西安·八年級西安行知中學校聯考期中）如圖，P為△ABC外角∠CBM,∠BCN的平分線的交點，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分別為D，E，F．(1)求證：PE=PF．(2)若四邊形ABPC的面積為20，且PD=4，求AB+AC的長．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）根據角平分線的性質得出PD=PE,PD=PF，即可證明結論；（2）連接AP，根據四邊形ABPC的面積為20，得出S△ABP+S△ACP=20，即1【詳解】（1）證明：∵P為∠CBM,∠BCN的平分線的交點，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，∴PD=PE,PD=PF，∴PE=PF．（2）解：如圖，連接AP，∵四邊形ABPC的面積為20，∴S△ABP∴12由（1）知PE=PF=PD=4，∴12即12∴2AB+AC∴AB+AC=10．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等．【變式1】（2023春·全國·八年級專題練習）已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B=180°．(1)若AB=12,AD=8，則AF=．(2)若△ABC的面積是24，△ADC的面積是16，則△BEC的面積等于．【答案】(1)10(2)4【分析】（1）利用角平分線的性質可得CE=CF,∠F=∠CEB=90°，根據等角的補角相等得∠B=∠CDF，利用AAS證出Rt△BCE≌Rt△DCF，求出DF=BE，證明Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF=AE，由（2）利用全等三角形的面積相等，設△BEC的面積為x，列出方程可得結果．【詳解】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°，∵∠ADC+∠B=180°,∠ADC+∠CDF=180°，∴∠B=∠CDF，在Rt△BCE與Rt∠B=∠CDF∠CEB=∠F∴Rt△BCE≌∴DF=BE，在Rt△ACE與RtCE=CFAC=AC∴Rt△ACE≌∴AF=AE，∴AB?AE=AF?AD=AB?AF，∴AB+AD=2AF，∵AB=12,AD=8，∴AF=10，故答案為：10．（2）∵Rt△BCE≌∴S△BCE設△BEC的面積為x，∵△ABC的面積是24，△ADC面積是16，∴24?x=16+x,，∴x=1即△BEC的面積等于4，故答案為：4．【點睛】本題考查了角平分線性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【變式2】（2023秋·吉林·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC=4，AB=14．回答問題：(1)P到AB的距離PD長為______，△PDB的周長為______；(2)求△APB的面積．【答案】(1)4，14(2)△APB的面積為28【分析】（1）根據角平分線的性質定理即可得出PD=PC，可得答案；先證明△PDA≌△PCA，得出AD=AC，再求出△PDB的周長為PB+PD+BD=PB+PC+BD=AC+BD=AD+BD=AB，可得答案；（2）由角平分線的性質可知，PD=PC=4，再根據三角形的面積公式計算即可．【詳解】（1）解：∵∠C=90°，AP平分∠BAC，∴PD=PC，∵PC=4，∴PD=4，∵∠PDA=∠PCA，PD=PC，AP=AP，∴△PDA≌△PCA，∴AD=AC，∴△PDB的周長為PB+PD+BD=PB+PC+BD=AC+BD=AD+BD=AB，∵AB=14，∴△PDB的周長為14；故答案為：4，14；（2）解：由角平分線的性質可知，PD=PC=4，S△PDB【點睛】本題考查角平分線的性質定理，全等三角形的判定與性質，掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．【變式3】（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，△ABC的面積是84cm2，【答案】DE=6【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據S△ABC【詳解】解：∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，∴DE=DF，∵S∴即12解得：DE=6，∴DE=6cm【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，三角形的面積，熟記性質并列出方程是解題的關鍵．考點5：角平分線的判定典例5：（2023春·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，DE⊥AB交AB延長線于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．(1)求證：AD平分∠BAC；(2)直接寫出AB+AC與AE之間的數量關系．【答案】(1)見解析(2)AB+AC=2AE【分析】（1）求出∠E=∠DFC=90°，根據全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD（2）根據全等三角形的性質得出AE=AF，再根據BE=CF，即可求出答案．【詳解】（1）解：證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△BED和RtBD=CDBE=CF∴Rt∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：AB+AC=2AE．理由如下：由（1）知AD平分∠BAC，∴DE=DF，在Rt△ADE和RtDE=DFAD=AD∴Rt∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB+AC=AE?BE+AF+CF=2AE．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，角平分線的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．【變式1】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D，連接AD．求證：AD是∠BAC的外角平分線．【答案】證明見解析【分析】作DE⊥BA交BA的延長線于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，根據角平分線的性質得到DE=DF，根據角平分線的判定定理證明結論．【詳解】證明：作DE⊥BA交BA的延長線于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，∵DB平分∠ABC、DC平分∠ACH，∴DE=DG，DF=DG，∴DE=DF，又DE⊥BA，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的外角平分線．【點睛】本題考查的是角平分線的性質和判定，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等、到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上是解題的關鍵．【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．(1)求證：AE=CD；(2)求證：AE⊥CD；(3)連接BM，有以下兩個結論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)②【分析】（1）根據SAS證明△ABE≌（2）根據△ABE≌△CBD，得出∠BAE=∠BCD，利用三角形內角和定理，求出（3）作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，根據全等三角形的性質，得出AE=CD，S△ABE=S【詳解】（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBD∴△ABE≌∴AE=CD．（2）證明：∵△ABE≌∴∠BAE=∠BCD，∵∠NMC=180°?∠BCD?∠CNM，∠ABC=180°?∠BAE?∠ANB，又∠CNM=∠ANB，∵∠ABC=90°，∴∠NMC=90°，∴AE⊥CD．（3）解：結論：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，如圖所示：∵△ABE≌∴AE=CD，S△ABE∴12∴BK=BJ，∵BK⊥AE，BJ⊥CD，∴BM平分∠AMD．不妨設①成立，則△CBM≌△EBM，則故答案為：②．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理的應用，角平分線的判定，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定和性質．【變式3】（2023秋·浙江溫州·九年級?？计谀┢叫兴倪呅蜛BCD中，E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且AE=CF．求證：【答案】見解析【分析】過D作DQ⊥AE，DG⊥CF，由S△ADE=12S?ABCD=S△DFC【詳解】證明：過D作DQ⊥AE，DG⊥CF，連接DF和DE，如圖所示：則S△ADE∴AE?DQ2又∵AE=FC，∴DQ=DG，∴PD為∠APC的角平分線，∴∠DPA=∠DPC（角平分線逆定理）．【點睛】本題考查平行四邊形和角平分線的性質，有一定的難度，解題的關鍵是準確作出輔助線，利用角平分線的性質進行證明．考點6：角平分線性質與判定綜合典例6：（2022秋·山東日照·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，DE平分∠ADC，求證：AE是∠DAB的平分線.

【答案】見解析【分析】先過點E作EH⊥AB于點H，反向延長EH交DC的延長線于點G，過點E作EF⊥AD于點F，由平行線的性質可知EG⊥AC，由于E是BC的中點，可得出△CGE≌△BHE，故GE=EH，再根據角平分線的性質可知EF=GE，故EF=EH，進而可得出結論．【詳解】解：過點E作EH⊥AB于點H，反向延長EH交DC的延長線于點G，過點E作EF⊥AD于點F，如圖所示：∵EH⊥AB，∴∠EHB=90°，∵AB∥CD，∴∠CGE=∠EHB=90°，∠GCE=∠B，∴EG⊥DC，∵點E是BC的中點，∴CE=BE，在△CGE與△BHE中∠GCE=∠BCE=EB∴△CGE≌△BHE，∴GE=EH，∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EG⊥DC，∴GE=EF，∵GE=EH，∴EF=EH，∴AE是∠DAB的平分線．【點睛】本題主要考查的是角平分線的判定和性質及全等三角形的判定與性質，平行線的性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．【變式1】（2023春·全國·八年級專題練習）四邊形ABCD中，AB∥CD，DE平分(1)如圖1，若∠ABE=90°，E是BC的中點，求證：AE平分∠BAD；(2)如圖2，若AE平分∠BAD，求證：E是BC的中點；(3)在（2）的條件下，若AE=8，DE=6，求四邊形【答案】(1)見解析(2)見解析(3)48【分析】（1）過點E作EF⊥AD，垂足為F．證明∠C=180°?∠B=90°，EF=EB，從而可得結論；（2）如圖2，延長DE,AB相交于點F．證明∠2=∠F，△AED≌△AEF(AAS)．可得DE=FE．再證明（3）證明S四邊形ABCD=【詳解】（1）證明：過點E作EF⊥AD，垂足為F．∵AB∥∴∠B+∠C=180°．又∵∠ABE=90°，∴∠C=180°?∠B=90°∴EC⊥DC,EB⊥AB∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥DA，∴EC=EF．∵E是BC的中點，∴EC=EB，∴EF=EB．又∵EF⊥AD,EB⊥AB，∴AE平分∠BAD．（2）證明：如圖2，延長DE,AB相交于點F．∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠1=∠2,∠3=∠4∵AB∥∴∠1=∠F．∴∠2=∠F．在△AED和△AEF中，∠2=∠F∴△AED≌△AEF(AAS∴DE=FE．在△DEC和△FEB中，∠1=∠F∴△DEC≌△FEB(ASA∴CE=BE．∴E是BC的中點．（3）解：由（2）得：△AED≌△AEF，∴∠AED=∠AEF,S∵∠AED+∠AEF=180°，∴∠AED=∠AEF=90°．∵△DEC≌△FEB，∴S△DECS===2S【點睛】本題考查的是角平分線的性質，平行線的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質定理與判定定理的應用，作出合適的輔助線，構建三角形全等是解本題的關鍵．【變式2】（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平分∠BAD交BC于點M，M為(1)DM平分∠ADC；(2)AD=AB+CD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）過點M作ME⊥AD于點E，由角平分線的性質得ME=MB，再證ME=MC，即可得出結論；（2）證Rt△AME≌Rt△AMB（HL），得【詳解】（1）如圖，過點M作ME⊥AD于點E，∵∠B=∠C=90°，∴MB⊥AB，MC⊥CD，∵AM平分∠DAB，MB⊥AB，ME⊥AD∴ME=MB，又∵M為BC的中點，∴MC=MB，∴ME=MC，∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴DM平分∠ADC；（2）在Rt△AME和RtME=MBAM=AM∴Rt△AME≌∴AE=AB，同理可證DC=DE，∵AD=AE+DE，∴AD=AB+C【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質和判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質以及角平分線的判定與性質是解題的關鍵．【變式3】（2022秋·重慶璧山·八年級校聯考期中）如圖，△ABC中，點D在邊AC延長線上，∠ACB=100°，∠BAC的平分線交BD于點E，過點E作EM⊥AD，垂足為M，且∠CEM=50°(1)求∠BCE的度數．(2)求證：BE平分∠CBF．【答案】(1)40°(2)見解析【分析】(1)先計算∠BCD=80°，再計算∠ECM=40°，根據∠BCE=∠BCD?∠ECM計算即可．(2)過點E作EH⊥BF,EN⊥BC，垂足分為H，N．證明EN=EH即可．【詳解】（1）因為∠ACB=100°，所以∠BCD=80°．因為EM⊥AD，垂足為M，且∠CEM=50°，所以∠ECM=40°，所以∠BCE=∠BCD?∠ECM=80°?40°=40°．（2）如圖，過點E作EH⊥BF,EN⊥BC，垂足分為H，N．因為∠BAC的平分線交BD于點E，過點E作EM⊥AD，所以EM=EH；因為∠ECM=∠BCE，所以EM=EN；所以EN=EH，所以BE平分∠CBF．【點睛】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余，角的平分線性質和判定，熟練掌握角的平分線性質和判定是解題的關鍵．考點7：角平分線性質的實際應用典例7：（2022秋·江蘇南京·八年級南京市竹山中學?？茧A段練習）已知：如圖公路AE、AF、BC兩兩相交．求作：加油站O，使得O到三條公路的距離相等．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】作圖見解析【分析】根據角平分線的性質及作法，即可作得．【詳解】解：作法如下：1．尺規(guī)作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意兩個角的角平分線，交點即為O12．尺規(guī)作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意兩個角的角平分線，交點即為O2證明：∵點O1是∠A與∠BCF∴點O1到公路AE、AF、BC∵點O2是∠A與∠ABC∴點O2到公路AE、AF、BC∴點O1、點O【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖—角平分線，角平分線的性質，熟練掌握和運用角平分線的作法及性質是解決本題的關鍵．【變式1】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）根據圖片回答下列問題．(1)如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．(2)如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求證：DB=DC．【答案】(1)=(2)見解析【分析】（1）根據題目挖掘條件證明△ACD≌△ABD即可（2）在AB邊上取點E，使AC=AE，證明△ACD≌△AED，利用全等對應角和∠ABD+∠ACD=180°得到∠DEB=∠B，從而推出結論（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°∴∠C=90°∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠BAD∵AD=AD∴△ACD≌△ABD（AAS）∴BD=CD（2）如圖②，在AB邊上取點E，使AC=AE∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD∵AD=AD，AC=AE∴△ACD≌△AED（SAS）∴DC=DE，∠AED=∠C∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°∴∠DEB=∠B∴DE=DB∴DB=DC【點睛】本題考查全等三角形的證明，以及角平分線常見輔助線；注意第二小題難點在于輔助線【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，已知△ABC．(1)請用尺規(guī)作圖．在△ABC內部找一點P，使得點P到AB、BC、AC的距離相等，（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡）；(2)若△ABC的周長為14cm，面積為212cm2，求點【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據題意作∠A,∠B的角平分線的交點P，即為所求；（2）根據（1）的結論，設點P到AC的距離為d，則12【詳解】（1）如圖，點P即為所求，（2）設點P到AC的距離為d，由（1）可知點P到AB、BC、AC的距離相等則S∴1解得：d=∴點P到AC的距離為3【點睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P．【答案】見解析【分析】作∠AOB的角平分線OD，OD與MN的交點到∠AOB的兩邊OA，OB的距離相等．【詳解】如圖所示：作∠AOB的平分線交MN于點P，點P即為該超市的位置．【點睛】此題主要考查了角平分線的作法，關鍵是掌握角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．同步過關一、單選題1．（2022秋·全國·八年級期末）在△ABC內一點P到三邊的距離相等，則點P一定是△ABC（）A．三條角平分線的交點 B．三邊垂直平分線的交點C．三條高的交點 D．三條中線的交點【答案】A【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等解答即可．【詳解】解：∵點P到△ABC的三邊的距離相等，∴點P應是△ABC三條角平分線的交點．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質；熟練掌握角的平分線的性質是解決問題的關鍵．2．（2023春·八年級課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】過D作DE⊥BC于E，根據角平分線的性質得出DE=AD=2，再根據三角形的面積公式求出答案即可．【詳解】解：過D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，對角線BD平分∠ABC，∴AD=DE，∵AD=2，∴DE=2，∵BC=4，∴SΔ故選B．【點睛】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質，能熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解此題的關鍵．3．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）如圖，OC平分∠AOB，D是OC上一點，DE⊥OB于點E，若DE＝7，則點D到OA的距離為（

）A．7 B．11 C．14 D．21【答案】A【分析】根據角平分線的性質即可求解．【詳解】解：如圖，過點D作DF⊥OA于點F，∵OC平分∠AOB，D為OC上一點，DE⊥OB于點E，DE＝7，∴DF=DE=7，即D到OA的距離等于7．故選：A．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．4．（2023秋·福建南平·八年級?？计谥校┤鐖D，在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若CD＝9，則點D到斜邊AB的距離為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】作DE⊥AB于E，根據角平分線的性質解答．【詳解】解：作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=9，故選：C．【點睛】本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．5．（2023秋·重慶涪陵·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若BD=5cm，則點D到邊AC的距離DE的長為（

A．4cm B．5cm C．5.5cm【答案】B【分析】利用角平分線的性質證得DE=BD=5cm【詳解】解：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，AD平分∠BAC，∴DE=BD=5cm即DE=BD=5cm故選：B．【點睛】本題考查角平分線的性質、點到直線的距離，熟練掌握角平分線的性質定理是解答的關鍵．6．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC＝5，DE＝32，則△BCEA．3 B．154 C．4 D．【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根據角平分線的性質定理得到EF=DE=32【詳解】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，∴EF＝DE＝32∴△BCE的面積＝12×BC×EF＝15故選B.【點睛】本題考查角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．7．（2023秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點P是△ABC內一點，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，則點P是△ABC（

）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高的交點 D．三條中線交點【答案】B【分析】根據角平分線性質的逆定理即可得出答案．【詳解】解：P到三條距離相等，即PD＝PE＝PF，連接PA、PB、PC，∵PD＝PE，∴PB是∠ABC的角平分線，同理PA、PC分別是∠BAC，∠ACB的角平分線，故P是△ABC角平分線交點，故選：B．【點睛】本題主要考查三角形角平分線的交點，掌握角平分線的性質的逆定理是解題的關鍵．8．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，△ABC的面積為7，DE=2，AB=4，則AC的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】作DF⊥AC于F，證明DF=DE=2，由面積可得12【詳解】解：作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=2，∴12∴12解得AC=3，故選：A．【點睛】本題考查的是角平分線的性質，三角形面積公式的應用，熟記角平分線的性質并靈活應用是解本題的關鍵．9．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，則∠ADE=（

）A．50° B．55° C．60° D．62.5°【答案】A【分析】由三角形的內角和定理可得∠BAC=90°，再利用角平分線的性質得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性質得出結果．【詳解】解：∵∠B=55°，∴∠BAC=180°?55°?35°=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∵∠ADC=∠B+∠BAD=55°+45°=100°，DE平分∴∠ADE=故選A．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理、角平分線的性質及三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形的內角和及三角形外角的性質．10．（2022秋·北京·八年級北京交通大學附屬中學?？计谥校┤鐖D，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為A．CM=CN B．OM=ON C．ON=CM D．∠MCO=∠NCO【答案】C【分析】根據角平分線的性質可得：CM=CN，然后證明△MOC≌△NOC，即可得出OM=ON，【詳解】解：∵∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，∴CM=CN，則A選項正確，不符合題意；∵∠CMO=∠CNO=90°,CM=CN,OC=OC，∴△MOC≌∴OM=ON，∠MCO=∠NCO，故B、D選項正確，不符合題意；不能得出ON=CM，故C選項錯誤，符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質定理是解本題的關鍵．11．（2022·八年級單元測試）東湖高新區(qū)為打造成“向往之城”，正建設一批精品口袋公園．如圖，ΔABC是一個正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路AB、AC的距離相等，且使得SΔABH=SA．∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點B．∠BAC的角平分線與AB邊上中線的交點C．∠ABC的角平分線與AC邊上中線的交點D．∠ABC的角平分線與BC邊上中線的交點【答案】A【分析】根據角平分線的性質定理可得點H在∠BAC的角平分線上，再根據三角形的中線性質可得ΔABE的面積=ΔBCE的面積，ΔAHE的面積=Δ【詳解】解：如圖：作∠BAC的平分線交BC于D，作AC的中線BE交AD于H，∵AD平分∠BAC，點H在AD上，∴點H到AB、AC的距離相等，∵BE是AC邊上的中線，∴ΔABE的面積=ΔBCE的面積，Δ∴ΔABE的面積?ΔAHE的面積=∴ΔABH的面積=∴涼亭H是∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點，故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握三角形的角平分線和中線的性質是解題的關鍵．12．（2022秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，OP平分∠AOB，點E為OA上一點，OE＝4，點P到OB的距離是2，則△POE的面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據角平分線的性質，求出距離也就是高為2，利用三角形面積公式即可求得．【詳解】∵OP平分∠AOB，點P到OB的距離是2，∴點P到OA的距離是2∴S△OEP故選：A【點睛】此題考查了角平分線的性質，如何求三角形面積，解題的關鍵是利用角平分線的性質求出距離（三角形高）．13．（2023秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）已知，如圖，OC是∠AOB內部的一條射線，P是射線OC上任意點，PD⊥OA，PE⊥OB，下列條件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分線的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據角平分線的性質、全等三角形的判定定理和性質定理判斷即可．【詳解】解：∵∠AOC＝∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分線，①符合題意；∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OC是∠AOB的角平分線，②符合題意；在Rt△POD和Rt△POE中，{OD=DE∴Rt△POD≌Rt△POE，∴∠AOC＝∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分線，③符合題意；∵∠DPO=∠EPO，PD⊥OA，PE⊥OB∴在△POD和△POE中，{∠DPO=∠EPO∴△POD≌△POE（AAS），∴∠AOC＝∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分線，④符合題意，故選：D．【點睛】本題考查的是角平分線的性質、全等三角形的判定與性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵；14．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50°，以下四個結論：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④點A在∠DOE的平分線上，其中結論正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據全等三角形的判定及角平分線的性質即可依次判斷．【詳解】∵∠DAB=∠CAE∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC∴∠DAC=∠EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正確；∵△ADC≌△ABE∴∠ADC=∠ABE設AB與CD交于G點，∵∠AGD=∠BGC∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正確；過點A作AF⊥CD于F點，過點A作AH⊥BE于H點，則AF、AH分別是△ADC與△ABE邊上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴點A在∠DOE的平分線上，④正確故選D．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知角平分線的性質與判定．15．（2022秋·山東德州·八年級?？计谀┤鐖D，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、N．現有四個結論：①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°?其中結論正確的是（

）．（填寫結論的編號）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】①過點P做PD⊥AC，根據AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再證明△PDC≌△PNC即可得出結論；②根據BP和CP都是角平分線，結合三角形內角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN?12∠ABC，再根據三角形外角性質，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)?12∠ABC=12∠BAC【詳解】解：①過點P作PD⊥AC，如圖，∵AP是∠MAC的平分線，PM⊥AE，∴PM=PD．∵BP是∠ABC的平分線，PN⊥BF，∴PM=PN，∴PD=PN．∵PC=PC，∴△PDC≌△PNC(HL∴∠PCD=∠PCN，故①正確；②∵BP和CP分別是∠ABC和∠ACN的角平分線，∴∠PBC=12∠ABC∵∠BPC=180°?∠PBC?∠PCB，∠PCB=180°?∠PCN，∴∠BPC=1∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，∴∠BPC=1③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易證△PMA≌△PDA(HL∴∠APC=1∵∠PMB=∠PNB=90°，四邊形內角和為360°，∴∠MPN=180°?∠ABC，∴∠APC=1④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，∴S△PDC=S∵S△APC∴S△APM綜上可知正確的有：①②③．故選C．【點睛】本題考查角平分線的定義和性質定理，三角形內角和定理，三角形外角的性質，全等三角形的判定與性質等知識．正確的作出輔助線構造全等三角形是解題關鍵．二、填空題16．（2022秋·云南昆明·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E．若AC=5，DE=2，則AD的長為________．【答案】3【分析】根據角平分線的性質求得DE=DC=2，則可求出AD的長度【詳解】解：∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，∠C=90°∴DE=DC=2∴AD=AC?DC=5?2=3故答案為：3【點睛】本題主要考查了角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊距離相等，解題的關鍵是熟知性質及對應的模型．17．（2022·廣西貴港·統(tǒng)考三模）如圖，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于點E,若∠C=50°，則∠AED＝__________．【答案】115°【分析】根據平行線性質求出∠CAB的度數，根據角平分線求出∠EAB的度數，根據平行線性質求出∠AED的度數即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝180°?50°＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝65°，∵AB∥CD，∴∠EAB＋∠AED＝180°，∴∠AED＝180°?65°＝115°，故答案為115°．【點睛】本題考查了角平分線的性質定理和平行線性質的應用.18．（2022秋·江蘇連云港·八年級校考階段練習）已知：如圖，D是BC上一點，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若S△ABD=m，則S△ADC＝_____（用【答案】45m【分析】過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，根據角平分線的性質定理可得DE=DF，從而得到SΔ【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∴S∵AB＝5，AC＝4，S△ABD∴SΔ∴SΔ故答案為：4【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，熟練掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．19．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，BO平分∠ABC,OD⊥BC于點D，點E為射線BA上一動點，若OD=5，則OE的最小值為_______．【答案】5【分析】根據角平分線的性質即可求出．【詳解】解：當OE⊥AB時，OE最小，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OD=5，∴OD=OE=5．故答案為：5．【點睛】本題主要考查角平分線的性質，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．20．（2023秋·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,∠CAB的平分線AD交BC于點D．若AD=6，則點D到AB邊的距離是_______．【答案】3【分析】過點D作DE⊥AB于點E，根據角平分線的性質定理，可得CD=DE，又由∠B=30°，可得∠CAD=30°，從而得到CD=1【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AD平分∠CAB，∠ACB=90°，∴CD=DE，∵∠B=30°，∴∠CAB=60°，∴∠CAD=30°，∵AD=6，∴CD=1∴DE=3，即點D到AB邊的距離是3．故答案為：3【點睛】本題主要考查了角平分線的性質定理，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．21．（2022秋·內蒙古呼和浩特·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=3，則BC=________．

【答案】3【分析】根據角平分線的性質即可求得CD的長，然后在直角△BDE中，根據30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BD長，則BC即可求得．【詳解】解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE=3，又∵直角△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=23，∴BC=CD+BD=3+23=33．故答案為：33．【點睛】本題考查了角平分線的性質，含30度角的直角三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．22．（2023春·全國·七年級專題練習）已知點A（?3+a,2a+9）在第二象限角平分線上，則a的值是___．【答案】-2【分析】根據點A在角平分線上可知，點A到兩個坐標的距離是相等的；第二象限的點，橫坐標