2024年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)押題預(yù)測(cè)《隱圓問(wèn)題》含答案解析

隱圓問(wèn)題3種模型通用的解題思路：隱圓一般有如下呈現(xiàn)方式：(1)段長(zhǎng)為半徑構(gòu)造輔助圓；(2)(3)點(diǎn)共圓。隱圓常與線段最值結(jié)合考查。類型1(2023?新城區(qū)校級(jí)三模)(1)1OA=OB=OCAB．C三點(diǎn)的圓．若∠AOB=70°∠ACB=?35°?．如圖，RtΔABC中，∠ABC=90°∠BCA=30°AB=2．(2)2．點(diǎn)P為ACAC沿BA方向平移2APC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)DEFBDFC的面積和∠BEA的大?。?3)如圖3AC邊沿BC方向平移a個(gè)單位至DFaDF上有一點(diǎn)Q∠BQA=45°且此時(shí)四邊形BADFBADF面積的最大值及平移距離a，(1)利用圓的定義知ABC(2)(3)D點(diǎn)能夠向右移動(dòng)的最大距離，求出四邊形的最大面積．(1)以O(shè)為圓心，OA1，∵∠AOB=70°，∴∠ACB=35°，故答案為35°．(2)連接PBPERtΔABC中，∠ABC=90°∠BCA=30°AB=2．∴AC=4∠BAC=60°BC=23．∵P為RtΔABC斜邊AC中點(diǎn)，1∴BP=AC=2，2線段AC平移到DF之后，AB=AD=PE=2BP=AE=2，∴四邊形ABPE為菱形，∵∠BAC=60°，∴∠BEA=30°，∵CF?BD∠ABC=90°，∴四邊形BDFC為直角梯形，1212∴S=(BD+CF)×BC=×6×23=63，(3)AB為斜邊在AB的右側(cè)作等腰直角三角形OABO為圓心，OA為半徑作⊙O，當(dāng)AC邊沿BC方向平移a個(gè)單位至DF時(shí)，滿足∠BQA=45°且此時(shí)四邊形BADF的面積最大，∴直線DF與⊙O相切于點(diǎn)Q，連接OQ交AD于G點(diǎn)O作OH⊥AD于H，則∠AHO=∠OHG=∠DQG=90°∠OAH=45°∠GDQ=30°，∵∠ABC=90°∠BCA=30°AB=2，∴BC=23OA=OB=OQ=2，33233∴AH=OH=1HG=OG=，233433∴GQ=2-DG=2GQ=22-，233433∴AD=AH+HG+GD=1+∴a=1+22-3，+22-=1+22-3，此時(shí)直角梯形ABFD的最大面積為：1212S=×(BF+AD)×AB=×(23+1+22-3+1+22-3)×2=42+2．2(2024?蘭州模擬)綜合與實(shí)踐ΔABC中，AB=AC∠BAC=90°D為平面內(nèi)一點(diǎn)(點(diǎn)ABD三點(diǎn)不共線)AE為ΔABD的中線．(1)如圖1AE至點(diǎn)MME=AEDM．始終存在以下兩個(gè)結(jié)①DM=AC∠MDA+∠DAB=180°；(2)如圖2AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AFCF．小斌同學(xué)沿著小林同學(xué)的思考進(jìn)12一步探究后發(fā)現(xiàn)：AE=CF(3)如圖3(2)D在以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)(AD>AB)線AE與直線CF相交于點(diǎn)GBGD的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中BG存在最大值．若AB=4BG的最大值．(1)利用SAS證明ΔABE?ΔMDEAB=DMAB=ACDM=AC等三角形性質(zhì)可得∠BAE=∠DME∠MDA+∠DAB=180°；(2)延長(zhǎng)AE至點(diǎn)MME=AEDM．利用SAS證得ΔACF?ΔDMACF=AM1212AE=AMAE=CF；(3)延長(zhǎng)DA至MAM=ADAM交CF于N接BM交CF于KAC中點(diǎn)P接GPΔACF?ΔABM(SAS)AE?BMAG?BM1212GP=AC=AB=2G在以P為圓心，2為半徑的⊙PBP并延長(zhǎng)交⊙P于G′，可得BG′的長(zhǎng)為BG(1)∵AE為ΔABD的中線，∴BE=DE，BE=DE在ΔABE和ΔMDE中，∠AEB=∠MED，AE=ME∴ΔABE?ΔMDE(SAS)，3∴AB=DM，∵AB=AC，∴DM=AC；②由①知ΔABE?ΔMDE，∴∠BAE=∠DME，∴AB?DM，∴∠MDA+∠DAB=180°；(2)AE至點(diǎn)MME=AEDM．由旋轉(zhuǎn)得：AF=AD∠DAF=90°，∵∠BAC=90°∠DAF+∠BAC+∠BAD+∠CAF=360°，∴∠BAD+∠CAF=180°，由(1)②得：∠MDA+∠DAB=180°DM=AB=AC，∴∠CAF=∠MDA，AF=AD在ΔACF和ΔDMA中，∠CAF=∠MDA，AC=DM∴ΔACF?ΔDMA(SAS)，∴CF=AM，1∵AE=AM，21∴AE=CF；2(3)如圖3DA至MAM=ADAM交CF于NBM交CF于KAC中點(diǎn)PGP，由旋轉(zhuǎn)得：AF=AD∠DAF=90°，∴AF=AM∠MAF=180°-90°=90°，∵∠BAC=90°，∴∠MAF+∠CAM=∠BAC+∠CAM，即∠CAF=∠BAM，AC=AB在ΔACF和ΔABM中，∠CAF=∠BAM，AF=AM∴ΔACF?ΔABM(SAS)，∴∠AFC=∠AMB∠AFN=∠KMN，∵∠ANF=∠KNM，∴∠FAN=∠MKN=90°，∴BM⊥CF，∵EA分別是DBDM的中點(diǎn)，∴AE是ΔBDM的中位線，∴AE?BMAG?BM，∴AG⊥CF，∴∠AGC=90°，∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，1212∴GP=AC=AB=2，4∴點(diǎn)G在以P為圓心，2為半徑的⊙P上運(yùn)動(dòng)，連接BP并延長(zhǎng)交⊙P于G′，∴BG′的長(zhǎng)為BG的最大值，在RtΔABP中，BP=AB+AP2=4+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值為25+2．323(2022?番禺區(qū)二模)已知拋物線y=ax+bx-(a>0)與x軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，，ABOA<OBAB=4．其頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)D在拋物線第一象限的圖象上，DE⊥AC垂足為EDF?y軸交直線AC于點(diǎn)FΔDEF面積等于4D的坐標(biāo)；(3)在(2)M是拋物線上的一點(diǎn)，M點(diǎn)從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)CFM⊥FN交直線BD于點(diǎn)N長(zhǎng)MF與線段DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)HP為NFHP經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)．(1)A和B(2)證明ΔCGA和ΔDEFDF=4AC的解析式為y=x-1DF(3)先求得∠BDF=45°P的運(yùn)動(dòng)路徑時(shí)HN的中點(diǎn)繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到NH的中點(diǎn)之間112DNFE(1)∵點(diǎn)AB兩點(diǎn)關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，AB=4，∴A(1,0)B(-3,0)，3a+b-=012a=322代入y=ax+bx-得，，329a-3b-=0b=11232∴拋物線的解析式為y=x+x-．(2)如圖1所示：∵DF?y軸?GC，∴∠GCA=∠DFE，123212∵拋物線的解析式為y=x+x-=(x+1)-2，∴頂點(diǎn)C(-1,-2)，∵A(1,0)，∴AG=2CG=2，∴ΔCGA為等腰直角三角形，∴∠GCA=∠DFE=45°，∵DE⊥AC，∴ΔDEF為等腰直角三角形，∴DE=EFDF=2DE，12∵S=DE?EF=4，∴DE=22，5∴DF=2×22=4，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+bk+b=0-k+b=-2k=1，b=-1∴直線AC的解析式為y=x-1，1232設(shè)點(diǎn)Dx,x+x-F(x,x-1)，1321212∴DF=x+x--(x-1)=x-=4，2解得：x=3或x=-3(舍)，∴D(3,6)F(3,2)．(3)如圖2所示，∵ΔNFH是直角三角形，∴ΔNFH的外心是斜邊NH的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B時(shí)，△NFHHN的中點(diǎn)，1111當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C△NFENHNE的中點(diǎn)，2222∵D(3,6)B(-3,0)，3+3∴tan∠BDF==1，6∴∠BDF=45°，由(2)得，∠FDE=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，∴BD?AC，∴FN⊥BD，∴DF平分∠BDE∠BDE=90°，∴點(diǎn)DNFH四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)P在線段DFP在N2EP的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條線段．∵∠DNF=∠NDH=∠DHF=90°FN=FE，222∴四邊形DNFE為正方形，此時(shí)點(diǎn)P在DFEP=2；當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)CP在DFPFP=EP=2，222由題意，BN=BD-DN=4BF=210NF=22FN?DH，22221∴ΔBFN∽△BHD，21BNBDBFBH1∴2=FH=10，∴FP=5，由勾股定理可得：PP=1，12即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為1．4(2021?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬)(1)61ΔABC中，AB=AC∠BAC=80°D是ΔABCAD=AC∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙ACD必在⊙A上，∠BAC是⊙A∠BDC是∠BDC=?40°?．(2)問(wèn)題解決：ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°∠BDC=25°∠BAC的度數(shù)．(3)問(wèn)題拓展：14拋物線y=-(x-1)2+3與軸交于點(diǎn)yABBC與軸交于點(diǎn)xCPPQ?BC交x軸于點(diǎn)QBQ．①若含45°CD在BQE在PQ上Q的坐標(biāo)；②若含30°角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)CD在BQE在PQD與點(diǎn)BQP的坐標(biāo)．(1)利用同弦所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半求解．(2)由ABCD∠BDC=∠BAC，(3)①DCQE∠CQB=∠OED=45°出CQQ的坐標(biāo)．②分兩種情況，Ⅰ、當(dāng)30°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，Ⅱ、當(dāng)60°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)CDC、QECQ即點(diǎn)PPP的坐標(biāo)．(1)∵AB=ACAD=AC，∴以點(diǎn)ABCD必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A∠BDC是圓周角，12∴∠BDC=∠BAC=40°，(2)如圖2，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴點(diǎn)ABCD共圓，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BDC=25°，∴∠BAC=25°，(3)①如圖314∵點(diǎn)B為拋物線y=-(x-1)+3的頂點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)，∵45°CD在BQE在PQ上，7∴點(diǎn)DCQE共圓，∴∠CQB=∠CED=45°，∴CQ=BC=3，∴OQ=4，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,0)，②如圖4，30°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，∵直角三角板30°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)CD在BQE在PQ上∴點(diǎn)DCQE共圓，∴∠CQB=∠CED=60°，33∴CQ=BC=3，∴OQ=1+3，1494∴把1+3代入y=-(x-1)+3得y=，94∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是1+3，5，當(dāng)60°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，∵直角三角板60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)CD在BQE在PQ上∴點(diǎn)DCQE共圓，∴∠CQB=∠CED=30°，∴CQ=3BC=33，∴OQ=1+33，14154∴把1+33代入y=-(x-1)+3得y=-，154∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是1+33-94154P的坐標(biāo)是1+3，或1+33-．類型5(2022?雁塔區(qū)校級(jí)三模)問(wèn)題提出(1)ΔABC為邊長(zhǎng)為2ΔABC的面積為?3?；8問(wèn)題探究(2)ΔABC∠BAC=120°BC=63ΔABC的最大面積；問(wèn)題解決(3)ABCDAB=20BC=24CD上安裝一臺(tái)攝像頭M面ABM出發(fā)的觀測(cè)角∠AMB=45°CD區(qū)域上是否存在點(diǎn)MMC(1)作AD⊥BC于DAD(2)作ΔABC的外接圓⊙OA在BCO⊥BC時(shí)，ΔABCH的長(zhǎng)，從而得出答案；(3)以ABABCD的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形AOB∠AOB=90°O作HG⊥AB于HCD于GOAOGO為圓心，OA為半徑的圓與CD相⊙O上存在點(diǎn)M足∠AMB=45°MM作MF⊥AB于F11EO⊥MF于EOFOE(1)作AD⊥BC于D，∵ΔABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴BD=1，∴AD=AB-BD2=3，12∴ΔABC的面積為×2×3=3，故答案為：3；(2)作ΔABC的外接圓⊙O，∵∠BAC=120°BC=63，∴點(diǎn)A在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O⊥BC時(shí)，的面積最大，ΔABC∴∠BOA=60°BH=CH=33，∴OH=3OB=6，∴H=OA-OH=6-3=3，912∴ΔABC的最大面積為×63×3=93；(3)ABABCD的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形AOB∠AOB=90°，過(guò)O作HG⊥AB于HCD于G，∵AB=20米，∴AH=OH=10米，OA=102米，∵BC=24米，∴OG=14米，∵102>14，∴以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，∴⊙O上存在點(diǎn)M∠AMB=45°M，過(guò)M作MF⊥AB于FEO⊥MF于EOF，111∴EF=OH=10米，OM=102米，∴EM=14米，∴OE=OM-ME2=2米，11∴CM=BF=8米，同理CM=BH+OE=10+2=12(米)，∴MC的長(zhǎng)度為8米或12米．6(2023?灞橋區(qū)校級(jí)模擬)問(wèn)題提出：(1)如圖①，ΔABC為等腰三角形，∠C=120°AC=BC=8D是ABCD平分ΔABCCD的長(zhǎng)度為4．10問(wèn)題探究：(2)如圖②，ΔABC中，∠C=120°AB=10ΔABC問(wèn)題解決：(3)如圖③，2023旁規(guī)劃一個(gè)四邊形花圃ABCDBC=600米，CD=300米，∠C=60°∠A=60°BC的中點(diǎn)M點(diǎn)(入口)修建一條徑直的通道ME(寬度忽略不計(jì))其中點(diǎn)E(出口)為四邊形ABCD邊上一點(diǎn)，通道ME把四邊形ABCD分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷休閑觀賞．問(wèn)是否存在滿足上述條件的通道MEA距出口的距離AE說(shuō)明理由．(1)由題意可知，CD是ΔABCCD⊥AB即可解決問(wèn)題；(2)當(dāng)ΔABC的AB邊上的高CDABCCD過(guò)圓心OAO．求出CD的最大值即可得出答案；(3)連接DMBD．首先證明∠BDC=90°出BDΔBDCABCD的ΔABDBD為定值，∠A為定角=60°ΔABD是等邊三角形ABCD∠MDE=90°(1)如圖①，∵CD平分ΔABC的面積，∴AD=DB，∵AC=BC=8，12∴CD⊥AB∠ACD=∠BCD=∠ACB=60°，∴CD=ACcos∠ACD=8cos60°=4，∴CD的長(zhǎng)度為4，故答案為：4；(2)存在．如圖②，∵AB=10∠ACB=120°都是定值，∴點(diǎn)C在ABC在AB的中點(diǎn)時(shí)，ΔABC的面積最大；1連接OC交AB于點(diǎn)DCD⊥ABAD=BD=AB=5，212∠ACD=∠ACB=60°，ADCDADtan60°533∴tan∠ACD=CD==，122533∴S=AB?CD=，2533答：ΔABC的面積最大值是；(3)DMBD，11∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，1∴CM=BC=300，2∴CM=CD，又∵∠C=60°，∴ΔCMD是等邊三角形，∴∠MDC=∠CMD=60°CM=DM=BM，∴∠CBD=∠MDB=30°，∴∠BDC=90°，∴BD=CD?tan60°=3003米，在ΔABD中，BD=3003米，∠A=60°為定值，由(2)可知當(dāng)AB=ADΔABD為等邊三角形時(shí)ΔABD的面積最大，此時(shí)也為四邊形ABCD的最大值(ΔBDC的面積不變)，1234S=SBDC+S=×300×3003+(3003)=1125003；∵ΔABD是等邊三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADM=∠ADB+∠BDM=90°，12由S+S=Smax：123412DE×300+×300=×1125003，解得：DE=2253，∴AE=AD-DE=3003-2253=753(米)，答A距出口的距離AE的長(zhǎng)為753米．7(2023?柯城區(qū)校級(jí)一模)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0)(5,0)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)使∠APB=30°的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)；(2)若點(diǎn)P在y∠APB=30°P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APBP∠APB最大的理由；12(1)已知點(diǎn)A點(diǎn)B∠APB=30°P在過(guò)點(diǎn)A點(diǎn)BAB所對(duì)的圓心角為60°P有無(wú)數(shù)個(gè)．(2)結(jié)合(1)P在yP是(1)中的圓與y理等邊三角形的性質(zhì)勾股定理等知識(shí)即可求出符合條件的點(diǎn)PP在y理可求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)∠APBA點(diǎn)B且與y∠APB最大的點(diǎn)P、三角形外角的性質(zhì)矩形的判定與性質(zhì)勾股定理等知識(shí)即可解決問(wèn)題．(1)以ABABC，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作⊙Cy軸于點(diǎn)PP．12在優(yōu)弧APB上任取一點(diǎn)P1，1212則∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)．(2)①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥ABG1．∵點(diǎn)A(1,0)B(5,0)，∴OA=1OB=5．∴AB=4．∵點(diǎn)C為圓心，CG⊥AB，12∴AG=BG=AB=2．∴OG=OA+AG=3．∵ΔABC是等邊三角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG=AC-AG2=4-22=23．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(323)．過(guò)點(diǎn)C作CD⊥yDCP2圖1，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(323)，∴CD=3OD=23．∵PP是⊙C與y軸的交點(diǎn)，12∴∠APB=∠APB=30°．12∵CP=CA=4CD=3，∴DP=4-32=7．∵點(diǎn)C為圓心，CD⊥PP，12∴PD=PD=7．12∴P(023-7)．P(023+7)．21②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得：P(0,-23-7)．P(0,-23+7)．3413P的坐標(biāo)有：(023-7)(023+7)(0,-23-7)(0,-23+7)．(3)當(dāng)過(guò)點(diǎn)AB的⊙E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大．2AE∠APB=∠AEH∠APB最大時(shí)，∠AEH最大．由sin∠AEH=AE最小即PE最小時(shí)，∠AEH最大．所以當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，∠APB最大．①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，連接EAEH⊥xH2．∵⊙E與y軸相切于點(diǎn)P，∴PE⊥OP．∵EH⊥ABOP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四邊形OPEH是矩形．∴OP=EHPE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°AH=2EA=3，∴EH=-AH2=3-22=5∴OP=5∴P(0,5)．②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得：P(0,-5)．理由：①若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，在y軸的正半軸上任取一點(diǎn)M(不與點(diǎn)P重合)，連接MAMB⊙E于點(diǎn)NNA2所示．∵∠ANB是ΔAMN的外角，∴∠ANB>∠AMB．∵∠APB=∠ANB，∴∠APB>∠AMB．②若點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，同理可證得：∠APB>∠AMB．P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5)和(0,-5)．鍵．類型148(2022?中原區(qū)校級(jí)模擬)(此線常稱為西姆松線)．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖(1)ΔABC內(nèi)接于⊙OP在⊙O上(不與點(diǎn)ABC重合)P分別作AB，BCACDEFDEF在同一條直線上．如下是他們的證明過(guò)程(不完整):如圖(1)PBPCDEEFPC的中點(diǎn)QQE．QF，12則EQ=FQ=PC=PQ=CQ(依據(jù)1)∵點(diǎn)EFPC四點(diǎn)共圓，∴∠FCP+∠FEP=180°．(依據(jù)2)又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP．同上可得點(diǎn)BDPE四點(diǎn)共圓，??任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②依據(jù)2指的是．(2)請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，BD=CF(2)證明該結(jié)論的正確性．(1)利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可；(2)利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明點(diǎn)EFPC和點(diǎn)BDPE∠FEP+∠DEP=180°(3)連接PAPBPCHL證明RtΔPBD?RtΔPCF(1)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，②依據(jù)2指的是圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，(2)(1)PBPCDEEFPC的中點(diǎn)QQE．QF，12則EQ=FQ=PC=PQ=CQ，15∴點(diǎn)EFPC四點(diǎn)共圓，∴∠FCP+∠FEP=180°，又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得點(diǎn)BDPE四點(diǎn)共圓，∴∠DBP=∠DEP，∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴點(diǎn)DEF在同一直線上；(3)PAPBPC，∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴BP=PC，∴BP=PC∠PAD=∠PAC，又∵PD⊥ADPF⊥AC，∴PD=PF，∴RtΔPBD?RtΔPCF(HL)，∴BD=CF．RtΔPBD?RtΔPCF是解題的關(guān)鍵．9(2021?哈爾濱模擬)(1問(wèn)題變得非常容易．1ΔABC中，AB=AC∠BAC=90°D是ΔABCAD=AC∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙ACD必在⊙A上，∠BAC是⊙A∠BDC是圓∠BDC=45°．(2如圖2ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°∠BDC=25°∠BAC的度數(shù)．(3如圖3，EF是正方形ABCD的邊ADAE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2DH長(zhǎng)度的最小值是(1)利用同弦所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半求解．(2)由ABCD∠BDC=∠BAC，．(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD∠BAD=∠CDA∠ADG=∠CDG邊角邊證明ΔABE和ΔDCF∠1=∠2用證明ΔADG和ΔCDG全等，16根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3∠1=∠3∠AHB=90°AB的中點(diǎn)O12接OHODOH=AB=1ODODH三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最?。?1)如圖1∵AB=ACAD=AC，∴以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓ABCD必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A∠BDC是圓周角，12∴∠BDC=∠BAC=45°，故答案為：45；(2)如圖2BD的中點(diǎn)O接AOCO．∵∠BAD=∠BCD=90°，∴點(diǎn)ABCD共圓，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BDC=25°，∴∠BAC=25°，(3)如圖3ABCD中，AB=AD=CD∠BAD=∠CDA∠ADG=∠CDG，在ΔABE和ΔDCF中，AB=CD∠BAD=∠CDA，AE=DF∴ΔABE?ΔDCF(SAS)，∴∠1=∠2，在ΔADG和ΔCDG中，AD=CD∠ADG=∠CDG，DG=DG∴ΔADG?ΔCDG(SAS)，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°-90°=90°，取AB的中點(diǎn)O接OHOD，12則OH=AO=AB=1，在RtΔAOD中，OD=AO+AD2=1+22=5，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH>OD，∴當(dāng)ODH三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，最小值=OD-OH=5-1．(H是在RtΔAHBAB直徑的半圓AB上運(yùn)動(dòng)當(dāng)OHD三點(diǎn)共線時(shí)，DH長(zhǎng)度最小)17故答案為：5-1．10(2022?潢川縣校級(jí)一模)如圖1B在直線lB構(gòu)建等腰直角三角形ABC∠BAC=90°AB=ACC作CD⊥直線l于點(diǎn)DAD．(1)小亮在研究這個(gè)圖形時(shí)發(fā)現(xiàn)，∠BAC=∠BDC=90°AD應(yīng)該在以BC∠ADB的度數(shù)為45°AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交直線l于點(diǎn)EADBDCD的數(shù)量關(guān)系為；(2