函數(shù)與方程-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

第八節(jié)函數(shù)與方程

課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)

從近三年高考情況來(lái)看，函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)個(gè)數(shù)的

1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的聯(lián)系，掌

判斷、由零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)(方程的根)是否存

握函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、圖象交點(diǎn)(橫

在、利用函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)確定參數(shù)的取值范圍等

坐標(biāo))三者之間的靈活轉(zhuǎn)化.

是考查的熱點(diǎn).本節(jié)內(nèi)容也可與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查，難度

2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)

較大.預(yù)計(jì)2025年高考函數(shù)與方程仍會(huì)出題，可能

用.

以選擇題或填空題考查三種形式的靈活轉(zhuǎn)化，也可能

3.會(huì)用二分法求方程的近似解.

與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查，難度較大.

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)y=/(x),我們把使以)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

2.方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

方程｛x)=0有實(shí)數(shù)解=函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).

3.函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有血出妙)<0,那么，

函數(shù)>=/(x)在區(qū)間(。，份內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c￡(a,b),使得｛c)=0,c也就是方程

?=0的解.

4.二分法

對(duì)于在區(qū)間［。，6］上連續(xù)不斷且應(yīng)1口)傷)<0的函數(shù)尸布),通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)

間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分

法.求方程負(fù)x)=0的近似解就是求函數(shù)y=/(x)零點(diǎn)的近似值.

常用

函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)技巧：

(1)若連續(xù)函數(shù)｛x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則外)至多有一個(gè)零點(diǎn).

(2)連續(xù)不斷的函數(shù)人x),其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).

(3)連續(xù)不斷的函數(shù)｛x)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).

(4)連續(xù)不斷的函數(shù)人x)在閉區(qū)間［a,切上有零點(diǎn)，不一定能推出八0次6)<0.

1

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診斷自測(cè)

1.概念辨析（正確的打“力，錯(cuò)誤的打“X”）

⑴函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn).（）

⑵連續(xù)函數(shù)y=#x）在區(qū)間（0,6）內(nèi)有零點(diǎn)，則加距）＜0.（）

⑶函數(shù)＞=/）為R上的單調(diào)函數(shù)，則大x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（）

（4）二次函數(shù)y=ax2+6x+c（aW0）,若尻-4的＜0,則於）無(wú)零點(diǎn).（）

答案（l）x（2）x（3）x（4）7

2.小題熱身

（1）（人教A必修第一冊(cè)4.5.1例1改編）已知函數(shù)於）=——+a的零點(diǎn)為1,則實(shí)數(shù)。的值為

3、+1

（）

A.—2B.—1

2

C.-D.2

2

答案B

⑵下列函數(shù)圖象與x軸都有公共點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（）

D

答案A

解析根據(jù)題意，利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件是函數(shù)在零點(diǎn)的左、右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相

反，即圖象穿過(guò)X軸，據(jù)此分析，知選項(xiàng)A中的函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn).故選A.

（3）（人教A必修第一冊(cè)習(xí)題4.5T2改編）已知函數(shù)歹=/3）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，部分

對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示，則該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為（）

X123456

—

y126.115.15-3.9216.7845.6-232.64

A.2B.3

C.4D.5

2

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答案B

解析由表可知，人2次3)<0,人3疚4)<0,次4求5)<0,所以函數(shù)人x)在區(qū)間口，6］上至少有3個(gè)

零點(diǎn).故選B.

(4)若函數(shù)4)=依+1在［1,2］上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.

一一1

答案1'2」

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

例1(1)(2024?湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高三月考)函數(shù)/(x)=5—2x—lg(2x+l)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是

()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案C

解析因?yàn)楹瘮?shù)")=5—2x—lg(2x+l)在(一2,+8)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)人x)最多只有一

個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)槿?洪1)=5(3一棺3)>0,/l)/(2)=(3-lg3)(l-lg5)>0,{2求3)=(1—1g5)(—1—

lg7)<0,A3)/(4)=(-l-lg7)x(-3-lg9)>0,所以函數(shù)於)=5—2x—lg(2x+l)的零點(diǎn)所在的

區(qū)間是(2,3).故選C.

(2)用二分法求函數(shù)/)=3工一工一4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下:

7(1.6000)-0.200次1.5875戶0.133次1.5750戶0.067

7(1.5625)-0.003火1.5562戶一0.029次1.5500戶一0.060

據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3x—x—4=0的一個(gè)近似解為(精確度為0.01).

答案1.56(答案不唯一,在［1.5562,1.5625］上即可)

解析注意到人1.5562戶一0.029和/(1.5625戶0.003,顯然人1.5562)/(1.5625)<0,又|1.5562—

1.5625|=0.0063<0.01,所以近似解可取1.56.

【通性通法】

確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口，可上的圖象是否連續(xù)，再看是否有

八0)/(6)<0.若有，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,6)內(nèi)必有零點(diǎn).

(2)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.

【鞏固遷移】

1.(2023?廣東梅州高三二模)用二分法求方程logu--=0的近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可

3

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以是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案B

解析令/(x)=k)g就-因?yàn)楹瘮?shù)y=log4X,y=―^在(0,+8)上都是增函數(shù)，所以函數(shù)

2x2x

/(x)=log4X—：在(0,+8)上是增函數(shù)，｛i)=—梟)，/(2)=k)g42—；=；-；=；>0,所以函數(shù)

/(x)=logM―在區(qū)間(1,2)上有唯一零點(diǎn)，所以用二分法求方程k)g4X—"^"=0的近似解時(shí)，

2x2x

所取的第一個(gè)區(qū)間可以是(1,2).故選B.

2.已知2<。<3<人<4,函數(shù)y=logaX與y=—x+b的交點(diǎn)為(xo,次)，且xo￡(〃，n+1),〃￡N*,

貝!Jn=.

答案2

解析依題意，X0為方程10gaX=—的解，即為函數(shù)7(X)=10gaX+x—6的零點(diǎn)，*.*

2<6Z<3<6<4,.\A%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又/(2)=loga2+2—X0,X3)=loga3+3-6>0,

Axoe(2,3),即〃=2.

考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

/-%

例2(1)已知函數(shù)/(x)="''則函數(shù)y=/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.

10g2(X—1),X>1,

答案2

解析當(dāng)xWl時(shí)，由於)=N—4=0,可得％=2(舍去)或x=—2；當(dāng)x>l時(shí)，由/(x)=k)g2a

—1)=0,可得x=2.綜上所述，函數(shù)y=/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

(2)方程111》+(：0次=；在(0,1)上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為.

答案1

解析解法一：lnx+cosx=l,即co&x-1=-Inx,在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函

33

數(shù)了=3?一；和y=-Inx的大致圖象，如圖所示，在(0,1)上兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

即方程lnx+cosx=；在(0,1)上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為1.

解法二：令兀r)=lnx+cosx—L則/(x)=l—sinx,顯然在(0,1)上/(x)>0,所以函數(shù)/(x)在(0,

3x

4

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1)上單調(diào)遞增，又ytej=ln-+cos-——1—-+cos-<0,Xl)=ln1+cosl--=0+cosl—

ee33e3

|>cos|-1=^-1>0,所以在(0,1)上函數(shù)八x)的圖象和x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程Inx

+cosx=；在(0,1)上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為1.

【通性通法】

求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法

(1)直接法：令人x)=0,方程有多少個(gè)解，則人功有多少個(gè)零點(diǎn).

(2)構(gòu)造函數(shù)法：判斷函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷.

(3)圖象法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，

此時(shí)需要根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)合理尋找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍.

【鞏固遷移】

N12xW0

3.(2024?江蘇無(wú)錫模擬)函數(shù)作)=-'''的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)________.

2x-6+lgx,x>0

答案2

解析當(dāng)xWO時(shí)，40=x2—2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，此時(shí)火X)單調(diào)遞減，零點(diǎn)為X=—

/；當(dāng)x>0時(shí)，Hx)=2x—6+lgx,：y=2x—6單調(diào)遞增，y=lgx單調(diào)遞增，.\/(x)=2x—6

+lgx單調(diào)遞增.{1)=—4<0,火3)=lg3>0,由零點(diǎn)存在定理知，在區(qū)間(1,3)必有唯一零點(diǎn).綜

上所述，函數(shù)人x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

4.函數(shù)危)葉=匕1一|log瀏的零點(diǎn)有______個(gè).

答案2

nilm

解析兀0=匕1—|logjx|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即匕Jw=|log2%］的根的個(gè)數(shù)，即為了=切與了=|log2X|

圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫(huà)出大致圖象如圖所示，則由圖象可知交點(diǎn)有2個(gè)，即函數(shù)人力的零點(diǎn)有2

個(gè).

考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用(多考向探究)

考向1利用零點(diǎn)比較大小

例3已知函數(shù)外)=3*+》，g(x)=log2x+x,/?(x)=x3+x的零點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c

的大小順序?yàn)?)

A.a<c<bB.a<b<c

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C.b<a<cD.b<c<a

答案A

解析解法一：因?yàn)楹瘮?shù)y=3ly=x均為R上的增函數(shù)，故函數(shù)40=3工+工為R上的增函

數(shù)，因?yàn)榘艘?)=；一1<0,大0)=1>0,所以一1<。<0.因?yàn)楹瘮?shù)y=log2X,y=x在(0,+°°)±

均為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)=log2x+x在(0,+8)上為增函數(shù)，因?yàn)間D=-g(l)=

1>0,所以!<6<1.由〃?=?2+1)=0可得c=0,因此°<c<6.故選A.

解法二：由題設(shè)，3。=一°,log26=-6,°3=—c,所以問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線>=-x與了=3工，

y=log2X,y=E(的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知a<c=0<6.故選A.

【通性通法】

(1)直接利用方程研究零點(diǎn).

(2)利用圖象交點(diǎn)研究零點(diǎn).

(3)利用零點(diǎn)存在定理研究零點(diǎn).

【鞏固遷移】

5.(2023?江西南昌模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=2x+x—4,g(x)=e"+x—4,〃(x)=lnx+x-4的零

點(diǎn)分別是a,b,c,則a,6,c的大小順序是()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.c<a<b

答案C

解析由已知條件得?r)的零點(diǎn)可以看成y=2”的圖象與直線y=4—x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，g(x)

的零點(diǎn)可以看成y=e"的圖象與直線y=4—x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，版(x)的零點(diǎn)可以看成y=\nx

的圖象與直線>=4—x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出函數(shù)y=e",y=lnx,

歹=4—x的圖象，如圖所示，由圖可知.故選C.

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考向2根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

G+])2

例4(2023?山東濟(jì)南高三三模)已知函數(shù)/(x)=-''若函數(shù)g(x)=/(x)—b有四個(gè)不

Jlgx|,x>0,

同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()

A.(0,1]B.[0,1]

C.(0,1)D.(1,+00)

答案A

解析依題意，函數(shù)g(x)=/(x)—6有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即以)=6有四個(gè)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=

｛與y=6的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)y=/(x)可知，當(dāng)xW(—8,—1]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，y

￡[0,+8)；當(dāng)xG(—1,0]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，yG(0,1]；當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

y￡(0,+8)；當(dāng)x￡[l,+8)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，y￡[0,+8).結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)6的

取值范圍為(0,1].故選A.

【通性通法】

根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過(guò)解不等式(組)確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)

合求解.一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=g(x),y=/z(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，

其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為y=ey=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

【鞏固遷移】

6.(2024?安徽蚌埠高三摸底)已知函數(shù)九x)=2N+N+a有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.1B.-1

C.0D.-2

答案B

7

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

解析函數(shù)加)=2網(wǎng)+N+。的定義域?yàn)镽,x)=2r%l+(—x)2+tz=/(x),即函數(shù)人乃為偶函

數(shù)，當(dāng)工三0時(shí)，人工)=2%+，+〃，則於)在［0,+8)上單調(diào)遞增，在(一8,0)上單調(diào)遞減，

則當(dāng)X=0時(shí)，/(X)min=Q+l，由函數(shù)4)=2國(guó)+%2+。有唯一的零點(diǎn)，得。+1=0,解得。=

-1,所以實(shí)數(shù)。的值為一1.故選B.

7.設(shè)a￡R,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記/(x)=min{|M—2,%2-^+3?-5}.若加)至少有3個(gè)零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案［10,+8)

解析設(shè)g(x)=%2—辦+3。一5,h(x)=\x\—2,由IR—2=0可得X=±2.要使得函數(shù)外)至少有

3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則/=〃—12Q+2020,解得QW2或。210.①當(dāng)Q

=2時(shí)，g(x)=N—2x+l,作出函數(shù)g(x),/z(x)的圖象如圖所示，此時(shí)函數(shù)?r)只有2個(gè)零點(diǎn)，

不符合題意；②當(dāng)。<2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的2個(gè)零點(diǎn)分別為Xl，X2(X\<X2),要使得函數(shù)加)至少

-<-2,

有3個(gè)零點(diǎn)，則MW—2,所以“2無(wú)解；③當(dāng)4=10時(shí)，g(x)=x2—10%

g(—2)=4+5〃-520,

+25,作出函數(shù)g(x),/z(x)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)人工)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,符合題意；

④當(dāng)。>10時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的2個(gè)零點(diǎn)分別為X3，X4(X3<X4),要使得函數(shù)人X)至少有3個(gè)零點(diǎn)，

則X322,可得,2解得a>4,所以。>10.綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［10,

g(2)=4+a—520,

+°0).

考向3根據(jù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)

例5已知函數(shù)人x)=log2(x+l)—I+正在區(qū)間(1,3］上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

X

5?上~~9'

答案L3J

解析由于函數(shù)歹=log2(x+l),歹=加一］在區(qū)間(1,3］上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(x)在(1,3］上

m<0,

單調(diào)遞增，由于函數(shù)五x)=log2(x+l)一1+加在區(qū)間(1,3］上有零點(diǎn)，則即

機(jī)+5三0,

X故3)20,

3

8

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解得一,WmO.因此實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是］一不J

3

【通性通法】

根據(jù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)的方法

(1)利用零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式(組)求解.

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.

(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的上下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式(組)求解.

【鞏固遷移】

8.(2024?湖北荊州中學(xué)高三月考)已知兀0是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)xW［0,3)時(shí)，

I工2—2.丫+1I

?r)=I2I,若函數(shù)y=/(x)—a

在區(qū)間［—3,4］上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案I2)

I——y—|——I1

解析作出函數(shù)外)=12I,xG［0,3)的圖象，可見(jiàn)｛0)=5，當(dāng)％=1時(shí)，小)極大值

=；,方程外)一。=0在［-3,4］上有10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)＞=/3)的圖象與直線在［-3,4］

Ir2—2x+-I

上有10個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)兀r)的周期為3,因此直線y=a與函數(shù)/(x)=I2I,xE［0,

3)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，則有J.

課時(shí)作業(yè)

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2024-江蘇揚(yáng)中第二高級(jí)中學(xué)高三期初檢測(cè))函數(shù)/)=21+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

()

A.(—2,—1)B.(—1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

答案B

9

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解析因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=2x+3x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，1）=^—3=—1<0,/（0）=1+0=1>0,

所以由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（一1,0）.故選B.

2.已知函數(shù)八%）=,'''則函數(shù)人x）的零點(diǎn)為（）

』+log2X,X>L

A.2B.12,0

c.-D.0

2

答案D

解析當(dāng)xWl時(shí)，令於）=2%—1=0,解得x=0；當(dāng)x>l時(shí)，令/（x）=l+log2X=0,解得x

=；（舍去）.綜上所述，函數(shù)/（X）的零點(diǎn)為0.故選D.

3.函數(shù)"）=鏟|111川一1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析令外）=則111%|—1=0,即|lnx尸e^,則函數(shù)/（x）=e11nx|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于兩個(gè)函

數(shù)〉=?二與y=|lnx|圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，y=er與y=|lnx|的圖象如圖所示，由圖可知，兩個(gè)函

數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)"）=Hlnx|—1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選B.

4.（2023?河南扶溝期末）若關(guān)于x的方程logx=」一在區(qū)間b力上有解，則實(shí)數(shù)%的取值

1—m

1

2

范圍是（）

A.IM

D.卜8,工①+8）

10

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答案B

解析尸logX在區(qū)間b孑上為減函數(shù)，貝|]1勺<2,即1T—<2,解得％<2故選B.

1-m23

1

2

5.已知三個(gè)函數(shù)加)=2廠1+丁一1,g(x)=e%-1—1,〃(x)=log2a—1)+X—1的零點(diǎn)依次為〃，

b,c,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

答案D

解析：函數(shù)4)=21+工-1為增函數(shù)，又義0)=2-i—1=一/0,火1)=1>0,."00,1),

由8(%)=廿一1一1=0，得X=1，即6=1,,.?/z(x)=log2(x—1)+%—1在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又〃0=1082^―1]+：—1=/z(2)=log2(2-1)+2-1=1>0,A|<C<2,，。泌,〃故選

D.

6.若方程"一%一加=0(加>0,且加W1)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)冽的取值范圍是()

A.(0,1)B.(2,+8)

C.(0,1)U(2,+8)D.(1,+8)

答案D

解析方程元一x—冽=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)歹=4與歹=%+機(jī)的圖象有兩個(gè)不

同的交點(diǎn)，當(dāng)機(jī)>1時(shí)，如圖1所示，由圖可知，當(dāng)機(jī)>1時(shí)，函數(shù)歹=“與歹=%+加的圖象

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)0<冽<1時(shí)，如圖2所示，由圖可知，當(dāng)0<冽<1時(shí)，函數(shù)》

=mx與y=x+m的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意.綜上所述，實(shí)數(shù)冽的取值范圍為(1,

+°°).故選D.

圖1圖2

6,%W0,

7.已知函數(shù)")=，''若函數(shù)g(x)=/(x)+x—機(jī)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)冽的取

1nx,x>0,

值范圍是()

A.[0,1]B.(-1,1)

C.[0,1)D.(—8,1]

答案D

11

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解析由題意，函數(shù)/(%)=?''當(dāng)'W0時(shí)，函數(shù)/[x)=e%為增函數(shù)，其中{0)=1,當(dāng)

Inx,x>0,

x>0時(shí)，函數(shù)/(x)=lnx為增函數(shù)，且人1)=0,又由函數(shù)g(x)=/(x)+x—冽恰有兩個(gè)不同的零

點(diǎn)，即為g(x)=O有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即>=/3)與y=-x+冽的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

如圖所示，當(dāng)>=-x+加恰好過(guò)點(diǎn)(1,0),(0,1)時(shí)，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合

圖象，要使得函數(shù)g(x)=/3)+x—掰恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)冽的取值范圍是(一8,1].故

選D.

|lgx|,0〈xW10,

8.已知函數(shù)4)=._1工+6若。，b,。均不相等，且人Q)=/3)=/(C),則仍c的取值

.2“''%>'10

范圍是()

A.(1,10)B.(5,6)

C.(10,12)D.(20,24)

答案C

解析函數(shù)加0的圖象如圖所示，不妨設(shè)則一lga=lgb=—；c+6￡(0,1),所以仍

=1,0<--c+6<l,所以必=1,10<c<12,所以10<〃兒<12.故選C.

2

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)歹=N—3%—4的零點(diǎn)是(4,0),(-1,0)

B.方程曠=3+x有兩個(gè)解

C.函數(shù)y=3Ly=log3X的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

D.用二分法求方程3%+3x—8=0在x￡(l,2)內(nèi)的近似解的過(guò)程中得到大1)<0,{1.5)>0,

/1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)上

答案BCD

解析對(duì)于A,令〉=N—3x—4=0,解得x=—1或％=4,所以函數(shù)〉=12—3x—4的零點(diǎn)是

12

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一1和4,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,分別作出夕=巴y=3+x的圖象，夕=d與y=3+x的圖象有

兩個(gè)交點(diǎn)，即方程e，=3+x有兩個(gè)解，故B正確；對(duì)于C,因?yàn)橥讛?shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函

數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以函數(shù)y=3ly=log3X的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故C正

確；對(duì)于D,因?yàn)?gt;=3葉3》一8單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理知，因?yàn)榘?)<0,/.5)>0,/(1.25)<0,

所以方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)上，故D正確.故選BCD.

10.若關(guān)于X的一兀二次方程(X—2)(x—3)=加有實(shí)數(shù)根Xl，X2,且X1<X2,則卜列結(jié)論正確的

是()

A.當(dāng)加=0時(shí)，Xi—2,X2—3

B.m>--

4

C.當(dāng)m>0時(shí)，2VxiVX2<3

D.二次函數(shù)y=(x-xi)(x—X2)+他的零點(diǎn)為2和3

答案ABD

解析對(duì)于A,易知當(dāng)〃?=0時(shí)，(x—2)(x—3)=0的根為2,3,故A正確；對(duì)于B,設(shè)y=(x

。-斗1]、

—2)(x—3)=x2—5X+6=L2」一【》一因?yàn)閥=(x—2)(x—3)的圖象與直線有兩個(gè)交

點(diǎn)，所以心一：,故B正確；對(duì)于C,當(dāng)加>0時(shí)，y=(x—2)(x—3)一加的圖象由y=(x—2)(x

—3)的圖象向下平移冽個(gè)單位長(zhǎng)度得到，XI〈2V3〈X2,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由(x—2)(x—3)=加

2—=

展開(kāi)得，x5x+6—m=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出％I+%2=5,xiX26—m,代入>=(%—

xi)(x_可得y=(x-xi)(x-X2)-\~m=(x-2)(%一3)一m-\~m=(x-2)(x-3),所以二次函數(shù)

?=。一處)(%—%2)+加的零點(diǎn)為2和3,故D正確.故選ABD.

11.已知函數(shù)外)=?''函數(shù)g(x)=/(x)—4,則下列結(jié)論正確的是()

—4x2+16x-13,

A.若g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則Q的取值范圍是[1，2)

B.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍是(0,1)

C.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)xi，X2,%3，X4(Xl<X2<X3<X4)f則％3+工4=4

D.若g(X)有4個(gè)不同的零點(diǎn)為，必X3，X4(X1<X2<X3<X4),則X#4的取值范圍是142)

答案BCD

解析令g(x)=/(x)—。=0,得/(X)=Q,所以g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)歹=加)與圖象的

13

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交點(diǎn)個(gè)數(shù)，故作出函數(shù)y=/(x)的圖象如圖，由圖可知，若g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取

值范圍是[1,2)U{0},故A錯(cuò)誤；若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍是(0,1),故

B正確；若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)Xl,X2,Xi,X4(X1<X2<X3<X4)>此時(shí)X3,X4關(guān)于直線X=2對(duì)

稱，所以冷+g=4,故C正確；由C項(xiàng)可知X3=4—X4,所以X3X4=(4—X4)X4=-x3+4x4,由

1Q

于g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，a的取值范圍是(0,1),故0<—4x3+16x4—13<1,所以一<-x?+

4

7

4X4</，故D正確.故選BCD.

2

三、填空題

12.已知函數(shù);(x)=log2(x—1)+。在區(qū)間(2,3)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

答案(T,0)

解析由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得以)為增函數(shù)，又函數(shù)/(x)在(2,3)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所

以人2次3)<0,即a(a+l)<0,解得一l<a<0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一1,0).

|3x—1|+1,x>0,1

13.已知函數(shù)加)=,''若函數(shù)>=/)-foe—1有加個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)y=/(x)一'

—x2—2x,xWO,k

一1有〃個(gè)零點(diǎn)，且%+〃=7,則非零實(shí)數(shù)人的取值范圍是.

答案[0,3_U[3,+8)

解析")的圖象與直線y=Ax+1和y=L+l共7個(gè)交點(diǎn)，外)的圖象如圖所示，所以①

k

—

解得0<七5%

93,

0<^<3,101

②.k解得《23.綜上，非零實(shí)數(shù)左的取值范圍是I'^U[3,+8).

后23,

14

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、Y----1

14.(2024?河北衡水中學(xué)高三月考)已知函數(shù)於)=---與g(x)=l—sin7Lx,則函數(shù)尸(x)=/(x)

x~2

一g(x)在區(qū)間［―2,6］內(nèi)所有零點(diǎn)的和為.

答案16

解析令尸(x)=/(x)—g(x)=0,得/(x)=g(x)，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)次x)=l

+」一與g(x)=l—simtx的圖象，如圖所示，又兀0，g(x)的圖象都關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，結(jié)合

x~2

圖象可知人x)與g(x)的圖象在［-2,6］上共有8個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即F(x)=Ax)—g(x)的零

點(diǎn)，由對(duì)稱性可得，所有零點(diǎn)的和為4x2x2=16.

,1

x-\--,x<0,

15.已知函數(shù)人x)=，%則方程曲))+3=0的解的個(gè)數(shù)為()

Inx,x>0,

A.3B.4

C.5D.6

答案C

x+Lx<0,I

解析已知函數(shù)外)=’X;?令人X)=—3,則當(dāng)x>0時(shí)，lnx=-3,解得％=下；當(dāng)

Inx,x>0,e

x<0時(shí),x+l=—3,解得x=E^6「."(/a))+3=0,即八/(x))=—3,則人x)=!或於)

x2ej2

由人工)=［，得lnx='，此方程只有一個(gè)根，：當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=x+lw—2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-

e3e3x

1時(shí)，等號(hào)成立，.\/(x)=—3：」僅在介0時(shí)有一個(gè)根，?x)=—3；后在XV。時(shí)有兩個(gè)根,

在x>0時(shí)有一個(gè)根.綜上，方程煩x))+3=0的解的個(gè)數(shù)為5.故選C.

|log-x|,0<x<4,

2

16.(多選)(2024?湖北荊州模擬)已知函數(shù)｛x)=’p磯若方程外)=加有四

4cos16“31，4W%W14,

個(gè)不等的實(shí)根Xl，X2,X3，X4，且X1—，則下列結(jié)論正確的是()

A.0<m<2B.xi%2=l

2

C.XU4E(48,55)D.xiX3^(l,5)

15

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

答案ACD

解析對(duì)于A,當(dāng)0<%<1時(shí)，logx>0,則小尸logx,易得八工)在(0,1)上單調(diào)遞減，且4)況1)

11

22

=0,當(dāng)lWx<4時(shí)，logxW0,則/(x)=-logx,易得益)在［1,4)上單調(diào)遞增，且次1)與危)勺(4),

11

2.2、

7171三x十四

當(dāng)4WxW14時(shí)，Xx)=4cosl6%%

即0《/3)<2,