人教版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-中心對(duì)稱（解析版）

第02講中心對(duì)稱

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握中心對(duì)稱及其中心對(duì)稱的性質(zhì)

①中心對(duì)稱及其性質(zhì)

2.能夠熟練的進(jìn)行中心對(duì)稱作圖

②中心對(duì)稱作圖

3.掌握中心對(duì)稱圖形的概念以及中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)

③中心對(duì)稱圖形

4.掌握點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，能夠熟練的

④關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

進(jìn)行坐標(biāo)的求解

思維導(dǎo)圖

中心對(duì)稱義

知識(shí)點(diǎn)01中心對(duì)稱的定義

i.中心對(duì)稱的定義:

如圖，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個(gè)圖

形完全重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，

這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心,這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對(duì)稱中心

的對(duì)稱點(diǎn)

即：AABC繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180°與△A，BC完全重合，則AABC與△A，B'C關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱，點(diǎn)0是對(duì)稱

中心，A與A，,B與⑶，C與。都是對(duì)稱點(diǎn)，

中心對(duì)稱指的是兩個(gè)全等的圖形的位置關(guān)系。

題型考點(diǎn)：①概念理解。

②中心對(duì)稱判斷。

【即學(xué)即練1】

1.下列說法中，正確的是（）

A.形狀和大小完全相同的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱

B.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形必重合

C.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀和大小完全相同

D.旋轉(zhuǎn)后能重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱

【解答】解：/、成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，形狀和大小完全相同，但形狀和大小完全相同的兩個(gè)圖形不一

定成中心對(duì)稱，故錯(cuò)誤；

成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能重合，但是繞中心旋轉(zhuǎn)180°后能重合，未旋轉(zhuǎn)時(shí)它們不是必須重合，故錯(cuò)

誤；

C、正確；

D、旋轉(zhuǎn)180°,能重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱，故錯(cuò)誤.

故選：C.

【即學(xué)即練2】

2.下列各組圖形中，△NEC1與△48C成中心對(duì)稱的是（）

【解答】解：/、是平移變換圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

8、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是旋轉(zhuǎn)變換圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)02中心對(duì)稱的性質(zhì)

1.中心對(duì)稱的性質(zhì)：

①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；即MBCgAAEC。

②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且

被對(duì)稱中心平分。

即：OA=OA',OB=OB',OC=OC,

③中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊平行或共線

題型考點(diǎn)：①性質(zhì)理解。

②利用性質(zhì)求值。

【即學(xué)即練1】

3.如圖，LABC與AA'B'C關(guān)于。成中心對(duì)稱，下列結(jié)論中不成立的是（）

A.OC=OC'B.OA^OA'

C.BC=B'CD./ABC=NA'CB'

【解答】解：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱中心平分，A,8正確；

成中心對(duì)稱圖形的兩個(gè)圖形是全等形，那么對(duì)應(yīng)線段相等，C正確.

故選：D.

【即學(xué)即練2】

4.如圖所示，B'C與AZ8C關(guān)干。成中心對(duì)稱，那么/。=O,BO=夕0,CO=C'

O,點(diǎn)、A、。與H三點(diǎn)在同一直線上,B、B'、O三點(diǎn)在同一直線上,C、C'、。三點(diǎn)

在同一直線上.

【解答】解：△/'B'C與△N8C關(guān)于。成中心對(duì)稱，那么/O=/'O,BO=B'O,CO=CO,

點(diǎn)/、。與⑷三點(diǎn)在同一直線上；

B、夕、O三點(diǎn)在同一直線上；

C、C'、O三點(diǎn)在同一直線上；

故答案為：A'O；B'O；CO-,A'；B、B'、O-,C、C、O.

【即學(xué)即練3】

5.如圖，已知點(diǎn)4與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，點(diǎn)3與點(diǎn)。也關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，若BC=3,OD=4.則N5的長(zhǎng)

可能是（）

A.3B.4C.7D.11

【解答】C解析：：點(diǎn)/與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，點(diǎn)8與點(diǎn)。也關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，

：.OB=OD=4,AD=BC=3,

,:BD-AD<AB<BD+AD,

：.5<AB<\\,

故選：C.

【即學(xué)即練4】

6.如圖，30是等腰三角形/2C的底邊中線，NC=2,48=4,△尸。C與△BOC關(guān)于點(diǎn)。中心對(duì)稱，連接

AP,則/P的長(zhǎng)是（）

A.4B.4&C.2V5D.276

【解答】解：???2。是等腰三角形的底邊中線，

：.AO=CO=^AC=\,

2

\B0=7AB2-A02=”了=V15，

,/△PQC與△BOC關(guān)于點(diǎn)C中心對(duì)稱，

：.CQ=CO=},ZQ=ZBOC=90°,PQ=BO=-f\^,

：.AQ=AO+CO+CQ=3,

=22

^PVAQ+PQ=Vs2+(^/l5)2=2氓.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)03中心對(duì)稱圖形

1.中心對(duì)稱圖形的定義:

一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與旋轉(zhuǎn)前完全重合，那么這個(gè)圖形

就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做圖形的對(duì)稱中心。

2.中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)：

性質(zhì)1：對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分。

性質(zhì)2：對(duì)應(yīng)線段平行或共線。

性質(zhì)3：對(duì)應(yīng)角相等。

性質(zhì)4：經(jīng)過對(duì)稱中心的直線把中心對(duì)稱圖形分成兩個(gè)全等的圖形。

特別提示：中心對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱不同，中心對(duì)稱是兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系，而中心對(duì)稱圖形是

指一個(gè)圖形自身的形狀特點(diǎn)，這點(diǎn)應(yīng)注意區(qū)分，它們性質(zhì)相同，應(yīng)用方法相同。

題型考點(diǎn)：①中心對(duì)稱圖形的判斷。

②利用中心圖形的性質(zhì)求值。

【即學(xué)即練11

7.一張薄紙，一雙巧手，在一剪一刻間幻化出千姿百態(tài)的美麗圖案，令人嘆為觀止，這就是剪紙藝術(shù).剪

紙作品形式多樣，以下剪紙作品中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：A,是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

3、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

C、既是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【即學(xué)即練2】

8.如圖是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，/為對(duì)稱中心，若NC=90°,Z5=30°,5。=2%，求BB'的長(zhǎng)為

8

【解答】解：?.?是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，/為對(duì)稱中心，

'.AB=AB',

VZC=90°,NB=30°,8c=2心

.\AB=4,

：.ABf=4,

：.BB'=8,

故答案為：8.

【即學(xué)即練3】

9.如圖，四邊形/BCD是菱形，。是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分.當(dāng)

菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8時(shí)，則陰影部分的面積為12.

【解答】解：???菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8,

二菱形的面積=工義6X8=24,

2

：。是菱形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，

...陰影部分的面積=工乂24=12.

2

故答案為：12.

【即學(xué)即練4】

10.如圖，所示，張家兄弟要平分這塊地，請(qǐng)你用一條直線把它分成面積相等的兩部分.（至少有兩種畫法）

【解答】解：分割法如圖所示:

知識(shí)點(diǎn)04中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形作圖

1.中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的作圖：

步驟：①確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)與對(duì)稱中心。

②連接關(guān)鍵點(diǎn)與對(duì)稱中心并延長(zhǎng)，使延長(zhǎng)的距離與關(guān)鍵點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離相等。

得到對(duì)稱點(diǎn)。

③按照原圖形連接各對(duì)稱點(diǎn)。

2.找圖形的對(duì)稱中心：

連接任意兩組對(duì)稱點(diǎn)得到兩條線段,這兩條線段的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心。

題型考點(diǎn)：①中心對(duì)稱圖形的判斷。

②利用中心圖形的性質(zhì)求值。

【即學(xué)即練1】

11.如圖所示，&4BC與A4'B'C關(guān)于點(diǎn)。中心對(duì)稱，但點(diǎn)。不慎被涂掉了，請(qǐng)你幫排版工人找到對(duì)

稱中心O的位置.

【解答】解：①連接CC',取線段CC'的中點(diǎn)，即為對(duì)稱中心O.

②連接、CC',兩線段相交于。點(diǎn)，則。點(diǎn)即為對(duì)稱中心.

【即學(xué)即練2】

12.如圖，已知四邊形N8CA和點(diǎn)P,畫四邊形480,使四邊形450。與四邊形N8CD關(guān)于點(diǎn)尸成中

心對(duì)稱.

D

A

知識(shí)點(diǎn)05關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

1.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)。

即若點(diǎn)Z（X],H）與點(diǎn)8（》2，乃）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有X]+叼=0，Vi+V2=0。

2.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)：

關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解。

題型考點(diǎn)：①利用對(duì)稱特點(diǎn)求點(diǎn)的坐標(biāo)以及求值。

【即學(xué)即練11

13.點(diǎn)（3,-2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（-3,2）B.（-3,-2）C.（3,2）D.（-2,3）

【解答】解：點(diǎn)（3,-2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,2）.

故選：A.

【即學(xué)即練2】

14.點(diǎn)-6）與點(diǎn)3（-3,1-6）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（a+6）2。23的值為7

【解答】解：由題意，得0-1+（-3）—0,-6+（1-6）—0,

解得，a=4,b=-5,

...（。+方）2023=（4-5）2023=_j

故答案為：-1.

題型精講

題型01中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形

【典例1】

第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年7月28日在成都開幕.下面四個(gè)高校?；罩黧w圖案是中心對(duì)稱

【解答】解：選項(xiàng)N、5、。的圖形都不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合,

所以不是中心對(duì)稱圖形.

選項(xiàng)。的圖形能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形.

故選：C.

【典例2】

中國(guó)“二十四節(jié)氣“已被正式列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別

代表“立春”、”谷雨”、”白露“、“大雪”，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：選項(xiàng)。能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中

心對(duì)稱圖形；

選項(xiàng)/、B,。均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以不是中

心對(duì)稱圖形，

故選：D.

【典例3】

數(shù)學(xué)中的對(duì)稱之美無處不在，下列是小明看到的他所在小區(qū)的垃圾桶上的四幅垃圾分類標(biāo)志圖案，如果不

考慮圖案下面的文字說明，那么這四幅圖案既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

八公

有害垃圾廚余垃圾

A.HazardousWasteB.FoodWaste

△

可回收物其他垃圾

RecyclableD.ResidualWaste

【解答】解：/、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

8、是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

■D、不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

故選：A.

【典例4】

2023年第31屆世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都舉行，吉祥物“蓉寶”深受網(wǎng)民喜愛，結(jié)合你所學(xué)知識(shí)，在下列四

個(gè)選項(xiàng)中，能夠和“蓉寶”（如圖）的圖片成中心對(duì)稱的是（）

【解答】解：A,不是中心對(duì)稱圖形，故此選不符合題意;

B,不是中心對(duì)稱圖形，故此選不符合題意；

C、是中心對(duì)稱圖形，故此選符合題意；

D,不是中心對(duì)稱圖形，故此選不符合題意.

故選：C.

【典例5】

下列四組圖形中，左邊的圖形與右邊的圖形成中心對(duì)稱的有（）

【解答】解：根據(jù)中心對(duì)稱的概念，知②③④都是中心對(duì)稱.

故選：C.

【典例6】

下列圖形中，點(diǎn)。是該圖形的對(duì)稱中心的是（）

【解答】解：由中心對(duì)稱圖形的定義，得到選項(xiàng)8中的圖形是中心對(duì)稱圖形，并且點(diǎn)。是該圖形的對(duì)稱

中心，故3符合題意；

選項(xiàng)N、C、。中的圖形不是中心對(duì)稱圖形，故4、C、。不符合題意.

故選：B.

題型02中心對(duì)稱的性質(zhì)

【典例1】

如圖,△N5C與△49。關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，下列結(jié)論中不成立的是（）

B./ACB=/A'B'C

C.點(diǎn)/的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)4D.BC//B'C

【解答】解：?.,△48C與aw夕。關(guān)于O成中心對(duì)稱,

：.OB=OB',點(diǎn)/的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)H,BC//B,C,

故N,C,。正確,

故選：B.

【典例2】

如圖，△ABC與△0EC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，AB=JG，AE=3,ZD=90°,則4C=1.

【解答】解：與△DEC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱,

C.AC^CD,DE=AB=y[^,

：/E=3,/。=90°,

"?AD=A/AE?-DE2=79-5=2,

'.AC=—AD=\,

2

故答案為：1.

【典例3】

則圖中陰影面積為（）

D.25

【解答】解：在矩形中，點(diǎn)。是各組三角形的對(duì)稱中心,

???S陰影=S空白$<10X4=20，

故選：A.

【典例4】

如圖，正方形A8CD和正方形EFG/Z的對(duì)稱中心都是點(diǎn)O,其邊長(zhǎng)分別是3和2,則圖中陰影部分的面積

是（）

A.&B.1.25C.1.5D.無法確定

【解答】解：連接NRBG,

:正方形的邊長(zhǎng)分別為3和2,

,面積分別為9和4,

:正方形/BCD和正方形所G77的對(duì)稱中心都是點(diǎn)。，

；.S陰影=工（9-4）=1.25.

4

故選：B.

【典例5】

如圖，在菱形N3CD中，AB=2,ZA=120°,過菱形48。的對(duì)稱中心。分別作邊8C的垂線，交

各邊于點(diǎn)E,F,G,H,則四邊形昉G”的周長(zhǎng)為（）

A.3+73B.2+273c.2+73D.1+V3

【解答】解：連接8￡>,AC,

:四邊形/BCD是菱形，ZA=l20a,

；.AB=BC=CD=AD=2,NBAO=/DAO=60°,BD±AC,

：.ZABO^ZCBO^30°,

OA-|AB=I,0B=VAB2-0A2=V3>

"：OELAB,OFLBC,

:.NBEO=/BFO=90°,

在RtZk08E中，0E^~~QB=^>BE=VOB2-OE2=^->

在△8EO和△HTO中，

'/BEO/BFO

?ZEB0=ZFB0>

,B0=B0

:.△BEO妾△BFOCAAS),

：.OE=OF,BE=BF,

?:NEBF=6Q°,

...△8斯是等邊三角形，

?■?EF=BE=V3X除母

同法可證，ADGH,△EO”,△。尸G都是等邊三角形，

2A/Q

???EF=GH或，EH=FG=0E=2J->

二四邊形EFGH的周長(zhǎng)為EF+FGH；H+HE=3W^.

故選：A.

【典例6】

如圖，把正方形/BCD繞著它的對(duì)稱中心O沿著逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到正方形HB'CD',A1B'和

B'C分別交于點(diǎn)E,F,在正方形旋轉(zhuǎn)過程中，NEO尸的大?。?/p>

A.隨著旋轉(zhuǎn)角度的增大而增大

B.隨著旋轉(zhuǎn)角度的增大而減小

C.不變，都是60°

D.不變，都是45°

【解答】解：如圖所示，連接/O,BO,A'O,AB',

..?正方形/BCD繞著它的對(duì)稱中心。沿著逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到正方形B'C'D

：.AO=B'O,

：.ZOAB'=ZOB'A,

又，：NOAE=/OB，E=45°,

NEAB'=NEB，A,

：.AE=B'E,

又,：EO=EO,

.,.^AOE^AB'OE(SSS),

ZAOE=ZB'OE.

同理可得，ZBOF=AB'OF,

：.ZEOF=ZB'OE+ZB'OF^-ZAOB^l-x90°=45°.

22

...在正方形旋轉(zhuǎn)過程中，/EOF的大小不變，是45°.

故選：D.

題型03關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)

【典例1】

點(diǎn)P(-2,5)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.P\(2,-5)B.P\(2,5)C.Pi(-2,-5)D.Pi(5,-2)

【解答】解：點(diǎn)尸(-2,5)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,-5).

故選：A.

【典例2】

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(〃+5,4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(-3,-b),則必的值為()

A.8B.-8C.32D.-32

【解答】解：?：點(diǎn)(。+5,4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(-3,-b),

.?.a+5=3,b=4,

??a-2,

ab=(-2)X4=-8.

故選：B.

【典例3】

已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/("7-3,1-7”)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)位于第一象限，則加的取值范圍

是()

A.m>-1B.m<\C.1<777<3D.m<3

【解答】解：:?點(diǎn)/(m-3,1-m)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)位于第一象限，

...點(diǎn)4在第三象限，由第三象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為負(fù)數(shù)，

.(m-3<0

解得：

故選：C.

【典例4】

若點(diǎn)P(m,1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。(-2,n),那么％+〃=.

【解答】解：；點(diǎn)尸Cm,1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是。(-2,〃)

??YYI~~2,n~1,

m+n—2-1=1.

故答案為：1.

【典例5】

已知：點(diǎn)/(a+b,3a-b)與點(diǎn)8(-2,6)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(1)分別求a,b的值；

(2)求點(diǎn)/關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）求點(diǎn)3關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：（1）:點(diǎn)/（a+b,3a-b）與點(diǎn)、B（-2,6）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

.[a+b=2

13a-b=-6

解得卜7,

lb=3

.'.a=-1,b=3；

（2）由（1）得，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,-6）,

...點(diǎn)/關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)（2,6）；

（3）點(diǎn)3關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,-6）.

題型04幾何變換類型

【典例1】

點(diǎn)（4,3）經(jīng)過某種圖形變換后得到點(diǎn)3（4,-3）,這種圖形變換可以是（）

A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱

C.繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°D.繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

【解答】解：：點(diǎn)（4,3）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,-3）,

...點(diǎn)（4,3）經(jīng)過某種圖形變換后得到點(diǎn)8（4,-3）,這種圖形變換可以是關(guān)于x軸對(duì)稱,

故選：A.

【典例2】

觀察圖，依次幾何變換順序正確的是（）

A.軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移B.旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、平移

C.軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)D.平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)

【解答】解：依次幾何變換順序是軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn),

故選：C.

【典例3】

已知，在平面直角坐標(biāo)系中，M（2,2）,規(guī)定“把點(diǎn)M先關(guān)于x軸對(duì)稱，再向左平移1個(gè)單位”為一次變

換.那么連續(xù)經(jīng)過2022次這種變換后，點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)椋ǎ?/p>

A.(-2018,-2)B.(-2020,2)C.(-2019,2)D.(-2021,-2)

【解答】解：由題可得，第2022次變換后的點(diǎn)M在x軸上方，

...點(diǎn)〃■的縱坐標(biāo)為2,橫坐標(biāo)為2-2022X1=-2020,

...點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)椋?2020,2）,

故選：B.

【典例4】

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（x,y）經(jīng)過某種變換后得到點(diǎn)P（-y+1,x+2）,我們把點(diǎn)尸（-y+1,x+2）

叫做點(diǎn)尸（X,了）的終結(jié)點(diǎn)，已知點(diǎn)尸1的終結(jié)點(diǎn)為P2,點(diǎn)尸2的終結(jié)點(diǎn)為「3，點(diǎn)尸3的終結(jié)點(diǎn)為「4,這

樣由尸1依次得到P2,尸3,尸4…“-pn,若點(diǎn)尸1的坐標(biāo)為（2,0）,則點(diǎn)尸2023的坐標(biāo)為（）

A.（2,0）B.（-2,-1）C.（-3,3）D.（1,4）

【解答】解：根據(jù)題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,0）,則點(diǎn)尸2的坐標(biāo)為（1,4）,點(diǎn)尸3的坐標(biāo)為（-3,3）,

點(diǎn)尸4的坐標(biāo)為（-2,-1）,點(diǎn)尸5的坐標(biāo)為（2,0）,-??,

而2023=4X505+3,

所以點(diǎn)尸2023的坐標(biāo)與點(diǎn)尸3的坐標(biāo)相同，為（-3,3）.

故選：C.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.下列選項(xiàng)中的圖形是理想、蔚來、小鵬、哪吒四款新能源汽車的標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱圖形的為（)

【解答】解：A.不是中心對(duì)稱圖形，故N選項(xiàng)不符合題意;

B.不是中心對(duì)稱圖形，故8選項(xiàng)不符合題意；

C.是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)符合題意；

D.不是中心對(duì)稱圖形，故。選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

2.最近北京2022年冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”成為了互聯(lián)網(wǎng)的“頂流”，他呆萌的形象受到了人們的青睞，

結(jié)合你所學(xué)知識(shí)，從下列四個(gè)選項(xiàng)中選出能夠和如圖的圖片成中心對(duì)稱的是（）?寶

，..41?與，

A.、■B.0C.，D.、?

【解答】解：/、不是中心對(duì)稱圖形，故此選不符合題意；

2、不是中心對(duì)稱圖形，故此選不符合題意；

C、不是中心對(duì)稱圖形，故此選不符合題意；

。、是中心對(duì)稱圖形，故此選符合題意.

故選：D.

3.如圖，點(diǎn)。為矩形/BCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)/出發(fā)沿向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)2停止，延長(zhǎng)

交CD于點(diǎn)F,則四邊形AECF形狀不可能是（）

C.正方形D.矩形

【解答】解：如圖，連接NC,則NC過點(diǎn)。,

:四邊形是矩形,

：.AB//CD,

：.ZOAE=ZOCF,ZOEA=ZOFC,OA=OC,

：./\AOE^/\COF（AAS）,

：.OE=OF,

又；04=0C,

，四邊形AECF一定是平行四邊形，

在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，移動(dòng)存在NC，所的時(shí)候，此時(shí)四邊形/EC歹是菱形，

當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，四邊形/ECF即變?yōu)樗倪呅?8C。，此時(shí)是矩形，

在移動(dòng)的過程中，不存在/C,所且/。=所的情況，因此不可能是正方形，

故選：C.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△4BC經(jīng)過中心對(duì)稱變換得到△/'B'C,那么對(duì)稱中心的坐標(biāo)為

（）

【解答】解：由圖可知，點(diǎn)”與點(diǎn)4關(guān)于（-1,0）對(duì)稱，點(diǎn)2與點(diǎn)9關(guān)于（-1,0）對(duì)稱，點(diǎn)C與點(diǎn)

C關(guān)于（-1,0）對(duì)稱，

所以△NBC與B'C關(guān)于點(diǎn)（-1,0）成中心對(duì)稱，

故選：B.

5.如圖，△/8C中，ZABC=9Q°,ZCAB=60°,AC=4.作出關(guān)于點(diǎn)/成中心對(duì)稱的△/夕。，

其中點(diǎn)2對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8,點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。，則四邊形C8C2的面積是（

c

C.64D.3273

【解答】解：如圖所示,

△/5C中，

VZABC=90°,ZCAB=60°,AC=4.

ZABC=30°,AB=2AC=8,

，BC=4近，

:作出△NBC關(guān)于點(diǎn)/成中心對(duì)稱的△/9。，連接夕C,BC,

:.AB=AB',AC=AC,

...四邊形CB'CB是平行四邊形，

...四邊形CB'CB的面積為BCxCC'=4V3X8=3273-

故選：D.

6.如圖，菱形48CD的對(duì)角線/C、BD交于點(diǎn)、O,AC=4,57）=16,將△3OC繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°得到

△3,O'C,則點(diǎn)/與點(diǎn)中之間的距離為（）

O'

A.6B.8C.10D.12

【解答】解：?.?菱形/BCD的對(duì)角線/C、8。交于點(diǎn)。，AC=4,BD=16,

：.ACVBD,

：.ZBOC=90°,

?.?△80C繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到O'C,

：.ZCO'B'=Z5OC=90°,

：.O'C=OC=OA=^AC=2,

2

：.AO'=6,

,：0B=0D=0'B'=工5。=8,

2

在RtZ\/O'B'中，根據(jù)勾股定理，得

AB'=VAO/24OZBZ2=10-

則點(diǎn)/與點(diǎn)次之間的距離為10.

故選：C.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。42c的頂點(diǎn)/和C分別落在y軸與x軸的正半軸上，。/=6.OC

=8.若直線y=2x+6把矩形面積兩等分，則6的值等于()

【解答】解：；04=6.。。=8,

：.A(0,6),C(8,0),

中點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3),

把(4,3)代入y=2x+b得，

2X4+6=3,

解得b=-5.

故選：D.

8.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△。小小是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，作毋1與△O//1關(guān)于點(diǎn)藥

成中心對(duì)稱，再作△比恁陰與45源2團(tuán)關(guān)于點(diǎn)歷成中心對(duì)稱，如此作下去，貝必比"2/1歷葉1.(〃是正

整數(shù))的頂點(diǎn)42/1的坐標(biāo)是()

A.(8n+2,2V3)B.(8n-2,273)C.(4n+l,V3)D.(4n-l,73)

【解答】解：根據(jù)題意，4、出、4、???、/2〃+1在第一象限，它們的縱坐標(biāo)為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形

的高，即它們的縱坐標(biāo)為4義近=2?,

2

二點(diǎn)出的橫坐標(biāo)為2,

點(diǎn)血的橫坐標(biāo)為4+2,

點(diǎn)出的橫坐標(biāo)為4X2+2,

點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為4X3+2,

所以點(diǎn)出〃+1的橫坐標(biāo)為4X（2?+1-1）+2,即8〃+2,

即點(diǎn)幺2"+1的坐標(biāo)是（8”+2,2丁5）.

故選：A.

9.圖1和圖2中所有的小正方形都全等，若將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置，使它與原

來7個(gè)小正方形組成的圖形是中心對(duì)稱圖形，則應(yīng)該放到的這個(gè)位置的序號(hào)是.

圖1圖2

【解答】解：當(dāng)正方形放在③的位置，即是中心對(duì)稱圖形.

故答案為：③.

10.已知點(diǎn)尸（a+36,3）與。（-5,a+2b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，貝!Ja+b=

【解答】解：??,點(diǎn)尸（a+3b,3）與點(diǎn)。（-5,a+2b）關(guān)于x軸對(duì)稱，

.（a+3b=5

"U+2b=-3，

解得：［a=-19,

lb=8

a+b=-11.

故答案為：-11.

11.如圖，坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)三角形是由一個(gè)經(jīng)過某種變換得到另一個(gè)的，點(diǎn)尸、。是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，已知點(diǎn)

P（冽，2）是第二象限內(nèi)，陰影三角形內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn).則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（可用含加的式

子表示）.

y八

A'(2,-3),B'(1,-1),C'(4,-2),

：.AA'B'C'是A/BC先向右平移5單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，

;點(diǎn)尸(加，2)時(shí)內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)尸、。是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

Q(加+5,-2).

故答案為：(正+5,-2).

12.如圖，平行四邊形48CD中，45=2,BC=3,48=60°,點(diǎn)P在上，且/尸=2,若直線/經(jīng)過點(diǎn)

P,將該平行四邊形的面積平分，并與平行四邊形的另一邊交于點(diǎn)。，則線段尸0的長(zhǎng)度為.

【解答】解：連接/C,BD交于O,過C作CALL/。于M,如圖:

?.?四邊形/BC是平行四邊形，

:.AB=CD=2,AD=BC=3,

：尸0將平行四邊形的面積平分，

在尸0上，

由平行四邊形的中心對(duì)稱性可知CQ=AP=2,

：.DP=BQ=\,

VZMDC=ZABC=60°,

AZAfCD=30",

DM=—CD=1,CM=y[3DM=A/3>

：.DM=DP,

：.M,尸重合，

:.CP=M，/PCQ=/DPC=90°,

???尸。=VCP2K：Q2=V(V3)2+22=市'

故答案為：VV-

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形。48。的頂點(diǎn)/、C分別在x軸與y軸上，點(diǎn)2的坐標(biāo)為(°,

b).

(1)當(dāng)Q=6,6=3時(shí)，若一次函數(shù)歹=履+4的圖象平分矩形CUBC面積，求左的值；

(2)若尸為矩形O/8C內(nèi)部一點(diǎn)，且△尸CU的面積與△尸。。的面積相等，求證：點(diǎn)P在上.

0Ax

【解答】解：(1)如圖所示，連接ZC,OB,交于點(diǎn)。,則點(diǎn)。為矩形45co的對(duì)稱中心,

???一次函數(shù)》=履+4的圖象平分矩形O45C面積，

???一次函數(shù)歹="+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)Q,

???點(diǎn)5的坐標(biāo)為(%b),

???當(dāng)a=6,b=3時(shí)，B(6,3),

：.Q(3,1.5),

把(3,1.5)代入y=Ax+4,可得1.5=3左+4,

解得k=莒；

6

(2)設(shè)尸(加，n),則點(diǎn)尸到x軸的距離為m至!Jy軸的距離為冽,

二點(diǎn)3的坐標(biāo)為(a,b),