2024-2025學(xué)年試題數(shù)學(xué)（選擇性人教A版2019）第1章1-4-1第2課時用空間向量研究直線平面的垂直關(guān)系

第2課時用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.設(shè)直線l1的方向向量為a=(2,1,2),直線l2的方向向量為b=(2,2,m),若l1⊥l2,則m=()A.1 B.2 C.3 D.3解析:l1⊥l2?a⊥b?a·b=0.所以2×2+1×2+(2)×m=0,解得m=3.答案:D2.已知AB=(1,5,2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x1,y,3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,zA.337,157,4 B.407C.407,2,4 D.4,407解析:∵AB⊥BC,∴AB·∴3+52z=0,解得z=4.∵BP⊥平面ABC,∴BP⊥∴x-1+5答案:B3.如圖,F是正方體ABCDA1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn).E是BB1上一點(diǎn),若D1F⊥DE,則有()A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=12EB D.E與B解析:以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示.設(shè)正方體棱長為2,則D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),所以D1F=(0,1,設(shè)E(2,2,t),0≤t≤2,則DE=(2,2,t).由D1F⊥DE,得(0,1,2)·(2,2,t)=0,即22t=0.解得t=1,即E為BB1的中點(diǎn),即B1E=EB.答案:A4.如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12PD,則平面PQC與平面DCQ的位置關(guān)系為(A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置關(guān)系不確定解析:以D為原點(diǎn),線段DA的長為單位長度,DA,DP,DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示.依題意有D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),則DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,1,0).因?yàn)镻Q·DQ=0,PQ所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC.又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.答案:B5.若向量a=(1,2,4),b=(2,2,3)是平面α內(nèi)的兩個不共線的向量,直線l的一個方向向量m=(2,3,1),則l與α的位置關(guān)系是(填“垂直”“平行”或“相交但不垂直”).

解析:因?yàn)閙·a=(2,3,1)·(1,2,4)=2+64=0,m·b=(2,3,1)·(2,2,3)=46+3=1≠0.所以l與α不垂直.設(shè)平面α的法向量為n=(x,y,z),則n計(jì)算步驟略,得到α的一個法向量n=1,因?yàn)閚·m≠0,所以l與α不平行.因此l與α相交但不垂直.答案:相交但不垂直6.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和Q(cosx,1,3),其中x∈[0,π].若直線OP與OQ垂直,則x的值為.

解析:∵OP⊥OQ,∴OP⊥OQ,∴OP·∴cosx·(2cosx+1)(2cos2x+2)=0.∴2cos2xcosx=0,解得cosx=0或cosx=12又x∈[0,π],∴x=π2或x=π答案:π7.已知空間三點(diǎn)A(0,0,1),B(1,1,1),C(1,2,3),若直線AB上一點(diǎn)M,滿足CM⊥AB,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

解析:易得AB=(1,1,0).設(shè)M(x,y,z),則AM=(x,y,z1),CM=(x1,y2,z+3).∵點(diǎn)M在直線AB上,∴AB與AM共線.∴AM=λAB,λ∈∴x=λ,y=λ,z1=0.又CM⊥AB,∴CM⊥AB.∴CM·∴(x1)+(y2)=0.①將x=λ,y=λ,代入①,得λ=12∴x=12,y=12,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為-1答案:-8.如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分別為CD,PB的中點(diǎn).求證:EF⊥平面PAB.證明:以D為原點(diǎn),線段DA的長為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示.設(shè)E(a,0,0),其中a>0,則C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),Fa,所以EF=0,12,12,PB=(2a,1,1因?yàn)镋F·PB=0,EF所以EF⊥PB,EF⊥AB.又PB∩AB=B,所以EF⊥平面PAB.9.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)求證:AC⊥BC1;(2)在AB上是否存在點(diǎn)D,使得AC1⊥CD?并說明理由.解:在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,∴AC與BC互相垂直.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC,BC,CC1兩兩垂直.以C為原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).(1)證明:AC=(3,0,0),BC1=(0,4,4∵AC·BC1=0,∴AC⊥BC(2)存在,理由如下:假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D,使得AC1⊥CD.建系后得AB=(3,4,0).∵點(diǎn)D在AB上,∴可設(shè)AD=λAB=(3λ,4λ,0),其中λ∈[0,1],則D(33λ,4λ,0).于是CD=(33λ,4λ,0).AC1=(3,0,4).∵AC1⊥∴AC1·∴9+9λ=0,解得λ=1,這樣的點(diǎn)D存在.∴當(dāng)點(diǎn)D與B重合時,AC1⊥CD.B組1.平面α的一個法向量n=(0,1,1),如果直線l⊥平面α,那么直線l的單位方向向量s=()A.(0,1,1) B.±0C.(0,2,2) D.±(0,2,2)解析:由題意知,直線l的方向向量平行于平面α的法向量.故直線l的單位方向向量是s=±0,答案:B2.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別在線段A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則(A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面解析:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)正方體的棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(所以A1D=(1,0,1),AC=(1,1,0),EF=13,因?yàn)镋F=13BD1,所以EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.答案:B3.(多選題)如圖,以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后,某學(xué)生得出如下四個結(jié)論,其中正確的是()A.AB·ACB.AB⊥DCC.BD⊥ACD.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直解析:以D為原點(diǎn),分別以DB,DC,DA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz(圖略).設(shè)折疊前Rt△ABC的斜邊BC=2,則B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),所以AB=(1,0,1),AC=(0,1,1),DC=(0,1,0),BD=(1,0,0).由于AB·AC=0+0+1=1,故A錯誤;AB·DC=0,故AB⊥DC,由于BD·AC=0,故BD⊥AC,故C易知平面ADC的一個法向量為BD=(1,0,0).設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則AB·n=xz=0,AC·n=yz=0.取z=1,則x=1,y=1.故n=(1,1,1)為平面ABC的一個法向量.由于BD·n=1,故D錯誤.答案:BC4.如圖,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個點(diǎn)Q滿足PQ⊥QD,則a的值等于.

解析:建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,如圖所示,則D(0,a,0).設(shè)Q(1,x,0)(0≤x≤a),P(0,0,z),則PQ=(1,x,z),QD=(1,ax,0).由PQ⊥QD,得1+x(ax)=0,即x2ax+1=0.由題意知方程x2ax+1=0只有一解,所以Δ=a24=0.因?yàn)閍>0,所以a=2,此時可解得x=1,滿足條件.答案:25.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,則AE=.

解析:建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz,如圖所示,則B1(0,0,3a),D2a2,2a2,3a,設(shè)E(2a,0,z)(0≤z≤3a),則CE=(2a,2a,z),B1E=(2a,0,z3a分析知B1D⊥CE,則要使CE⊥平面B1DE,只需CE⊥則CE·B1E=0,即2a2+z解得z=a或2a.故AE=a或2a.答案:a或2a6.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CC1上的動點(diǎn),(1)求證:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,請確定點(diǎn)E的位置并說明理由.解:分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).設(shè)E(0,a,e),e∈[0,a].(1)證明:由B,D的坐標(biāo),得BD=(a,a,0).由A1,E的坐標(biāo),得A1E=(a,