2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)階段拔尖專(zhuān)訓(xùn)第5招勾股定理的應(yīng)用習(xí)題課件新版浙教版

浙教版八年級(jí)上第5招勾股定理的應(yīng)用01典例剖析02分類(lèi)訓(xùn)練目

錄CONTENTS教你一招

勾股定理是初中數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容.它是求解線(xiàn)段

長(zhǎng)度的主要方法，勾股定理的應(yīng)用往往有以下幾個(gè)層次：一

是直角三角形中直接利用已知兩邊求出第三邊；二是根據(jù)線(xiàn)

段關(guān)系通過(guò)設(shè)元，利用勾股定理得到方程進(jìn)行求解；三是多

次同時(shí)利用勾股定理得到方程組進(jìn)行求解.

如圖，紙片

ABCD

為長(zhǎng)方形紙片，把紙片

ABCD

折

疊，使點(diǎn)

B

恰好落在

CD

邊上的點(diǎn)

E

處，折痕為

AF

.

已知

AB

＝10，

AD

＝8.(1)求

BF

的長(zhǎng)；(2)求折痕

AF

的長(zhǎng).

翻折問(wèn)題常常在三角形和四邊形中出現(xiàn)，翻

折前后的兩個(gè)圖形是全等圖形.利用翻折求線(xiàn)段長(zhǎng)時(shí)，一般

都利用勾股定理建立方程模型解決問(wèn)題.

則

EF

＝

BF

＝

x

，

FC

＝

BC

－

BF

＝

AD

－

BF

＝8－

x

.在Rt△

EFC

中，

EC2＋

FC2＝

EF2，即42＋(8－

x

)2＝

x2，解得

x

＝5，故

BF

＝5.

已知兩邊直接利用勾股定理求解1.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

＝5，

BD

⊥

AC

于點(diǎn)

D

，

CD

＝1，則

BC

的長(zhǎng)度為(

C

)A.3B.4C1234562.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

＝

8，點(diǎn)

D

為

AB

的中點(diǎn)，點(diǎn)

Q

在△

ABC

內(nèi)部，且

CQ

＝1，

連結(jié)

AQ

，

DQ

.

當(dāng)∠

ADQ

＝90°時(shí)，求

AQ

的長(zhǎng).123456

123456

通過(guò)設(shè)元利用勾股定理求解3.

如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形

ABCD

中，

E

是邊

CD

的中

點(diǎn)，將△

ADE

沿

AE

折疊至△

AFE

，延長(zhǎng)

EF

交

BC

于點(diǎn)

G

，連結(jié)

AG

.

(1)求證：△

ABG

≌△

AFG

；123456【證明】在正方形

ABCD

中，

AB

＝

AD

，∠

B

＝∠

D

＝90°.∵將△

ADE

沿

AE

折疊至△

AFE

，∴

AF

＝

AD

，

FE

＝

DE

，∠

AFE

＝∠

D

＝90°.∴

AB

＝

AF

，∠

AFG

＝90°＝∠

B

.

又∵

AG

＝

AG

，∴Rt△

ABG

≌Rt△

AFG

(

HL

).123456(2)求

BG

的長(zhǎng).【解】在正方形

ABCD

中，

BC

＝

CD

＝6，∠

C

＝90°.∵△

ABG

≌△

AFG

，∴

BG

＝

FG

.

設(shè)

BG

＝

FG

＝

x

，則

GC

＝6－

x

.∵

E

是邊

CD

的中點(diǎn)，∴

CE

＝

DE

＝3.∴

FE

＝3.∴

EG

＝3＋

x

.在Rt△

CEG

中，由勾股定理可得32＋(6－

x

)2＝(3＋

x

)2，解

得

x

＝2.∴

BG

＝2.1234564.

[2024·湖州期中]如圖，△

ABD

和△

BCD

都是等邊三角形

紙片，

AB

＝2，將△

ABD

紙片翻折，使點(diǎn)

A

落在

CD

的

中點(diǎn)

E

處，折痕為

FG

，點(diǎn)

F

，

G

分別在邊

AB

，

AD

上，

求

BF

的長(zhǎng).123456【解】如圖，連結(jié)

BE

.

在等邊三角形

BCD

中，

E

為

CD

的中點(diǎn)，∴∠

DBE

＝30°，

BE

⊥

CD

.

∵△

ABD

是等邊三角形，∴∠

ABD

＝60°，∴∠

FBE

＝∠

ABD

＋∠

DBE

＝90°.在Rt△

EBC

中，易知

CE

＝1，

BC

＝2，∴

BE2＝

BC2－

CE2＝22－12＝3.∵△

AGF

翻折至△

EGF

，∴

EF

＝

AF

.

123456

運(yùn)用“雙勾股”進(jìn)行求解5.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝15，

BC

＝14，

AC

＝13，求

△

ABC

的面積.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你

按照他們的解題思路完成解答過(guò)程.123456

1234566.

如圖，在△

ABC

和△

ECF

中，∠

ACB

＝∠

ECF

＝90°，且

AC

＝

BC

，

EC

＝

FC

.

連結(jié)

AE

，

BF

交于點(diǎn)

O

.

(1)求證：△

ACE

≌△

BCF

；123456

123456(2)求∠

AOB

的度數(shù)；【解】設(shè)

AE

與

BC

的交點(diǎn)為

M

.

在△

BOM

和△

ACM

中，由(1)可知∠

CAM

＝∠

OBM

，且∠

AMC

＝∠

BMO

，∴∠

BOM

＝∠

ACM

.

∵∠

ACM

＝90°，∴∠

BOM

＝90°，即∠

AOB

＝90°.123456(3)連結(jié)

BE

，

AF

，求證：

BE2＋

AF2＝2(

AC2＋

CE2).【證明】∵∠

AOB

＝90°，∴有Rt△

AOB

，Rt△

BOE

，Rt△

EOF

，Rt△

AOF

，∴

BE2＝

BO2＋

OE2，

AF2＝

AO2＋

OF2，

AB2＝

BO2＋

AO2＝

AC2＋

BC2＝2

AC2，

EF2＝

OE2＋

OF2＝

CE2＋

CF2＝2

CE2