2025屆廣東省培正中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆廣東省培正中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若非零實(shí)數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．2．若，則()A． B． C． D．3．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．4．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．5．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．06．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P，以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切，切點(diǎn)為H，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．8．已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．9．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．10．設(shè)，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）種.A．408 B．120 C．156 D．24012．已知數(shù)列對任意的有成立，若，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，，則________．14．在的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為________．（用數(shù)值作答）15．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為________.16．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是_________.①是周期函數(shù)；②的對稱軸方程為，；③在區(qū)間上為增函數(shù)；④方程在區(qū)間有6個根.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)的最小值為.證明：（1）；（2）.18．（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，N.（1）求；（2）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項(xiàng)和.19．（12分）近幾年一種新奇水果深受廣大消費(fèi)者的喜愛，一位農(nóng)戶發(fā)揮聰明才智，把這種露天種植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的經(jīng)濟(jì)效益．根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的新奇水果的箱數(shù)x（單位：十箱）與成本y（單位：千元）的關(guān)系如下：x13412y51．522．58y與x可用回歸方程（其中，為常數(shù)）進(jìn)行模擬．（Ⅰ）若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新奇水果的價格為150元/箱，試預(yù)測該新奇水果100箱的利潤是多少元．|．（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計，10月份的連續(xù)11天中該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示．（i）若從箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)中隨機(jī)抽取2天，估計恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的概率；（ⅱ）求這11天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值．（每組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）參考數(shù)據(jù)與公式：設(shè)，則0.541.81.530.45線性回歸直線中，，．20．（12分）已知橢圓的焦距是，點(diǎn)是橢圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)（與不同），若直線的斜率之積為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是拋物線上兩點(diǎn)，且處的切線相互垂直，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.21．（12分）我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機(jī)構(gòu)觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.22．（10分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)P為橢圓C上一動點(diǎn)，且的面積最大值為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，為橢圓C上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)為多少時，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

令，則，，將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后，然后取絕對值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題．2、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果．【詳解】∵，∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．3、D【解析】

根據(jù)點(diǎn)差法得，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得，解方程組得，，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，則的中點(diǎn)為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.5、C【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，.由題意知，所以，.因?yàn)?所以,所以.所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計算問題，處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.8、C【解析】

設(shè)為中點(diǎn),先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結(jié)論．【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．9、A【解析】

選取中間值和，利用對數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.10、C【解析】

設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點(diǎn)，則有，得到，即可求解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為，，所以是中點(diǎn)，，，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.11、A【解析】

利用間接法求解，首先對6門課程全排列，減去“樂”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最后還需加上“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；【詳解】解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當(dāng)“樂”排在第一節(jié)有（種），當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），當(dāng)“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），則滿足“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有（種），故選：．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題．12、B【解析】

觀察已知條件，對進(jìn)行化簡，運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果.【詳解】已知，則，所以有，，，，兩邊同時相加得，又因?yàn)?，所?故選：【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值，運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法，遇到形如時就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，需要掌握數(shù)列中的方法，并能熟練運(yùn)用對應(yīng)方法求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.14、-40【解析】

由題意，可先由公式得出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：-40.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的公式，屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時,取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時,.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.16、①②④【解析】

由函數(shù)，對選項(xiàng)逐個驗(yàn)證即得答案.【詳解】函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故①正確；當(dāng)或時，有最大值或最小值，此時或，即或，即.的對稱軸方程為，，故②正確；當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上不是增函數(shù)，故③錯誤；作出函數(shù)的部分圖象，如圖所示方程在區(qū)間有6個根，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)，注意等號成立的條件，即可求得最小值，再運(yùn)用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到結(jié)論，注意等號成立的條件.【詳解】（1）由題意，則函數(shù)，又函數(shù)的最小值為，即，由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.故.（2）由題意，利用基本不等式可得，，，（以上三式當(dāng)且僅當(dāng)時同時取“=”）由（1）知，，所以，將以上三式相加得即.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見詳解，【解析】

（1）根據(jù)，可得，然后作差，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，用取代，得到新的式子，然后作差，可得結(jié)果，最后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）由①，則②②-①可得：所以（2）由（1）可知：③則④④-③可得：則，且令，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列所以【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關(guān)系的應(yīng)用，考驗(yàn)觀察能力以及分析能力，屬中檔題.19、（Ⅰ）1131；（Ⅱ）（i）；（ⅱ）125箱【解析】

（Ⅰ）根據(jù)參考數(shù)據(jù)得到和，代入得到回歸直線方程，，再代入求成本，最后代入利潤公式；（Ⅱ）（?。┦紫确謩e計算水果箱數(shù)在和內(nèi)的天數(shù)，再用編號列舉基本事件的方法求概率；（ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖直接計算結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)題意，，所以，所以．又，所以．所以時，（千元），即該新奇水果100箱的成本為8314元，故該新奇水果100箱的利潤．（Ⅱ）（i）根據(jù)頻率分布直方圖，可知水果箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)為設(shè)這兩天分別為a，b，水果箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)為，設(shè)這四天分別為A，B，C，D，所以隨機(jī)抽取2天的基本結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，共15種．滿足恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的結(jié)果為，，，，，，，，共8種，所以估計恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的概率為．（ⅱ）這11天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值為（箱）．【點(diǎn)睛】本題考查考查回歸直線方程，統(tǒng)計，概率，均值的綜合問題，意在考查分析數(shù)據(jù)，應(yīng)用數(shù)據(jù)，解決問題的能力，屬于中檔題型.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),表達(dá)出直線的斜率之積,再根據(jù)三點(diǎn)均在橢圓上,根據(jù)橢圓的方程代入斜率之積的表達(dá)式列式求解即可.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,根據(jù)直線的斜率之積為可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,表達(dá)出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.【詳解】（Ⅰ）設(shè),,則,又,,故,即,故,又,故.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,,由,故,又,故,因?yàn)樘幍那芯€相互垂直故.故直線的方程為.聯(lián)立故.故,代入韋達(dá)定理有設(shè),則.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式求解橢圓基本量求方程的方法,同時也考查了拋物線的切線問題以及橢圓中