北京市海淀區(qū)交大附中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

北京市海淀區(qū)交大附中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或3．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-34．設(shè)a，b，c非零實(shí)數(shù)，且，則（）A. B.C. D.5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓6．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則（）A.3 B.C. D.8．已知雙曲線，過原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.9．命題“”為真命題一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.10．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關(guān)系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交11．設(shè)，則A.2 B.3C.4 D.512．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.84二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過點(diǎn)，圓心在x軸正半軸上，半徑為5的圓的方程為________14．圓被直線所截得弦的最短長(zhǎng)度為___________.15．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則的值為________16．某人實(shí)施一項(xiàng)投資計(jì)劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個(gè)項(xiàng)目.已知2020年他的工資是10萬(wàn)元，預(yù)計(jì)未來(lái)十年每年工資都會(huì)逐年增加1萬(wàn)元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當(dāng)年的投資收益自動(dòng)轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計(jì)劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應(yīng)有__________萬(wàn)元.（參考數(shù)據(jù)：，，）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)處取得極值（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值18．（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行，求函數(shù)的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.19．（12分）已知橢圓的上一點(diǎn)處的切線方程為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P為直線上任一點(diǎn)，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合），設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值21．（12分）如圖①，在梯形PABC中，，與均為等腰直角三角形，，，D，E分別為PA，PC的中點(diǎn).將沿DE折起，使點(diǎn)P到點(diǎn)的位置（如圖②），G為線段的中點(diǎn).在圖②中解決以下兩個(gè)問題.（1）求證：平面平面；（2）若二面角為120°時(shí)，求CG與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)M在線段上，且，試問在線段上是否存在一點(diǎn)N，滿足平面，若存在求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.2、B【解析】分雙曲線的焦點(diǎn)在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點(diǎn)在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定的情況下，要對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A4、C【解析】對(duì)于A、B、D：取特殊值否定結(jié)論；對(duì)于C：利用作差法證明.【詳解】對(duì)于A：取符合已知條件，但是不成立.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：取符合已知條件，但是，所以不成立.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋?故C正確；對(duì)于D：取符合已知條件，但是，所以不成立.故D錯(cuò)誤；故選：C.5、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動(dòng)點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段.故選：6、B【解析】構(gòu)造，通過求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，即，令，當(dāng)時(shí)，，，令得：或，結(jié)合，所以，令得：，結(jié)合得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象，如下圖：要想有3個(gè)零點(diǎn)，則故選：B7、B【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出導(dǎo)發(fā)函數(shù)，然后可得導(dǎo)數(shù)值【詳解】由題意，所以故選：B8、A【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關(guān)于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，也為的中點(diǎn)，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質(zhì)可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.9、B【解析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關(guān)系判斷【詳解】命題“”為真命題，則≤1,只有是的真子集,故選項(xiàng)B符合題意故選：B10、B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，根據(jù)共線定理即可判斷.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，取.，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，進(jìn)而可得到.【詳解】，則，故，選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】根據(jù)對(duì)稱性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【詳解】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)圓方程為，代入原點(diǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)圓方程為經(jīng)過點(diǎn)，代入圓方程則圓方程為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了圓方程的計(jì)算，設(shè)出圓方程是解題的關(guān)鍵.14、【解析】首先確定直線所過定點(diǎn)；由圓的方程可確定圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心到的距離，由此可知所求最短長(zhǎng)度為.【詳解】由得：，直線恒過點(diǎn)；，在圓內(nèi)；又圓的圓心為，半徑，圓心到點(diǎn)的距離，所截得弦的最短長(zhǎng)度為.故答案為：.15、±1【解析】由題意得＝≠，∴a＝－4且c≠－2，則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0，由兩平行線間的距離公式，得＝，解得c＝2或c＝－6，∴＝±116、24【解析】根據(jù)條件求得每一年投入在最終結(jié)算時(shí)的總收入，利用錯(cuò)位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，2022年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，，2030年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，則結(jié)算時(shí)的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則，故答案為：24三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由即可解得；（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可以求出函數(shù)的最值.【詳解】解：（1）由題意，可得，得.（2），令，得或（舍去）當(dāng)變化時(shí)，與變化如下遞增遞減所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為.18、（1）（2），【解析】（1）根據(jù)平行關(guān)系得到切線斜率，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，列出方程，求出，進(jìn)而得到函數(shù)解析式；（2）先由求出，再利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性和最值.【小問1詳解】，.由題意得：，解得：.，【小問2詳解】，則，解得，，，當(dāng)，解得：，即函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，解得：或，即函數(shù)分別在，遞增.又，，，，，.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線方程（2）設(shè)，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點(diǎn)的切線方程，從而得到直線的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】解：由（1）知，設(shè)，，，，，所以，由題知，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，又點(diǎn)在直線、上，所以、，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，直線斜率為，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上可得；20、（1）（2）證明見解析【解析】(1)聯(lián)立直線和拋物線方程，根據(jù)拋物線定義和焦半徑公式得到，根據(jù)韋達(dá)定理可得到最終結(jié)果；（2）代入點(diǎn)坐標(biāo)可得到參數(shù)的值，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立該直線和拋物線方程，，代入韋達(dá)定理可得到最終結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)，，聯(lián)立，整理得，，由拋物線的定義知，解得，拋物線的方程為【小問2詳解】，為拋物線上一點(diǎn)，，即，設(shè)，，，，直線的方程為，由，消去得，，，，即為定值21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過兩個(gè)線面平行即可證明面面平行（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，通過空間向量的方法計(jì)算線面角的正弦值【小問1詳解】如上圖所示，在中，因?yàn)镈，E分別為PA，PC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榕c均為等腰直角三角形，，所以，，所以，且，則四邊形是平行四邊形，所以是中點(diǎn)，且G為線段的中點(diǎn)，所以中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面平面【小?詳解】因?yàn)椋矫?，，所以平面，所以可以以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如上圖所示的直角坐標(biāo)系，此時(shí)，，，，因?yàn)镚為線段的中點(diǎn)，所以，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，得其中一個(gè)法向量，，所以CG與平面所成角的正弦值為22、