2024屆遼寧省遼陽市遼陽縣高三年級下冊數學模擬考試試題（一模）含解析

2024屆遼寧省遼陽市遼陽縣高三下學期數學模擬考試試題

(一模)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷的指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合/=何x+1W0},8=何log[(X+2)<2},C=何尤?+2x-3<0},則瓜n(SnC)=

()

A.—3<x<-B.{乂-2<x4-1}

C.|x|-l<x<l}D.{x|-l<x<2}

2.已知1+i為關于x的方程/+ax+6=0(a,beR)的一個根，z-a+b\,則z?z+l)=()

A.-2—6iB.—2+6iC.6+2iD.-6+2i

3.大多數居民在住宅區(qū)都會注意噪音問題.記。為實際聲壓，通常我們用聲壓級工(P)(單位:

分貝)來定義聲音的強弱，聲壓級〃P)與聲壓。存在近似函數關系：〃〃)=alg3，其中。為

Po

常數,且常數Po(p0>0)為聽覺下限閾值.若在某棟居民樓內，測得甲穿硬底鞋走路的聲壓Pi為

穿軟底鞋走路的聲壓小的100倍，且穿硬底鞋走路的聲壓級為￡(r)=60分貝，恰為穿軟底鞋

走路的聲壓級上(。2)的3倍.若住宅區(qū)夜間聲壓級超過50分貝即擾民，該住宅區(qū)夜間不擾民情

況下的聲壓為“，則()

A.a=20,p'<10A/10/22B.a=20,p'<

C.a=10,p'<10A/10/22D.a=10,p'

4.已知向量工3,1滿足B|=W=l,g|=石，且G+3+己=0，則cos(?V,B-1>=()

3百3^/3

RIT

5.某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山、黃山、廬山三個景點旅游.已知8名同學中

有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男

生甲與女生A不去同一處景點游玩，女生3與女生C去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行

程的方法數為()

A.564B.484C.386D.640

711

6.已知數列｛%｝滿足點(",巴)在直線了上，｛%｝的前〃項和為S”，貝！的最小值

為()

A.-47B.-48C.-49D.-50

2

7.在銳角中，角4民。的對邊分別為。也。，且的面積s=6c(l-cos/),貝幺的

取值范圍為()

~4]「416、「432、「3216、

A。[寸+^B?。句C.D.

8.已知定義域為R的函數/(x),g(x)滿足：g(0)#0,f(x)g(y)-f(y)g(x)^f(x-y),

且g(x)g(y)-/(x)/5)=g(x-y),則下列說法不正確的是()

A.g(O)=lB./(X)是奇函數

C.若/(l)+g(l)=l,則/(2024Ag(2024)=7D.g(x)是奇函數

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在“3C中，內角4RC所對的邊分別為0,4c,則下列結論正確的是()

A.若acosA=ccosC,則^ABC是等腰三角形

B.若〃=2,6=3,c=6，則。的面積為6

C.若4=1,q=百，則/5。周長的最大值為人口

D.若角4,5滿足cos4+4<sin5+11-8],則/+

10.已知拋物線C：/=2"(2>0)的焦點為尸，點在拋物線。上，貝(J()

MF33

A.若M,N,尸三點共線，且#=“則直線"N的傾斜角的余弦值為土處

B.若M,N,廠三點共線，且直線MN的傾斜角為45。，貝!］AOMN的面積為

2

C.若點44,4)在拋物線C上，且M,N異于點A,AMLAN,則點到直線y=-4的距

離之積為定值

D.若點42,2)在拋物線C上，且M,N異于點A,kAM+kAN=O,其中七.>1,貝！］

2/c

|sinZFW-sinZJRW|<-^-

11.已知函數函數g(x)」e罔，且左<0,定義運算設函數

/z(x)=/(x)0g(x),則下列命題正確的是()

A.的最小值為!

B.若在［0,ln2］上單調遞增,則左的取值范圍為(-8,-21n2］

'_lfIn2+—V

C.若〃(x)=優(yōu)有4個不同的解，則加的取值范圍為1簿2121

D.若"(x)=加有3個不同的解耳，X?,馬,貝?。萜?工2+鼻=0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.三星堆古遺址作為“長江文明之源“，被譽為人類最偉大的考古發(fā)現之一.3號坑發(fā)現的神

樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據.玉琮是古人用于祭祀的禮器,

有學者認為其外方內圓的構造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現，如圖，假定

某玉琮形狀對稱，由一個空心圓柱及正方體構成，且圓柱的外側面內切于正方體的側面，圓

柱的高為12cm,圓柱底面外圓周和正方體的各個頂點均在球。上，則球。的表面積為

22

13.已知雙曲線C邑-a=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為耳鳥,過耳的直線與雙曲線的左、

ab

右兩支分別相交于兩點，直線環(huán)與雙曲線的另一交點為P,若△NPG為等腰三角形，

旦ANFF2的面積是耳的面積的3倍，則雙曲線C的離心率為.

14.已知正四面體4BCD棱長為2,點與與月分別是AABD,A/CD內切圓上的動

點，現有下列四個命題：

①對于任意點月，都存在點4，使月月?而=0;

②存在耳,￡,使直線平面/8C；

③當|正|+|物|+|函|最小時，三棱錐力-片￡片的體積為器

④當期|+"用+陣"最大時，頂點A到平面耳塞的距離的最大值為手.

其中正確的有.(填選正確的序號即可)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖所示的空間幾何體是以工。為軸的1圓柱與以N8CD為軸截面的半圓柱拼接而成，其

中/。為半圓柱的母線，點G為弧CD的中點.

(1)求證：平面8DF_L平面3CG；

(2)當/8=4,平面8。尸與平面/BG夾角的余弦值為孚時，求點E到直線BG的距離.

16.在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為:

首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對

陣，勝者進入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”

的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進行最

后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為

且不同對陣的結果相互獨立.

(1)若p=0.6,經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣??；

①求甲獲得第四名的概率；

②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰,

直至決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.

17.已知函數/(x)=xlnx-x-a,g(x)=x2+\nx-ax.

(1)討論g(x)的單調性;

(2)若/(x)有兩個零點，求實數。的取值范圍；

⑶若/(x)+2x<g(x)對任意的x21恒成立，求實數。的取值范圍.

18.橢圓C：[+，=l(a>b>0)的離心率為g,圓。：/+/=02的周長為2〃3r.

⑴求C的方程；

(2)如圖，耳是C的左焦點，過耳的直線交圓。于點M,N,線段的垂直平分線交C于點

P,Q,交肱V于點力.

(i)證明：四邊形MPN。的面積為定值.

S,

(ii)記△尸NN,的面積分別為S1,邑，求U的取值范圍.

19.數列｛4｝滿足。用則稱數列｛%｝為下凸數列.

(1)證明：任意一個正項等比數列均為下凸數列；

⑵設c“=4,+e”，其中｛4｝，｛ej分別是公比為名,%的兩個正項等比數列，且小3④，證明:

｛4｝是下凸數列且不是等比數列；

(3)若正項下凸數列的前“項和為"，且求證.q+m114℃可

n

1.c

【分析】先分別求集合48,C,進而利用集合的交集與補集運算即可求解.

【詳解】/={x|尤+1VO}={耳龍VT}；

由8={x|log2（x+2）<2},得］10員（丫+2）<10氏4,解得-2<X<2,

所以8={x|_2<x<2}；

C=|x|x2+2x-3<0}={'-3<；

={尤|尤>-1},BeC={x1-2<x<11

于是（％/）c（5cC）={x|-l<x<1}.

故選：C.

2.C

【分析】把1+i代入/+ax+6=o中，根據復數相等，求得。與6的值，代入z中，進而求得

Z0+1）.

【詳解】把1+i代入％2+ax+b=0中，

（1+i）2+47（l+i）+Z?=0,有〃+6+（2+〃》=0,

a+b=0

則，所以z——2+2i,

2+a=0

z-（z+l）=（-2+2i）-（-2-2i+l）=6+2i.

故選.C

3.A

【分析】由￡（口）-￡（P）=40結合對數運算可求得。的值，由于工（口）=60,“0）=20可得

出“川-”02）430、Z（A）-L（y）>10,結合對數函數的單調性可出結論.

【詳解】由題意/（化）-）=alg?_=algl0°=為=60-20=4。,得a=20,

Pl

則”p）=201g二,因此“""ZOlgg4O,

PoPo

LL

（P'）-（P2）=201g—<50-20=30,則y<10V10p2,

L（A）-L（y）=201g^>60-50=10,則

故選：A.

4.A

【分析】根據數量積的運算律求出*6、a-c.b-c，即可求出伍冶?,-/）、何-可、WT，

再根據夾角公式計算可得.

【詳解】由題意得>H，則①+斤="2有12+2小3+12=（百>,解得小不=g,

一3

又由3+3=-日，則（G+oy=7有r+2（?E+=F,解得）.[=—a，

-3

同理可得6.己=—-，

2

|a-c|=>Ja2-2a-c+c2=V7,

\b-c^ylb2-2b-c+c2=V7,

所l、I/--t-\^-c\（b-c）y13

'/\a-c[\b-c\V7xV714

故選：A

5.A

【分析】先將不平均分組問題分成兩大類，然后由排列組合知識結合加法、乘法計數原理即

可得解.

【詳解】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.

第一種情況分成2人，2人，4人:女生用C去同一處景點，當反C成2人組時，

其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生A不同組，有C：A；=8種方法；

C1c1c2

當反C在4人組時，有丁1+亡&=36種方法.

第二種情況分成2人，3人，3人：當3,C成2人組時，有C；=6種方法；

當瓦C在3人組時,有C；C；+C；C閨=44種方法.

故這8名同學游玩行程的方法數為（8+36+6+44）XA；=564.

故選：A.

6.C

【分析】由題意可得數列｛%｝是等差數列，根據等差數列的求和公式求出S“，從而可得

⑼,設利用導數研究其單調性，結合即可求解.

711

【詳解】因為數列｛%｝滿足點(",%)在直線>上，

211

所以4,=

因為見一%=臣]b](7)V]/〃河’

7117

所以數列｛%｝是首項為?1=j-y=-3,公差為g的等差數列，

所以S“二(-3)〃+C―^x—=△-------

nv7233

EIn2(H-10)

貝U電二二----L.

n3

設/(x)=f(17°)(x>0),則r(x)=$(3x_20),

當xe/gj時，/，(x)<0；當xe[g,+<?|時，/%)〉0,

所以/(x)在，上單調遞減，在1g,上單調遞增.

又〃eN*，/(6)=62x「)=-48,/(7)J個'=-49,

所以/(?L?=T9,即貶的最小值為-49.

故選:C.

7.B

[,3

cosA=—

【分析】先由三角形面積公式求出?，然后引入參數將所求表示為f的函數，

.,4c

smZ=一

15

43

再根據正弦定理邊化角、誘導公式、兩角和差得/=—-+I，注意到在銳角力5C中，有

5tanC5

7rJT

0<--A<C<-,從而可以求出tanCJ的范圍，由此即可得解

22

【詳解】由三角形面積公式S=；6csin/結合S=bc(l-cos/),可知;sin/=1-cos/,即

sin/=2(1-cos/),

又由平方關系sin2^+cos2A=1所以4(1一cos+cos2A-\,即5cos?Z-8cos4+3=0，

,3

cosA=-

5cosA=1

解得(舍去),

sin/=0

si?n4,=一4

5

入Ttno7??-1/二匚I、Iab+c—2Z)ccosAbc。4bc6

由余弦定理有a=b+c-2bccosA^所以一=---------------=-+一—2cos/=-+--------，

bebecbcb5

令t上,所以d=2+9一9=/+1一9,故只需求出t的范圍即可，

cbecb5t5

由正弦定理邊化角得

tbsin5sin[兀(N+C)]sin(4+C)

csinCsinCsinC

sinAcosC+cosAsinCsin//43

=--------；----------=------FCOSA=----------F—,

sinCtanC5tanC5

注意到在銳角中'有/+c>3’簡單說明如下:

若/+cw],則8=兀-(/+C)2兀-]=即B不是銳角，但這與“8C是銳角三角形矛盾,

7T

所以在銳角。中，A+C>—,

2

所以在銳角中，有0<=7r—7r

22

因為正切函數V=tanx在上單調遞增,

z、sin3

cosA_5_3

所以tanC>tan[二一4)=——g-----《

(2cos]-4]sin/-4一7

5

343435

—</=-------------1__<----------1-=—

從而55tanC5353，

Jx—

4

而函數在(|,1)單調遞減,在單調遞增,

416

所以《=/⑴4/(/)<max

15

綜上所述：式的取值范圍為-

be[515；

故選：B.

關鍵點睛：本題考查了正余弦定理綜合應用，以及誘導公式、兩角和差的正弦公式等來化簡

表達式，關鍵就是將所求化繁為簡，化未知為已知，并且注意銳角三角形的特殊性，即注意

冗71

到在銳角"3C中，有。<5-/<c<5,結合以上關鍵點即可順利求解.

8.D

【分析】B選項，根據〃x)g(y)-/(y)g(x)=/(x-y)得至IJ/(y-x)=-/(x-y),故為

奇函數；A選項，由B可知"0)=0,賦值得到[g(0)了-[〃0)y=g(0),故g(O)=l；D選

項，由g(x)g(y)-/(x)/(y)=g(x-y)得至ljg(y-x)=g(x-y),D正確；C選項，化簡得到

/(x-y)-g(x-y)=[/(y)+g(y)][/(x)-g(x)],結合/⑴+g⑴=1,求出

/(x-l)-g(x-l)=/(x)-g(x),得至打(2024)-g(2024)=7.

【詳解】B選項，由/(x)g(y)-/(y)g(x)=〃x-yKH/(y)g(x)-/(x)g(y)=/(y-x),

所以/(y-x)=-/(x-y),故〃x)是奇函數，故B正確；

A選項，由〃x)是奇函數得/(0)=0,令x=y=0,

由8(無)83-〃》)/3=8(》-用可得加(0)于-[/(0)了=8(0),

又g(0)*0,得g⑼=1,故A正確；

D選項,由g(x)g(y)-/(x)/(y)=g(x-y)得g(y)g(x)-/(y)/(x)=g(y-x),所以

g(y-x)=g(x-y),故g(無)是偶函數，所以D錯誤；

C選項,由題意得了(x-y)-g(x-y)=/(x)g(y)-/(y)g(x)-g(x)g(y)+/(x)〃y)

=[〃y)+g(y)][〃x)-g(x)],

令y=l得/(xT)-g(xT)="(l)+g(l)]"(x)—g(x)],

當/(l)+g(l)=l時，/(x-l)-g(x-l)=/(x)-g(x),

故/⑵-g⑵=/'⑴-g⑴，/⑶-g⑶=/'⑵-g⑵,依次求出，

7(2024)-g(2024)=[/(0)-城。]=-1,所以C正確.

故選：D

賦值法處理抽象函數，是解決抽象函數問題的關鍵，需要賦值法求出一些關鍵函數值，并結

合函數單調性和奇偶性定義進行求解.

9.BCD

【分析】對A：由正弦定理及倍角公式判斷；對B：用余弦定理及面積公式求解；對C：用余

弦定理及基本不等式求解；對D：構造/(x)=cosx+x,無eR利用其單調性判斷.

dhc

【詳解】對A：丁QCOS/=ccosC,由正弦定理---=-=----=2R,

sinAsinBsinC

sinAcosA=sinCcosC,BP2sinAcosA=2sinCcosC,

sin2A=sin2C,/.2/=2?；?Z+2C=兀，

即z=c或z+c=T，

.?.△45。是等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；

22+32—(6)_2

對=2,6=3,c=正,cosC=a———

2ab—2x2x3―f

,/sin2C+cos2C=1,0<C<兀,，sinC二?

/.S=—absinC=—x2x3x—=V-5，所以B正確；

4ABe223

12222

對C：A==V3,.\a=b+c-2bccosA,:.3=b+c-bef

3=(b+o)?-3bc,3bc=(b+c)2-3,

2

又bc&

b+c

(b+0)?—3V3I(Z)+C)2<12,,

又C<b+c,V3<b+c<2A/3

???周長的最大值為(〃+6+C)max=6+26=3>/J,故C正確;

對D：令/(x)=cosx+x,xeR,貝！J/'(x)=-sinx+1>0,

所以/(x)在R上為增函數,

cosA+A<sinB+1BI即cos/+/<cos]5

兀

所以/(4)</|B\,所以/<5-3,即N+8<W，故D正確.

故選：BCD

10.BCD

【分析】分別設定拋物線C和直線的方程，設〃(國,必)，N(z，%),聯立求得關于點M,N

坐標的韋達定理形式，進而轉化各個選項即可；選項A,將需=：轉化為：=-1,求解即

可；選項B,邑。的=；x^x|%-必I，求解即可；選項C,求得點M,N的坐標，進而求得點M,N

到直線＞=-4的距離，求解即可；選項D,設點尸到直線兒W的距離為d,可得

\sinZFMN-sin/WW|=1匕，求解即可.

【詳解】對A,設拋物線C：y2=2px,設直線九W：x=W+右70）,

y2=2Px

設”（國,"），N（x2,y2）,聯立《p,

x=ty~

2

則/-2p)-p2=0,yl+y2=2pt,yly2=-p,

MF3M313o

由于=7=彳,可得：=-[，代入上式得：-y2=2pt,--y2=-p,

解得：「=!，且直線MN的斜率為1,

48t

sin（y

設直線JW的傾斜角為。，則tan2a=48,且siYa+cos2a=l,tana=-----

cosa

則cos2a=」，解得cos6Z=±』，故A錯誤；

497

對B,設拋物線C：y2=2px,且直線MN的傾斜角為45。，

設直線血W：X=J+1,

y2=2px

設河（國,必），N（x2,y2）,聯立《n,

x=y+—

I2

貝I]y2-2py-p2=0.必+%=2p,=-p2,

S=XX

.OMN1f^2~yt1=gp）。-4（~p2）=“2,故B正確；

對C,由于點/（4,4）在拋物線c上，此時拋物線c：y2=4x,

設〃（國,%），N（%,%）,

設直線NM：x-4=t(y-4)(<^0),

則必-4力+16(-1)=0,解得必=4(舍去，此時重合)或必=4/4,

則點M到直線y=-4的距離為|弘+4|=|4?|,

同理可得，因為則N到直線'=-4的距離為

4

故所求距離之積為期一=16,故C正確；

t

對D,由于點4(2,2)在拋物線。上，此時拋物線C/=2x,

設直線/環(huán)y-7.=k(x-l)

與拋物線方程聯立可得打2一2y+4-4左=0,

4-4k2F，用-左替換可得力=-馬號,

貝=貝Uy.=一

kkk

k_加-YN_加―YN2_1

[rl||一XX—22'

則M-N應_九yM+yN2,

22

(2(1+.2+24]

則N1je，一-ir\

2(1-行]11

4±小?—2k12

故直線JW：y卜=2xk[即WT

12-2產

則點尸到直線MN的距離,2k25F-4Z,,、，

^\sinZFMN-sinZFNM\=

"K

]―如―一

即sinZFAGV-sinZFNM\=d——

11IzX1

XM+-2XN+2XMXN+](XM+xj7

^7.2AI

sinZFMN-sinAFNM\='~--32k3

2yl5k25公一24r+16'

165T

得|sinAFMN-sinZFNM\=?

2

25入24+空也

125k—I+16

kk

4

令t=5k——>1,

k

16161

故|sinAFMN-sinZFTWj=

V5F+16一石/+16,

161161_2/5

\sinZFMN-sinZ/W/j<

85

當且僅當，=4時等號成立，故D正確;

故選：BCD.

方法點睛：若點A在拋物線。上，且異于點A,kAM+kAN=O,則直線九W的斜率為定

值，且該定值為A處切線斜率的相反數.

11.AC

1

【分析】對A,對上分類討論，并作出分段函數的圖象求出最小值即可；對B,令「西*=工/-5

2

求出與,根據其單調性得到不等式，解出即可；對C和D結合圖象轉化為直線y=m與函數圖

象交點個數，并結合函數對稱性即可判斷.

1V、k

e+k,x>-k,/、I

【詳解】對A,/(x)=eM…,g(x)=5.22

1-x+gk

122

^ex+k>-1ex-t2,解得左“2空1n2.

23

當-平"<0時，作出函數/(X)和g(x)的圖象，如圖1所示.

k

此時，/?(x)=g(x),顯然當x=1?時，g(x)min=g

當發(fā)〈一等時，作出函數〃(x)的圖象，如圖2所示.

/(AinnA，g(x)mm=g04'所以"G)的最小值為g，

綜上〃(x)的最小值為/A正確.

圖2

對B,令b產=上苣，解得了產小硯-9，廠--屋料+紅

2八2/c-C

若g)在［0,In2］上單調遞增，則%=$11201112,解得《21n2.

因為當一號￡4左＜0時，人⑺在［0,+司上單調遞增，

所以左的取值范圍為(-s,-21n2］u-手,0),B錯誤.

對CD,若力(、)=加有3個不同的解A，巧，工3,則結合圖象可得

弘

=

再+%+%32x—+(一"—XQ)=——Hn2+-^―或%]+%2+x3=2、5—左=0,D錯誤.

2

—In2d----

若/z(x)=7%有4個不同的解，則加el,eA2,C正確.

\)

故選：AC.

關鍵點點睛：本題B選項的關鍵是結合圖象找到臨界位置，從而得到不等式，CD選項應結合

函數圖象，轉化為直線與函數圖象交點個數問題.

12.216ncm2

【分析】過圓柱的旋轉軸和正方體的一條側棱作截面，利用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】過圓柱的旋轉軸和正方體的一條側棱作截面，得截面圖如圖所示：

不妨設正方體的棱長為2a,球。的半徑為七則圓柱的底面直徑為2a,

因為正方體的體對角線即為球。直徑，故（2R）2=3x（2a『，得々=3/,

易知，截面中兩個矩形的對角線都是球的直徑，正方體的面對角線為20a，

所以，由勾股定理得：122+（2可2=（2.）2+（2及42,解得/=18，

球的表面積為S=47tT?2=471x3x18=216；!,

故2167tcm2

13.2或血

【分析】由雙曲線的定義和等腰三角形的定義，結合三角形的余弦定理和離心率公式，計算

可得所求值.

【詳解】設1環(huán)1=加，\PF2\=n,

由雙曲線的定義可得1孫1=2。+加，|尸片|=2a+〃，

由△g乙的面積是△尸可耳的面積的3倍，可得〃?=3〃，

又△NP4為等腰三角形，可得|橋|=|哂或|母;或|摘|=|尸聞，

若打胤=|尸￡|,則只能N,尸關于x軸對稱，此時與加=3〃矛盾，不符題意;

當|NP|=|NF1|,m+n=2a+mf可得〃=2〃，m=6a,\NF1\=8a,|PFX|=4a,

(8a>+(8a)2—(4a)7

在△2VP片中,cosZF}NP=

2x8ax8a1

在AN“中,期”叫=吟整產］，

化為。2=402,即6=￡=2;

a

2

當|NP|=|PFX|,即加+〃=2a+〃，可得加=2Q,n=—a\NFt\=4a,1幽1=5，

在ANP片中,3

4

在△西月中,C°S5『叱黑”小

關鍵點點睛：本題關鍵需要考慮全面，分三種情況討論，結合雙曲線的定義及余弦定理求出。、

c的關系.

14.①②④

【分析】使用空間向量設出各點的坐標，再對逐個選項分別求解.

【詳解】

設ABCDQABCQABDQACD的重心分別是T,G1,G2，G3.

以T為原點，①，無，科為x/，z軸正方向，建立空間直角坐標系.

/

則/0,0,

1732⑹「

且7(0,0,0),。-

399J2

三個內切圓的半徑均為心，且可設:

3

A

V3—?1」1,0|+sm4」，C獷6

G￡=——cosu?H―sin〃G/=cos%

626216189)

——?V3—?1——?f1守2c

G2P2=——cosv?BD+—sinv?GA=cosvsinv

622匕6。6'18'9,

——?百一?1——?/，26

G.R-——coswCD+—sinw-G.A=coswp,o,osinw0,

3362399

(1拒1.6i.262)

所以有4---------cos"+—sinw,--------cosu-

36----------692

7

.22.

cosv——sinv,---------cosv-------sinv,------F-----sinv

6921899

4147

2石2石.)

——cosw,-------+——sinw,——----smw

39999

7

對于①，當巴確定后，取鳥為鳥關于平面的對稱點，則6月垂直于平面/a,所以巴月垂

直于①正確;

對于②‘當"啖時’有

[Z_22y/3y/6_八2-\/32-\/6_(nr\

故他=5,—廠，一8-，4B=0,-,—--,

直接計算可知會?刀=而?瑟=0,所以此時耳巴滿足條件，②正確;

7T

對于③，此時耳鳥位于最上方，即"=V=W=,.

這時山川=|^|=|^|=，忸C|=g,點A到平面PtP2P3的距離為好.

276

所以此時叱_單)泊—,③錯誤;

~9~162

對于④，此時〃=-v=w,根據對稱性有R6卜出?=故

。(山村+山閭+|拶＜=|他『

V31V3

------cosw+—sinw——cos〃------sinw

(326)(326

8.4.13

=—sin2u—sinuH—

999

此時與上出的縱坐標都是好，故點A到平面片匕鳥的距離為歧一逅=逅，④正確.

6362

故①②④

關鍵點點睛：本題的關鍵在于對空間向量的計算與求解.

15.(1)證明見解析

4A/21

【分析】(1)過G作G〃〃3C交弧上一點，連結由

7T

ZFBH=ZABF+ZABH=—可得FBLBH,進而由線面垂直的判定定理證明BF1平面BCG,

2

從而由面面垂直的判定定理即可得證；

(2)根據題意，建立空間直角坐標系，設*利用向量法求平面8。尸與平面N3G夾角

的余弦值，而列方程求出。的值，從而向量法可求點E到直線8G的距離.

【詳解】(1)過G作GH//3C交弧上一點，連結GH,AH,BH,如圖所示：

*---------

則H為弧48的中點，則G/77/8C且G〃=8C,

所以四邊形〃3CG為平行四邊形，所以HB//CG.

TT

由題意可知，AFLAB,RtA/8尸為等腰直角三角形，則乙48尸=：；

4

因為G為弧的中點，所以=

TT

則為等腰直角三角形，則4

4

7T

所以NFBH=N4BF+NABH=萬,則五

因為〃5//GC,則必_LCG,又BC1BF,

又因為8C、CGu面5CG,BCcCG=C

所以AT_L平面BCG,因為BFu面AD尸，

所以平面3。尸，平面BCG.

(2)由題意知，4尸,43,4。兩兩垂直，所以A為坐標原點，

以/尸,48,40分別為x軸，了軸，z軸的空間直角坐標系，如圖所示:

則/（0,0,0）,F（4,0,0）,5（0,4,0）,0（0,0,a）,G（-2,2,?）,

50=（0,-4,a）,旃=（4,一4,0）,方=（0,4,0）,AG^（-2,2,a）,BG^（-2,-2,a）,

設平面BDF的一個法向量為點=(%%,zj,

7?BD=0-4y1+4=0

則令必=1,

4再—4凹=0

nx-BF=0

設平面4BG的一個法向量為萬2=(9,%/2),

n?AB=04%=0

則2即

-2X+2y+az=0

n2-AG=0222

設平面BDF與平面ABG的夾角為。

cos6=COSHj,n2解得。=4(負舍),

所以G（-2,2,4）,5（0,4,0）,￡（4,0,4）,

貝U數=（-2,-2,4）,BE=（4,-4,4）

-------?2

_2BEBG4標

d=BE.......-

\KI3

所以點石到直線5G的距離為坦.

3