2024-2025學年廣東省惠州市惠城區(qū)某校九年級（上）開學數學試卷+答案解析

2024-2025學年廣東省惠州市惠城區(qū)培英學校九年級（上）開學數學試

卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知△46。的三條邊分別為a,b,c,下列條件不能判斷△46。是直角三角形的是（）

A.c2=a2—B.ZA：NB：ZC=3：4：5

C.a=5,6=13，c=12D.ZA=Z.B+ZC/

2.下列計算正確的是（）

A.V3-=1B.2\/5+3\/5=5\/10

C.3*2核=6通）娓三愿=五

I力

3.下列方程中，①2/—1=0,②a/+法+c=0,③（c+2）（2—3）=/—3,④—=0,⑤/—萬=5,

XN

一元二次方程的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.若甲、乙、丙、丁四位同學在八年級第二學期4次數學測試的平均成績恰好都是85分，方差分別為

4=0.80,si=1.75,S需=0.32,s%=1.26,則成績最穩(wěn)定的同學是（）

A.TB.丙C.乙D.甲

5.如圖，一次函數?/=k立+匕的圖象與夕軸交于點4（0,3）,與x軸交于點

5（4,0）,則該函數的表達式為（）

4

A.g=--x+3

3.

B."=---x+3

4

4,

c.y=--X+4

O

3

D.y=—4①+4

6.如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）

第1頁，共19頁

A.當AB=8。時，它是菱形

B.當時，它是菱形

C.當AC=AD時，它是正方形

D.當AABC=90°時，它是矩形

7.若，瓦+2《+/，|=10,則x的值等于（）

A.4B.±2C.2D.±4

8.如圖，一個工人拿一個2.5米長的梯子，底端/放在距離墻根C點0.7米處，另一頭2點靠墻，如果梯子

的頂部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）

A.0.4B.0.6C.0.7D.0.8

9.“五一”期間，一體育用品商店搞優(yōu)惠促銷活動，其活動內容是：“凡在該商店一次性購物超過100元

者，超過100元的部分按九折優(yōu)惠”.在此活動中，小東到該商店為學校一次性購買單價為70元的籃球x個

儂＞2）,則小東應付貨款沙（元）與籃球個數力（個）的函數關系式是（）

A.g=G3x(x>2)B.y=63/+100(2>2)

C.y=63a?+10(2>2)D.y=63a;+90(/>2)

10.如圖，菱形/BCD中，ABAD=60°，AB=6，點E，尸分別在邊48,AD

上，將△ZEF沿M翻折得到△GEF,若點G恰好為CA邊的中點，則/￡的

長為（）

A.。

4

21

B-T

c.；A

4

D.3^3

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.若最簡二次根式石與3依二不是同類二次根式，則①=1

12.如圖，一根長為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm,高為12cm的圓柱形水杯中，牙

第2頁，共19頁

刷露在杯子外面的長度hcm,則h的取值范圍是.

13.已知一組數據：0,2,x,4,5的眾數是4,那么這組數據的中位數是.

2

14.已知。~,則Q?_2Q+9=-

15.在平面直角坐標系xQy中，直線加向左平移2個單位長度得到直線沙=1r+2,那么直線加與x軸的交

點坐標是.

16.如圖，在矩形A8CD中，8。=20cm,點尸和點0分別從點3和點。出發(fā)，按逆時針方向沿矩形4BCD

的邊運動，點尸和點。的速度分別為3cm/s和2cm/s,則最快s后，四邊形N3尸。成為矩形.

三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題7分）

計算：

（1）2\/12+3^11--1^/48；

-|1-\/3|-7F0+（；）T.

18.（本小題7分）

在一次大學生一年級新生訓練射擊訓練中，某小組的成績如表:

環(huán)數6789

人數1531

（1）該小組射擊數據的眾數是,中位數是；

（2）求該小組的平均成績；

（3）若8環(huán)（含8環(huán)）以上為優(yōu)秀射手，在1200名新生中有多少人可以評為優(yōu)秀射手？

19.（本小題7分）

如圖，四邊形/BCD中，NB=90°，8。=2追，48=2，CD=3-AD=5,求四邊形/BCD的面

積.

第3頁，共19頁

D

A

B

20.(本小題9分)

如圖，在口/BCD中，DElAC^f-E,BFLAC^F,ADAE=35°.

(1)求證：AAEDmACFB；

(2)求/CBF的度數.

21.(本小題9分)

如圖，已知一次函數?/=kc+b的圖象經過A(—2,—1),3(1,3)兩點，并且交x軸于點C,交y軸于點D

(1)求該一次函數的解析式；

(2)求△40B的面積.

22.(本小題9分)

已知關于x的一元二次方程/—(2m—l)c—3m2+m=0.

(1)求證：無論加為何值，方程總有實數根；

(2)若為，?是方程的兩個實數根，且必+叫=-得，求/的值.

力1122

23.(本小題12分)

細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題.

。用=(?>+1=2,$1="；OAj=12+(^)2=3,S=—；…

222

第4頁，共19頁

0^=12+(73)2=4,53=￥；…

(1)請用含有冗5為正整數)的等式表示上述變化規(guī)律：0/需=,sn=.

(2)若一個三角形的面積是2V計算說明它是第幾個三角形？

(3)求出S；++S狂…+S：的值.

24.(本小題12分)

綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師帶領同學們以“正方形和矩形的折疊”為主題開展數學活動.

(1)操作判斷

操作一：將正方形紙片N2CD依次沿對角線/C、3。對折，把紙片展平，折痕的交點為。；

操作二：在上取一點￡,在8C上取一點R沿M折疊，使點2落在點。處，然后延長交DC于點

G,連接FG.

如圖1是經過以上兩次操作后得到的圖形，則線段M和歹G的數量關系是.

(2)遷移思考

圖2是把矩形紙片ABCD按照(1)中的操作一和操作二得到的圖形.請判斷/￡,EF,/C三條線段之間有什

么數量關系？并僅就圖2證明你的判斷.

(3)拓展探索

AnAD

圖1圖2

第5頁，共19頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A,■.■c2=a2-b2,

：.必十°?=。2,

此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

B、設/4=3/，則N_B=42,NC=5/，

ZA+ZB+ZC=180%

.-.3x+42：+5x=180°,解得e=15°，

,-.ZC=5x15°=75°.

此三角形不是直角三角形，故本選項符合題意；

。、?.?52+122=132.

,此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

D、-/ZA+ZB+ZC=180°,ZA=ZB+ZC,

=90°，

,此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意.

故選：B.

根據勾股定理的逆定理及三角形內角和定理對各選項進行逐一判斷即可.

本題考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,C滿足&2+62=。2,那么這個三角形就是直

角三角形.也考查了三角形內角和定理，熟知以上知識是解答此題的關鍵.

2.【答案】D

【解析】解：4血與血不能合并，所以/選項不符合題意；

2.2通+3通=5通，所以2選項不符合題意；

C.3x2\/2=6\/2-所以。選項不符合題意；

D.4-\/3=\/64-3=\/2＞所以。選項符合題意.

故選：D.

利用二次根式的減法運算對/選項進行判斷；利用二次根式的加法運算對3選項進行判斷；利用二次根式

的乘法法則對C選項進行判斷；利用二次根式的除法法則對。選項進行判斷.

第6頁，共19頁

本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則、除法法則是解決問題

的關鍵.

3.【答案】B

【解析】解：當a=0時，方程a/+bz+c=0不是一元二次方程，

(a:+2)(2—3)=/—3,

整理得：-/一6=—3,是一元一次方程，不是一元二次方程，

工=0是分式方程，不是一元二次方程，

X

力

所以一元二次方程有2/—1=0，/-5=5,共2個，

故選：B.

根據一元二次方程的定義逐個判斷即可.

本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，只含有一個未知數，并且

所含未知數的項的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程.

4.【答案】B

【解析】解：:S帝=0.80,S3=L75,S需=0.32,S多=1.26,

扁<5有<Sy<,

成績最穩(wěn)定的同學是丙.

故選：B.

根據方差的定義，方差越小數據越穩(wěn)定，即可得出答案.

本題主要考查方差，解題的關鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數據的波動大小的一個量.方差越大,

則它與平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

5.【答案】B

【解析】解：?.,一次函數V=癡+b的圖象與y軸交于點4(0,3),與x軸交于點3(4,0),

.[3=b

-'\0=4k+6'

(b=3

解得\u

IZ3,

該函數的表達式為g=—~x+3,

故選：B.

根據一次函數？/=kN+6的圖象與〉軸交于點4(0,3),與x軸交于點3(4,0),列方程組計算即可.

第7頁，共19頁

本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數法求一次

函數的解析式是關鍵.

6.【答案】C

【解析】解：/、?.?四邊形N3CD是平行四邊形，

又,：AB=BC,

,平行四邊形/BCD是菱形，故本選項不符合題意；

8、；四邊形/BCD是平行四邊形，

y.■:AC-LBD,

二平行四邊形是菱形，故本選項不符合題意；

C、?二四邊形/BCD是平行四邊形，

又：AC=BD，

,平行四邊形是矩形，不一定是正方形，故本選項符合題意；

；四邊形/8CO是平行四邊形，

又?.?/48。=90。，

.??平行四邊形/BCD是矩形，故本選項不符合題意.

故選：C.

根據菱形、矩形、正方形的判定逐個判斷即可.

本題考查了菱形、矩形、正方形的判定，能正確運用判定定理進行判斷是解此題的關鍵.

7.【答案】C

【解析】解：原方程化為3V^3+反+V^3=10，

合并,得5，詬=10

y/2x=2>即2c=4,a?=2.故選。.

方程左邊化成最簡二次根式，再解方程.

同類二次根式是指幾個二次根式化簡成最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式.

二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并.

合并同類二次根式的實質是合并同類二次根式的系數，根指數與被開方數不變.

解無理方程，需要方程兩邊平方，注意檢驗算術平方根的結果為非負數.

8.【答案】D

第8頁，共19頁

【解析】解：?二48=2.5米，4。=0.7米，

BC=y/AB2-AC2=2.4（米），

?.?梯子的頂部下滑0.4米，

「.BE=0.4米，

.?.石。=3。-0.4=2米，

DC=y/DE2-EC2=1.5米.

二梯子的底部向外滑出AD=1.5-0.7=0.8（米）.

故選：D.

首先在直角三角形N3C中計算出C8長，再由題意可得EC長，再次在直角三角形EDC中計算出。。長，

從而可得/。的長度.

此題主要考查了勾股定理在實際生活中的應用，關鍵是掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的

平方.

9.【答案】C

【解析】解：?.?凡在該商店一次性購物超過100元者，超過100元的部分按九折優(yōu)惠，

二.小東到該商店為學校一次性購買單價為70元的籃球X個（N>2）,

則小東應付貨款沙（元）與籃球個數/（個）的函數關系式是：y=（70c-100）x0.9+100=63a;+10（?>2）,

故選：C.

根據已知表示出買x個籃球的總錢數以及優(yōu)惠后價格，進而得出等式即可.

此題主要考查了根據實際問題列一次函數解析式，根據已知得出貨款與籃球個數的等式是解題關鍵.

10.【答案】B

【解析】解：連接瓦入BG,如圖：

-,AB=BC=CD=6,AC=ABAD=60°，

.?.△BCD是等邊三角形，

?.?點G恰好為CD邊的中點，

第9頁，共19頁

.?.ZBGC=90%

在RtaBCG中，CG=^BC=3,

BG:VBC2-CG1=373，

設=則BE=6—/,

?.?AAEF沿M翻折得到AGEF,

：,EG=AE=x,

?.?四邊形48。是菱形，

：.CD//AB,

，/G5E=90°，

在RtZVBGE中，BE2+BG2=GE2.

(6-x)2+(3%/3)2=x2>

解得X=

4

故選：B.

連接5。、5G,根據四邊形45CZ)是菱形，可得AB=BC=CD=6,ZC=ZBAD=60°，"CD是

等邊三角形，又點G恰好為CD邊的中點，得/日7。=90°，在RtZXBCG中，CG=^BC=3,

BG=y/BC2-CG2=3\/3>設/E=,,則_BE=6—2,在RtZXBGE中,有(6—工產+(3通了=/,

即可解得/=?21.

4

本題考查菱形中的折疊問題，解題的關鍵是掌握折疊的性質，熟練應用勾股定理列方程解決問題.

11.【答案】5

【解析】解：由題意得：/—4立=10—c，

解得：2=5或立=一2,

當立=-2是不滿足為最簡二次根式，故舍去.

故答案為：5.

根據同類二次根式的被開方數相同可得出關于x的方程，解出即可.

本題考查同類二次根式的知識，難度不大，注意求出x之后檢驗是否滿足題意.

12.【答案】5〈九46

【解析】解：當牙刷與杯底垂直時為最大，〃最大=18—12=6(c?n).

第10頁，共19頁

當牙刷與杯底及杯高構成直角三角形時h最小,

如圖，此時，AB=+BC2=，耍+52=13(sz)，

則/t=18-13=5(cm).

的取值范圍是5(八<6.

故答案為：

根據杯子內牙刷的長度取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案.

此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內牙刷的取值范圍是解決問題的關鍵.

13.【答案】4

【解析】解：?.?數據0,2,x,4,5的眾數是4,

/.x=4,

這組數據按照從小到大的順序排列為：0,2,4,4,5,

則中位數為：4.

故答案為：4.

根據眾數為4,可得立=4,然后把這組數據按照從小到大的順序排列，找出中位數.

本題考查了中位數的知識：將一組數據按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數據的個數是奇數，

則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是

這組數據的中位數.

14.【答案】11

【解析】解：=7----

>/3-1

請一2a+9

=一2Q+1+8

=（Q—I）?+8

="2+8

=3+8

=11.

故答案為：11.

根據分母有理化得a=廠/(今匕)、=通+1,再利用完全平方公式得Q2—2Q+9=(Q-+8,

第n頁，共19頁

代入計算即可.

本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握分母有理化的方法是關鍵.

15.【答案】(-6,0)

【解析】解：?.?直線g=；c+2向左平移2個單位長度得到直線加

直線m的解析式為y=+2)+2=3+3,

,當沙=0時，；，+3=0,

解得/=一6,

,直線加與x軸的交點坐標是(-6,0).

故答案為：(—6,0).

首先求出直線〃?的解析式為沙=；(2+2)+2=$+3,然后再計算出當?/=0時，x的值，進而可得直線

m與x軸的交點坐標.

此題主要考查了一次函數圖象與幾何變換，關鍵是掌握直線沙=+6向左平移。個單位，則解析式為

y=k(x+a)+b.

16.【答案】4

【解析】【分析】

本題考查了矩形的判定與性質，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.根據矩形的性質，可得2C與/。的

關系，根據矩形的判定定理，可得BP=4Q,構建一元L次方程，可得答案.

【解答】

解：設最快x秒，四邊形/8P。成為矩形，由5P=AQ得

3c=20-2x.

解得2=4,

故答案為4.

17.【答案】解：(1)原式=4禽+2禽_生1—生芻，

33

=2存

(2)712-11-\/3|-7r°+(；)T

=2通—(通—1)—1+2

第12頁，共19頁

=2y/3-+1+1

=\/3+2.

【解析】(1)先化簡二次根式，后合并同類項即可；

(2)直接根據完全平方公式展開計算.

本題考查了負整數指數幕，零指數和實數的混合運算，掌握相應的運算法則是關鍵.

18.【答案】77

【解析】解：(1)1?射擊7環(huán)數的人數有5個，人數最多，

,該小組射擊數據的眾數是7；

共10人，中位數為第5和第6人的平均數，即望=7,

故答案為：7,7；

(2)該小組的平均成績?yōu)椋?(6+7x5+8x3+9)=7.4(環(huán))；

(3)根據題意得：

4

1200x^=480(名)，

答：在1200名新生中有480名可以評為優(yōu)秀射手.

(1)根據眾數和中位數的定義即可得出答案；

(2)根據平均數的計算公式進行計算即可；

(3)用1200乘以優(yōu)秀選手所占的百分比即可得出答案.

此題考查了眾數、平均數和用樣本估計總體，掌握眾數的定義、用樣本估計總體和平均數的計算公式是本

題的關鍵.

19.【答案】解：在△ABC中，ZB=90°>BO=2g，48=2,

由勾股定理得：AC=VAB2+BC2=4，

?.-CD=3,AD=5，

：.AC2+CD2=AD^

.?.400=90°，

即AC1CD；

二.四邊形ABCD的面積S=S4ABC+S^ACD,

第13頁，共19頁

=IxABxBC+1x4CxCD,

=5x2x2\/3^+gx3x4,

=2A/3+6.

【解析】⑴根據勾股定理求出/C,求出4。2+。02=4。2,再根據勾股定理的逆定理得出

求出△48。和△47。的面積，相加即可得出答案.

本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積等知識點，能求出/ACO=90°是解此題的關鍵.

20.【答案】(1)證明：在平行四邊形A8CD中，AD=CB，

5LAD//BC,

：2DAE=4BCF,

■：DELAC，BFLAC.

：,ADEA=ABFC=90°,

在△ZE。和△CF8中，

[ADEA=ABFC

<NDAE=NBCF,

(AD=BC

.?.△4EO之△CTB(44S)；

(2)解：在中，N0AE=35°，NOEA=C=90°，

AADE=90°-/DAE=55°,

■：/\AED^/\CFB{AAS),

：.4CBF=AADE=55°.

【解析】(1)利用平行四邊形的性質得出4。=B。，ADAE^ABCA,進而利用全等三角形的判定得出

即可；

(2)在中根據/。4￡=35°，/。E4=。=90°得到乙4。E=90°—/。4石=55°,然后根據

△AED0/XCFB,求得NCBF=NADE=55°.

考查了平行四邊形的性質及全等三角形的判定與性質，得出是解題關鍵.

21.【答案】解:⑴把4(一2,—1),8(1,3)代入?/=岫+6得，

—2k+b=—1

k+b=3

第14頁，共19頁

45

所以一次函數解析式為y=-x+l；

OO

454

⑵把立=o代入沙=百立+3得沙=5，

OOO

所以。點坐標為(0,芻，

O

所以△403的面積=S/\AOD+S2BOD

15cl5[

=-x-x2+-x-xl

2323

5

=2,

【解析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，三角形的面積.解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求一

次函數解析式.

(1)先把4點和點5的坐標代入g=k6+b得到關于Ab的方程組，解方程組得到A6的值，從而得到一

次函數的解析式；

(2)先確定。點坐標，然后根據三角形面積公式利用△406的面積=S^AOD+S/X30。進行計算.

22.【答案】⑴證明：,「△=[—(2m—I)]2—4x1x(—3m2+m)

=4m2—4m+1+12m2—4m

=16m2—8m+1

=(4771—1)220,

方程總有實數根；

(2)解：由題意知，/1+62=2加一1,X1X2=-3m2+m,

.&+也=—+)=(3+式_2=_3,

?XiX2力1122

已7nD----2=-?，整理得5m2-76+2=0，

—3m2+m2

2

解得772=1或772=?.

5

【解析】⑴由判別式△=(4m—1)220,可得答案；

⑵根據根與系數的關系知為+工2=2m—1,叩2=—3m2+m，由/+/—|進行變形直接代入得到

5m2-7m+2=0-求解可得.

第15頁，共19頁

本題考查了根與系數的關系：若力1，62是一元二次方程a/+法+C=0(Q/0)的兩根時,力1+/2=-

C

力述2=-?也考查了根的判別式.

a

23.【答案】〃；①

2

【解析】解：(1)因為每一個三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：=V2,

OA2

OA3=\/30An=\/n,所以。蜀=rz.Sn=glv歷=故：答案為“與，

⑵當&=20時，有：22=?，解之得：n=32

即：說明它是第32個三角形.

⑶蛻+S：+S狂…+S；

129

=4+4+"，+4

=”2.5

4

即：S：+S"&+???+$；的值為12.5

(1)由勾股定理及直角三角形的面積求解(2)利用(1)的規(guī)律代入與=2g求出?即可.(3)算出第一到第九

個三角形的面積后求和即可.

本題考查了勾股定理以及二次根式的應用，解題的關鍵是看清楚相鄰兩個三角形的各個邊之間的關系.

24.【答案】解：(1)EF=FG.

(2)4E,EF,尸。三條線段之間的數量關系是：AE2+CF2^EF2.

證明如下：

?.?四邊形48。為矩形，點。為對角線NC,5。的交點，

:.AB//CD,OA=OC,/45。=90°，

:"OAE=NOCG，

在△04E和△OCG中，

[LOAE=40CG

\OA=OC,

[^AOE=ACOG

：./\OAE^/\OCG{ASA),

：,AE^CG，OE=OG，

由折疊的性質得：AEOF=AABC=^°,

即：OFJ_EG，

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OF為EG的垂直平分線，

:.EF=FG,

在RtAFCG中，由勾股定理得：CG2+FC2=FG2>

即：AE2+FC2=EF2.

⑶鴻?

【解析】【分析】

本題主要考查了圖形的翻折變換及性質，正方形的性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，線段垂

直平分線的性質，勾股定理等，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握圖形的翻折變換及性質.

(1)線段所和尸G的數量關系是：石F=FC.先證△04E和△OOG全等得OE=OG，再由折疊的性質

得NEOF=N4BC=90°，據此