2024-2025學年廣西某中學九年級（上）開學數(shù)學試卷（含詳解）

2024-2025學年廣西大學附中九年級（上）開學數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A./+y=3B.3%+y-5=0C.x+?3D./-8=0

2.下列垃圾分類的標志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

3.如圖，四邊形4BCD內接于。。，若NC=125。，貝吐力的度數(shù)為（）

A.25°

B.30°

C.50°

D.55°

4.若二次函數(shù)y=a/的圖象經(jīng)過點p（—2,4）,則該圖象必經(jīng)過點（）

A.(2,4)B.(-2,-4)C.(-4,2)D.(4,-2)

5.若比1，%2是方程/-6x-7=0的兩個根，則（）

c7

A.X1+久2=6B.xr+x2=—6C.久1久2=dD.=7

6.將拋物線y=（x-+2向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，得到的拋物線為（）

A.y=（%—I）2+4B.y=（%—4）2+4C.y=（x+2）2+6D.y=（x—4）2+6

7.據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的怒022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可

支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x,依題

意可列方程為（）

A.3.2(1-%)2=3.7B.3.2(1+久＞=3.7C.3.7(1-%)2=3.2D.3.7(1+%)2=3.2

8.如圖，在AABC中,AB=80°,ZC=65°,將AABC繞點4逆時針旋轉得到△AB'C'.當4B'落在4c上時,

NB4C'的度數(shù)為（）

A.65°B.70°

C.80°D.85°

9.關于x的一元二次方程/+4久一k=0有兩個相等的實數(shù)根，貝也的值為（）

A.-4B.4C.0D.16

10.已知4（一1,%），8（2,%），。（4,%）是二次函數(shù)丫=一/+2x+c的圖象上的三個點，則y2,為的大

小關系為（）

A.yi<y2<y3B.y2<yi<為C.71<y3<y2D.為<%<y2

11.數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上

任取兩點4B,連接48,作的垂直平分線CO交A3于點0,交卷于點C,測出AB=40sn,CD=

10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cm

B.35cm

C.25cm

D.20cm

12.如圖，拋物線小：y=a/+b（a<>0）與X軸于點4、8（點2在點8的左側），與y軸交于點C.將拋物

線加繞點B旋轉180。，得到新的拋物線幾，它的頂點為的，與黑軸的另一個交點為久若四邊形ACi&C為矩

形，則a,b應滿足的關系式為（

A.ab=—2B.ab=—3C.ab=—4D.ab=—5

二、填空題：本題共6小題，每小題2分，共12分。

13.拋物線y=（%-2）2+5的頂點坐標是

14.一元二次方程2/=9x+5化為一般形式之后，則一次項的系數(shù)為

15.拋物線y=ax2+bx+c（a豐0）的部分圖象如圖所示，其與無軸的一個交點坐

標為（-3,0）,對稱軸為直線刀=-1,拋物線與久軸的另一個交點坐標為

16.一元二次方程4x（久-2）=%-2的解為

17.點尸是正五邊形2BCDE邊DE的中點，連接BF并延長

與CD延長線交于點G,貝此BGC的度數(shù)為

18.仇章算術》中記載：“今有勾六步，股八步.問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個直角三角形，勾（

短

直角邊）長為6步，股（長直角邊）長為8步，則該直角三角形內切圓的直徑是等于步.

三、計算題：本大題共1小題，共6分。

19.解一元二次方程：x2-4x+3=0

四、解答題：本題共7小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

20.（本小題6分）

計算：-F+（^/^—7r一弓）-1+

21.（本小題10分）

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為4（1,4）,8（4,2）,C（3,5）.

（1）畫出A/IBC關于原點。成中心對稱的AHiBiCi，并寫出點Ci的坐標;

⑵將△A8C繞原點。逆時針旋轉90。得到△482C2，畫出△%82。2，并寫出點4的坐標?

y

22.（本小題10分）

如圖，在△力8c中，AB=AC,以48為直徑的O。分別交AC、于點。、E.

（1）求證：BE=CE；

(2)若4B=6,Z5XC=54°,求筋的長.

D

BEC

23.(本小題10分)

一次足球訓練中，小明從球門正前方8爪的a處射門，球射向球門的路線呈拋物線.當球飛行的水平距離為

6zn時，球達到最高點，此時球離地面3zn.已知球門高OB為2.44m,現(xiàn)以。為原點建立如圖所示直角坐標

系.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門(忽略其他因素);

(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多

少米射門，才能讓足球經(jīng)過點。正上方2,25巾處？

y(m)

24.(本小題10分)

如圖，△力BC內接于。。，是。。的直徑，點E在。。上，點C是靛的中點，AE1CD,垂足為點D,

DC的延長線交48的延長線于點F.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若CD=G^ABC=60°,求線段4F的長.

25.(本小題10分)

課堂上，數(shù)學老師組織同學們圍繞關于久的二次函數(shù)y=x2+2ax+a-3的最值問題展開探究.

【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法.

(1)老師給出a=-4,求二次函數(shù)y=x2+2ax+a-3的最小值.

①請你寫出對應的函數(shù)解析式；

②求當x取何值時，函數(shù)y有最小值，并寫出此時的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數(shù)在支取何值時，y的最小值.記錄結果，并整理

成如表：

a-4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*為②的計算結果.

【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學們結合學過的函數(shù)知識，觀察表格，談談你的發(fā)現(xiàn)

甲同學：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取久=-a,就能得到y(tǒng)的最小值

乙同學：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜

想y的最小值中存在最大值”

(2)請結合函數(shù)解析式y(tǒng)=/+23+a-3,解釋甲同學的說法是否合理？

(3)你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由.

26.(本小題10分)

如圖1,在AABC中，ZC=90°,^ABC=30°,AC=1,D為△ABC內部的一動點(不在邊上)，連接BD,

將線段BD繞點。逆時針旋轉60。，使點B到達點F的位置；將線段4B繞點B順時針旋轉60。，使點4到達點E

的位置，連接力D,CD,AE,AF,BF,EF.

⑴求證：4BDA義ABFE；

(2)當CD+DF+FE取得最小值時，求證：AD//BF-,

(3)如圖2,M,N,P分別是OF,AF,4E的中點，連接MP,NP,在點。運動的過程中，請判斷4MPN的

大小是否為定值.若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由.

N

BB

①②

答案解析

1.D

【解析】解：力、選項中有兩個未知數(shù)，所以不是一元二次方程；

8、選項中有兩個未知數(shù)，所以不是一元二次方程；

C、選項中未知數(shù)出現(xiàn)在分母里，不是整式方程，所以不是一元二次方程；

。、選項中未知數(shù)只有一個并且未知數(shù)的次數(shù)最高為2次，所以是一元二次方程；

故選：D.

根據(jù)一元二次方程的概念進行判斷即可.

本題主要考查一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程的概念是解決本題的關鍵.

2.B

【解析】解：力、該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

8、該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

。、該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：B.

中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個

圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重臺，這樣

的圖形叫做軸對稱圖形.根據(jù)定義依次對各個選項進行判斷即可.

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.正確掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形定義是解題關鍵.

3.D

【解析】解：???四邊形力BCD內接于。。，

NC+乙4=180°,

???ZC=125°,

ZX=55°,

故選：D.

根據(jù)圓內接四邊形的對角互補計算即可.

本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟記圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵.

4.A

【解析】解：???二次函數(shù)y=a/的對稱軸為y軸，

.??若圖象經(jīng)過點P(-2,4),

則該圖象必經(jīng)過點(2,4).

故選：A.

5.A

【解析】解：乂2是方程/一6久-7=0的兩個根，

-6-7

?,?%1+%2=——=6,XrX2=———7.

故選：4

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，分別求出兩根之和與兩根之積，進行判斷即可.

本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題關鍵是熟練掌握利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，

求出兩根之和與兩根之積.

6.5

【解析】解：將拋物線y=。-1)2+2向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后所得拋物線解析

式為y=(X_1_3)2+2+2,即y=(x—4)2+4；

故選：B.

直接根據(jù)平移規(guī)律作答即可.

此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析

式.

1.B

【解析】解：由題意得：3.2(1+久＞=3.7,

故選：B.

根據(jù)2020年的人均可支配收入X(1+年平均增長率產(chǎn)=2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即

可.

此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

8.B

【解析】解：由旋轉的性質可得出NB'AC'=NB4C,

???ABAC+ZB+ZC=180°,

.-?乙BAC=180°-80°-65°=35°,

/.B'AC=Z.BAC=35°,

ABAC=^BAC+^B'AC=70°,

故選：B.

由三角形內角和定理可得出NB'AC'=4BAC=35°,最后根據(jù)角的和差關系即可得出答案.

本題主要考查了旋轉的性質，掌握三角形內角和定理，由旋轉的性質可得NB'AC'=NB4C是解題的關鍵.

9.A

【解析】解；???關于x的一元二次方程/+4%-fc=0有兩個相等的實數(shù)根，

21=42+4fc=0,

k=-4,

故選：A.

根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可.

本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟知對于一元二次方程a/+版+c=0Q力0）,若/=62-

4ac>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若Z=b2—4ac=0,則方程有兩個相等的實數(shù)根，若/=爐-

4ac<0,則方程沒有實數(shù)根是解題的關鍵.

10.D

【解析】解:因為二次函數(shù)解析式為y=一/+2x+c,

所以拋物線的對稱軸為直線久=1,且開口向下，

則拋物線上的點，離對稱軸越遠，其函數(shù)值越小.

因為1一（-1）=2,2-1=1,4-1=3,且3>2>1,

所以乃<Yi<y2-

故選：D.

根據(jù)所給函數(shù)解析式，得出拋物線的對稱軸及開口方向，再根據(jù)4,B,C三點離對稱軸的遠近即可解決問

題.

本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵.

11.C

【解析】解：設圓心為。，連接。B,如圖所示，3

???CD垂直平分48,AB=40cm,

…-XB

...BD=20cm,'\

???CD=10cm,OC=OB,\

?**OD=OB-10,

???乙ODB=90°,

OD2+BD2=OB2,

(OB-10)2+202=OB2,

解得OB=25,

即圓形工件的半徑為25cm,

故選：C.

根據(jù)垂徑定理可以得到BD的長，再根據(jù)勾股定理，即可求得圓形工件的半徑.

本題考查垂徑定理的應用、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

12.B

【解析】解：令％=0,得：y=b..-.C(0,/>).

令y=0,得：a/+6=0,久=±J-；.X(—/—0),-g,0),

AB=2BC=VOC2+OB2=b2

\a\a

要使平行四邊形4C1&C是矩形，必須滿足力B=BC,

???ab=-3.

a,b應滿足關系式ab=-3.

故選:B.

利用矩形性質得出要使平行四邊形4G&C是矩形，必須滿足力B=BC,即可求出.

此題主要考查了平行四邊形的性質以及矩形的性質和點的坐標關于一點中心對稱的性質，靈活應用平行四

邊形的性質是解決問題的關鍵.

13.(2,5)

【解析】解：???拋物線y=0—2)2+5,

?,?頂點坐標為：(2,5).

故答案為：(2,5).

由于拋物線y=a(x-h)2+k的頂點坐標為(八,k),由此即可求解.

此題主要考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟練掌握拋物線的頂點坐標公式即可解決問題.

14.-9

【解析】解：2K2=9尤+5,

2%2-9%-5=0,

.?.一次項的系數(shù)為-9；

故答案為：-9.

根據(jù)一元二次方程的一般形式a/+族+c=0(aK0),其中a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)

項，進行作答即可.

本題考查一元二次方程的一般形式，解決本題的關鍵是掌握一元二次方程的一般形式是：a/+法+。=

0(a,b,c是常數(shù)且a豐0).

15.(1,0)

【解析】解：???拋物線與x軸的一個交點坐標為(-3,0),對稱軸為直線％=-1,

???拋物線與x軸的另一個交點坐標為(1,0),

故答案為：(1,0).

根據(jù)拋物線的對稱性解答即可.

本題考查的是拋物線與x軸的交點坐標，正確理解拋物線的對稱性是解題的關鍵.

16.X1=2,%2=,

【解析】解：4x(x-2)=x-2

4x(x—2)—(x—2)=0

(x-2)(4%-1)=0

x—2=0或4久—1=0

=

解得乂1=2,%27-

故答案為：X1=2,%2=7-

根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可.

本題考查了一元二次方程-因式分解法，解決本題的關鍵是掌握因式分解法.

17.18°

【解析】解:由正五邊形的性質可知，BG是正五邊形4BCDE的對稱軸，

.-.乙DFG=90°,

???NFDG是正五邊形ABCDE的外角，

360°

???乙FDG=詈=72°,

???乙BGC=90°-72°=18°,

故答案為：18°.

由正五邊形的對稱性得出是正五邊形ABCDE的對稱軸，進而得到BGIDE,再求出正五邊形的外角的

度數(shù)，由三角形內角和定理即可得出答案.

本題考查正多邊形，掌握正五邊形的性質以及三角形內角和定理是正確解答的關鍵.

18.4

【解析】解:連接。。、0E,如下圖:

由題意可得AC、AB、BC與。。相切，AC=8步，BC=6步，

.-.ZC=乙OED=AODC=90°,BD=BF,CD=CE,AF=AE,

???四邊形ODCE為矩形，AB=y/AC2+BC2=V82+62=10(步)，

又,:OD=OE,

矩形。DCE為正方形，

設半徑為r，貝!ICD=。。=CE=r步，

AF=AE=(8-r)步,BF=BD=(6—r)步,

8—r+6—r=10,

解得r=2,

???圓的直徑為2X2=4(步)，

故答案為：4.

根據(jù)切線長定理結合勾股定理進行求解即可.

本題考查求直角三角形的內切圓的半徑，勾股定理，熟練掌握切線長定理以及勾股定理是解答本題的關

鍵.

19.1?：(x-3)(x-l)=0,

x—3—?；騲—1=0,

所以久1-3,小=L

【解析】利用因式分解法解方程.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法

簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

20.解：一12+(4-71)。一(；)一1+『,

=-1+1—2—2,

=—4.

【解析】先根據(jù)乘方、零次幕、負整數(shù)次累、立方根化簡，然后再進行計算即可.

本題主要考查了實數(shù)的混合運算、零次幕、負整數(shù)次塞、立方根等知識點，靈活運用相關運算法則成為解

題的關鍵.

21.解：(1)如圖:△4516即為所求；點6的坐標(—3,-5).

(2)如圖：△&82。2即為所求；點4的坐標(一4,1).

【解析】(1)先根據(jù)中心對稱的定義得到力、B、C的對稱點

①、B］、C1；然后順次連接即可完成作圖；最后再確定點G

的坐標即可；

(2)先根據(jù)中心對稱的定義得到力、B、C的對稱點人2、4、

C2,然后順次連接即可完成作圖；最后再確定點42的坐標即

可.

本題主要考查了中心對稱作圖、旋轉作圖等知識點，根據(jù)題意找到三角形頂點的對應點成為解題的關鍵.

22.(1)證明：如圖，連接

???AB是圓。的直徑，

.-./.AEB=90°,

即ZE1BC.

XvAB=AC,

4E是邊上的中線,

BE=CE；

(2)解：???4B=6,

???OA=3.

X'--OA=OD,/.BAC=54°,

.-./.AOD=180°-2x54°=72°,

???尬的長為：工器=色

【解析】本題考查了圓周角定理、弧長的計算以及等腰三角形的判定與性質.通過作輔助線，利用圓周角

定理(或圓半徑相等)的性質求得相關角的度數(shù)是解題的難點.

(1)如圖，連接4E,利用圓周角定理推知力E是等腰△ABC的垂線，結合等腰三角形的性質證得結論；

(2)如圖，連接。D,利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理可以求得圓心角乙4。。的度數(shù)，然后利用

弧長公式進行解答.

23.解：(1)■.-8-6=2,

拋物線的頂點坐標為(2,3),

設拋物線為y=a(x—2產(chǎn)+3,

把點4(8,0)代入得:36a+3=0,

解得a=—今，

???拋物線的函數(shù)表達式為y=—今。一2產(chǎn)+3；

當x=0時，y=-^x4+3=|>2.44,

???球不能射進球門.

(2)設小明帶球向正后方移動小米，則移動后的拋物線為y=-^(%-2-m)2+3,

把點(0,2.25)代入得：2.25=一2(0—2-機尸+3,

解得TH=-5(舍去)或TH=1,

???當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點。正上方2.25m處.

【解析】(1)求出拋物線的頂點坐標為(2,3),設拋物線為y=a(%-2)2+3,用待定系數(shù)法可得y=

-2)2+3；當％=0時，y=-*X4+3=號>2.44,知球不能射進球門.

(2)設小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y=—2。-2-m)2+3,把點(0,2.25)代入得

爪=-5(舍去)或加=1,即知當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點。正上方2.25小

處.

本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，把實際問題轉化為數(shù)學問題解決.

24.(1)證明：連接。C,

,?,點C是前的中點，

???BC=CE>

Z.BAC=Z.CAE,

???0C=0A,

???Z-OCA=/-OAC,

???乙OCA=Z.CAD,

??.OC//AD,

AE1CD,

???OC1DF,

???oc是。。的半徑，

??.CD是。。的切線；

(2)解：,.?AB是。。的直徑，

???乙ACB=90°,

???乙ABC=60°,

???^BAC=30°,

???^LCAD=A.BAC=30°,

???乙D=90°,CD=V3,

??.AD=y[3CD=3,

???Z.F=180°-ZD-乙BAD=30°,

??.AF=2AD=6.

【解析】(1)連接。C,由點C是曲的中點，得到詫=CE,根據(jù)圓周角定理得到ABAC=NC4E,求得

N0C2=NC4D,根據(jù)平行線的性質得到。ClDF,根據(jù)切線的判定定理得到結論；

(2)根據(jù)圓周角定理得到乙4cB=90。，求得N82C=30°,得到4。=73CD=3,根據(jù)直角三角形的性質得

到結論.

本題考查了切線的判定和性質，圓周角定理正確地作出輔助線是解題的關鍵.

25.解：(1)①a=—4,y=x2+2ax+a—3—x2—8x—7；

②當％=-及=4時，y取得最小值為：16-32-7=-23；

(2)合理,理由:

???1>0,故函數(shù)有最小值，

當x=-5=-c［時，y取得最小值，

故甲同學的說法合理；

(3)正確，理由：

當久=-a時，y=%2+2ax+a—3=—a2+a—3,

v-1<0,故y有最大值，

當。=之時，y的最大值為：一］+之一3=一日.

【解析】(1)①a=-4,y=x2+2ax+a—3=x2—8x—7；

②當x=—2=4時，y取得最小值，即可求解；

(2)1>0,故函數(shù)有最小值，即可求解

(3)當x=-a時，y=x2+2ax+a—3=-a2+a—3,—1<0,故y有最大值，即可求解.

本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到二次函數(shù)的圖象和性質、函數(shù)最值得求解等，熟悉函數(shù)的性質是

解題的關鍵.

26.解：(1)證明：由旋轉的性質可得DB=。尸，ABDF=60°,AB=EB,^ABE=60°,

：.△8。尸是等邊三角形，BD=BF,

：.4DBF=乙ABE=60°,

???乙DBF-Z.ABF=乙ABE—乙ABF,

??.Z.ABD=乙EBF,

在△BD4與中