湖南省部分學校2024-2025學年高三年級上冊8月入學考試 數學試題（含解析）

湖南省高三年級入學考試

數學

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1若x+2i=.v+l—xi（x,yeR）,則,+貞|=（）

A.岳B.13C.5D.25

2.若函數歹=5吊6辦（0>0）的最小正周期不小于3兀，則（）

33

A.0的最小值為5B.0的最大值為5

22

C.0的最小值為§D.0的最大值為§

3,若集合4=&）=丁+2?，5=”2+3%<10｝,則/正（）

A."）B.E）/52）口…）

-_3—=l（o>0,Z）>0）pp

4.若離心率為2的雙曲線ab~的左、右焦點分別為右頂點為Z,則（）

A用=3麗B郎=4麗

CRA=5AF2口KA=6AF2

5.若兩個等比數列｛"'｝'｛a｝的公比相等,且可+々=1,2%+%+2與+4=0,則數列｛%+4｝的前7

項和為（）

A.-43B.43C.-47D.47

6.若隨機變量Z服從正態(tài)分布~3〃），則尸（Z<〃+a）。0.8413,為了解使用新技術后的某果園的畝

收入（單位：萬元）情況，從該果園抽取樣本，得到使用新技術后畝收入的樣本均值元=3.2,樣本方差

d=L44.已知該果園使用新技術前的畝收入X（單位：萬元）服從正態(tài)分布"（2?8，144）,假設使用新

技術后的畝收入丫服從正態(tài)分布NG"）,則（）

（）（）

AA.PX<4>Py>2

B尸(X<4)+尸(Y>2)<1.68

CP(X<4)<P(Y>2)

D尸(X<4)+尸(Y>2)>1.68

c、rtan2?-tan2>0…

tan(za+/)=7,--------------J=21

7,若1-tanatan一6,則tan2a=(

_11021

A.2B.-2C.21D.10

C:x=J4-v2

.已知直線"：”=）

8"v-3與曲線2"有兩個公共點，則加的取值范圍是（

（巫巫］（1（巫力（萬小

AA一三‘三,JBA一丁」cd一工JDA一工」

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某部門30名員工一年中請假天數（未請假則請假天數為0）與對應人數的柱形圖（圖中只有請假天數為

0的未顯示）如圖所示，則（）

A.該部門一年中請假天數為0的人數為10

B.該部門一年中請假天數大于5的人數為10

C.這30名員工一年中請假天數的第40百分位數為4

D.這30名員工一年中請假天數的平均數小于4

/（x）=x--（|x|>l）

10.已知函數工，則（）

A.73為奇函數

B./G）在其定義域內為增函數

c.曲線y=/（x）的切線的斜率的最大值為2

D.曲線，=/0）上任意一點與'（―1，°），B（1，°）兩點連線的斜率之和為定值

11.若S，T為某空間幾何體表面上的任意兩點，則這兩點的距離的最大值稱為該幾何體的線長度.已知圓錐

0°的底面直徑與線長度分別為2,4,正四棱臺48co-4與￡2的線長度為6,且48=2,4片=4,

則（）

8百

----71

A.圓錐尸。的體積為3

B.24與底面44GA所成角的正切值為3

2屈

C.圓錐尸。內切球的線長度為5

D.正四棱臺ABCD—481Goi外接球的表面積為42兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

5

]2^lgx=v,lgy=l>則戶.

升〃4°：仔+丫2—11一8（?+/）+15=0

13.曲線I,）V.）的周長為.

14.如圖，現有兩排座位，第一排3個座位，第二排5個座位，將8人（含甲、乙、丙）隨機安排在這兩排座

位上，則甲、乙、丙3人的座位互不相鄰（相鄰包括左右相鄰和前后相鄰）的概率為.

□□□□□

□□□

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知"電掰+2），B（24,m+8）是拋物線C:y2=2Px（p>1）上的兩點

（1）求°的準線方程；

（2）若直線尸丘+'—°）經過。的焦點，且與。交于尸，。兩點，求歸。什）的最小值.

16.（15分）

如圖，在直三棱柱“8C—4與。|中，。為44的中點.

（1）證明：與。〃平面ZCQ.

（2）若叫=5,"=BC=6,/B=1O,求二面角。―NO—4的余弦值.

17.（15分）

在A48c中,“。分別是內角4,C的對邊,^b2+c2=5

b+c=3,cos4=,D

（1）若4為BC的中點，求40的長；

.A_V69.zr^\_^69,V10

SIIL4COSC-,sin（4—C）=,1<b<

⑵若16242,求A的值.

18.（17分）

在圖靈測試中，測試者提出一個問題，由機器和人各自獨立作答，測試者看不到回答者是人還是機器，只

能通過回答的結果來判斷回答者是人還是機器.提出的問題是選擇題，有3個選項，且只有1個是正確選項,

機器和人分別從這3個選項中選擇1個進行作答.當機器和人中只有一個回答正確時，則將對的一方判斷為

人，另一方判斷為機器；當機器和人都回答正確或者都回答錯誤時，測試者將再問同一個問題（重復提問）

,若兩者都回答正確或者都回答錯誤，則測試者將從機器和人中隨機選擇一個判斷為人，若兩者僅一方回

答正確，則判斷回答正確的一方為人.假設人作答時能排除一個明顯錯誤的選項，剩下每個選項被選的概率

相等，而機器無法排除選項，每個選項被選的概率相等，當測試者重復提問時，人改變選項的概率為3,

2

機器改變選項的概率為

（1）求1位測試者在圖靈測試中不需要重復提問的概率；

（2）在測試者重復提問且機器改變選項的前提下,求測試者誤判的概率.

19.（17分）

ax

ab電bc=a［加］-a2m2+的加3

=ad-be一22

已知二階行列式Cd,三階行列式的仇,3,其中嗎，啊，?分別為

%，。2，。3的余子式（某個數的余子式是指刪去那個數所在的行和列后剩下的行列式）.

123

312

231

(1)計算

x00x2x

/(X)=010+32x2

(2)設函數。0113x

3%+i

a

若的極值點恰為等差數列｛%｝的前兩項，且｛%｝的公差大于求XM

(i)/(x)0,i=l

五)若/值)=0，。€(-2,-1)且"/,函數g(x)=/'(x)(a—%)—/⑷，證明：g(a)g(x0)<0

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數學參考答案

1.C【解析】本題考查復數相等與復數的模，考查數學運算的核心素養(yǎng).

由x+2i=y+l—xi(xjeR),得x=y+l且2=—X,解得》=一2/=-3,貝g

|X2+J；Z|=|4-3Z|=V16+9=5

2.D【解析】本題考查三角函數的周期，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

r\c

T=臼》3兀0〈次白

因為?！怠?所以口，解得3.

3.A【解析】本題考查集合的交集，考查數學運算的核心素養(yǎng).

因為幺=例】=(x+l)2-1｝=[-l,+e),5=｛x-5<x<2｝,所以ZcB=[-l,2)

4.C【解析】本題考查雙曲線的離心率與平面向量，考查直觀想象的核心素養(yǎng).

—.3

勺々.=-c--+--a-=*9-------=5「

-=-AF2C-a>a.a——■—■_--

依題意可得。2,所以2.因為々"與"與同向，所以片/=片.

5.B【解析】本題考查等比數列，考查邏輯推理與數學運算的核心素養(yǎng).

因為兩個等比數列㈤卜也｝的公比相等，且為+4=1,%+4=-2(%+"),所以數列｛%+"｝是首項

IP)，=43

為1,公比為-2的等比數列，所以數列｛%+'｝的前7項和為1一(一2)

6.D【解析】本題考查正態(tài)分布，考查應用意識以及邏輯推理的核心素養(yǎng).

依題可知，元=32§2=1.44,所以y~N(3.2,1.22),

故P(Y>2)=P(Y>3.2-1.2)=P(Y<3.2+1.2)?0,8413

因為X~N(2.8,L22),所以尸(X<4)=P(X<2.8+L2)a0.8413,

所以P(X<4)=P(Y>2),P(X<4)+P(y>2)?1.6826>1.68

7.A【解析】本題考查兩角和與差的正切公式，考查數學運算的核心素養(yǎng).

tan(a+尸)tan(a-0=7tan(a-0=tana+tan/?tana-tag=tara-tarj?],

因為l-tanatan/?1+tanatan/l-tanatan/?

所以tan(a-0=3,故121^^由。+0+("知=工=-5

8.D【解析】本題考查直線與半橢圓的位置關系，考查直觀想象與數學運算的核心素養(yǎng).

x=^-個4_y2x2=-(4-j2Yx^O)—+—=1(x^0)—+—=1

由2"得八」八,，即43l4所以C為橢圓43的右

半部分.當機=°時，直線/：x=°與C有兩個公共點;

2

l-y=l3-=kX1

X++——=1

當機NO時，直線m，令m，將^=自+3代入43,得

(3F+4)X2+18AX+15=0

、

me

則A=(18上了一60(3產+4)>0*<3—<0

得3,則5.由圖可知加，所以人綜上,

Y.。

9.ACD【解析】本題考查統(tǒng)計,考查數據處理能力.

該部門一年中請假天數為0的人數為30-6-3-4-4-3=1°,A正確.該部門一年中請假天數大于5的

人數為4+4+3=11,B錯誤.因為30x40%=12,且請假天數為o的人數為10,請假天數為4的人數為

6,所以這30名員工一年中請假天數的第40百分位數為4,C正確.這30名員工一年中請假天數的平均數

123

——X(4x6+5x3+6x4+7x4+8x3)=—<

為3064,D正確.

10.ABD【解析】本題考查函數的性質、導數的幾何意義、直線的斜率，考查數學運算與邏輯推理的核心素

養(yǎng).

的定義域為（--1）31收），且"T）=T+:=-/⑺所以/⑺

因為/（x）

為奇函數，A正確.

“X）在（一-一1）和（1，+"）上均為增函數，當xe（fT）時，"x）＜0,當女（1，+動

時,

"力°,所以"X）在其定義域內為增函數，B正確.當群（-巴-I）。。，+"）時,

"必＜2,則曲線V=/（x）的切線的斜率小于2,c錯誤.設曲線y二/。）上任意一點為

1x-1

y=X——=--------,X€(-O9-I)u(l,+(X))

尸（X/）?

則％X,則

y!yy(x+l+x-l)_2y_2/_G

kpA+kpB=_-_2

x+1x-1x-ix-iryr

X,D正確.

11.BC【解析】本題考查空間幾何體的新概念、體積、線面角以及外接球的表面積，考查空間想象能力與

直觀想象、數學運算的核心素養(yǎng).

因為圓錐0°的底面直徑與線長度分別為2,4,所以圓錐尸。的母線長為4,高為J42—F=屏,則圓

2

—7ixlXV15=兀r

錐尸。的體積為33,A錯誤.設圓錐尸。內切球的半徑為外，則尼-a,解得

V15.2V15

--------2-.y—-----------

5,所以圓錐尸。內切球的線長度為5,c正確.因為=4,所以

“c=2后＜4G=4也＜6,所以'G=6,過4c作4cl的垂線，垂足分別為則

4V2-2V2_6

EF=AC=242,AE=FC

ii,所以EG=3后

則

「-----產廠tan/Z4E=至=3

AE=46--（3揚-=3"凹與底面44G〃所成的角為NZ4E,且4E,B正確.設

正四棱臺ABCD-ABGR外接球的半徑為R,球心

為N,設正四棱臺4s皿―4402上、下底面的中心分別為"，/1,則M1%=4E=3&,且N在

MMi上設NM1=h,由AU]=N4,得"+（242=（3&-4+（招2,解得〃=及，則正四棱臺

ABCD-ARCA外接球的表面積為4"?+8）=40兀，口錯誤.

12.100【解析】本題考查對數的運算，考查數學運算的核心素養(yǎng).

因為lgy=l,所以y=]0,又195=51gx=y=10,所以lgx=2,則x=[02=100

13.6亞兀【解析】本題考查圓的方程，考查數學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).

由（》2+r_1）_8（X2+/）+15=0,得（？+/_1）_8（》2+/_1）+7=0,即

[（X+y-l）-l][（x+y-l）-7]=0^即=2或=8,所以曲線C表示兩個同心圓，

且這兩個圓的半徑分別為后，2行，所以曲線C的周長為2兀*0+2夜）=6拒兀.

2

14.7【解析】本題考查排列組合的實際應用，考查應用意識與分類討論的數學思想.

甲、乙、丙3人的座位互不相鄰的情況分為三種：第一種，這3人都在第二排，共有種不同的安排方

c1A3A5—7A3A5

法；第二種，這3人中1人在第一排，2人在第二排，共有5A3A5-3A3A$種不同的安排方法；第三種,

這3人中2人在第一排，1人在第二排，若第二排的這1人安排在中間的位置，則有

55A3A5-4A3A5種不同的安排方法，若第二排的這1人不安排在中間的位置，則有

C；?-2）A；A；=8A；A；種不同的安排方法,故甲、乙、丙3人的座位互不相鄰的概率為

1+3+4+8*16X62

-----——Aa33A-5=------=-

A；358x7x67

15.【解析】本題考查直線與拋物線、基本不等式的綜合，考查數學運算與數學抽象的核心素養(yǎng).

解：⑴因為'（6，加+2），5（24,陰+8）是拋物線°：/=2/（P〉1）上的兩點，

⑺+2）2=12p,

所以[（切+8）2=48〃

2

（^+8）_1

則（機+2）2，整理得切2=16,解得機=±4.

2p=—<]

當機=-4時，12夕=（m+2）=4,解得3,不合題意;

當機=4時，122=（機+2）2=36,解得夕=3>1.

3

X——

故C的準線方程為2.

⑵由⑴知°的焦點為0）,

O

得

3左2+6

設尸（再，％），。。2,%）,則'2左2,

I「A3左之+66

尸。=芭+x+p^+3=6+—

所以2左左，

|20|+k2=6+?+左226+2"

所以七,

當且僅當-,即-=’6時，等號成立，

所以園+“的最小值為6+2n.

評分細則：

【1】第（1）問中，°的準線方程還可以寫為2x+3=0,第（2）問中，未寫取等條件扣1分.

【2】第⑵問中，也可以用弦長公式怛0=汨淳回+々）-求得歸°卜6+出,不扣分.

16.【解析】本題考查立體幾何與空間向量的綜合，考查空間想象能力與數學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

（1）證明：連接4c交"G于點E,

則￡為4c的中點.

連接?！?因為。為44的中點，所以DE〃,

又z）Eu平面平面/G。，

所以與?！ㄆ矫?CQ.

（2）解:取4B的中點°,連接

因為ZC==6,48=10,所以COJ_45,且CO=,6?-5?=VTT

以。為坐標原點，℃的方向為％軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則。（0,0,0）,。（0,0,5）,。31,0,0）幺（0,—5,0）,

所以詬=（0,5,5）,4=《/ft,5,0）

設平面ZCZ）的法向量為加=（"Z）,

,--?

m-AD=5y+5z=0,

<

jjjyJTl?AC—y/llx+5y=0,

令x=5,得應=3而，布）

易知平面4"的一個法向量為"=無=（而，0，°）

m-n_5VTT_5747

cos（應㈤

|m||?|-V47xVll_47

由圖可知，二面角c—“°一同為鈍角，

5747

所以二面角。一"—4的余弦值為47.

評分細則：

【1】第（1）問還可以先證明平面BQ。〃平面再證明8c〃平面“G0,閱卷時，請按照步

驟給分.

【2】第（2）問中，兩個平面的法向量均不唯一，只要與對應法向量共線即可.

[3]第（2）問還可以用這樣的方法求解：

取的中點O,連接C°，°°.依題意可得四邊形AODA\為正方形.

因為/C=8C=6,W0,所以CO_L/6,

且CO=A/62—52=V1T

在直三棱柱NBC—481G中，44,底面48C,則

因為Zffc例=4,所以coJ_平面4叫4

取的中點連接則OEL4D.

易證NO_LCE,

所以NOFC為二面角C-AD-A,的補角.

OF=辿CF=sjcO2+OF2=歷義行,cosZOFC=

因為2,所以2

OF_5V47

CF-47,

5747

所以二面角C—-4的余弦值為47

17.【解析】本題考查解三角形與平面向量，考查數學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).

解：⑴因為“+C=3,/+C2=5,所以S+c>=/+c2+2bc=5+2bc=9

所以A=2.

~AD=-(AB+^C^

因為。為8c的中點，所以

人I~AD=；(冠+就)2|而『=西2+2商.〃+|M2＞；?+2bccosZ+r

=-x5+4x

4=1AD=\AE)\=\

，則

siib4cosc=,sin(A-C}=siib4cosc-cosZsinC

⑵因為16V724

cos/sinC=

所以48

siiiS=sin(A+C)=siiL4cosC+cos^sinC=

則I712

siib4cosc_acosC_3

貝1]sinSb4，

a1+/—H

a——ba1-c2=-Z)2

即lab4,得2

a2=5--b2

又〃+。2=5,所以2

I<巫巫<c<2

因為2,所以2，所以辦〈J則8<C，8為銳角,

,2

整理得（5*23）。2）=。，解得"2或F,

9〈亞

又2，所以'=J5.

評分細則:

[11第（1）問中，得到“兒=2”后，還可以這樣解答:

由余弦定理得口==n.

因為6+c=3,6c=2,所以6=l,c=2或6=2,c=l

_2x24

AD1=22+心鄧）了

不妨假設》=Lc=2,則22V6x2

則AD=1_

a2=5--b2a2-c2=-b2

[21第（2）問中，未得至ij“2”，但得到“2”，不扣分.

18.【解析】本題考查相互獨立事件的概率、條件概率、全概率，考查應用意識與數據分析、邏輯推理的核心

素養(yǎng).

解：不妨設提出的問題的3個選項依次為12,3,且設正確選項為1,人作答時能排除的選項為3,記G為

人第一次答題時選擇的是第i個選項，,，為機器第一次答題時選擇的是第'（Z=l'2,3）個選項，記￡=測

試者重復提問，/=測試者誤判，值=機器改變選項.

（1）1位測試者在圖靈測試中不需要重復提問的概率為

尸（E）=尸（GA+01。3+。2。1）=:義；++J

JD乙J乙

（2）當機器重復回答問題改變選項時，測試者誤判的情況有三種:

①若第一次答題時人和機器都選擇1,則當重復提問時，人選擇2,機器選擇2或3,且測試者隨機判斷機

1

P(CZ),FG)=-x-x-x-x-

器為人，則'172322336.

②若第一次答題時人和機器都選擇2,則當重復提問時，機器和人都選擇1且測試者隨機判斷機器為人,

或人選擇2且機器選擇1,或人選擇2,機器選擇3且測試者隨機判斷機器為

P(CDFG)=1X|x—J+LLky21

22x—=

；

人，則^22222222318

③若第一次答題時人選擇2,機器選擇3,則當重復提問時，人和機器都選擇1且測試者隨機判斷機器為

人，或人選擇2,機器選擇1,或人選擇2,機器選擇2且測試者隨機判斷機器為人，

P(C,aFG)=-x-x[-xlx-+-x21

X—二

[23,23(2222

則2222j318

又尸⑻總，

P(CDFG+CDFG+C2D3FG)5

P（F\EG）=xx22

尸(EG)12

所以

評分細則:

【1】未寫”不妨設提出的問題的3個選項依次為1，2,3,且設正確選項為1,人作答時能排除的選項為

3,記G為人第一次答題時選擇的是第，?個選項，°為機器第一次答題時選擇的是第，?個選項，記￡=測

試者重復提問，/=測試者誤判，G=機器改變選項”，但是每一問的步驟都正確，不扣分.

1111111

尸出)=尸(G3+G2+GA)=-x—I—X1X-=——

第（1）問中,2323232”寫為“P(E)

=P(C1A+CA+C2JD1)=1X|X3=1II

不扣分.

[21本題還可以這樣解答:

\_\_

（1）由題意可知，第一次提問時人回答正確的概率為5,機器回答正確的概率為

設“1位測試者在圖靈測試中不需要重復提問”為事件幺，

尸⑷gy4沁

則2<\2.）52.

（2）設“第一次提問機器和人均回答正確，測試者重復提問且機器改變選項”為事件8,

“第一次提問機器和人均回答錯誤，測試者重復提問且機器改變選項”為事件°,“測試者誤判”為事件

D,“測試者重復提問且機器改變選項”為事件E，8與C互斥，且E=8+C.

1

—x—x—x—x—=

'72332236.

11-111

P（CD）=1xx|xx-x—+—X—+—X—X—

222222222j9

尸（￡）=口一尸—g]=g

11

+

P（^）+P（CD）369_5

P⑻112

則3

5

所以在測試者重復提問且機器改變選項的前提下，測試者誤判的概率為12.

19.