九年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)訓(xùn)練：圓重點(diǎn)定理和輔助圓模型（50題）

24.5圓重點(diǎn)定理和輔助圓模型（50題）

題型1：垂徑定理

題型5:輔助圓-定點(diǎn)定圓（提升）

題型2:圓周角定理

圓重要重點(diǎn)題型6:輔助圓-定弦定角（提升）

題型3:切線長定理定理和模型

題型7:輔助圓-對角互補(bǔ)（提升）

題型4:切線的判定/

I-------------------------------------------1

I題型1:垂徑定理

1.如圖，2C是O。的直徑，ADLBC,ZABC^25°,則弧CD的度數(shù)（）

25°C.100°D.65°

【分析】連接O/,根據(jù)圓周角定理可得N/OC的度數(shù)，從而求出京的度數(shù)，然后再利用垂徑定理可得眾

CD，即可解答.

【解答】解：連接。4

■:NABC=25。，

AZAOC=2ZABC=50°,

???AC的度數(shù)為50°,

???5C是。。的直徑，ADLBC,

*，?AC=CD，

???弧CZ）的度數(shù)為50°,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，熟練掌握圓周角定理，以及垂徑

r1

定理是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在。。中，弦48的長是lW§cw,弦的弦心距為6cm,E是。。優(yōu)弧/￡8上一點(diǎn).貝IJ//E8

的度數(shù)為（）

O

A.60°B.45°C.30°D.80°

【分析】連接OHOB,利用垂徑定理求出NC,然后在RtZkNOC中，利用銳角三角函數(shù)求出NONC,

從而求出N/O8,最后利用圓周角定理求出進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：連接。4,0B,

"JOCVAB,

.,.AC=—AB=6,\[3cm,

2

在RtZ\/OC中，OC=6cm,

.*.tan/CMC=P2=—^=返,

AC6V33

：.ZOAC=30°,

'：OA=OB,

：.ZOAB^ZOBA^30°,

/.ZAOB=ISO°-ZOAB-ZOBA=nO°,

：.ZAEB=1ZAOB=60°,

2

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握圓周角定理，垂徑定理是解題的

關(guān)鍵.

4.如圖，已知。。的直徑CZ）垂直于弦垂足為點(diǎn)￡,"=22.5°,/5=8,則。E的長

r

為.

【分析】連接。8,根據(jù)圓周角定理可得/8OC=45°,再利用垂徑定理可得NO￡3=90°,BE=LB=

2

4,從而可得0E=BE=4,08=J58E=4&，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：連接08,

VZ￡>=22.5°,

/.ZBOC=2ZD=45°,

直徑CDLAB,

：.ZOEB=90°,BE=LB=4,

2

：.NOBE=90°-NBOE=45°,

：.OE=BE=4,OB=?BE=4?,

：.OD=OB=4近,

：.DE=。。+?！?4+4&,

故答案為：4+472.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握圓周角定理，以及垂徑定理是解題的

關(guān)鍵.

5.如圖，48是。。的弦，連接80,作/CUB。交80的延長線于點(diǎn)C,已知OC=&,8。=2、蘢，點(diǎn)。

是篇的中點(diǎn)，連接CD,則CD的長為_'、/逋

r

【分析】先求NC4O=30°,再證△O4D是等邊三角形，最后在RtZ\/CD中，用勾股定理求解.

【解答】解：如圖，連接。4、OD、AD,

?：OA=OB=2OC=V2-ACVBO,

：.ZOAC=30°,ZAOC=6Q°,

：.NOAB=NOBA=30°,

在RtAABC中，

AC=孚BC』,

.??點(diǎn)。是窟中點(diǎn)，

AZAOD^ZBOD^60°,

...△NOD為等邊三角形，

:.AD=AO=2如,

在RtZUCD中，

CD=VAC2+AD2=^14-

故答案為：V14-

【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三

角形.

6.如圖，在O。中，AB,4c為弦,CD為直徑，ABLCD^E,BF工AC于F,2尸與CO相交于G.

(1)求證：ED=EG；

(2)若AB=8,OG=1,求。。的半徑.

D

【分析】(1)連接3。，容易得到/G8E和相等，利用/“證明△"?￡'和△3DE全等即可；

(2)連接。/,設(shè)。/=廠，則DG=r+l,根據(jù)￡D=EG容易求出。石=工11,再根據(jù)垂徑定理求出工￡

的值，最后在Rt4OAE中根據(jù)勾股定理求出r的值即可.

【解答】(1)證明：如圖：連接8。，

于E,BFVACF,

:./CFG=NGEB,

'：ZCGF=ZBGE,

：.ZC=ZGBE,

；/C=NDBE,

：.ZGBE=ZDBE,

：/8_LCZ)于￡,

:./GEB=/DEB,

在AGBE和ADBE中，

'/GEB=NDEB

<BE=BE，

ZGBE=ZDBE

:.ABGE沿ABDE(ASA),

：.ED=EG.

(2)解：如圖:

r

D

連接CM,設(shè)CM=r,貝lj￡)G=rH,

由（1）可知￡O=EG,

：.OE=IZ1.,

2

?.28J_C￡>于E,AB=8,

：.AE=BE=4,

...在RtZ\04E■中，根據(jù)勾股定理得：OE2+AE2^OA2,

即（三11）2+42=戶，

2

解得：一整，

3

即。。的半徑為巡.

3

【點(diǎn)評】本題結(jié)合勾股定理和全等三角形的證明考查了垂徑定理的應(yīng)用，垂直于弦的直徑平分弦，并且

平分弦所對的優(yōu)弧和劣弧.

7.如圖，。。的半徑為4,△48C是。。的內(nèi)接三角形，連接。3、OC.若NA4c與/3OC互補(bǔ)，求弦

BC的長.

【分析】首先過點(diǎn)。作。D，8c于。，由垂徑定理可得8C=28。，又由圓周角定理，可求得/8OC的

度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得/03C的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可求得答案.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作8c于。，

則BC=2BD,

:△/BC內(nèi)接于O。，N3/C與/5OC互補(bǔ)，

AZBOC=2ZA,ZBOC+ZA=1SO°,

r

AZBOC=120°,

?：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=1.(180°-NBOC)=30",

2

,/OO的半徑為4,

：.BD=OB-cosZOBC=4X返=2我，

2

:.BC=4M.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.注意掌握輔助線

的作法.

題型2:圓周角定理

8.如圖，A8是。。的直徑，P是。。上一點(diǎn)，若/PAB=32°,則/尸8/的度數(shù)是()

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得N/PB=90°,然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余，進(jìn)行

計(jì)算即可解答.

【解答】解：是。。的直徑，

AZAPB=90°,

：445=32°,

ZPBA=90°-NPAB=58°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在中，ZABC=90°,/A=32°,點(diǎn)、B、C在。。上，邊4B、NC分別交0O于。、E

兩點(diǎn)，點(diǎn)3是面的中點(diǎn)，則/N8E的度數(shù)是（）

A.13°B.16°C.18°D.21°

【分析】連接CD,根據(jù)已知可得而=前，從而可得8D=3C,進(jìn)而可得/ADC=488=45°,然后

利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得/4C8=58°,從而求出NDCE=13°,最后根據(jù)同弧所對的圓周

角相等即可解答.

:點(diǎn)8是面的中點(diǎn)，

.'-BD=BC-

：.BD=BC,

VZABC=90°,

：.ZBDC=ZBCD=45°,

；N/=32°,

：.ZACB=90°-Zy4=58°,

ZDCE=ZACB-ZDCB=1V,

：.ZABE=ZDCE=13°,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，N8過半。。的圓心。，過點(diǎn)8作半0。的切線BC,切點(diǎn)為點(diǎn)C,連結(jié)/C,若//=25°,則

A.65°B.50°C.40°D.25°

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得NOC8=90°,再根據(jù)圓周角定理可得N2OC=5()°,然后利用

直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：連接OC,

與半。。相切于點(diǎn)C,

：.ZOCB=90°,

,：ZA=25°,

AZBOC=2ZA=50°,

AZB=90°-Z50C=40°,

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解

題的關(guān)鍵.

11.如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C、。位于直徑A8的兩側(cè).若N/8C=40°,貝。乙8DC的度數(shù)是()

【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得/NOC=40°,再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得答案.

【解答】解：??,々=血，

AZADC=ZABC=40°,

I------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

'：AB為O。的直徑，

/.ZADB=90°,

:.NBDC=/ADB-/ADC=90°-40°=50°.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，熟練掌握圓周角定理以及推論是解題關(guān)鍵.

112.如圖，點(diǎn)/為。。上一點(diǎn)，N5為。。的切線，ZCAB=30°,直徑CD=2,則劣弧40的長

【分析】連接0a根據(jù)切線的性質(zhì)可得/。42=90°,從而可求出NO/C=60°,然后利用等腰三角形

的性質(zhì)可求出NC=60°,再利用圓周角定理求出//OD的度數(shù)，最后利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可解

答.

I【解答】解：連接CM,

I

I

I

?；AB為O。的切線，

：.ZOAB^90°,

VZC^5=30o,

ZOAC=AOAB-ZCAB=60°,

"：OA=OC,

：.ZOAC=ZC=60°,

ZAOD=2ZC=nO°,

?.?直徑CD=2,

:.OD=^LCD=I,

2

劣弧的長=120兀X1=Zn,

1803

故答案為：In.

3

r

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，弧長的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì),

以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，點(diǎn)B,C是上的三點(diǎn).若//OC=90°,/BAC=30°,則/N08的度數(shù)為

【分析】由圓周角定理可得/8OC=2/3/C=60°,繼而N8OC=90°-60°=

30°.

【解答】解：???/BNC與NBOC所對弧為黃，

由圓周角定理可知：ZBOC=2ZBAC=6Q°,

又?.?//OC=90°,

AZAOB=ZAOC-ZBOC^90°-60°=30°.

故答案為：30°.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓周角定理，熟練運(yùn)用圓周角定理是解題關(guān)鍵.

14.如圖，48是O。的直徑，點(diǎn)C、。在。。上，且在48異側(cè)，連接OC、CD、DA.若N2OC=130°,

則/。的大小是.

【分析】根據(jù)平角定義求出//OC=50°,再利用圓周角定理可得ND=上//OC,進(jìn)行計(jì)算即可解

2

答.

【解答】解：?.?/3OC=130°,

AZAOC=180°-ZBOC=50°,

r

/.ZD=1ZAOC=25°，

2

故答案為：25°.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，已知點(diǎn)/、B、C、。在圓。上，正=而，ZCAD=35°，ZACD^60°，則

【分析】先求出的度數(shù)，在根據(jù)圓周角定理即可求出N/02的度數(shù).

【解答】解：；正=而，ZCAD=35°,

:.NCDB=NCAD=35°,

'：ZCAD=35°,ZACD=60°,

：.ZADC=85°,

：.ZADB=ZADC-ZCDB=50°,

ZAOB=2X50°=100°.

故答案為：100°.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半.

16.如圖，48是。。的直徑，。為。。上一點(diǎn)，4。和過點(diǎn)C的切線CD互相垂直，垂足為。.

求證：ZCAD=ZCAB；

O

r

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得NZ)CO=90°,再根據(jù)垂直定義可得N4OC=90°,從而可得

AD//OC,然后根據(jù)平行線和等腰三角形的性質(zhì)，可證ZC平分即可解答；

???c。是。。的切線，點(diǎn)。為切點(diǎn),

/.ZDCO=90°,

9：ADLCD,

：.ZADC=90°,

AZADC+ZDCO=\SO°,

C.AD//OC,

：.ZDAC=ZACO,

U：OA=OC,

：.ZOAC=ZACO,

；?/CAD=/CAB；

題型3:切線長定理

18.如圖，從。。外一點(diǎn)尸引圓的兩條切線尸4,PB,切點(diǎn)分別是4,B,若N4尸5=60°,尸4=5,則弦

22

【分析】根據(jù)切線長定理得到尸/=尸2,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：P8為。O的兩條切線，

:.PA=PB,

VZAPB=60°,

為等邊三角形，

；.AB=PA=5,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是切線長定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，得出△尸42是等邊三角形是解題的關(guān)I

鍵.

19.如圖，直線48、CD、8c分別與。。相切于￡、F、G,且若OB=6cm,0c=8c機(jī)，貝U

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及切線長定理，即可證明/20C=90°,再根據(jù)勾股定理即可求得2c的

長，再結(jié)合切線長定理即可求解.

【解答】?：'JAB//CD,

：.ZABC+ZBCD=1?>QO,

；CD、BC,48分別與O。相切于G、F、E,

:.NOBC=L/ABC,NOCB=LNBCD,BE=BF,CG=CF,

22

/.ZOBC+ZOCB=90°,

AZBOC=90°,

5C=VOB2+OC2=I。，

：.BE+CG=IO(cm).

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要是考查了切線長定理.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，且圓心和這

點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.

20.如圖，在RtZk48C中，AC=5,8c=12,。。分別與邊N8,/C相切，切點(diǎn)分別為E,C,則。。的半

徑是()

A.妝B.西C.空D.-23.

3333

【分析】根據(jù)切線長定理得NE=/C,根據(jù)勾股定理得的長，從而得到的長，再利用切割線定理

得BE2=BD*BC,從而可求得3。的長，也就得到了半徑的長.

【解答】解:"：AE=AC=5,4c=5,BC=12,

：.AB=13,

：.BE=8；

'：BE2=BD'BC,

：.BD=^.,

3

:.CD=2^.,

3

圓的半徑是」包,

3

故選：A.

【點(diǎn)評】此題綜合運(yùn)用了切線長定理、勾股定理和切割線定理.

21.如圖，三個(gè)半徑為的圓兩兩外切，且△/BC的每一邊都與其中的兩個(gè)圓相切，那么的周長是

()

1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

A.12+6A/3B.18+6百C.18+12A/3D.12+12V3

【分析】從各圓心向邊作垂線，由題意知△NBC是等邊三角形，8。是尸的平分線，可求得BE=BF

=DEcot30°=3,4W=AS=CG=CH=3；再根據(jù)四邊形亞FDR,SGTR,7HED是矩形，WF=SG=EH=

。7=2近，從而求得△/BC的周長.

【解答】解：如圖.連接/ARS、RW.DF、DE,由題意知，A/BC是等邊三角形，/EDB=6Q°,

AD是/班廠的平分線，

ZDBE=30°,BE=BF=DEcot30°=3,

同理，AW=AS=CG=CH=3,四邊形用FDR,SGTR,THED是矩形,WF=SG=EH=DT=2yf3,

：.4ABC的周長=6BE+3EH=18+6?.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了切線長定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn).

22.如圖，△/5C中，ZC=90°,/C=8,BC=6,。為△/2C的內(nèi)切圓圓心，則陰影部分的面積為（）

A.211B.^2Lc.D.22L

323

【分析】先利用勾股定理計(jì)算出/5=10,再利用直角三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算方法得到。。=2,接著三

角形角平分線的性質(zhì)得到//。8=135。，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算得出答案.

【解答】解：如圖，

r

VZC=90°,/C=8,BC=6,

AB=VBC2+AC2=VS2+82=1。，

??,OO為/8C的內(nèi)切圓，

...OD=殳絲@=2,OB平分/BAC,0c平分N/2C,

2

ZAOB=90°+AZC=90°+AX90°=135°,

22

陰影部分的面積為135X兀*22=S

3602

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與

三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.也考查了直角三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算方法和扇形面積公式.

23.已知如圖，△45C的內(nèi)切圓。。與2C,CA,48分別相切于點(diǎn)。，E,F,S.AB=9cm,BC=15cm,

CA=12cm.求/尸，BD,CE的長.

【分析】利用切線長定理得到/￡=4尸，BF=BD,CD=CE,^AF=xcm,則N￡=xc%,BF=BD=(9-

x)cm,CE=CD=(12-x)cm,所以9-x+12-x=15,解方程求出x,從而得到NRBD、CE的長.

【解答】解：:△4BC的內(nèi)切圓O。與2C、CA,分別相交于點(diǎn)。、E、F,

：.AE=AF,BF=BD,CD=CE,

設(shè)則BF—BD—AB-AF—(9-x)cm,

：.CE=CD=CA-AE=(12-x)cm,

?：BD+CD=BC,

/.9-x+12-x=15,

解得x=3,

'.AF=3cm,BD=6cm,CE=9cm.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與

三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.也考查了切線長定理.

24.如圖，在中，ZC=90°,AC=5,是△NBC的內(nèi)切圓，半徑為2,則圖中陰影部分的面

A.30-4-rtB.30a-4TlC.60-167tD.3073-16it

【分析】先由切線長定理及勾股定理計(jì)算出三角形的另外兩邊長，再根據(jù)圖中陰影部分面積=的

面積-O。的面積計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，記三個(gè)切點(diǎn)分別為。、E、F,連接O。、OE、OF,

則/ODC=NOEC=NOF/4=90°,OD=OE=OF=2,

四邊形ODCE是正方形，

：.CE=CD=2,

?；。。是△NBC的內(nèi)切圓，

；.4E=4F=5-2=3,BD=BF,

設(shè)BD=BF=x,貝!15c=x+2,AB=x+?>,

在RtZ\/8C中，52+(x+2)2=(x+3)2,

mo,

：.BC=129

1

2=3

1?S陰影=-Soo=/x5X12-nx20-4Tt.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查切線長定理及勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用切線長定理.

25.如圖，木工用角尺的短邊緊靠。。于點(diǎn)，，長邊與OO相切于點(diǎn)瓦角尺的直角頂點(diǎn)為C已知NC=

6cm,CB=8cm,則。。的半徑為cm.

BC=8cm,設(shè)。。的半徑為*加，在中，利用勾股定理列出方程即可求解.

I

【解答】解：連接CM,OB,過點(diǎn)4作于點(diǎn)。，如圖，

??,長邊與。。相切于點(diǎn)8,

C.OBLBC,

*：ACLBC,ADLOB,

???四邊形4CBD為矩形，

:?BD=AC=6cm,AD=BC=Scm.

?

設(shè)。。的半徑為rem,

?

則OA—OB—rcm,

：.OD=OB-BD=0-6)cm,

在中，

,：AD1+OD2=OA2,

I

I

/.82+(r-6)2=7,

解得：尸型.

3

故答案為：25

3

r

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，依據(jù)題意添加適當(dāng)?shù)妮o

助線是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，48為的直徑，點(diǎn)P在48的延長線上，PC,PD分別與O。相切于點(diǎn)C,D,若/CP4=

40°,則/C4D的度數(shù)為.

【分析】連接。C,OD,利用切線的性質(zhì)定理和切線長定理求得NOCP=NOD尸=90°,NCPD=80°,

利用四邊形的內(nèi)角和定理和圓周角定理解得即可得出結(jié)論.

■:PC,尸。分別與相切于點(diǎn)C,D,

：.OC±PC,ODLPD,ZCPO=ZDPO=40°,

：.ZOCP=ZODP=90°,ZCPD=80°.

?..四邊形尸COD的內(nèi)角和為360°,

：.ZCPD+ZCOD=^0°,

：.ZCOD=100°.

：.ZCAD=1.ZCOD=50°.

2

故答案為：50°.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)定理和切線長定理，圓周角定理，四邊形的內(nèi)角和，連接OC,

OD是解題的關(guān)鍵.

題型4:切線的判定

27.如圖，是圓。的一條弦，點(diǎn)￡是劣弧N8的中點(diǎn)，直線CD經(jīng)過點(diǎn)￡且與直線N8平行，證明：直

r1

線CD是圓。的切線.

【分析】連接0E交AB于點(diǎn)F,由垂徑定理得出OEL/瓦由平行線的性質(zhì)得出CDLOE,則可得出結(jié)論.

【解答】證明:連接OE交于點(diǎn)凡

：.OELAB,

'JAB//CD,

：.CD±OE,

是圓的半徑，

直線CD是圓。的切線.

【點(diǎn)評】此題主要考查了切線的判定，同時(shí)也利用了垂徑定理及平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定是解

題的關(guān)鍵.

28.如圖，CD是。。的直徑，并月./C=8C,AD=BD.求證：直線4?是OO的切線.

【分析】欲證明AB是OO的切線，只要證明CDLAB即可;

【解答】證明：AD=DB,

C.CDLAB,

；CD是直徑，

:.AB是。。的切線.

r

【點(diǎn)評】本題考查切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考

基礎(chǔ)題.

29.如圖，是。。的直徑，。。交2C的中點(diǎn)于。，于E,連接求證：是。。的切

【分析】連接OD只要證得/￡。0=90°即可得到。E是。。的切線.

【解答】證明：連接OD,

?；￡）是8c的中點(diǎn)，

:.BD=CD.

；OA=OB,

J.OD//AC.

又：。E_L/C,

：.OD.LDE.

是。。的切線.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.在判定一

條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段,

證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與

圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點(diǎn)，作半

徑，證垂直”.也考查了三角形中位線定理.

30.如圖，為直徑，AB=AC,8c與交于。，SLDELAC.求證：DE是。。切線.

r

【分析】首先連接DO,進(jìn)而利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理求出。。

I

//AC,進(jìn)而得出即可.

?

【解答】證明：連接DO,

I

??Z5是。。的直徑，

:?/ADB=90°,

?

'：AB=AC,

?

:?BD=CD,

?

,：AO=BO,

?

：.D0是△NBC的中位線，

I

：

?.DO//AC,

'：DE±AC

：.OD1.DE,

i

是。。的切線.

【點(diǎn)評】此題主要考查了切線的判定以及圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理等知識,

得出。O〃/C是解題關(guān)鍵.

31.如圖，已知是四邊形N8CO的外接圓，49是。。的直徑，BC=CD,過點(diǎn)C作交ND的

延長線于點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)P.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若/8=10,AD=6,求CM的長.

【分析】(1)連接OC,根據(jù)弦，弧，圓心角的關(guān)系得到ND4C=NC4O,推出/D〃OG根據(jù)平行線的

性質(zhì)得到NM=NOCP于是得到結(jié)論；

(2)連接BD交OC于E,根據(jù)垂徑定理得到OCLBD,根據(jù)圓周角定理得到以〃4跖推出四邊形CMDE

是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CM=QE,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)連接OC,

?:BC=CD,

?,?而=前，

???ZDAC=ZCAO,

,/OC=OA,

：.ZCAO=ZACO,

：.ZDAC=NACO,

：.AD//OC,

：.NM=/OCP,

U：PM.LAM,

：.OCLPM,

???尸河是。。的切線；

(2)連接交OC于E,

,?,CD=BC-

???OCLBD,

??Z5是。。的直徑，

:.BD上AM,

???四邊形CMDE是矩形，

I--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

CM=DE,

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

32.如圖，是O。的直徑點(diǎn)RC是半圓弧ABC上的三等分點(diǎn)，連接NC,AF,過點(diǎn)C作CD，/尸交

/尸的延長線于點(diǎn)。，垂足為D.

(1)求證：CD是OO的切線；

(2)若OO的半徑為4,求CD的長.

【分析】(1)連接OC,由。4=OC,利用等邊對等角得到一對角相等，再由等弧所對的圓周角相等得到

一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，確定出OC與AD平行，由8與4D垂直，得到C￡>與

0c垂直，即可得證；

(2)連接。咒利用等弧所對的圓心角相等及平角定義求出N0C3的度數(shù)，在直角三角形OCE中，求

出CE的長，利用角平分線性質(zhì)得到C￡>=CE,即可求出CD的長.

【解答】(1)證明：連接0C,

'：OA=OC,

；./0AC=N0CA,

,??FC=CB-

ZDAC=ZCAB,

r

：.ZOCA=ZDAC,

???OC//AD,

?；CDL4D,

：.CDLOC,

則CD為圓。的切線；

(2)解：連接OR過。作CE_L48,

vAF=FC=CB-

：?NAOF=NFOC=NCOB=60°,

在RtZ\OCE中，OC=4,ZOCE=3,0°,

：.CE=2-j3>

平分ND/8,CDLAD,CELAB,

:.CD=CE=2M.

【點(diǎn)評】此題考查了切線的判定，圓心角、弧及弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性

質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

33.如圖，已知/C是。。的直徑，8c是。。的弦，尸是。。外一點(diǎn)，連接PS,AB,OB,^.ZPBA=Z

ACB.

（1）求證：必是O。的切線；

（2）連接。P,若4P=BP,且OP=8,。。的半徑是2弧，求的面積.

【分析】（1）欲證明總是切線，只要證明/尸3。=90°即可.

I---------------------------------------------------------------------------------------------------1

(2)先證明△尸絲△PCM,推出/尸/。=/尸2。=90°,推出產(chǎn)/=,0口2_0人2=,82_(2點(diǎn))2=]

2</14，根據(jù)S^POA=1?0/?尸/計(jì)算即可.

2

【解答】解：⑴證明：：/。是直徑，

ZABC=90°,

'：OC=OB,

：./OCB=NOBC,

,?ZPBA=ZACB,

：.ZPBA=ZOBC,

VZOBA+ZOBC=90',,

：.ZOBA+ZPBA=90°,

：.ZPBO=90°,

：.PB±OB,

；.尸3是。。的切線.

(2)在△尸。8和△PCM中，

'PA=PB

<P0=P0>

0B=0A

，APOB咨APOA,

：.NPAO=NPBO=90°,

j?*-PA=Vop2-OA2=Vs2-(2V2)2=-i

???SAPOA=LOA，PA=LX2?X2^m=4夜?

22

【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題中考?？碱}型.

34.如圖已知是O。的直徑，/8=10,點(diǎn)C,。在。。上，OC平分N/C3,點(diǎn)E在。。外，NE4C=N

D.

(1)求證：/￡是O。的切線；

(2)求40的長.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得出NBC/=90°,ZD=ZB,求出/2+NA4c=90°,ZEAC=ZB,

推出NE/C+/A4C=90°,根據(jù)切線的判定得出即可；

(2)連接2。，進(jìn)而利用勾股定理得出的長.

【解答】(1)證明：..1夕是。。的直徑，

AZBCA^9Q°,

：.ZB+ZBAC=90°,

,:/D=/B,NEAC=ND,

：.ZEAC=ZB,

：.ZEAC+ZBAC=90°,

:.BAL4E,

'：BA過O,

直線/E是。。的切線；

(2)解:連接2。，

ZBCD=ZDCA,

：.BD=AD,

：/8=10,

二/。=3。=亞X10=5五.

r

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，切線的判定的應(yīng)用，能求出5/是解此題的關(guān)鍵，注意：經(jīng)過半

徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

35.如圖，43是。。的直徑，點(diǎn)。是O。上的一點(diǎn)，OC〃/。交。。于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸在CD的延長線上，Z

BOC+ZADF=90°.

（1）求證：CD是。O的切線；

【分析】（1）連接0D,由OC〃/。得到/2OC=N/,1^ZODA=ZA,貝!!NOZU=N2OC,由于N80C+

/4DF=90°,所以尸=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）延長CO交。。于“，于是得到￡7/=/8=6,根據(jù)切割線定理即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接OD,如圖，

"：OC//AD,

NBOC=NA,

而OD=OA,

：.ZODA=ZA,

：.ZODA=ZBOC,

,/ZBOC+ZADF=90°,

：.ZODA+ZADF=90°,

即N。。尸=90°,

J.ODLDF,

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

；.CD是OO的切線；

(2)延長CO交OO于〃,

：.EH=AB=6,

是。。的切線，

:.CD2=CE-CH,

即42=C￡(CE+6),

：.CE=2(負(fù)值舍去).

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定定理，切割線定理，知道經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓

的切線是解題的關(guān)鍵.

題型5:輔助圓-定點(diǎn)定圓(提升)

36.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/、5的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,4),以點(diǎn)/為圓心，以N2長為

C.(-8,0)D.(2,0)或(-8,0)

【分析】根據(jù)題意求出N8的長，以/為圓心作圓，與x軸交于C,C,求出C的坐標(biāo)即可.

【解答】解：?點(diǎn)/、8的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,4),

；Q=3,08=4,

^32+4^=5>

ri

.".AC'=5,AC=5,

...C'點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（-8,0）.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，作出輔助圓是解題的關(guān)鍵.

37.如圖，點(diǎn)43的坐標(biāo)分別為/（4,0）,B（0,4）,C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，2c=2,點(diǎn)M為線段/C

的中點(diǎn)，連接（W,加的最大值為.

【分析】先判斷出點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是在半徑為2的02上，再取。。=。4=4,連接。D,則（W是△/q

的中位線，OM=/cD，進(jìn)而可得最大值時(shí)，。取最大值，止匕時(shí)。、B、C三點(diǎn)共線，計(jì)算即可求|

出結(jié)果.

【解答】解：為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2,

.?.點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是在半徑為2的。5上，

如圖，取。。=。4=4,連接OD,

r

;點(diǎn)M為線段/c的中點(diǎn)，

：.OM是△/CO的中位線，

???OM'CD，

...(W最大值時(shí)，。取最大值，此時(shí)。、B、C三點(diǎn)共線，

此時(shí)在RtAOBD中，742+42=4A^2r

：.CD=2+4y/2>

...O河的最大值是1+272.

故答案為：1+2&.

【點(diǎn)評】本題考察了坐標(biāo)和三角形的中位線，定點(diǎn)定長構(gòu)造輔助圓等，解題關(guān)鍵是確定點(diǎn)C的運(yùn)動軌

跡.

38.如圖，四邊形ABC。中，AB=AC=AD,/CBD=20°,/BDC=3Q°,則N2AD=.

【分析】先根據(jù)4B=/C=AD可知，B、C、。三點(diǎn)在以點(diǎn)/為圓心，以為半徑的圓上，再根據(jù)圓周

角定理即可得出結(jié)論.

【解答】W：'：AB=AC=AD,

：.B、C、。三點(diǎn)在以點(diǎn)工為圓心，以為半徑的圓上，

VZCBD=20°,NBDC=30°,

:./BAC=2/BDC=60°,ZCAD=2ZCBD=4Q°,

:.NBAD=/BAC+/CAD=60°+40°=100°.

故答案為：100°.

【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條

弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

39.如圖，在矩形/5CD中，已知/2=3,BC=4,點(diǎn)尸是2C邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)尸不與2,C重合），連接

AP,作點(diǎn)8關(guān)于直線/尸的對稱點(diǎn)則線段MC的最小值為（）

A.2B.AC.3D.V10

2

【分析】當(dāng)/，M,C三點(diǎn)共線時(shí)，線段CM的長度最小，求出此時(shí)CW的長度即可.

【解答】解：連接

?.?點(diǎn)8和河關(guān)于/P對稱，

?\AB=AM=3,

???M在以4圓心，3為半徑的圓上，

???當(dāng)4,M,。三點(diǎn)共線時(shí)，G0最短,

+=5,4M=AB=3,

：.CM=5-3=2,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是要考慮到點(diǎn)M在以Z為圓心，3為半徑的圓上.

41.在四邊形/BCD中，DC//AB,BC=1,4B=AC=AD=2,則AD長為多少

【分析】以/為圓心，N5長為半徑作圓，延長24交。N于尸，連接。足在△8〃尸中，由勾股定理即

可求出BD的長.

【解答】解：以/為圓心，N8長為半徑作圓，延長a4交。/于連接。尸.

AB—AC=AD=2,

：.D,。在圓4匕

,:DC〃AB,

?,?弧。/=弧5C,

:?DF=CB=\,BF=AB+AF=2AB=4,

?；FB是OA的直徑，

:?/FDB=90°,

:,BD=V42-12=V15

故答案為：V15?

D/________________\c

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出以/為圓心，長為半徑的圓，構(gòu)建直角三角形，從

而求解.

題型6:輔助圓-定弦定角（提升）

42.如圖，在矩形45CD中，4B=8,8C=6,點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接P/,PB,PC,若NPBC=/PAB,

則尸C的最小值是（）

【分析】首先證明NP/B+NP2/=90°,得N4P2=90°,