2025年高考數(shù)學一輪復習：函數(shù)的概念及其表示（十六大題型）（講義）（解析版）

第01講函數(shù)的概念及其表示

目錄

01考情透視?目標導航...........................................................................2

02知識導圖?思維引航...........................................................................3

03考點突破?題型探究...........................................................................4

知識點1：函數(shù)的概念...........................................................................4

知識點2：函數(shù)的三要素.........................................................................4

知識點3：函數(shù)的表示法.........................................................................5

知識點4：分段函數(shù).............................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：函數(shù)的概念.............................................................................7

題型二：同一函數(shù)的判斷........................................................................9

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域.............................................................12

題型四：抽象函數(shù)定義域.......................................................................13

題型五：函數(shù)定義域的綜合應用.................................................................15

題型六：待定系數(shù)法求解析式...................................................................17

題型七：換元法求解析式.......................................................................19

題型八：方程組消元法求解析式.................................................................21

題型九：賦值法求解析式.......................................................................23

題型十：求值域的7個基本方法.................................................................26

題型十一：數(shù)形結(jié)合求值域.....................................................................32

題型十二：值域與求參問題.....................................................................36

題型十三：判別式法求值域.....................................................................39

題型十四：三角換元法求值域...................................................................42

題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問題...........................................................44

題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式.............................................................46

04真題練習?命題洞見..........................................................................47

05課本典例?高考素材..........................................................................48

06易錯分析?答題模板..........................................................................50

易錯點：錯求抽象函數(shù)的定義面.................................................................50

答題模板：求抽象函數(shù)的定義域.................................................................50

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)了解函數(shù)的含義，會

求簡單函數(shù)的定義域和值域.2023年北京卷第15題，5

高考對函數(shù)的概念及其表示的考查相對

(2)在實際情景中，會根分

穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化

據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?022年浙江卷第14題，5

不大.高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，

(如圖象法、列表法、解析法)分

仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為

表示函數(shù).2021年浙江卷第12題，5

主，綜合考查不等式與函數(shù)的性質(zhì).

(3)了解簡單的分段函分

數(shù)，并會簡單的應用.

復習目標:

1、掌握函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素

2、會求常見函數(shù)的定義域和值域

3、掌握求函數(shù)解析式的方法

匐2

〃二知識導圖?思維引航\\

一般地，給定非空數(shù)集4民按照某個對應法則/,使得/中任意元素H

函數(shù)的概念）都有B中唯一確定的了與之對應，那么從集合4到集合E的這個對應,

-----------/\叫做從集合4到集合E的一個函數(shù).

函數(shù)的三要素：定義域、對應關(guān)系、值域

如果兩介函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全

一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)

函數(shù)的概念及其表示

函期猴

k列表法）

蜘若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同而分別用幾

萬欣因敬個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)

者占突曲?題理探密

知識固本

知識點1:函數(shù)的概念

(1)■般地，給定非空數(shù)集A,B,按照某個對應法則f,使得A中任意元素「都有月中唯

確定的y與之對應，那么從集合A到集合6的這個對應，叫做從集合A到集合6的一個函數(shù).記作:

xfy=/(x),XGA.集合A叫做函數(shù)的定義域，記為D,集合｛用="*),xeA｝叫做值域，記為C.

(2)函數(shù)的實質(zhì)是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.

【診斷自測】下列圖象中，y不是尤的函數(shù)的是()

【解析】任作一條垂直于x軸的直線x=a,移動直線，

根據(jù)函數(shù)的定義可知，此直線與函數(shù)圖象至多有一個交點，

結(jié)合選項可知D不滿足要求，因此D中圖象不表示函數(shù)關(guān)系.

故選：D.

知識點2：函數(shù)的三要素

(1)函數(shù)的三要素：定義域、對應關(guān)系、值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).

【診斷自測】下列四組函數(shù)：①〃x)=x,g(x)="；②/(x)=x,g(x)=(^)3；③

=2x+l,g(r)=產(chǎn)一2/+1；④/(x)=l,g(x)=x°；其中表示同一函數(shù)的是()

A.②④B.②③C.①③D.③④

【答案】B

【解析】①〃x)=x,g(x)=G=|x|,兩個函數(shù)對應法則不一樣，不是同一函數(shù)；

②〃x)=x,g(x)=(網(wǎng)3=x,兩個函數(shù)定義域和對應法則一樣，是同一函數(shù)；

@/(x)=x2-2x+l,g(r)=r2-2f+l,兩個函數(shù)定義域和對應法則一樣，是同一函數(shù)；

@/(x)=l(xGR),g(x)=x°(x^O),兩個函數(shù)定義域不一樣，不是同一函數(shù).

故選：B.

知識點3：函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

1_?

【診斷自測】己知函數(shù)則〃力=()

A.廠:〒一1(無力°)B.((尤力1)

(1)(1)

44

C.7一kT(x#°)D.7~花一1仁1)

(1)(1)

【答案】B

【解析】令1=1一%,貝!Jx=lT,由于xwO,貝ij/wl,

可得

(J)」

所以“司二廠三-1(x^1)

(1)

故選：B.

知識點4：分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分

段函數(shù).

【診斷自測】（2024?吉林?模擬預測）已知〃x）=?若"。）=1,則實數(shù)。的值為（）

——,x>1.

I2

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

fl1

【解析】當a<1時，f（?）=2-=l,則a-1=0,解得：a=l（舍去）；

當。21時，f（a）=^~=1,則=2,解得：a=4.

故選：B.

解題方法總結(jié)

1、基本的函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應注意：

（1）分式的分母不為零；

（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

（4）零次幕或負指數(shù)次幕的底數(shù)不為零；

（5）三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是且+；

（6）已知了⑺的定義域求解/[g（x）]的定義域，或已知/[g（初的定義域求“尤）的定義域，遵循

兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應法則J下，括號內(nèi)式子的范圍相同；

（7）對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域.

2、基本初等函數(shù)的值域

（1）>=履+6（左W0）的值域是R.

（2）y=4+fov+c（"0）的值域是：當a>0時，值域為人｝；當a<0時，值域為

4ac-b2

{y\y^

4a

k

(3)y=[(Z*O)的值域是{y|ywO}.

(4)y="(a>0且的值域是(0,+oo).

(5)y=log。x(a>0且aw1)的值域是R.

題型洞察

題型一：函數(shù)的概念

【典例1-13下列對應是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）

A.A=N,5=N,/=JB.A=N,5=N,/:xfy=±五

C.A=N,B=Q,f:x^y=D.A=R,5={y|y>0},/:xfy=|乂

【答案】A

【解析】對于A選項，對集合A中的任意一個數(shù)x,集合B中都有唯一的數(shù)y與之對應，是函數(shù)；

對于B選項，尤=4時，y=±2,有兩個y與之對應，不是函數(shù)；

對于C選項，當尤=1時，>不存在，不是函數(shù)；

對于D選項，集合A中的元素0在集合B中沒有對應元素，不是函數(shù).

故選：A

【典例1-2】已知/（x）是定義在有限實數(shù)集A上的函數(shù)，且le4,若函數(shù)/（x）的圖象繞原點逆時針

旋轉(zhuǎn)30后與原圖象重合，則/。）的值不可能是（）

A.0B.且C.3D.73

32

【答案】C

7T

【解析】由題意得到，問題相當于圓上由12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn);個單位后與下一個點會

重合，

我們可以通過代入和賦值的方法，

當〃1）=相,￥，0時，此時得到的圓心角為三,右0,然而此時x=0或者X=1時，都有2個y與之對應，

而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個尤只能對應一個y,

因此只有當x=3時旋轉(zhuǎn)y,此時滿足一個x只會對應一個兒

26

故選.：C.

【方法技巧】

利用函數(shù)概念判斷：（1）A,B是非空的實數(shù)集；（2）數(shù)集A中的任何一個元素在數(shù)集B中只有一個

元素與之對應，即“多對一”，不能“一對多”，而數(shù)集B中有可能存在與數(shù)集A中元素不對應的元素.

【變式1-1]（2024?高三?上海虹口?期中）若函數(shù)y=/（x）的圖像繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)!■后與原圖像

重合，則在以下各項中，y=/（x）的定義域不可能是（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}

C.[-7t,it]D.R

【答案】B

【解析】對于函數(shù)y=圖象上任一點（。力）逆時針旋轉(zhuǎn)3可得（-瓦。），

即（-瓦。）也在函數(shù)>=〃彳）圖象上，

所以（4,。）,（-仇4）,（-4,-方）0-4）均在函數(shù)丫=/（力圖象上，都在定義域內(nèi)，

從而結(jié)合函數(shù)定義有/（0）=0,當時，有/'（a）wa"（a）w—a"（a）NO

若定義域為{TQ1},則/⑴"（-1）不存在滿足題意的對應值，故B錯誤；

故選：B.

【變式1-2]將函數(shù)y=gsinx+dxe的圖象繞著原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)d角得到曲線「，已知

曲線「始終保持為函數(shù)圖象，則tan。的最大值為（）

123

A.4B.-C.1D.-

232

【答案】B

113

【解析】由題設(shè)y'=]cosx+l,在原點處的切線斜率左=溝1=耳8$0+1=5，

3n3

所以切線方程為y=QX,設(shè)切線傾斜角為&e[0,2，貝Utana=；,

當y=；sinx+x繞著原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，始終保持為函數(shù)圖象，

TTTT

則6+aV；,故。v]一a,顯然，為銳角，

（jr、CCSry19o

所以tandWtan彳-a==一=——=-,故tan9的最大值為1

<2）smatan6Z33

故選：B

【變式1-3]存在定義域為R的函數(shù)/（x）,滿足對任意xeR,使得下列等式成立的是（）

A.尤2）=丁B/（cosx）=x

C./（x2+x）=|x|D./（N）=f+1

【答案】D

3

【解析】對于A,因為V=。(。＞0)有兩個不相等的根而和-所以當X=6時，〃4)=/；

_3

當X=_?,/(〃)=_二，與函數(shù)的定義不符，故A不成立；

對于B,令x=0,則f(cosO)=/(l)=。，令X=2兀，則/(cos27i)=/(l)=27T,與函數(shù)定義不符，故B不

成立；

對于C,令x=0,則〃0)=0,令產(chǎn)-1,則〃0)=卜[=1,與函數(shù)定義不符，故C不成立；

對于D,/(|x|)=x2+l=|x|2+l,VxeR,唯一確定，符合函數(shù)定義.故D成立，

故選：D.

題型二：同一函數(shù)的判斷

【典例2-1】下列各組函數(shù)相等的是()

A.f(x)=x2,g(x)=(?『B.f(x)=x-l,g(x)=?-l

C.〃x)=l,g(x)=x°/(x)=W，g(無)=，：]；

【答案】D

【解析】對于A中，函數(shù)“耳=f的定義域為R,83=(?了的定義域為[0,+8),

所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故A錯誤；

對于B中，函數(shù)/(x)=xT的定義域為R,g(x)=；-l的定義域為｛xlxwO｝,

所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故B錯誤；

對于C中，函數(shù)/("=1的定義域為R,與g(無)=》°=1的定義域為團門。｝,

所以定義域不同，所以不是相同的函數(shù)，故C錯誤；

對于D中，函數(shù)〃元)=國=[**一與g(x)=[x,"一°門的定義域均為R，

可知兩個函數(shù)的定義域相同，對應關(guān)系也相同，所以是相同的函數(shù)，故D正確；

故選：D.

【典例2-2](多選題)下列各項不能表示同一個函數(shù)的是()

?2,—

A./(%)=----與g(x)=x+lB.=與g(x)=xT

X-1

C)('戶嚴^與g(x)=JP'D-〃x)=l與g(x)=xj

yi—rv1—XA

【答案】ABD

【解析】對于A:7(x)定義域為(力,1)口(1,包)，g(x)定義域為R,A不能表示同一個函數(shù),A選項正確;

對于B:/(x)=N-l與g(x)=x-1解析式不同，B不能表示同一個函數(shù)，B選項正確；

對于C:解析式及定義域都相同，C選項是同一函數(shù)，C選項不正確；

對于D:7(x)定義域為R,g(x)定義域為(F,O)"O,y),D不能表示同一個函數(shù)，D選項正確；

故選:ABD.

【方法技巧】

當且僅當給定兩個函數(shù)的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù).

【變式2-1](多選題)下列各組函數(shù)表示的是不同函數(shù)的是()

A.f(x)=/右與g(x)=x-W玄

B./(尤)=N與g(x)=G'

C./(x)=x+l^g(x)=x+x°

D.f(x)=?.Jx+1與g(x)=5+x

【答案】ACD

【解析】A.F(x)=的定義域為｛x|xWO｝,且/(x)=缶，g(尤)=的定義域為

｛x|x40｝,解析式不同，所以不是同一函數(shù)，故錯誤；

B./(x)=W的定義域為R,8(幻=47=國定義域為口，且解析式相同，所以是同一函數(shù)，故正確；

C.〃x)=x+l的定義域為R,g(x)=x+x°的定義域為聲1中。｝,所以不是同一函數(shù)，故錯誤；

fx>0f—,-----、

D.,由《尤+]>0得xNO,所以/(x)=??而I的定(義域為｛xlx'O｝,由爐+尤20,得無20或xV—1,

所以函數(shù)的定義域為｛x|x?0或xWT｝，所以不是同一函數(shù)，故錯誤；

故選：ACD

【變式2-2]以下四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()

A./⑺—與8⑺二萬

B./(X)=J1+X-y/1-X與g(x)=71-X2

C.y=x°^y=l

D./(x)=Jx+1-sjx-l與g(x)=7x2-1

【答案】B

【解析】從定義域，對應關(guān)系，值域是否相同，逐項判斷即可.

對于A：/a)的值域為R,8(6的值域為[0,+8),所以A錯誤；

對于B：〃元)的定義域需滿足b—x]。，即為[-1』，

g(x)的定義域滿足1一，NO,即為『1』，且&=9，

所以“X)和g(x)是同一個函數(shù)，B正確；

對于C：丫=*°的定義域為(-^,0)1；(0,y),y=l的定義域為R,所以C錯誤；

/\fx+1>0「、

對于D：“X)的定義域滿足彳_]>0,即為[1,+8),

g(x)的定義域需滿足爐-120,即為所以D錯誤，

故選：B

【變式2-3](多選題)(2024?高三?浙江金華?期末)已知函數(shù)g(x)=/(e)/7(x)=e/叫

A.若〃x)=0,貝l]g(x)=/z(x)=。

B.若則g(x)=/z(x)

C.對于g(x)=/z(x),若/(x)=x",則(z=l

D.對于g(x)=/z(x),若/(x)=log“x(a>0,aHl),貝lja=e

【答案】CD

/w

【解析】對A：若/⑺=0,則g(x)"(e，"0,/z(x)=e=e°=l,故A錯誤；

對B：若/(x)=|x|,則83=/(1)=卜]=1,h(x)=e/(x)=e|x|,

g(x)x/z(x),故B錯誤；

對C：若〃x)=x",則g(x)=/(e，)=(e")"=e"。h(x)=^,

又g(x)=/z(x)，故ea*=e'‘，故ax=x",即lnar+lnx=tzlnx,

即(a—l)lnx=lna恒成立，故tz=l,故C正確；

對D：f(x)=logfl>0,o1),貝！Jg(x)=/(ex)=k>g“e'=;dogae,

/z(x)=e/W=e108?\又g(x)=/z(x),故xlog”=恒成立，

即===eMa=(elnx)lna=x'na,故lnx+ln]—!—]=—!—Jnx,

'7(InaJIna

即----1|-lnx=ln|--[恒成立，故」一=1,即〃=匕，故D正確.

[Ina)\\na)ln〃

故選：CD.

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域

【典例3-1]（2024?北京通州?二模）已知函數(shù)〃x）=￡+lg（x_2）的定義域為

【答案】{布>2}

【解析】根據(jù)題意可得[，上：八,解得x>2

1%—2〉0

故定義域為{小>2}.

故答案為：[x\x>2]

【典例3-2】已知等腰三角形的周長為40cm,底邊長y（cm）是腰長x（由）的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（

A.（10,20）B.（0,10）C.(5,10)D.[5,10)

【答案】A

【解析】由題設(shè)有y=40-2x,

40-2%>0

由得10<x<20,故選A.

元+x>40—2%

【方法技巧】

對求函數(shù)定義域問題的思路是：

（1）先列出使式子/（X）有意義的不等式或不等式組；

（2）解不等式組；

（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式.

【變式3-1】函數(shù)/（x）=ln（x+l）+7T7的定義域是.

【答案】（-1』

/、fx+1>0

【解析】由"X）的解析式可得1_x>0

解得—IvxVl；

所以其定義域為（-U].

故答案為：（-1』

【變式3-2]（2024?北京懷柔?模擬預測）函數(shù)/（犬）=坨上三的定義域是

【答案】(一8,-g),(0,+8)

【解析】函數(shù)y(x)=lg—1_i_7上r有意義,則一1-co-r>0?x(2x+l)>0,解得x<-=1或x>0,

xx2

所以函數(shù)/(司=坨產(chǎn)的定義域是(-00,-g)(0,+oo).

故答案為：(-0,-二)11(0,+8)

2

【變式3-31(2024?北京平谷?模擬預測)函數(shù)“無)=W+ln(l-x)的定義域是

【答案】(-，-2).(-2,1)

【解析】函數(shù)仆)=」+ln(i)有意義的條件是尸？二：,解得了<1且…，

x+2II—x〉U

所以函數(shù)/(X)定義域為(-2)5-2,1).

故答案為：(F,-2)U(-2,1).

題型四：抽象函數(shù)定義域

【典例4-1】已知函數(shù)，=/點五+1］的定義域是［2,4］,則函數(shù)g(x)=言/(的x)定義域為(

A.（2,3）B.（2,3]

C.（2,3）（3,6]D.（2,3）（3,4]

【答案】A

卜+1］的定義域是［2,4］

【解析】因為函數(shù)y=/，所以2<x44,

所以24；尤+143,所以函數(shù)“X)的定義域為［2,3］,

2<x<3

所以要使函數(shù)才(、)=舟看有意義，則有

x—2>0,解得2<x<3,

x—2w1

所以函數(shù)g(x)=|的定義域為(2,3).

In(%—ZI

故選：A.

2

【典例4-2］已知/⑴的定義域為工引，則g。)=/產(chǎn)=)的定義域為()

2x-3

1口3受

A.B.

2,4

3535

C.D.

2?32?3

【答案】A

【解析】因為“X）定義域為［1,3］,所以/（3X-2）的定義域為1<3X-2W3,解得IVxg,

335

由分母不為0,得2x-3#0,即=,所以函數(shù)定義域為：

21撲253,

故選：A.

【方法技巧】

1、抽象函數(shù)的定義域求法：（1）若/（尤）的定義域為（。，與，求/Ig（x）］中q<g（x）<6的解x的范圍，

即為〃g（x）］的定義域.（2）已知〃g（x）］的定義域，求/（X）的定義域，則用換元法求解.

2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先

求出各個函數(shù)的定義域，再取交集.

【變式4-1］（2024?高三?河北邢臺?期末）若函數(shù)/（3尤-2）的定義域為［-2,3］,則函數(shù)f（2x+3）的

定義域為.

【答案】一:，2

【解析】因為-24x43,所以—8<3x—2V7,所以/⑺的定義域為［-8,7］,

要使/（2尤+3）有意義，需滿足—8V2X+3W7,解得一甘4苫42,

所以函數(shù)/（2x+3）的定義域為《,2.

故答案為：-與2.

【變式4-2】己知函數(shù)的定義域為（1,2）,求〃2x+l）的定義域.

【答案】［。，|］

【解析】???/（f）的定義域為（1,2）,即l<x<2,

1<x2<4,

故需l<2x+l<4,

0<x<一.

2

???/（2x+l）的定義域為

故答案為：］。,￡|

【變式4-3］⑴已知函數(shù)/（x+2）的定義域為［1,3］,則函數(shù)/卜）的定義域為.

（2）已知函數(shù)/（x+1）的定義域為［3,8］,則函數(shù)的定義域為—.

【答案】[3,5][-3,-2].[2,3]

【解析】(1)令M=X+2,貝l]/(x+2)=/(w),

因為函數(shù)/(x+2)的定義域為[1,3],所以"=x+2e[3,5],

所以函數(shù)“X)的定義域為[3,5].

(2)令"=x+l,丫=/，貝=/(〃)，/(x2)=/(v).

因為函數(shù)〃x+1)的定義域為[3,8],所以M=x+le[4,9],

所以函數(shù)/⑺的定義域為[4,9],

所以v=d€[4,9],所以xe[—3,—2]u[2,3],

所以函數(shù)/(d)的定義域為[—3,-2][2,3].

故答案為：[3,5]；[-3,—2]」2,3]

題型五：函數(shù)定義域的綜合應用

y1

【典例5-1】已知函數(shù)/(')=康』的定義域為R,則實數(shù)0的取值范圍為(

A.jtz|O<?<^-

B.{4々40,或〃>1}

C.{a|O?avl}D.?<0,或〃21}

【答案】C

【解析】由函數(shù)—-7的定義域為R,得WxeR,加-2OX+1W0恒成立.

ax-2ax+\

當a=0時，1。0恒成立；

當時，A=4Q2—4Q<0，解得。<a<l.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為｛4。

故選：C.

「，、2?+1+a

【典例5-2]若函數(shù)/5)=77^―^的定義域為R，則實數(shù)。的取值范圍是()

InI2+a\

A.(-2,+oo)B.(-1,+co)C.(-2,-1)D.(-2,-l)u(-l,+oo)

【答案】B

【解析】因為+a>2+a，/⑴的定義域為R，

所以首先滿足2+a>。恒成立，；.a>-2,

再者滿足ln(2，+i+a)w0n2/+1+a^1,變形得到2加r1-a,2?+1e［2,+oo).-.l-a<2

a>—1,最終得至Ua>—1.

故選：B.

【方法技巧】

對函數(shù)定義域的應用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進行分類討論.

Y+1

【變式5-1]（2024?高三?上海嘉定?期中）已知函數(shù)=；的定義域為R，則實數(shù)。的

ax--2ax+l

取值范圍是.

【答案】0<?<1

_r+1

【解析】函數(shù)析x）=一;的定義域為R,

ax,—2：ox+l

得\/xeR,ax2-2ax+1。恒成立，

當a=0時，1H0恒成立；

當"0時，A=4a2-4a<0,得

綜上，實數(shù)。的取值范圍是OWa<L

故答案為：0〈。<1

【變式5-2]若函數(shù)〃無）=，加+4依+3的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍為一.

【答案】。，：3

【解析】由題意得，加+4依+320在R上恒成立，

當。=0時，3>0,成立；

fa>0fa>03

當“0時，A”，即“2,°-，解得

[△40-4ax3<04

-3'

綜上所述，0,-.

_4_

「31

故答案為：。].

g,+?）卜寸，函數(shù)/（x）=卜1,和g(x)=logF2x2-(2a+3)x+2］有意義，貝I］實

【變式5-3】當xe2

V2ax-lnx

數(shù)。的取值范圍是.

【答案】￡

（）

【解析】由題意知，當彳七1習時，不等式組型[2a一x-l（n2xa>+03,）x+2>。成立.

對于2ov-lnx>0,整理得2〃>^令/1(%)=里^,貝1=~~等，

xxx

當工￡(!，e時，0(x)單調(diào)遞增;x￡(e,+oo)時，"(x)<0,力⑺單調(diào)遞減，所以力(%)耐=力⑻=L

12」e

則2*,解得??；

對于2/-(2a+3)x+2>0,整理得^^<了+工由于G(x)=x+-在上的最小值為G⑴=2,所

2x

以?<2’解得

綜上可得:<*.

故答案為:3?

題型六：待定系數(shù)法求解析式

【典例6-1】一次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且/(/(%-1))=4%+5,則/(X)=—.

【答案】2x+3

【解析】設(shè)/(耳=丘+乩則/(X—1)=區(qū)一左+6,

/(7(九—1))=左(西一女+人)+人=左2%—左2+如+〃=4%+5,

k2-4

則/心.又/(%)在R上單調(diào)遞增，即左>0,

一K十Ku?t/—D

所以左=2,6=3,貝lj/(x)=2:v+3.

故答案為：2x+3

【典例6-2】已知二次函數(shù)"X)滿足"0)=0,“X—l)=〃x)+3x-5,則不等式/(x)>0的解集

為一

【答案】[o,￡|.

【解析】由二次函數(shù)"X)滿足"0)=0,

設(shè)“X)的表達式為/(X)=/+樂("0,a,b為常數(shù)),

貝！J/(%—1)=tz(x—1)2+Z?(x-1)=ax2+[b-2a)x-st-a—b；

y(x)+3x-5=av2+(Z?+3)%-5,

3

a=—

b—2a=b+37

根據(jù)〃X-1)=/(X)+3X-5,得解得

a—b=-5

b=-

[2

37

所以/(司=-]/+]_￥,

377

4/(x)=--x2+-x>0,貝IJ3尤2一7尤<0,解得。<x<“

所以〃x)的解集為[。，功.

故答案為：

【方法技巧】

當已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解.

【變式6-1】已知函數(shù)“X)是一次函數(shù)，5.[/(%)]2-3/(x)=4x2-10.x+4,則/⑺的解析式為

【答案】f(x)=-2x+4或，(尤)=21

【解析】設(shè)=0),

則[/(x)]2-3/(x)=(kx+b)1—3(kx+b)=k2x2+(2kb—3k)x+b2-3b=4x2-10x+4,

k2=4

貝lj{2劭-3左=-10,解得左=一2,6=4,或左=2,b=-l,

H-3b=4

故=-2x+4或f(x)=2x-L

故答案為：/?=-2^+4s￡f(x)=2x-l.

【變式6-2]已知二次函數(shù)“x)=/+Zzx+c(aH0),其圖象過點(1,-1),且滿足

/(x+2)=/(x)+4^+4,則/(%)的解析式為—.

【答案】/(X)=X2-2

【解析】根據(jù)題意可矢口a+b+c=—l,

又O(X+2)2+b^x+i)+c=ax1+6x+c+4x+4恒相等，

化簡得至ll(4。+人)了+4。+2/?+。=(〃+4)%+。+4，恒相等，

4〃+。=人+4

所以<4o+2Z?+c=c+4,故。=1,b=0,c=—2,

a+b+c=-1

所以〃力的解析式為了⑴=爐-2.

故答案為：/(%)=％2_2.

題型七：換元法求解析式

【典例7-1】已知兀^+!)=/+3,則函數(shù)兀0=.

XX

【答案】x2-2(|x|>2)

【解析】配湊法./0+，)=》2+3=(/+2+二)-2=(x+，)2—2,所以/(x)=x2—2(|X|N2).

尤廠x~x

【典例7-2】己知，(6+1)=尤+2?,則/⑺=()

A./(x)=x2B.=x?-1(x21)

C./(x)=x2-l(x>0)D./(J;)=X2+1(X>1)

【答案】B

【解析】令?+l=r,rz1,貝?。菔?r-l,x=(z—1)~,

所以/(r)=(f_if+2(f—1)=-一1(f21),

所以〃x)的解析式為：/(x)=x2-l(x>l)

故選：B.

【方法技巧】

當已知表達式為/(g(x))時，可考慮配湊法或換元法.

【變式7-1】設(shè)〃尤)是定義在R+上的函數(shù)，且VaeR,/(x)=a有唯一解或無解，且對任意xeR+,

均有〃“〃耳+鼻=；,請寫出一個符合條件的〃x)=_.

【答案】-白1或3;(答案不唯一)

2x4x

【解析】當/(》)=一上(》>0)時，

所以+3)一］x(_g尤);

或者,當“》)=丁(芯>0)時，

所以木為十㈢】

13

故答案為：〃x）=一=或〃尤）=言（答案不唯一）.

【變式7-2］若〃尤）是定義域為（0,+8）上的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)xe（0,+8）都有

f=：+1，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則/（ln3）=（）

4

A.4B.-

3

C.e+2D.—

3

【答案】B

【解析】???/（%）是定義域為（。,+8）上的單調(diào)函數(shù)，且//（X）=1+1,

在（0,+co）上存在唯一一個實數(shù)/使得了⑺=』+1,

e

于是/（力-2=%.

令x=t,得—1-1—;=t,BP—tH—bl=--.

eeee

且r=i是方程-+Li=1的解，

ee

iii4

所以“x）=/+l，故7（ln3）=而+1=耳+1=屋

故選:B.

【變式7-3］（2024?高三?江