2023-2014年北京十年中考數(shù)學《新定義》含答案解析

2023~2014北京十年中考數(shù)學分類匯編一一新定義

1.(2023?北京)在平面直角坐標系中，OO的半徑為1.對于OO的弦48和。。外一

點C給出如下定義：若直線C4,C8中一條經(jīng)過點。，另一條是。。的切線，則稱點C

是弦的“關(guān)聯(lián)點”.

(1)如圖，點/(-1,0),以(近)，B-i(乏，

2222

①在點C1(-1,1),c2(-42,o),c3(o,&)中，弦血的“關(guān)聯(lián)點”是；

②若點c是弦/班的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出。。的長；

(2)已知點M(0,3),N(?遙,0),對于線段上一點S,存在。。的弦尸。，使

5

得點S是弦尸。的“關(guān)聯(lián)點”.記P0的長為/,當點S在線段MV上運動時，直接寫出/

的取值范圍.

第1頁(共10頁)

2.（2022?北京）在平面直角坐標系x0y中，已知點b）,N.

對于點P給出如下定義：將點尸向右（a20）或向左（6?<0）平移同個單位長度，再向

上（620）或向下（6<0）平移回個單位長度，得到點P,點P'關(guān)于點N的對稱點

為Q,稱點。為點尸的“對應點

（1）如圖，點M（1,1）,點N在線段（W的延長線上.若點尸（-2,0）,點0為點P

的“對應點”.

①在圖中畫出點0；

②連接PQ,交線段CW于點T,求證：NT=LOM；

2

（2）。。的半徑為1,M是。。上一點，點N在線段。河上，且ON=f（工若

2

P為。。外一點，點。為點P的“對應點”，連接P。.當點M在。。上運動時，直接寫

第2頁（共10頁）

3.(2021?北京)在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1.對于點/和線段3C,給出如

下定義：若將線段8C繞點N旋轉(zhuǎn)可以得到的弦夕C(夕，C分別是3,。的

對應點)，則稱線段2C是OO的以點/為中心的“關(guān)聯(lián)線段

(1)如圖，點/,B\,Ci，Bi,Ci，Bi,。3的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段囪Ci，32c2,

83c3中，。。的以點/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是；

(2)△NBC是邊長為1的等邊三角形，點/(0,/),其中/W0.若是。。的以點/

為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求f的值；

(3)在中，AB=1,AC=2.若是的以點/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接

寫出。4的最小值和最大值，以及相應的BC長.

第3頁(共10頁)

4.（2020?北京）在平面直角坐標系xQy中，。。的半徑為1,A,3為。。外兩點，48=1.

給出如下定義：平移線段N3,得到的弦4夕（4,B'分別為點/,8的對應點），

線段區(qū)4'長度的最小值稱為線段到OO的“平移距離”.

（1）如圖，平移線段得到O。的長度為1的弦尸欠2和尸3P4，則這兩條弦的位置關(guān)

系是;在點尸1,Pl,P3,尸4中，連接點/與點的線段的

長度等于線段到。。的“平移距離”；

（2）若點/,2都在直線了=逐》+2北上，記線段42到OO的“平移距離”為由，求

d\的最小值；

（3）若點N的坐標為（2,2）,記線段到。。的“平移距離”為d2,直接寫出為

2

的取值范圍.

第4頁（共10頁）

5.(2019?北京)在△A8C中，D,￡分別是△NBC兩邊的中點，如果窟上的所有點都在4

N8C的內(nèi)部或邊上，則稱宛為△48C的中內(nèi)弧.例如，圖1中血是△NBC的一條中內(nèi)

弧.

(1)如圖2,在RtZ\/BC中，AB=AC=272-D,￡分別是N3,NC的中點，畫出△

/8C的最長的中內(nèi)弧而，并直接寫出此時贏的長;

(2)在平面直角坐標系中，己知點/(0,2),B(0,0),CC4t,0)(f>0),在△48C

中，D,￡分別是NC的中點.

①若t=X,求△NBC的中內(nèi)弧廉所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍；

2

②若在△N8C中存在一條中內(nèi)弧宛，使得茄所在圓的圓心尸在△/BC的內(nèi)部或邊上，

直接寫出/的取值范圍.

第5頁(共10頁)

6.(2018?北京)對于平面直角坐標系xOy中的圖形M,N,給出如下定義：P為圖形M上

任意一點，0為圖形N上任意一點，如果P,。兩點間的距離有最小值，那么稱這個最

小值為圖形跖N間的“閉距離“，記作4(M,N).

已知點/(-2,6),3(-2,-2),C(6,-2).

(1)求d(點。，AABC)；

(2)記函數(shù)后W0)的圖象為圖形G.若d(G,△45C)=1,直接

寫出發(fā)的取值范圍；

(3)。7的圓心為TG,0),半徑為1.若“(07,△/8C)=1,直接寫出/的取值范

圍.

第6頁(共10頁)

7.（2017?北京）在平面直角坐標系x0y中的點P和圖形給出如下的定義：若在圖形M

上存在一點。，使得產(chǎn)、。兩點間的距離小于或等于1,則稱P為圖形〃的關(guān)聯(lián)點.

（1）當。。的半徑為2時，

①在點P1（X0）,尸2（X近），P3（5，0）中，OO的關(guān)聯(lián)點是.

2222

②點P在直線y=-x上，若P為的關(guān)聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍.

（2）OC的圓心在x軸上，半徑為2,直線y=-x+1與x軸、y軸交于點/、B.若線段

AB上的所有點都是（DC的關(guān)聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍.

第7頁（共10頁）

8.（2016?北京）在平面直角坐標系xOy中，點尸的坐標為（xi,〃），點。的坐標為（x2,

y2）,且xi#x2,yiW”，若P,。為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸

垂直，則稱該矩形為點尸，0的“相關(guān)矩形”，如圖為點P,0的“相關(guān)矩形”示意圖.

（1）已知點/的坐標為（1,0）,

①若點2的坐標為（3,1）,求點4,2的“相關(guān)矩形”的面積；

②點C在直線x=3上，若點n,C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線NC的表達式；

（2）。。的半徑為加，點M的坐標為（m,3）,若在OO上存在一點N,使得點M,N

的“相關(guān)矩形”為正方形，求加的取值范圍.

J'A

5-

4

3

2

1

□12345.x

第8頁（共10頁）

9.（2015?北京）在平面直角坐標系xOy中，的半徑為r,P是與圓心C不重合的點，

點尸關(guān)于OC的反稱點的定義如下：若在射線C尸上存在一點P,滿足CP+CP'=2r,則

稱P為點P關(guān)于0c的反稱點，如圖為點P及其關(guān)于OC的反稱點P的示意圖.

特別地，當點P與圓心C重合時，規(guī)定CP=0.

（1）當。。的半徑為1時.

①分別判斷點M（2,1）,N（2,0）,T（1,圾）關(guān)于OO的反稱點是否存在？若存

2

在，求其坐標；

②點P在直線y=-x+2上，若點尸關(guān)于。。的反稱點尸'存在，且點P不在x軸上，

求點P的橫坐標的取值范圍；

（2）OC的圓心在x軸上，半徑為1,直線y=-叵什2%b與x軸、y軸分別交于點

3

B,若線段48上存在點尸，使得點P關(guān)于OC的反稱點P在。。的內(nèi)部，求圓心C的

橫坐標的取值范圍.

第9頁（共10頁）

10.(2014?北京)對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M>0,對于任意的函數(shù)值外

都滿足-MWyWM,則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為

這個函數(shù)的邊界值.例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

(1)分別判斷函數(shù)>=工(x>0)和y=x+l(-4<xW2)是不是有界函數(shù)？若是有界函

x

數(shù)，求其邊界值；

(2)若函數(shù)y=-x+l(aWxWb,b>a)的邊界值是2,且這個函數(shù)的最大值也是2,求

b的取值范圍；

(3)將函數(shù)%20)的圖象向下平移加個單位，得到的函數(shù)的邊界

值是3當比在什么范圍時，滿足

第10頁(共10頁)

2023~2014北京十年中考數(shù)學分類匯編一一新定義

參考答案與試題解析

1.在平面直角坐標系xOy中，的半徑為1.對于的弦和。。外一點C給出如

下定義：若直線C4,CB中一條經(jīng)過點。，另一條是。。的切線，則稱點C是弦A3的

“關(guān)聯(lián)點”.

（1）如圖，點/（-1,0）,Bi（紅），52（亞，

2222

①在點C1（-1,1）,C2（-V2，0）,。3（0,、歷）中，弦/為的“關(guān)聯(lián)點”是C1，

工；

②若點。是弦/歷的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出。。的長；

（2）已知點”（0,3）,N（耳￡,0）,對于線段上一點S,存在。。的弦尸。，使

得點S是弦尸。的“關(guān)聯(lián)點”.記P。的長為3當點S在線段九W上運動時，直接寫出,

的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)題目中關(guān)聯(lián)點的定義分情況討論即可；

（2）根據(jù)3）,N（縣氏，0）兩點來求最值情況，共有兩種情況，分別位于點M

5

和經(jīng)過點O的的垂直平分線上，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）①由關(guān)聯(lián)定義可知，若直線。、C8中一條經(jīng)過點。，另一條是。。

的切線，則稱點。是弦43的“關(guān)聯(lián)點”，

:點/（-1,0）,Bi（匹），點Ci（-1,1）,。2（-^2，0）,C3（0,&）,

22

直線/C2經(jīng)過點。，且歷。2與O。相切,

?..C2是弦N81的“關(guān)聯(lián)點”，

第1頁（共26頁）

,/Cl（-1,1）,/（-1,0）的橫坐標相同，與囪（二巨，巨）都位于直線y=-X

22

上，

???4。與。。相切，5cl經(jīng)過點O,

**?Ci是弦AB\的"關(guān)聯(lián)點”；

故答案為：Cl,C2；

②（-1,0）,B1（亞，

22

則。比，NG所在直線為［yr-&，

ly=0

解得（xS,

ly=0

ACi（加，o）,

b、若/。2與。。相切，經(jīng)過點。,

則直線。2比，/C2所在直線為h二-1,

ly=-x

解得［x=-L,

ly=l

：.Ci（-1,1）,

，。。2=加,

綜上所述，oc=&；

（2）:線段ACV上一點S,存在OO的弦尸0,使得點S是弦尸0的“關(guān)聯(lián)點”,

第2頁（共26頁）

:弦P。隨著S的變動在一定范圍內(nèi)變動，且M(0,3),N(&d，0),OM>ON,

5

；.s共有2種情況，分別位于點"和經(jīng)過點。的的垂直平分線上，如圖所示，

①當S位于點M(0,3)時，MP為。。的切線，作尸JLLOM,

'：M(0,3),。。的半徑為1且是。。的切線，

C.OPLMP,

"CPJLOM,

：.△MPOsXPOJ,

A0P_^0M(即工

ojOPojQ

解得。J=L,

3

.*.PJ=jQ[p2+Q]j2=2^,Q\J=^，

.??P0=Jpj2+Q]j2=_^,

22

同理PQ2=^/pj+Q2J=

...當S位于M(0,3)時，尸0的臨界值為變短口義⑥;

33

②當S位于經(jīng)過點。的兒W的垂線上的點K時，，

'：M(0,3),N0),

5_

-'-MV=VOM2-H3N2

b

第3頁(共26頁)

QM?QN

?<-0K==2,

MN

???。0的半徑為1,

：.ZOKZ=30°,

：./\OPQ為等邊三角形，

：.PQ=1或正，

...當S位于經(jīng)過點O且垂直于〃N的直線上即點K時，PQi的臨界點為1和

...在兩種情況下，尸0的最小值在IWfW羋■內(nèi)，最大值在2近4t<F，

33

綜上所述，f的取值范圍為IW/wZY：,

33

【點評】本題是圓的綜合題，考查了最值問題，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握心概念“關(guān)聯(lián)點”是解題的關(guān)鍵.

2.在平面直角坐標系宜打中，已知點M(a,b),N.

對于點P給出如下定義：將點尸向右(。20)或向左(a<0)平移同個單位長度，再向

上(620)或向下(6V0)平移向個單位長度，得到點P,點P關(guān)于點N的對稱點

為Q,稱點。為點尸的“對應點”.

(1)如圖，點M(1,1),點N在線段的延長線上.若點尸(-2,0),點0為點P

的“對應點”.

①在圖中畫出點Q；

②連接P0,交線段ON于點7,求證：NT=1OM；

2

(2)。。的半徑為1,M是。。上一點，點N在線段■上，且ON=?若

2

尸為O。外一點，點。為點尸的“對應點”，連接尸。.當點M在O。上運動時，直接寫

第4頁(共26頁)

【分析】(1)①根據(jù)定義，先求出尸的坐標，從而得出。的位置;

②連接尸尸，利用三角形中位線定理得NT=L>P,從而證明結(jié)論;

2

(2)連接尸。，并延長至S,使。尸=。亂延長SQ到T,使ST=OM,由題意知，PP\

//OM,PPi=OM,PxN=NQ,利用三角形中位線定理得。7的長，從而求出SQ的長，

在△P0S中，PS-QS<PS+QS,則的最小值為尸S-QS,尸。的最大值為PS+QS,從

而解決問題.

【解答】解：(1)@由題意知,P(-2+1,0+1),

：.P'(-1,1),

如圖，點。即為所求；

②連接PP,

VZP1PO=ZMOx=45°,

:?PP'〃ON,

,:P'N=QN,

：.PT=QT,

:.NT=LPP,

2

':PP'=OM,

:.NT=LOM-,

2

(2)如圖，連接尸。，并延長至S,使。P=OS,延長S。到7,使ST=(W,

第5頁(共26頁)

：.TQ=2MN,

'：MN=OM-ON=1-t,

：.TQ=2-It,

：.SQ=ST-TQ=\-(2-2.t)=2t-l,

■:PS-QS^PQ^PS+QS,

：.PQ的最小值為PS-QS,PQ的最大值為PS+QS,

長的最大值與最小值的差為(尸S+QS)-(PS-QS)=2QS=4t-2.

【點評】本題是圓的綜合題，主要考查了三角形中位線定理，三角形三邊關(guān)系，平移的

性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解定義，畫出圖形，利用三角形中位線定理求出。7的長

是解題的關(guān)鍵.

3.在平面直角坐標系xOy中，的半徑為1.對于點N和線段3C,給出如下定義：若將

線段3c繞點/旋轉(zhuǎn)可以得到OO的弦女CCB1,C分別是2,C的對應點)，則

稱線段8c是。。的以點/為中心的“關(guān)聯(lián)線段

(1)如圖，點/,Bi,Ci,B2,CI,Bi，C3的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段8C1,32c2,

33c3中，。。的以點/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是B2c2;

(2)是邊長為1的等邊三角形，點/(0,/),其中tNO.若3c是。。的以點/

為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求才的值；

(3)在△NBC中，48=1,NC=2.若2C是OO的以點/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接

第6頁(共26頁)

寫出。工的最小值和最大值，以及相應的3c長.

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及點/到圓上一點距離的范圍，結(jié)合圖形判斷，即可求

出答案.

（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，“關(guān)聯(lián)線段”的定義以及等邊三角形的性質(zhì)，求出夕C'的位置,

從而求出r的值.

（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及“關(guān)聯(lián)線段”的定義，可知四邊形NB'OC的各邊長，利用

四邊形的不穩(wěn)定性，畫出。/最小和最大時的圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定

理求出答案.

【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=AB',AC^AC',ZBAB'=NC4C',

由圖可知點A到圓上一點的距離d的范圍為&-,

"：ACi=?>>d,

.■.點G'不可能在圓上，

???81。不是。。的以/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，

'：ACi=\,AB?=述,

：.Ci'（0,1）,B2‘（1,0）,

..?B2C2是。。的以/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，

：/C3=2,AB3=正,

當23,在圓上時，Bi'（1,0）或（0,-1）,

由圖可知此時C3‘不在圓上，

.?.23C3不是。。的以/為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

故答案為：B2c2.

第7頁（共26頁）

(2)..?△48C是邊長為1的等邊三角形，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△/女C'也是邊長為1的等邊三角形,

'：A(0,t),

：.B'C_Ly軸，且"C'=1,

:.AO為B1C邊上的高的2倍，且此高的長為近,

2

.?“=正或--./3.

(3)OA的最小值為1時，此時3C的長為我，OA的最大值為2,此時2C的長為

2

理由：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和“關(guān)聯(lián)線段”的定義，

可知AB'=AB=OB'=OC'=1,AC'=/C=2,如圖1,

圖1

利用四邊形的不穩(wěn)定性可知，

當O,C在同一直線上時，0/最小，最小值為1,如圖2,

AZAB'C=90°,

?''B'C'=VAC'2-AB/2=V22-I2=Vs-

當A,B',。在同一直線上時，CM最大，如圖3,

第8頁(共26頁)

A

C

O

圖3

此時04=2,過點4作4￡_L0C，于E,過點C'作C'于尸.

，：AO=AC,=2,AELOC',

：.OE=EC'

2

?■?^=VA02-0E2=^22-(y)2=^->

'-'S^AOC=^--AO'CF=A?OC,,AE,

22

：.c'b=?L,

4

，B'0f2+FC'2=Je）2+彎）2=坐.

綜上ON的最小值為1,此時BC的長為"jW，。4的最大值為2,此時3C的長為限.

【點評】此題屬于圓綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)有關(guān)的新定義題，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角

形，等邊三角形，勾股定理等知識點，本題的關(guān)鍵畫出。/最小和最大時的圖形，屬于

中考壓軸題.

4.在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,A,8為。。外兩點，AB=\.

第9頁（共26頁）

給出如下定義：平移線段得到。。的弦49（4,B'分別為點/,2的對應點）,

線段長度的最小值稱為線段N8到。。的“平移距離”.

（1）如圖，平移線段N5得到。。的長度為1的弦尸1尸2和尸3尸4,則這兩條弦的位置關(guān)

系是P\P?〃P3PA；在點尸1，P2,P3,尸4中，連接點/與點五的線段的長度等

于線段N5到。。的“平移距離”；

（2）若點/,8都在直線上，記線段N8到。。的“平移距離”為力，求

心的最小值；

（3）若點/的坐標為（2,3）,記線段到。。的“平移距離”為心，直接寫出必

2

的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，以及線段N2到。。的“平移距離”的定義判斷即可.

（2）如圖1中，作等邊△（?￡凡點￡在x軸上，OE=EF=OF=1,設(shè)直線

交x軸于交y軸于N.貝!0）,N（0,2正），過點E作E8_LACV于X,解

直角三角形求出即可判斷.

（3）如圖2中，以/為圓心1為半徑作04作直線。/交。。于交。/于N,以

04/8為鄰邊構(gòu)造平行四邊形N80O,以為邊構(gòu)造等邊△048'和等邊△08'A',

則B',AA'的長即為線段到。。的“平移距離”，點/'與河重合時，

的值最小，當點3與N重合時，44'的長最大，如圖3中，過點/'作/'H工04于H.

解直角三角形求出44'即可.

【解答】解：（1）如圖，平移線段得到。。的長度為1的弦P1P2和尸3尸4,則這兩條

弦的位置關(guān)系是尸122〃23尸4；在點P1,尸2,尸3,尸4中，連接點/與點P3的線段的長度

等于線段到。。的“平移距離”.

故答案為：P1P2//P3P4,尸3.

（2）如圖1中，作等邊△OEF,點￡在X軸上，OE=EF=OF=l,

第10頁（共26頁）

設(shè)直線V=J^x+2百交x軸于乂交丁軸于N.則M(-2,0),N(0,2%)，

過點E作EHLMN于H,

：(W=2,ON=2近,

tanZNMO=^3，

:./NMO=60°,

EH=EM*sin60°

2_

觀察圖象可知，線段到。。的“平移距離”為力的最小值為3

2

(3)如圖2中，以/為圓心1為半徑作。/,作直線O/交。。于交。/于N,

以CM,AS為鄰邊構(gòu)造平行四邊形N3DO,以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊△OD8',等邊△。夕

A',則B',AA'的長即為線段N2到。。的“平移距離”，

當點/'與新重合時，AA'的值最小，最小值=04-(W=5-1=&，

22

當點5與N重合時，44'的長最大，如圖3中，過點/'作HLO4于H.

第11頁(共26頁)

22

【點評】本題屬于圓綜合題，考查了平移變換，一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和

性質(zhì)，解直角三角形，線段到。。的“平移距離”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解

題意，靈活運用所學知識解決問題，學會尋找特殊位置解決數(shù)學問題，屬于中考壓軸題.

5.在△48C中，D,E分別是△4BC兩邊的中點，如果走上的所有點都在△N2C的內(nèi)部或

邊上，則稱笳為△ABC的中內(nèi)弧.例如，圖1中一命是△/BC的一條中內(nèi)弧.

(.1)如圖2,在Rt448C中，AB=AC=272>D,￡分別是4S,NC的中點，畫出△

N8C的最長的中內(nèi)弧茄，并直接寫出此時贏的長;

(2)在平面直角坐標系中，已知點/(0,2),B(0,0),C(460)(?>0),在△45C

中，D,￡分別是48,NC的中點.

①若/=工，求△NBC的中內(nèi)弧笳所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍；

2

②若在A/BC中存在一條中內(nèi)弧品，使得益所在圓的圓心P在A/BC的內(nèi)部或邊上，

直接寫出r的取值范圍.

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【分析】(1)由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性質(zhì)可求得。E=2,最長中內(nèi)弧即以DE

為直徑的半圓，.施的長即以DE為直徑的圓周長的一半；

(2)根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上，①當f=工時，要注意

2

圓心P在DE上方的中垂線上均符合要求，在DE下方時必須AC與半徑PE的夾角/AEP

滿足90°W/AEPO35。；②根據(jù)題意，f的最大值即圓心P在/C上時求得的/值.

【解答】解：(1)如圖2,以。￡為直徑的半圓弧窟，就是△48C的最長的中內(nèi)弧廉，

連接?！?

：//=90°,AB=AC=2/^，D,E分別是NB,/C的中點，

,

:.BC=A，=__=4,JD￡=XSC=AX4=2,

sinBsin45022

.,.弧DE=LX2TT=TT；

2

(2)如圖3,由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接。E,作?！?/p>

垂直平分線尸尸，作EG_L/C交FP于G,

①當時，C(2,0),：.D(0,1),E(1,1),F(X1),

22

設(shè)尸(工，小)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心在線段。E上方射線尸尸上均可，

2

'：OA=OC,ZAOC=90°

：.ZACO=45°,

'JDE//OC

：.ZAED^ZACO^45°

作EG_L/C交直線尸尸于G,FG=EF=1.

2

根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點G的下方(含點G)直線EP上時也符合要求；

2

綜上所述，加》1.

2

②如圖4,設(shè)圓心尸在/C上，

:尸在中垂線上，

尸為/￡中點，作PM_LOC于則尸河=3,

2

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：.P(63),

2

'."DE//BC

：.ZADE=ZAOC=90°

?■?^=VAD2+DE2=Vl2+(2t)2=V4t2+l'

,:PD=PE,

：.ZAED=ZPDE

'：ZAED+ZDAE=ZPDE+ZADP=9Q°,

ZDAE=ZADP

:.AP=PD=PE=XAE

2

由三角形中內(nèi)弧定義知，PDWPM

AEW3,即J4t2十產(chǎn)3,解得：fW衣,

Vz>0

.?.0<f^V2.

如圖5,設(shè)圓心尸在BC上，則P(f,0),

。尸與NC相切于點￡為臨界狀態(tài)，過點P作"而為△NBC的中內(nèi)弧，只需尸M

W1即可，由/XEMPS&4BC,得產(chǎn)〃=2於，故(W四,

V?>0,

綜上所述，，的取值范圍為：

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【點評】此題是一道圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，弧長計算，直角三角形性質(zhì)等，給

出了“三角形中內(nèi)弧”新定義，要求學生能夠正確理解新概念，并應用新概念解題.

6.對于平面直角坐標系xOy中的圖形N,給出如下定義：P為圖形"上任意一點，Q

為圖形N上任意一點，如果尸，0兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形

N間的“閉距離“，記作dCM,N).

已知點N(-2,6),8(-2,-2),C(6,-2).

(1)求d(點。，△NBC)；

(2)記函數(shù)kWO)的圖象為圖形G.若d(G,/\ABC)=1,直接

寫出發(fā)的取值范圍；

(3)。7的圓心為0),半徑為1.若4(07,AABC)=1,直接寫出,的取值范

圍.

【分析】(1)根據(jù)點N、B、C三點的坐標作出△N3C,利用“閉距離”的定義即可得；

(2)由題意知了=h在-IWXWI范圍內(nèi)函數(shù)圖象為過原點的線段，再分別求得經(jīng)過(1,

-1)和(-1,-1)時人的值即可得；

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(3)分在△N2C的左側(cè)、內(nèi)部和右側(cè)三種情況，利用“閉距離”的定義逐一判斷即

可得.

【解答】解：(1)如圖所示，點。到△/2C的距離的最小值為2,

：.d(點O,AABC)=2；

(2)y=Ax(左W0)經(jīng)過原點，在-IWxWl范圍內(nèi)，函數(shù)圖象為線段，

當〉=依(-IWxWl,kWO)經(jīng)過(1,-1)時，k=-1,此時d(G,△48C)=1；

當〉=依(-iWxWl,30)經(jīng)過(-1,-1)時，k=l,此時d(G,△ABC)=1；

-IWkWl,

二-1W左W1且4WO；

(3)OT與△/8C的位置關(guān)系分三種情況：

①當07在△/BC的左側(cè)時，由4(。？，AABC)=1知此時/=-4；

②當在△/2C內(nèi)部時，

當點T與原點重合時，d(Or,△48C)=1,知此時f=0；

當點7位于？3位置時，由4(。7,△NBC)=1知73M=2,

;AB=BC=8、ZABC=90°,

：.ZC=ZTjDM=45o,

.TqM2r~

則w-歷

cos4572

~2~

：.t=4-2后,

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故此時0W/W4-2加；

③當在△/8C右邊時，由△/8C）=1知北N=2,

"：ZTADC=ZC=45°,

TN

?T.D-4__2__2./7

??140----------...-r--2y2，

cos45V2_

2

.1=4+2企;

綜上，f=-4或0WK4-2&或/=4+2近.

【點評】本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是理解并掌握“閉距離”的定義與直

線與圓的位置關(guān)系和分類討論思想的運用.

7.在平面直角坐標系xOy中的點尸和圖形給出如下的定義：若在圖形M上存在一點Q,

使得尸、0兩點間的距離小于或等于1,則稱尸為圖形M的關(guān)聯(lián)點.

（1）當。。的半徑為2時，

①在點尸1（1,0）,尸2（X近），P3（$，0）中，。。的關(guān)聯(lián)點是P2,尸3.

2222

②點P在直線y=-x上，若尸為OO的關(guān)聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍.

（2）OC的圓心在x軸上，半徑為2,直線y=-x+1與x軸、y軸交于點/、8.若線段

AB上的所有點都是OC的關(guān)聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍.

【分析】（1）①根據(jù)點P（X0）,尸2（工，工^）,P3（5,0）,求得。p=LOP2

22222

=1,OB=?，于是得到結(jié)論；②根據(jù)定義分析，可得當最小y=-x上的點P到原點

2

的距離在1到3之間時符合題意，設(shè)尸（x,-x）,根據(jù)兩點間的距離公式即可得到結(jié)論;

（2根據(jù)已知條件得到/（1,0）,B（0,1）,如圖1,當圓過點/時，得到。（-2,0）,

如圖2,當直線與小圓相切時，切點為D,得到0）,于是得到結(jié)論；如

圖3,當圓過點。，則NC=1,得到C（2,0）,如圖4,當圓過點3,連接8C,根據(jù)勾

股定理得到C（2加,0）,于是得到結(jié)論.

【解答】解：⑴①...點Pig,0）,p2（l,p3（l,o>

15

???OP—，Op=1,op=^>

，尸1與。。的最小距離為3,尸2與。。的最小距離為1，。尸3與。。的最小距離為工，

22

，。。的關(guān)聯(lián)點是尸2,尸3；

故答案為：Pl,尸3；

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②根據(jù)定義分析，可得當直線y=-x上的點P到原點的距離在1到3之間時符合題意,

.?.設(shè)P(x,-x),當OP=\時，

由距離公式得，OFH(x-o)2+(-x-o)2=r

當OP=3時，OP=V(x-0)2+(-x-0)2=3;

解得：+^/2_:

2

點尸的橫坐標的取值范圍為：小x＜一尊或喙4《平;

(2):直線y=-x+1與x軸、y軸交于點/、B,

：.A(1,0),B(0,1),如圖1,當圓過點/時，此時，。=3,

：.C(-2,0),

如圖2,當直線與小圓相切時，切共為D,

：.CD=1,

:直線48的解析式為y=-x+1,

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，直線N5與x軸的夾角為45°,

AC=&，

c(1-V2,0),

...圓心C的橫坐標的取值范圍為：-2WXCW1-&；

如圖3,當圓過點。，則/C=l,

：.C(2,0),

如圖4,當圓過點3,連接2C,此時，BC=3,

0C=V32-l=2近，

.,.C(272,0).

工圓心。的橫坐標的取值范圍為：2《乂042\回；

綜上所述：圓心C的橫坐標的取值范圍為：Xc<If歷或24

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【點評】本題是圓的綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系,

兩點間的距離公式，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

8.在平面直角坐標系苫3＞中，點尸的坐標為（XI,V），點。的坐標為（X2,二），且X1W

X2,yi^y2,若尸，。為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱

該矩形為點P,。的“相關(guān)矩形”，如圖為點P,。的“相關(guān)矩形”示意圖.

（1）已知點/的坐標為（1,0）,

①若點2的坐標為（3,1）,求點4,2的“相關(guān)矩形”的面積；

②點C在直線x=3上，若點4C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線NC的表達式；

（2）。。的半徑為我，點M的坐標為（加，3）,若在。。上存在一點N,使得點M,N

的“相關(guān)矩形”為正方形，求加的取值范圍.

VA

5-

4

O

3

2

1

j-------1-------1-------1-------1->

□12345x

【分析】（1）①由相關(guān)矩形的定義可知：要求/與2的相關(guān)矩形面積，則必為對角

線，利用N、8兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度，進而可求出該矩形的面積；

②由定義可知，/C必為正方形的對角線，所以/C與x軸的夾角必為45,設(shè)直線/C的

解析式為；y=kx+b,由此可知人=±1,再（1,0）代入〉=履+6,即可求出6的值；

（2）由定義可知，必為相關(guān)矩形的對角線，若該相關(guān)矩形的為正方形，即直線

與x軸的夾角為45°,由因為點N在圓。上，所以該直線九W與圓。一定要有交點，

由此可以求出m的范圍.

【解答】解：⑴①?.1（1,0）,B（3,1）

由定義可知：點/,2的“相關(guān)矩形”的底與高分別為2和1,

...點/,8的“相關(guān)矩形”的面積為2X1=2；

②由定義可知：/C是點/,C的“相關(guān)矩形”的對角線，

又；點4,。的“相關(guān)矩形”為正方形

直線/C與x軸的夾角為45°,

設(shè)直線/C的解析為：y=x+m^y=-x+n

第20頁（共26頁）

把（1,0）分別y=x+%

??m=-1,

?,?直線4C的解析為：＞=%-1,

把（1,0）代入y=-x+n,

??〃=1,

??y='~x+1,

綜上所述，若點aC的“相關(guān)矩形”為正方形，直線/C的表達式為y=x-1或＞=-

x+1；

（2）設(shè)直線MN的解析式為》=京+兒

..?點M,N的“相關(guān)矩形”為正方形，

,由定義可知：直線與x軸的夾角為45°,

'.k=+\,

:點N在O。上，

當直線與。。有交點時，點M,N的“相關(guān)矩形”為正方形，

當斤=1時，

作。。的切線和8C,且與直線MN平行，

其中/、。為。。的切點，直線與y軸交于點直線3c與了軸交于點3,

連接。4,OC,

把M（〃?，3）代入y=x+6,

.".b=3-m,

直線跖V的解析式為：y=x+3-m

VZADO=45°,ZOAD=90°,

：.OD=?OA=2,

：.D（0,2）

同理可得：B（0,-2）,

???令x=0代入y=x+3-m,

?\y=3-m,

：.-2W3-mW2,

1WmW5,

當左=-1時，把Af（加，3）代入y=-x+b,

第21頁（共26頁）

.".b—3+m,

，直線MN的解析式為：y=-x+3+m,

同理可得：-2W3+/