2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習：函數(shù)與基本初等函數(shù)（測試）（解析版）

第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.函數(shù)〃元）=3,一2國的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（-/,0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（l,+oo）

【答案】C

【解析】令/=/一2|乂，貝仃=3"

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：

f（尤）的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)r=f-2岡的單調(diào)遞減區(qū)間，

又函數(shù)f（—x）=（—%）--2/X=r（x）,

即函數(shù)"X）為偶函數(shù)，

結(jié)合圖象，如圖所示，

可知函數(shù)/=犬-2忖的單調(diào)遞減區(qū)間為和（0,1）,

即的單調(diào)遞減區(qū)間為（-叫-1）和（0,1）.

故選：C.

2.二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21x21大小的特殊的幾何圖形，即441個點.

根據(jù)。和1的二進制編碼規(guī)則，一共有24*種不同的碼，假設(shè)我們I萬年用掉3x1015個二維碼，那么所有二

維碼大約可以用（）（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.301,lg3?0.477）

A.10切萬年B.10.萬年C.10四萬年D.10.萬年

【答案】A

【解析】?"萬年用掉3xlOM個二維碼,

大約能用品萬年,

,441,441

15

設(shè)x=-15,貝！J=lg_K=坨2卻一(lg3+lgio)=4411g2-lg3-15?441x0.301-0.477-15?117,

JX1U3X1U

BPx?io117W.

故選：A.

無2_i_1%<[

3.已知函數(shù)〃尤）=存在最小值，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-8,1]B.（-00,1）C.[1,+co）D.（1,+℃）

【答案】A

【解析】當xWl時，/（%）=%2+1,

所以〃x）在（-/⑼上單調(diào)遞減，在（?！簧蠁握{(diào)遞增，則/（力.=/（0）=1,

當尤>1時，〃x）=2=a,所以〃x）在（L”）上單調(diào)遞增，無最小值，

根據(jù)題意，〃x）存在最小值，

所以2—。21,即aVL

故選：A.

4.對函數(shù)〃x）=x+廬，作》=/加）的代換，則不改變函數(shù)值域的代換是（）

A./z(r)=sinf,te0,gB./z(/)=sinZ,G[0,7i]

7171D.h(t)=^sint,te[0,2K]

C./?(r)=sinr,te

~292

【答案】C

【解析】因為函數(shù)〃尤）=尤+7^的定義域為{X|-1WXW1},且不是周期函數(shù),

當犬=〃（。時，其：-l</7（r）<l,

對于A項，當/?[。弓]時，0<sinr<l,BP0<h（t）<1,這與-14力⑺41不符合，故A項不成立;

對于B項，當fe[O,旭時，0<sin?<l,BpO</z（r）<l,這與-1W〃⑺<1不符合，故B項不成立；

兀TC

對于C項，當re時，—IVsintVl,即一1三為⑺W1,故C成立；

對于D項，當fe[0,2兀]時，—"sinfVl,即⑺4：,這與—14%。）41不符合，故D項不成立;

故選：C.

5.已知函數(shù)f（x）=（e*+eT卜inx-2在[-2,2]上的最大值和最小值分別為M,N,則V+N=（）

A.-4B.0C.2D.4

【答案】A

【解析】令g(x)=〃x)+2=(ex+e-，卜inx,定義域為R,

因為在［-2,2］上的最大值和最小值分別為“，N,

所以g(%)在［-2,2］上的最大值和最小值分別為M+2,N+2,

因為g(—尤)=(尸+e*卜in(-x)=—(b+e*卜血=—g⑺，

所以g(x)為奇函數(shù)，g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，

所以g(x)的最大值和最小值互為相反數(shù)，即Af+2+N+2=0,

所以M+N=T,

故選：A.

6.直線x=4與函數(shù)/(*)=1嗝尤(”1)，8(")=1叫”分別交于4,3兩點，且|仙=3,則函數(shù)

2

Mx)=〃x)+g(x)的解析式為()

A.h^x)=-log2xB.h{^x)=-log4x

C./z(A：)=log2XD./?(x)=log4x

【答案】B

【解析】由題意可知，定義域為(0,+8),

函數(shù)”X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,

貝，陰=log“4-logj4=log“4+2,

2

所以10gli4+2=3,

解得a=4,

所以=log4x+logy=log4x-log2%=log4x-210g4=-log4x

2

故選：B.

3

叫已2尤-3+4x,%2—,

3

7.已知函數(shù)/(x)=，3的圖象關(guān)于直線1對稱,貝U叫+利+g=(

2e3-2x+mx+叫,x<—

22

A.8B.10C.12D.14

【答案】B

2x

m1e+4x+6,>0,

【解析】依題意,g(無)=/2x°為偶函數(shù),

2e-+m2x+^m2+m3,x<

3

2x

當x<0時，g[—x)=mleT—4x+6,g(尤)=2}"+相/十萬相？+%

3

由g(-x)=g(x)可知叫=2,祖2=-4,-^=6,

解得町=2,m2=-4,^=12,所以叫+/+?=10.

故選：B

:"V?g(x)=x-3,方程f(g(x))=-3-g(x)有兩個不同的根，分別是%,%,則

8.已知函數(shù)/(%)=

lnx,x>0,

玉+/=()

A.0B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】由題意得：g(x)=x-3為R上的增函數(shù),且g⑶=0,

當xV3時，g(x)V0,/(g(元))=ex、-3

當x>3時，g(x)>0,/(g(x))=ln(x-3),

方程/(g(尤))=-3-g(元)=-尤有兩個不同的根等價于函數(shù)y=〃g(x))與y=T的圖象有兩個交點,

作出函數(shù)/(g(x))與尸-X的圖象如下圖所示:

由圖可知〉=-3與y=ln(%—3)圖象關(guān)于y=彳-3對稱,

則A,8兩點關(guān)于y=x-3對稱，中點C在y=x-3圖象上,

y=-x,3_3

由尸A3'解得：°2，-2

3

所以石+犬2=2X/=3.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

xa

9.函數(shù)/(x)=(aeR)的大致圖象可能是()

【解析】由題意知1-5意o,則xw±l,當xe(0,l)時，l-|x|>0,尤">0，f(x)>0,

a

當xe(l,+co)時，l-|x|<0,x>0,/(x)<0,

所以的大致圖象不可能為C,

而當a為其他值時，A,B,D均有可能出現(xiàn)，

不妨設(shè)a=；,定義域為[0,1)。,")，此時A選項符合要求；

當a=l時，定義域為{x|xw±l},且/(-x)=[J

I，1-1-XI1-IXI

X

故函數(shù)^為奇函數(shù)，所以B選項符合要求，

1一|九I

當a=2時，定義域為{x|xw±l},同==

r2

故函數(shù)/(x)=7^為偶函數(shù)，所以D選項符合要求.

l-|x|

故選：ABD

10.己知定義在R上的函數(shù)/⑺滿足f(l+x)+/(l-x)=O,且/(%)不是常函數(shù)，則下列說法中正確的有(

A.若2為"X)的周期，則/⑺為奇函數(shù)

B.若/⑴為奇函數(shù)，則2為八元)的周期

C.若4為/(%)的周期，則/(盼為偶函數(shù)

D.若〃無)為偶函數(shù)，則4為“幻的周期

【答案】ABD

【解析】對于A：若2是了⑺的周期，則/(尤+2)=/(x),

由/(l+x)+/(l-尤)=0,p]-^/(2+x)=/(1+x+l)=-/(1-x-l)=-/(-%),

所以/(-尤)=-/(尤)，所以/CO為奇函數(shù)；故A正確；

對于B：若Ax)為奇函數(shù)，貝l]/(-x)=-/(x),

由/(l+x)+/(l-無)=0,/(2+x)=/(I+x+1)=-/(I-%-1)=-/(-%)=/(%),所以2是/(出)的周期，故

B正確；

若4是/（無）的周期，設(shè)/（x）=sin；Tx,貝I]/（1一力+/（1+尤）=sin（7i+7tx）+sin（7r-7tx）=。，

該函數(shù)的最小周期為2兀，故4兀為該函數(shù)的周期，當該函數(shù)為奇函數(shù)，故C不正確；

對于D：若Ax）為偶函數(shù)，則f（-x）=/（尤），

由"1一x)=f(x-l),可得Id)=-/(x+1),所以〃x)=-f(x+2),

所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以4是/⑺的周期，故D正確.

故選：ABD.

4x—x2尤>0

?二'其中⑹=〃c)=2，且a<b<c,則()

{3-1,x<0,

A./[/(-2)]=-32B.函數(shù)g（x）=〃x）-〃2）有2個零點

4+log31,4

C.a+b+ceD.abc^(^-41og35,0)

【答案】ACD

【解析】/[f（-2）]=/（8）=-32,故A正確;

作出函數(shù)〃x）的圖象如圖所示,

觀察可知，0<4<4,而/（九）?0,4）,

故y=〃x），>=/（%）有3個交點，

即函數(shù)g（x）有3個零點，故B錯誤；

由對稱性，b+c=4,而aw（log3；,0）

故a+b+ce(4+log3g,4］,故C正確；

b,c是方程x?-4x+/i=0的根，故6c=九，

令3-"-1=彳，則a=-k?g3(l+4),

故"0=-21083。+4),而y=X,y=log3(l+%)均為正數(shù)且在(0,4)上單調(diào)遞增，

故必ce(~41og35,0),故D正確，

故選：ACD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若函數(shù)/(x)=ln(e2，-a)r(xwR)為偶函數(shù)，則。=.

【答案】-1

【解析】因為Ax)為偶函數(shù)，所以/(r)=/(x),即ln(ei*-a)+x=ln

即ln(l—ae?")—x=ln(e2'—a)—x,即1—ae"=6?，—a,所以a=—1,

故答案為：-1

13.已知函數(shù)〃x)=|lgx|,若/S)=/(b)(awb),則當2J3)取得最小值時，/=_____.

b

【答案】log?3

【解析】由/(。)=/修)得-lga=lg：=lgb,即而=1,令z=2J3〃，

貝!Unz=a.In2+b」n3N2jaJn2->ln3=2>/ln21n3

當且僅當a」n2=6-ln3,即:二曾句用?？時，Inz取得最小值，此時z也取得最小值.

bm2

故答案為：log?3.

14.已知奇函數(shù)〃x)的定義域為R,f(x+3)=-/(-%),且"2)=0,則“X)在［0,6］上的零點個數(shù)的最

小值為.

【答案】9

【解析】由小+3)=-/(-力，可得“X)的圖象關(guān)于點［|,0)對稱，

又〃x)是奇函數(shù)，所以〃X+3)=-"T)=/(X),

則〃x)的周期為3,所以〃0)=〃3)=〃6)=0,

〃5)=〃2)=0"(4)="1)=〃—2)=—〃2)=。，

而/(1.5)=/(-1.5)=-/(1.5),則/(1.5)="4.5)=0.

故〃x)在［0,6］上的零點個數(shù)的最小值為9.

故答案為：9.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知函數(shù)〃尤）=|尤2-無一?+|尤一2|.

⑴畫出函數(shù)“X)的圖象；

⑵求關(guān)于x的不等式外“(卜+4的解集.

【解析】(1)由％2_%_2=0,解得尤=2或%=—1,

當％22時，f(x)=X2-x-2+x-2=x2-4,

當一1v尤v2時，f(x)=-x2+x+2-x+2=4-x2,

22

當xW—1時，f(x)=x-x-2-x+2=x-2xf

x2-4,x>2

所以/(%)=<4-X2,-1<X<2,(5分)

-2%,x?-1

畫出函數(shù)的圖象如圖所示.

（2）法一：當x22時，原不等式轉(zhuǎn)化為尤2—44x+1,得24xW葉丹；

2

當—1〈無<2時，原不等式轉(zhuǎn)化為4-X2VX+1,得士巫WX<2；（9分）

2

當xW-l時，原不等式轉(zhuǎn)化為爐一2%4-尤-1，無解.

法二：當4-d=x+l時，解得±河,

1+

數(shù)形結(jié)合可知，當/(x)W|x+l|時，~^<X<11^L(12分)

-1+JnI+\/2?

即原不等式的解集為一.(13分)

16.(15分)

已知二次函數(shù)/(X)的最小值為-4,且關(guān)于X的不等式f(x)<0的解集為{X|-3<X<1,^GR}

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若函數(shù)g(無)與/⑺的圖象關(guān)于y軸對稱，且當尤>0時，g(X?的圖象恒在直線丫=履-4的上方，求

實數(shù)％的取值范圍.

【解析】(1)因為/⑺是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式/(x)<0的解集為{x|-3Wx<l,xeR},

所以fM=a(x+3)(x-1),<7>0,

所以當％=—1時，/(x)向n=/(—1)=—4。=—4,所以〃=1,

故函數(shù)f(x)的解析式為/(x)=(x+3)(x-1)=X2+2X-3.(6分)

(2)因為函數(shù)g(x)與/⑺的圖象關(guān)于y軸對稱，

所以g(x)=/(-x)=x2-2x-3,

當尤>0時，g(x)的圖象恒在直線,=丘-4的上方，

所以g(x)>依-4,在(0,+e)上恒成立，

即無？-2x—3>fcc-4,所以左〈尤+1一2,(9分)

X

令力(％)=%+,-2(%>0),貝IJ左<"(%)min，

因為/i(x)=x+』—222」%,一2=0(當且僅當x=L即％=1時，等號成立)，

X\XX

所以實數(shù)上的取值范圍是(-8，。).(15分)

17.(15分)

正安縣是中國白茶之鄉(xiāng).在飲用中發(fā)現(xiàn)，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實驗表明，用100℃的水泡制，

待茶水溫度降至60℃時，飲用口感最佳.某實驗小組為探究室溫下剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置

時間，每隔Imin測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)如下表：

時間/min012345

水溫/℃1009182.978.3772.5367.27

設(shè)茶水溫度從ioo℃經(jīng)過皿M后溫度變?yōu)楝F(xiàn)給出以1F三種函數(shù)模型：

①y=cx+b(c<0,x20)；

②y=ca*+Z?(c>0,0<a<l,xNO)；

③y=loga(尤+c)(a>l,c>0,x20).

（1）從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實驗的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式;

⑵根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0。1）；

（3）考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進行實驗時的室溫約為多少.（參考數(shù)據(jù):

lg3=0.477,lg5=0.699)

【解析】（1）由表格數(shù)據(jù)知:函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合,

ca0+b=100c+b=100a=0.9

選模型②，則S+b=91即＜ca+b=91,可得<b=l。,

ca2+b=82.9ca2+/?=82.9c=90

所以y=90x0.9'+10且xNO.（5分）

則x=量…4

(2)令y=90x0.9"+10=60,mhi

所以泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間為5.54min.（12分）

（3）由0.9Z（0,l],即ye（10,100],所以進行實驗時的室溫約為10℃.（15分）

18.（17分）

已知函數(shù)y=O（x）的圖象關(guān)于點尸（。力）成中心對稱圖形的充要條件是丫=雙。+元）-6是奇函數(shù)，給定函

數(shù)/（元）=x一_

x+1

⑴求函數(shù)“X）圖象的對稱中心；

（2）判斷了（X）在區(qū)間（0,+◎上的單調(diào)性（只寫出結(jié)論即可）；

（3）已知函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點（1,1）對稱，且當xe[0,1]時，g（x）=f-7溫+根.若對任意再e[0,2],總

存在々e[l,5],使得g（%）=f（X2），求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】(1)設(shè)函數(shù)4%)的圖象的對稱中心為33，貝！)/(〃+%)+/(〃—x)—2〃=o,

即(%+Q)---------F(—X+a)-----------2/7=0,

x+a+1—x+a+1

整理得(Q-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(Q+1),

,[a—b=O

可得八/i、2j1、_八，解得a=b=-L

底+1)—6(a+l)=0

所以“X)的對稱中心為(-LT).(4分)

(2)函數(shù)/(尤)=尤-一、在(0,+8)上單調(diào)遞增；

X+1

證明如下：

任取再，入2￡(。,+8)且芯＜無2,

則/(芯)一/(占)=尤1-一色7—^^=(占一尤2)口+;_J-----］,

玉+1x2+1(3+l)(x2+1)

因為X］,%€(0,+8)且不<%2,可得%-尤2<。且1+；T—二T—17>°，

(X］+1)(%2+1)

所以/(%)-/(%)<0，即/(&)</(馬)，

所以函數(shù)y(x)=x-一］在(0,+⑹上單調(diào)遞增.(8分)

X+1

(3)由對任意芯e意,2］,總存在々w［1,5］,使得g(%)=/(%)，

可得函數(shù)g(x)的值域為值域的子集，

由(2)知“X)在［1,5］上單調(diào)遞增，故“X)的值域為［-2,4］,

所以原問題轉(zhuǎn)化為g(%)在［0,2］上的值域Ac［-2,4］,(9分)

m

當一40時，即根V0時，g(x)在。1］單調(diào)遞增，

2

又由g⑴=1,即函數(shù)g(%)=/一樞x+也的圖象恒過對稱中心(1,1),

可知g(X)在(1,2］上亦單調(diào)遞增,故g(可在［0,2］上單調(diào)遞增，

又因為g(0)=m,g(2)=2-g(0)=2-zn,故A=［/,2-前，

因為即,2-司三［一2,4］,所以加2—2,2-m<4,解得一2W0,

當0<晟<1時，即0(機<2時，g(x)在(0與單調(diào)遞減，在gl)單調(diào)遞增,

(11分)

因為g(x)過對稱中心(1,1),故g(x)在(1，2-§遞增，在(2-5,2］單調(diào)遞減，

故此時A=min|g(2),gWj,maxL(0),gf2-^l,

欲使A=[-2,4],

g⑵=2-g(0)=2-〃，2-2g(0)=m<4

只需＜mm2且＜尤-加+2W4'(13分)

＜?(?)=--—+m＞-2g(2-r)=2-

解不等式，可得2-2道4mW4,又因為0＜加＜2,此時0＜相＜2；

當時，即機22時，g(%)在[0』]遞減，在(L2]上亦遞減，

由對稱性知g(%)在[。，2]上遞減，所以A=[2-加,列],

f2—m2—2

因為[2-w]a[-2,4],所以〈,解得2W機W4,

[m＜4

綜上可得：實數(shù)機的取值范圍是-2,4].(17分)

19.(17分)

設(shè)〃次多項式月+%?+即+/(%NO),若其滿足甘,(cosx)=cos依，則稱這些多

項式Pn⑺為切比雪夫多項式.例如：由cos6=cos?？傻们斜妊┓蚨囗検?。)=x,由cos26=2cos?6-1可

得切比雪夫多項式2