廣西三新聯(lián)盟百校聯(lián)考2024屆高三5月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西三新聯(lián)盟百校聯(lián)考2024屆高三5月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C.x1<x≤3 D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，而，則或，所以．故選：D.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題得，.故選：B.3.已知為等比數(shù)列，，，則（）A3 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題得，，故，，故，即，，所以.故選：D.4.如圖1，一個(gè)圓柱形筆筒的底面直徑為，（筆筒壁的厚度忽略不計(jì)），母線長為，該圓柱形筆筒的直觀圖如圖2所示，，分別為該圓柱形筆筒的上底面和下底面直徑，且，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，易得，取的中點(diǎn)O，連接，，則，，又，，平面，所以平面，所以，故選：C.5.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過拋物線上點(diǎn)P作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閽佄锞€，所以F1,0，準(zhǔn)線方程為，設(shè)為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)?，且，所以，，因?yàn)?，所以，，則在中，，所以，所以在中，.故選：C.6.從集合中任意選擇三個(gè)不同數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有（）個(gè)A.98 B.56 C.84 D.49〖答案〗A〖解析〗當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，……，共13種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，……，共11種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，……，共9種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，……，共7種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，，，共5種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，共3種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，共1種情況.總的情況是.又因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，所以這樣的等差數(shù)列共有個(gè).故選：A.7.在中，為的中點(diǎn)，在邊上，與相交于點(diǎn)，且，，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由為的中點(diǎn)可知：，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，由于三點(diǎn)共線，所以，解得，故選：B.8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，，，，，，，，，，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.9.某校為了解學(xué)生對(duì)黨史知識(shí)的掌握情況，從全校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的成績（單位：分）分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績落在內(nèi)的人數(shù)為40.從分?jǐn)?shù)在和的兩組學(xué)生中采用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中抽取3人，設(shè)事件“至少1人成績在內(nèi)”，事件“3人成績均在內(nèi)”.則（）A.B.C.A與B是互斥事件，但不是對(duì)立事件D.估計(jì)該校學(xué)生黨史知識(shí)成績的第80百分位數(shù)為82.5分〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由a，b，c成等差數(shù)列，得，又，解得：，所以A正確；對(duì)于B，又，，，所以，所以B正確；對(duì)于C，抽取的5人中，成績在的有3人，成績在的有2人，事件“至少1人成績在內(nèi)”，事件“3人成績均在內(nèi)”這兩個(gè)事件既是互斥事件也是對(duì)立事件，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，則第80百分位數(shù)位于內(nèi)，其值為，所以D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=gx的圖象，則（）A B.C.為奇函數(shù) D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A：由函數(shù)的部分圖象得，，所以，所以A正確；對(duì)于B：由函數(shù)的部分圖象得，，因?yàn)?，且在包含的小區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以B正確；對(duì)于C：為奇函數(shù)，所以C正確；對(duì)于D：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，在區(qū)間上既有單調(diào)遞增部分，又有單調(diào)遞減部分，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.化學(xué)中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學(xué)式）的分子結(jié)構(gòu)、金剛石等.如圖，將正方體六個(gè)面的中心連線可得到一個(gè)正八面體，已知該正八面體的棱長為2，則（）AB.該正八面體的體積為C.該正八面體外接球的表面積為D.若P為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗如圖，連接，交于點(diǎn)O，連接，對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可知平面，且平面，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由題得可得：，，所以該正八面體的體積，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)該正八面體外接球的半徑為R，由題知，四邊形是正方形，則，又因?yàn)?，則點(diǎn)O為正八面體外接球的球心，則，所以正八面體外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榕c是邊長為2的全等正三角形，將翻折到，使其與共面，得到一個(gè)菱形，連接與相交于點(diǎn)P，此時(shí)，，，則取得最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.《孫子算經(jīng)》中提到“物不知數(shù)”問題．如：被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，即3，8，13，18，……，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最小值為____．〖答案〗21〖解析〗由題意可知，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故〖答案〗為：21．13.甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是白球的概率為________；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是黑球的概率為_______.〖答案〗〖解析〗由題得，從三個(gè)盒子中取出的球都是白球的概率.又甲、乙、丙中球數(shù)之比為，設(shè)甲盒中有個(gè)球，乙盒中有個(gè)球，丙盒中有個(gè)球，三個(gè)盒子混合后，共有個(gè)球，黑球的總數(shù)量為，所以將三個(gè)盒子混合后任路取一球，是黑球的概率為.14.已知點(diǎn)，定義為的“鏡像距離”.若點(diǎn)在曲線上，且的最小值為2，則實(shí)數(shù)的值為__________.〖答案〗〖解析〗由函數(shù)可得，即；所以的反函數(shù)為；由點(diǎn)Bx2,y2在曲線上可知點(diǎn)所以相當(dāng)于上的點(diǎn)到曲線上點(diǎn)Ax1,y1即，利用反函數(shù)性質(zhì)可得與關(guān)于對(duì)稱，所以可得當(dāng)與垂直時(shí)，取得最小值為2，因此兩點(diǎn)到的距離都為1，過點(diǎn)的切線平行于直線，斜率為1，即，可得，即；點(diǎn)到的距離，解得；當(dāng)時(shí)，與相交，不合題意；因此.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，點(diǎn)D在上，，.（1）求的值；（2）若，求的長.解：（1）在中，，，則，所以，所以，又，則.（2）因?yàn)?，則，所以，又，所以，則.16.在中，，，D為邊上一點(diǎn)，，E為上一點(diǎn)，，將沿翻折，使A到處，.（1）證明：平面；（2）若射線上存在點(diǎn)M，使，且與平面所成角的正弦值為，求λ.（1）證明：由題意知，，又，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面（2）解：作，垂直為Q，由（1）知，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面故以B為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，，又，所以，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則設(shè)與平面所成角為θ，則，解得或，由題意知，故.17.公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫（Demere）向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡（B.Pascal）提出了一個(gè)問題，帕斯卡和費(fèi)馬（Fermat）討論了這個(gè)問題，后來惠更斯（C.Huygens）也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答.該問題如下：設(shè)兩名運(yùn)動(dòng)員約定誰先贏局，誰便贏得全部獎(jiǎng)金元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，比賽意外終止.獎(jiǎng)金該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的〖答案〗是：如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.（1）規(guī)定如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.若，，，，求.（2）記事件為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)，，時(shí)比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.解：（1）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然甲贏.由題意知，最多再進(jìn)行局，甲、乙必然有人贏得全部獎(jiǎng)金.當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以；當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以；當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以.所以，甲贏的概率為.所以，；（2）設(shè)比賽繼續(xù)進(jìn)行局乙贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然乙贏.當(dāng)時(shí)，乙以贏，；當(dāng)時(shí)，乙以贏，；所以，乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率為.于是甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率.求導(dǎo)，.因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，于是.故乙贏的概率為，故事件是小概率事件.18.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，求m的取值范圍；（3）證明：.參考數(shù)據(jù)：.（1）解：的定義域?yàn)?，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）解：關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，即在上有解，即在上有解，又，由（1）可知時(shí)，即，令，則，則在上有解，令，則，令，得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以存在使得，所以，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以只需，即時(shí)滿足題意.所以m的取值范圍為；（3）證明：令，則，所以，由（1）可知在上單調(diào)遞增，故，即，即，當(dāng)時(shí)，，即，即，令，則，，所以，故當(dāng)時(shí)，.即.19.已知復(fù)平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為．點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是0．（1）證明是一個(gè)雙曲線并求其離心率；（2）設(shè)的右焦點(diǎn)為，其長半軸長為，點(diǎn)到直線的距離為（點(diǎn)在的右支上），證明：；（3）設(shè)的兩條漸近線分別為，過分