高考數(shù)學(xué)（理）一輪總復(fù)習(xí)作業(yè)28專題研究2正余弦定理應(yīng)用舉例

專題層級快練(二十八)1.如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點C(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案：①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a，則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為()A．①② B．②③C．①③ D．①②③答案D解析由題意可知，在①②③三個條件下三角形均可唯一確定，通過解三角形的知識可求出AB.故選D.2.(2017·廣東中山上學(xué)期期末)如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m答案A解析由題意，得B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．故選A.3．某人在C點測得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10米到D，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為()A．15米 B．5米C．10米 D．1米答案C解析如圖所示，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3)h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．4．有一長為1千米的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則斜坡長為()A．1千米 B．2sin10°千米C．2cos10°千米 D．cos20°千米答案C解析由題意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.5.(2017·湖南師大附中月考)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以測量與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝()A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)答案D解析在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).故選D.6．在200m高的山頂上，測得山下塔頂和塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為()A.eq\f(400,3)m B.eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D.eq\f(200,3)m答案A解析如圖，在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(400,3)eq\r(3).∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°.在△BDC中，eq\f(DC,sin30°)＝eq\f(BC,sin120°).∴DC＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(\f(400,3)\r(3)×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\f(400,3)(m)．7．(2018·廣東佛山二模)某沿海四個城市A，B，C，D的位置如圖所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80nmile，BC＝(40＋30eq\r(3))nmile，CD＝250eq\r(6)nmile，D位于A的北偏東75°方向．現(xiàn)在有一艘輪船從城市A出發(fā)以50nmile/h的速度向城市D直線航行，60min后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行，收到指令時城市C對于輪船的方位角是南偏西θ，則sinθ＝________．答案eq\f(\r(6)－\r(2),4)解析設(shè)輪船行駛至F時收到指令，則AF＝50nmile.連接AC，CF，過A作AE⊥BC于E，則AE＝ABsin60°＝40eq\r(3)(nmile)，BE＝ABcos60°＝40(nmile)，CE＝BC－BE＝30eq\r(3)(nmile)，AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝50eq\r(3)(nmile)，所以cos∠ACE＝eq\f(3,5)，sin∠ACE＝eq\f(4,5)，所以cos∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝－eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(\r(2),10)＝eq\f(AC,CD)，所以∠CAD＝90°.因為AF＝50nmile，AC＝50eq\r(3)nmile，可得∠AFC＝60°，所以θ＝75°－∠AFC＝15°，故sinθ＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).8．要測底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度．答案40米解析如圖設(shè)電視塔AB高為x，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°.即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴電視塔高為40米．9.衡水市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為△ABC，△ABD，經(jīng)測量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的長度；(2)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建造費用較低(請說明理由)？較低造價為多少？(eq\r(3)＝1.732，eq\r(2)＝1.414)答案(1)7米(2)小李的設(shè)計建造費用低，86600元解析(1)在△ABC中，由余弦定理，得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(82＋52－AB2,2×8×5).①在△ABD中，由余弦定理，得cosD＝eq\f(72＋72－AB2,2×7×7).②由∠C＝∠D，得cosC＝cosD.∴AB＝7，∴AB長為7米．(2)小李的設(shè)計建造費用較低，理由如下：S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BD·sinD，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC.∵AD·BD>AC·BC，∴S△ABD>S△ABC.故選擇△ABC建造環(huán)境標(biāo)志費用較低．∵AD＝BD＝AB＝7，∴△ABD是等邊三角形，∠D＝60°.∴S△ABC＝10eq\r(3)＝10×1.732＝17.32.∴總造價為5000×17.32＝86600(元)．10．(2017·鹽城一模)如圖所示，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設(shè)計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?答案當(dāng)設(shè)計∠AMN＝60°時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小解析設(shè)∠AMN＝θ，在△AMN中，eq\f(MN,sin60°)＝eq\f(AM,sin（120°－θ）).因為MN＝2，所以AM＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq\f(16,3)sin2(120°－θ)＋4－2×2×eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝eq\f(16,3)sin2(θ＋60°)－eq\f(16\r(3),3)sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝eq\f(8,3)[1－cos(2θ＋120°)]－eq\f(8\r(3),3)sin(2θ＋1