山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題含解析

濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022級(jí)高三上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知命題p：集合，命題q：集合，則p是q的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】解出集合、，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】或，或，是的真子集，因此，是的必要不充分條件.故選：B2.若，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（）Aa>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助0,1比較大小即可.【詳解】，且，，，故選：A3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可【詳解】函數(shù)是上的連續(xù)增函數(shù),,可得,所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C4.曲線在處切線的斜率為（）A.2 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后在導(dǎo)函數(shù)解析式中，取即可求出答案．【詳解】由，得：，所以，故選：B5.在△中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，且，，則的值為（）A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】【分析】由正弦定理邊角關(guān)系及已知條件可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)有，進(jìn)而應(yīng)用余弦定理求的值.【詳解】由題設(shè)，且，可得，，所以，又，，所以，即.故選：B.6.已知為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】先應(yīng)用除法及乘法計(jì)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)類型求參.【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以,即.故選：D.7.，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用求解即可.【詳解】，故，故……，故.故選：D8.已知是定義在R上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則的解集是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可得函數(shù)是偶函數(shù)，，且函數(shù)在上遞增，不等式即為不等式，根據(jù)函數(shù)得單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：令，因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，則，所以函數(shù)也是偶函數(shù)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，不等式即為不等式，由，得，所以，所以，解得或，所以的解集是.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中，值為的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A利用二倍角余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求解判斷；選項(xiàng)B利用兩角和的正弦公式求解判斷；選項(xiàng)C利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式求解判斷；選項(xiàng)D利用二倍角的正切公式求解判斷.【詳解】選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不符合題意；選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B符合題意；選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C符合題意；選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)C符合題意.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（

）A.為奇函數(shù)B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.的極小值為3D.若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】利用判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，從而判斷選項(xiàng)B,C,D.【詳解】對(duì)于A，，故，又其定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，所以在?1,1上，f′x<0，在和1,+∞上，f′x>0，單調(diào)遞增，故對(duì)于C，由B知，在處取極小值，極小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程恰有3個(gè)不等的實(shí)根，即恰有3個(gè)解，且在和1,+∞上，單調(diào)遞增；在?1,1上，單調(diào)遞減，所以，即，故D正確.故選：AD11.已知函數(shù)其中，且，則（）A. B.函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐一判定即可.【詳解】解：，故A正確；作出函數(shù)的圖象如圖所示，觀察可知，，而，故y=fx，有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由對(duì)稱性，，而，故，故C正確；b，c是方程的根，故，令，則，故，而，均為正數(shù)且在0,4上單調(diào)遞增，故，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“在上恒成立”，再利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求得最值，從而得解.【詳解】因?yàn)椤?，使”是假命題，所以“，”為真命題，其等價(jià)于在0,+∞上恒成立，又因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13.若函數(shù)為偶函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義得，代入化簡(jiǎn)即得值.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，即，即，所以，故答案：14.已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】對(duì)已知不等式進(jìn)行變形，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、參變量分離法進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意，不等式即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.則不等式等價(jià)于恒成立.因?yàn)椋?，所以?duì)任意恒成立，即恒成立.設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以時(shí)，有最大值，于是，解得．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵是，將已知條件轉(zhuǎn)化為恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算求得結(jié)果.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面向量，.（1）求的值；（2）求與夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算出，由公式求出模長(zhǎng)；（2）利用向量余弦夾角公式進(jìn)行求解.【小問1詳解】，故；【小問2詳解】設(shè)與夾角為，，故與夾角的余弦值為16.已知二次函數(shù)的最小值為，且關(guān)于的不等式的解集為（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，的圖象恒在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩根式設(shè)出二次函數(shù)解析式，代入條件即可.（2）轉(zhuǎn)化成恒成立問題求最值即可.【小問1詳解】因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，且關(guān)于的不等式的解集為，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以，故函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，當(dāng)時(shí)，的圖象恒在直線的上方，所以，在上恒成立，即，所以，令，則，因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.已知（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求的值；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦的二倍角公式、降冪公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由于，令，整理得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】由于，所以，則，即，解得，則18.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足（）．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明．【答案】（1）證明見解析（2），證明見解析【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可求證，（2）由裂項(xiàng)相消法求和，即可求解,根據(jù)單調(diào)性，即可求證.【小問1詳解】由得，又，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）知，，所以所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故．19.已知，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：.【答案】（1）極小值為0，無極大值.（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）把代入函數(shù)中，并求出f′x，根據(jù)f′x的正負(fù)得到的單調(diào)性，進(jìn)而求出的極值.（2）等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得到函數(shù)y=gx的單調(diào)性和極值，畫出y=gx的大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.（3）求出f′x，并得函數(shù)y=fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得則，，要證，只需證，只需證，即證，令，對(duì)hx求導(dǎo)證明即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，求?dǎo)可得，令，得，當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)在區(qū)間0,+所以y=fx在處取到極小值為0，無極大值.【小問2詳解】方程，當(dāng)時(shí)，顯然方程不成立，所以，則，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)或時(shí)，，在區(qū)間和0,1上單調(diào)遞減，并且時(shí)，gx<0，當(dāng)x∈0,1時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，