滬科版八年級數(shù)學(xué) 15.3 等腰三角形（學(xué)習(xí)、上課課件）

15.3等腰三角形第15章軸對稱圖形與等腰三角形逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2等腰三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定等邊三角形的判定含30°角的直角三角形的性質(zhì)知識點等腰三角形的性質(zhì)知1－講11.

定理1

等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).幾何語言：如圖15.3-1，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.知1－講特別提醒1.適用條件：必須在同一個三角形中.2.作用：是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證明角相等時可省去三角形全等的證明，因而更簡便.知1－講2.

定理2

等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊(簡稱“三線合一”).如圖15.3-1，在△ABC中，(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD＝DC)；(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC).知1－講特別解讀1.適用條件：(1)必須是等腰三角形；(2)必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線才相互重合.2.作用：是證明線段相等、角相等、線段垂直等關(guān)系的重要方法.知1－講3.

對稱性等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(或底邊上的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸.知1－練例1如圖15.3-2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度數(shù)；(3)若BC＝3cm，求BD的長.解題秘方：緊扣等腰三角形的性質(zhì)進行解答.知1－練(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度數(shù)；解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.

知1－練(3)若BC＝3cm，求BD的長.

知1－練1-1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點E在邊AB上，且BD＝BE.若∠BAC＝100°，則∠ADE的大小為______.20°知1－練[期末·北京]如圖15.3-3，在△ABC中，AB＝AC，D

是BC的中點，過A作EF∥BC，且AE＝AF.連接DE交AB于點G，連接DF交AC于點H.解題秘方：連接AD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和等邊對等角的性質(zhì)進行解答.例2知1－練求證：(1)DE＝DF；證明：如圖15.3-3，連接AD.∵AB＝AC，點D為BC的中點，∴

AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF，∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF，∴DE＝DF.知1－練(2)BG＝CH.證明：∵

DE＝DF，DA⊥EF，∴∠EDA＝∠FDA.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵D是BC的中點，∴BD＝CD.∴△BDG≌△CDH，(ASA)∴BG＝CH.知1－練2-1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn).求證：DE＝DF.知1－練知1－練知2－講知識點等邊三角形的性質(zhì)21.

定義三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形.知2－講2.性質(zhì)(1)等邊三角形的三條邊都相等.(2)等邊三角形三個內(nèi)角相等，每一個內(nèi)角都等于60°.(3)等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線(或三個角的平分線所在的直線).(4)各邊上的高、中線、對應(yīng)的角平分線重合，且長度相等.知2－講特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì)：任意兩邊都可以作為腰；任意一個角都可以作為頂角.知2－練如圖15.3-4，AD是等邊三角形ABC的中線，點E在AC上，AE＝AD，則∠EDC等于()A.15° B.20°C.25° D.30°解題秘方：緊扣等邊三角形的性質(zhì)和三線合一的性質(zhì)，并結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解.例3知2－練答案：A

知2－練3-1.[期末·宿州]如圖，直線AB∥CD，等邊三角形EFG的頂點F在直線CD上，EG與直線AB交于點H，∠BHE＝40°，則∠CFG的度數(shù)為(

)A.10°B.20°C.30°D.40°B知2－練如圖15.3-5，△ABD和△AEC都是等邊三角形.求證：BE＝CD.解題秘方：緊扣等邊三角形的邊角性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解題.例4知2－練

知2－練4-1.[月考·合肥]如圖，在等邊△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在三角形的三邊上，且BD＝CF＝AE.知2－練(1)求證：△BDE≌△CFD；知2－練(2)試求∠EDF的度數(shù).解：由(1)得△BDE≌△CFD，∴∠BED＝∠CDF.又∵∠EDC＝∠B＋∠BED，∴∠EDF＋∠CDF＝∠B＋∠BED，∴∠EDF＝∠B＝60°.知3－講知識點等腰三角形的判定31.

判定定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).幾何語言：如圖15.3-6，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.知3－講2.等腰三角形的性質(zhì)與判定的異同相同點：使用的前提都是“在同一個三角形中”.不同點：由三角形的兩邊相等，得到它們所對的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形的兩角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.知3－講即，等腰三角形的性質(zhì)：兩邊相等→這兩邊所對的角相等.等腰三角形的判定：兩角相等→這兩角所對的邊相等.知3－講特別解讀●等腰三角形的定義也是一種判定方法.●“等角對等邊”是我們以后證明兩條線段相等的常用方法，在證明過程中，經(jīng)常通過計算三角形各角的度數(shù)，或利用角的關(guān)系得到角相等，從而得到所對的邊相等.知3－練如圖15.3-7，在△ABC中，BD，AE分別是AC，BC邊上的高，它們相交于點F，且AF＝BC.求證：△ABD是等腰三角形.例5解題秘方：利用三角形全等即可得出BD＝AD，從而利用定義判定△ABD是等腰三角形.知3－練

知3－練5-1.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點E在BC上，點F在AB的延長線上，連接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE.求證：△ABC是等腰三角形.知3－練證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝180°－∠ABC＝90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE＝CF，BE＝BF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF.(HL)∴AB＝CB，∴△ABC是等腰三角形.知3－練如圖15.3-8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點D，E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF.求證：△ACF為等腰三角形.例6知3－練解題秘方：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)可以計算相關(guān)的角度.然后利用“等角對等邊”證明.知3－練證明：∵

AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD.又∵E是AB的中點，∴DE⊥AB.∴DE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF＝72°，知3－練∴∠FAC＝∠BAF－∠BAC＝36°.又∵∠ACB＝∠FAC＋∠AFC＝72°，∴∠AFC＝36°，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∴△ACF為等腰三角形.頂角是36°的等腰三角形是“黃金”三角形，底角平分線分原三角形成兩個等腰三角形.知3－練6-1.如圖，在△ABC中，P是BC邊上的一點，過點P作BC的垂線，交AB于點Q，交CA的延長線于點R.若AQ＝AR，求證：△ABC是等腰三角形.知3－練證明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.知4－講知識點等邊三角形的判定41.

推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形.幾何語言：如圖15.3-9，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形.知4－講2.

推論2

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.幾何語言：如圖15.3-9，在△ABC中，∵

AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴△ABC是等邊三角形.知4－講證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖：三角形三角形思路1：三邊相等思路2：三角相等等邊三角形等腰三角形的判定等腰三角形有一個角等于60°等邊三角形知4－講特別解讀1.在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，推論2都成立.2.等邊三角形的判定方法：(1)若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；(2)若已知三角關(guān)系，一般選用推論1判定；(3)若已知該三角形是等腰三角形，一般選用推論2判定.知4－練[期中·天津和平區(qū)]如圖15.3-10，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AF為BC邊上的中線，D為AF上的一點且BD的垂直平分線過點C并交BD于點E.求證：△BCD是等邊三角形.例7知4－練解題秘方：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可推出BD＝DC＝BC，再利用等邊三角形的定義得出結(jié)論.證明：∵AB＝AC，AF為BC邊上的中線，∴AF⊥BC，∴AF是BC的垂直平分線.又∵D為AF上的一點，∴BD＝DC.∵

CE是BD的垂直平分線，∴BC＝CD.∴

BD＝DC＝BC.∴△BCD是等邊三角形.知4－練知4－練7-1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，DE＝DF.求證：△ABC是等邊三角形.知4－練證明：∵D為AB的中點，∴AD＝BD.∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED＝∠BFD＝90°.在Rt△ADE和Rt△BDF中，∵AD＝BD，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△BDF.(HL)∴∠A＝∠B，∴AC＝CB.又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形.知4－練如圖15.3-11，在△ABC中，D為BC延長線上的一點，∠A＝60°，∠ACD＝120°.求證：△ABC是等邊三角形.例8知4－練解題秘方：根據(jù)所給的角度求出△ABC的內(nèi)角度數(shù)，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法進行判定.證明：∵∠ACD＝120°，∴∠ACB＝180°－∠ACD＝180°－120°＝60°.又∵∠A＝60°，∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－60°－60°＝60°.∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∴△ABC是等邊三角形.知4－練知4－練8-1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D，E在BC上，且AE＝BE，AD＝CD.(1)求∠EAD的度數(shù)；知4－練解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AE＝BE，AD＝CD，∴∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°.∵∠BAC＝120°，∴∠DAE＝∠BAC－∠EAB－∠DAC＝120°－30°－30°＝60°.知4－練(2)求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°，∴∠AED＝∠B＋∠BAE＝60°，∠ADE＝∠C＋∠DAC＝60°，∴∠EAD＝∠AED＝∠ADE，∴△ADE是等邊三角形.知4－練如圖15.3-12，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F(xiàn)為垂足，求證：△DEF是等邊三角形.例9知4－練解題秘方：先證△BDE≌△CDF，然后由等邊三角形的判定定理證明△DEF是等邊三角形.

知4－練知4－練9-1.如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC邊上的一點.在△ABC的外角的平分線CE上取點E，使CE＝BD，連接AD，AE，DE.請判斷△ADE的形狀，并說明理由.知4－練知4－練又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE.(SAS)∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等邊三角形.知5－講知識點含30°角的直角三角形的性質(zhì)5

知5－講特別解讀◆應(yīng)用此性質(zhì)，必須滿足兩個條件：1.在直角三角形中；2.有一個銳角為30°.二者缺一不可.◆含30°角的直角三角形的性質(zhì)是求線段長度和證明線段倍分關(guān)系的重要依據(jù).知5－練如圖15.3-14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB邊的垂直平分線MN交AB于點M，交BC于點N，且∠B＝15°，AC＝4cm，求BN的長.例10解題秘方：先構(gòu)造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長.解：如圖15.3-14，連接AN.∵MN為AB邊的垂直平分線，∴AN＝BN，∴∠NAB＝∠B＝15°，∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°.在Rt△ACN中，∠ANC＝30°，∴AN＝2AC＝2×4＝8(cm).∴BN＝

8cm.知5