安徽省渦陽(yáng)第-中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題

PAGEPAGE8安徽省渦陽(yáng)第—中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題一、選擇題（共60分）1復(fù)數(shù)z=1+6i的虛部是（）A.iB.6iC.1D.62.在△ABC中，a=1，C=60°，若c=，則A的值為（）A.30°或150°B.30°C.60°或120°D.60°3.若平面α和直線a，b滿意a∩α=A，，則a與b的位置關(guān)系肯定是（）A.相交B.平行C.異面D.相交或異面4.在△ABC中，∠C=90°，，則與的夾角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°5.若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3-2i、1-2i、2+i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，則△ABC的面積為（）A.6B.4C.3D.26.已知D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，則=（）A.B.C.D.7.如圖所示，正方體的面A1C1，B1C，CD1的中心分別為O1，O2，O3，則直線AO與直線O2O3所成的角為（）A.90°B.60°C.45°D.30°8.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知A=60°，b=1，該三角形的面積為，則的值為（）A.B.C.D.9.在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，PA=PB=，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.B.16πC.D.10.在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P為AB邊上的點(diǎn)，若，則入的取值范圍是（）A.B.[0.1]C.D.11.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知，且，點(diǎn)O滿意，，則△ABC的面積為（）A.B.C.D.12.平面α過(guò)正方體的頂點(diǎn)A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（）A.B.C.D.二、填空題（共20分）13已知復(fù)數(shù)z滿意（1+i）·z=1-i（i為虛數(shù)單位），=_。14.已知向量，。若，則=。15.如圖，四邊形ABCD中，△ABD、△BCD分別是以AD，BD為底的等腰三角形，其中AD=1，BC=4，∠ADB=∠CDB，則AC=。16.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2，BE//CD，且CD⊥平面ABC，若BD⊥AE則BE+CD的最小值為_(kāi)。三、解答題（共70分）17.（本題10分）已知復(fù)數(shù)z=（m2-m）+（m+3）i（m∈R）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z.（1）若m=2，求；（2）若點(diǎn)Z在直線y=x上，求m的值.18.（本題12分）已知，a∈R.（1）若向量，，求的值∶（2）若向量，，證明∶19.（本題12分）如圖所示，正三棱柱的高為2，點(diǎn)D是A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn).（1）證明∶DE//平面ACC1A1；（2）若三棱錐E-DBC的體積為，求該正三棱柱的底面邊長(zhǎng).20.（本題12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知。（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面積為2，求b.21.（本題12分）在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，M為AD的中點(diǎn)，PA=24B=4.（1）求證∶EM//平面PAC；（2）取PC中點(diǎn)F，證明∶PC⊥平面AEF；（3）求點(diǎn)D到平面ACE的距離.22.（本題12分）如圖，某運(yùn)動(dòng)員從A市動(dòng)身沿海岸一條筆直馬路以每小時(shí)15km的速度向東進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練，長(zhǎng)跑起先時(shí)，在A市南偏東方向距A市75km，且與海岸距離為45km的海上B處有一艘劃艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)動(dòng)身，要追上這位運(yùn)動(dòng)員.（1）劃艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員？（2）求劃艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB所成的角.（3）若劃艇每小時(shí)最快行駛11.25km，劃艇全速行駛，應(yīng)沿何種路途行駛才能盡快追上這名運(yùn)動(dòng)員，最快需多長(zhǎng)時(shí)間？渦陽(yáng)第一中學(xué)2024級(jí)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)答案1.D2.B3.D4.C5.C6.C7.A8.A9.A10.C11.D12.A13.114.1015.16.17.（1）29；（2）m=-1或m=3..解∶（1）∵m=2，∴z=2+5i，∴；（2）若點(diǎn)Z在直線y=x上，則m2-m=m+3，即m2-2m-3=0，解得m=-1或m=3.18.（1）∶（2）詳見(jiàn)解析.解∶（1）因?yàn)樗运裕?）因?yàn)樗运?9.（1）詳見(jiàn)解析；（2）1.[詳解]解∶（1）如圖，連接AB1，AC1，∴D是A1B的中點(diǎn)，E是B1C1的中點(diǎn)，∴在△B1AC1中，DE//AC1，∵DE平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，∴DE//平面ACC1A1.（2）由等體積法，得VE-DBC=VD-EBC∵D是A1B的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離是點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離的一半..如圖，作AF⊥.BC交BC于點(diǎn)F，由正三棱柱的性質(zhì)可知，AF⊥平面BCC1B1.設(shè)底面正三角形的邊長(zhǎng)a，則三棱錐D-EBC的高，∴，解得a=1∴該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1.20.（1）；（2）2.解∶（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知∵，∴，∴.∴b=2.21.（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）解∶（1）因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，M為AD的中點(diǎn)，則在△PAD中，EM//A，又因?yàn)镻A平面PAC，ME平面PAC，則EM//平面PAC（2）證明∶因?yàn)镻C中點(diǎn)F，在Rt△4BC中，AB=2，∠BAC=60°，則BC=，AC=4.而PA=4，則在等腰三角形APC中PC⊥AF①.又在△PCD中，PE=ED，PF=FC，則EF//CD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，又∠ACD=90°，即AC⊥CD，AC∩PA=A，則CD⊥平面PAC，所以PC⊥CD，因此EF⊥PC②.又EF∩AF=F，由①②知PC⊥平面AEF；（3）在Rt△ACD中，CD=，AC=4，∴，又EM//PA，PA⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，即EM為三棱錐E-ACD的高，∴在△ACE中，AE=CE=，AC=4，∴，設(shè)點(diǎn)D到平面ACE的距離為h，則，∴.h=，即點(diǎn)D到平面ACE的距離為.22.（1）9km/h；（2）90°；（3）劃艇應(yīng)垂直于海岸向北的方向行駛才能盡快追.上這名運(yùn)動(dòng)員；4h.解∶（1）設(shè)劃艇以vkm/h的速度從B處動(dòng)身，沿BC方向，th后與運(yùn)動(dòng)員在C處相遇，過(guò)B作AC的垂線BD，則BD=45，AD=60，在△ABC中，AB=75，AC=15t，BC=vt，則，。由余弦定理，得，得整理得∶當(dāng)，即時(shí)，v2取得最小值81，即，所以劃艇至少以9km/h的速度行駛才能把追.上這位運(yùn)動(dòng)員.（2）當(dāng)v=9km/h時(shí)，在△ABC中，AB=75，，由余弦定理，得，所以∠ABC=90°，所以劃艇以最小速度行