考點(diǎn)09 二次函數(shù)應(yīng)用（解析版）

考點(diǎn)九二次函數(shù)應(yīng)用一、二次函數(shù)的綜合1、函數(shù)存在性問(wèn)題解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問(wèn)題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線(xiàn)或拋物線(xiàn)的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．2、函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類(lèi)：一是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題；二是與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．（2）解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題，要把問(wèn)題拆分，分清動(dòng)點(diǎn)在不同位置運(yùn)動(dòng)或不同時(shí)間段運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．（3）解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線(xiàn)或拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線(xiàn)或拋物線(xiàn)的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．3、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用在生活中，我們常會(huì)遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個(gè)量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實(shí)際問(wèn)題．考向一函數(shù)應(yīng)用典例引領(lǐng)1．某體驗(yàn)館建造了一幢“森林”主題場(chǎng)館，如圖是館內(nèi)拋物線(xiàn)形模擬洞穴的橫截面，現(xiàn)需要在洞穴內(nèi)壁架設(shè)平行于地面的鋼架，兩端分別在洞穴最高點(diǎn)兩側(cè)．在鋼架正下方隔離出一片矩形區(qū)域，且在水平地面上．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、水平地面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線(xiàn)與x軸相交于O、E，經(jīng)測(cè)量長(zhǎng)8米．(1)若在拋物線(xiàn)上，求該拋物線(xiàn)表達(dá)式．(2)在（1）的條件下，若隔離區(qū)矩形區(qū)域的高米，則隔離區(qū)的面積為多少？【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)題意得：點(diǎn)E的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，把點(diǎn)，代入，即可求解；（2）令，可求出，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：點(diǎn)E的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，把點(diǎn)，代入得：，解得：，∴拋物線(xiàn)的解析式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，∴，∴隔離區(qū)的面積為．2．如圖，中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從出發(fā)沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)若兩點(diǎn)的距離為時(shí)，求的值？(2)當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？并求出最大面積．【答案】(1)或2(2)當(dāng)為時(shí)，的面積最大，最大面積為【分析】本題主要考查了勾股定理，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用：（1）分別用t的代數(shù)式表示出線(xiàn)段的長(zhǎng)度，利用勾股定理列出方程即可求解；（2）設(shè)的面積為，利用（1）中的方法，利用三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：依題意得：，∴，∵，∴，∵兩點(diǎn)的距離為，∴，解得：或2；（2）解：設(shè)的面積為，根據(jù)題意得：，∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為9，即當(dāng)為時(shí)，的面積最大，最大面積為．3．學(xué)校體育器材室有一扇長(zhǎng)2米，寬1米的矩形窗戶(hù)，現(xiàn)需設(shè)計(jì)一個(gè)不銹鋼的護(hù)欄．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)提出的設(shè)計(jì)方案如下：如圖，底部設(shè)計(jì)一條拋物線(xiàn)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)到底部距離為0.5米，為牢固起見(jiàn)，拋物線(xiàn)上方按相等間距加設(shè)三根不銹鋼管立柱．請(qǐng)你根據(jù)興趣小組同學(xué)的設(shè)計(jì)，求出所需三根不銹鋼管立柱的總長(zhǎng)度．【答案】米【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式，根據(jù)解析式求出和，進(jìn)而求出和，即可求解．【詳解】解：如圖，以中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知，，，，，，，設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，將，代入，得，解得，拋物線(xiàn)解析式為，當(dāng)時(shí)，，，，，即所需三根不銹鋼管立柱的總長(zhǎng)度為米．4．希希開(kāi)了一家網(wǎng)店，計(jì)劃銷(xiāo)售甲、乙兩種商品．若甲商品每件利潤(rùn)25元，乙商品每件利潤(rùn)30元，則每周能賣(mài)出甲商品200件，乙商品80件，經(jīng)調(diào)查，甲商品零售單價(jià)每降價(jià)1元，每周可多銷(xiāo)售10件；乙商品零售單價(jià)每降價(jià)1元，每周可多銷(xiāo)售5件，為了提高銷(xiāo)售量，小明決定把甲、乙兩種商品的零售單價(jià)都降價(jià)x（x為整數(shù)）元．(1)直接寫(xiě)出甲、乙兩種商品每周的銷(xiāo)售量y（件）與降價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式：_______，_______．(2)求出希希每周銷(xiāo)售甲、乙兩種商品獲得的總利潤(rùn)W（元）與降價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果每周兩種商品的銷(xiāo)售總量不超過(guò)380件，希希每周銷(xiāo)售甲、乙兩種商品獲得的總利潤(rùn)最大是多少？【答案】(1)(2)(3)7640元．【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用：（1）根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）將甲乙獲得的利潤(rùn)相加，再化簡(jiǎn)即可得出答案；（3）先將二次函數(shù)整理成頂點(diǎn)式，再求出，且為整數(shù)，進(jìn)而可得出答案．【詳解】（1）解：，；（2）（3），由，，且為整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，的值最大，最大為7640元．5．乒乓球被譽(yù)為中國(guó)國(guó)球．2023年的世界乒乓球錦標(biāo)賽中，中國(guó)隊(duì)包攬了五個(gè)項(xiàng)目的冠軍，成績(jī)的取得與平時(shí)的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開(kāi)的．甲乙兩人訓(xùn)練打乒乓球，讓乒乓球沿若球臺(tái)的中軸線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，圖為從側(cè)面看乒乓球臺(tái)的視圖，為球臺(tái)，為球網(wǎng)，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，甲從正上方的處擊中球完成發(fā)球，球沿直線(xiàn)撞擊球臺(tái)上的處再?gòu)椘鸬搅硪粋?cè)的處，從處再次彈起到，乙再接球．以所在直線(xiàn)為軸，為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示球與的水平距離，表示球到球臺(tái)的高度，將乒乓球看成點(diǎn)，兩次彈起的路徑均為拋物線(xiàn)且形狀不變，段拋物線(xiàn)的解析式為，段拋物線(xiàn)的解析式為．

(1)當(dāng)球在球網(wǎng)左側(cè)距球網(wǎng)時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，求：①的解析式；②球過(guò)球網(wǎng)時(shí)球與的距離；(2)若球第二次的落點(diǎn)在球網(wǎng)右側(cè)處，球再次彈起最高為，乙的球拍（看作線(xiàn)段）在的正上方處，，若將球拍向前水平推出可接住球，求出的取值范圍．【答案】(1)①；②球過(guò)球網(wǎng)時(shí)與距離為．(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意，得到球在時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，由，得到其對(duì)稱(chēng)軸為，由此求出，進(jìn)而得到答案．②當(dāng)時(shí)，代入求出，再求出球過(guò)球網(wǎng)時(shí)與距離，由此得到答案．（2）根據(jù)題意確定出，最高點(diǎn)為，得到，當(dāng)時(shí)，，得到，當(dāng)時(shí)，求出，，由，確定出．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意得：，球在時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，，，解得：，．②當(dāng)時(shí)，，，球過(guò)球網(wǎng)時(shí)與距離為．（2）由題意得：點(diǎn)在球網(wǎng)右側(cè)處，，最高點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍），，當(dāng)時(shí)，，得，，又，，，．6．如圖1，某噴泉公司生產(chǎn)的可升降式噴頭，噴出的水柱形狀呈拋物線(xiàn)，如圖2，以圓形水池中心O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S，堅(jiān)直方向?yàn)檩S，1米為1個(gè)單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，噴頭的坐標(biāo)為．(1)當(dāng)水柱滿(mǎn)足到水池中心水平距離為3米時(shí)，即時(shí)，水柱達(dá)到最大高度5米，求第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式；(2)若圓形水池的半徑為7米，在（1）的條件下噴出的水柱是否會(huì)落在水池外（不考慮水柱落到水面后造成的迸濺），請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【答案】(1)；(2)噴出的水柱不會(huì)落在水池外，計(jì)算見(jiàn)解析．【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵，（1）由題意得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）令，解方程求出的值與7比較即可．【詳解】（1）解：由題意，設(shè)第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，得，解得，，即，（2）解：由題意，令解方程得：，（不合題意，舍去），．∵，∴，．∴噴出的水柱不會(huì)落在水池外．7．某工廠的前年生產(chǎn)總值為10萬(wàn)元，去年比前年的年增長(zhǎng)率為，預(yù)計(jì)今年比去年的年增長(zhǎng)率為，設(shè)今年的總產(chǎn)值為萬(wàn)元．(1)求與的關(guān)系式；(2)當(dāng)時(shí)，求今年的總產(chǎn)值為多少萬(wàn)元？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，今年的總產(chǎn)值為萬(wàn)元．【分析】（1）利用增長(zhǎng)率公式即可找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）代入，求出y值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）依題意得：；（2）當(dāng)時(shí)，，答：當(dāng)時(shí)，今年的總產(chǎn)值為萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用—增長(zhǎng)率問(wèn)題，掌握增長(zhǎng)率問(wèn)題的公式是解題的關(guān)鍵，若起始值為a，經(jīng)過(guò)n年后值為b，設(shè)增長(zhǎng)率為x，則有．8．綜合與實(shí)踐【問(wèn)題背景】以函數(shù)的角度來(lái)看待和解決問(wèn)題．（1）通過(guò)觀察以下一位數(shù)的積：，，…，，．其中每個(gè)式子中的兩數(shù)之和為10，推測(cè)在這些式子中，乘積最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出結(jié)果）（2）通過(guò)觀察以下兩位數(shù)的積：，，…，，．其中每個(gè)式子中的兩數(shù)之和為30，推測(cè)在這些式子中，乘積最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出結(jié)果）【初步探討】以問(wèn)題（2）為例，設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，寫(xiě)出你對(duì)問(wèn)題（2）的猜想（包括條件和結(jié)論）．嘗試用二次函數(shù)的知識(shí)證明你對(duì)問(wèn)題（2）的猜想；【實(shí)踐應(yīng)用】（3）物理電路理論知識(shí)中有以下幾個(gè)結(jié)論：串聯(lián)電路的總電阻等于各串聯(lián)電阻之和；并聯(lián)電路總電阻的倒數(shù)等于各并聯(lián)電阻的倒數(shù)之和；電壓一定的情況下，電流與電阻成反比關(guān)系．在如圖1所示的電路中，Ω，Ω，滑動(dòng)變阻器的最大電阻Ω，其等效電路圖如圖2所示，其中，在滑片從a端滑到b端的過(guò)程中，設(shè)Ω，請(qǐng)你結(jié)合電路知識(shí)以及函數(shù)知識(shí)來(lái)說(shuō)明，當(dāng)兩支路的電阻相等時(shí)，電流表示數(shù)最小，并求出電流表示數(shù)的最小值．【答案】（1）；（2）；【初步探討】猜想：若兩數(shù)和為30，當(dāng)這兩數(shù)相等時(shí)，它們的乘積最大．證明見(jiàn)解析；（3）2A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和分式的加法運(yùn)算．（1）分別計(jì)算即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（2）分別計(jì)算即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；由題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用二次函數(shù)知識(shí)解答即可；（3）設(shè)Ω，利用物理知識(shí)和分式加減知識(shí)，求出總電流為I，與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)知識(shí)求最值即可．【詳解】解：（1）由，，…，，可知，當(dāng)?shù)闹底畲?，故答案為：；?）由，，，，，…，，，可知，當(dāng)?shù)闹底畲?，故答案為：；【初步探討】猜想：若兩?shù)和為30，當(dāng)這兩數(shù)相等時(shí)，它們的乘積最大．證明：設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為，它們的積為y，則有．∵，則拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，y取最大值，為225，此時(shí)這兩數(shù)分別為15及，兩數(shù)相等，∴當(dāng)這兩數(shù)相等時(shí)，它們的乘積最大．（3）設(shè)Ω，則Ω，，設(shè)總電流為I，則．由分式的性質(zhì)可知，若分子為不變的正數(shù)，則分母最大時(shí)，分式最?。O(shè)．∵，則拋物線(xiàn)W開(kāi)口向下，且，∴當(dāng)時(shí)，W取最大值為25，此時(shí)I取最小值為（A），兩支路電阻分別為（Ω）和（Ω），兩支路電阻相等，∴當(dāng)兩支路的電阻相等時(shí)，電流表示數(shù)最小，最小值為2A．變式拓展9．湖南農(nóng)業(yè)大區(qū)零陵區(qū)土地資源豐富，近年來(lái)，該區(qū)利用農(nóng)業(yè)特色資源優(yōu)勢(shì)，大力發(fā)展特色種植，帶動(dòng)農(nóng)民門(mén)口致富，尤其是各種水果的種植馳名省內(nèi)外．下面是一家果農(nóng)所遇到的問(wèn)題，請(qǐng)你閱讀下面材料幫忙解決果農(nóng)所遇到的問(wèn)題.信息及素材素材一在專(zhuān)業(yè)種植技術(shù)人員的正確指導(dǎo)下，果農(nóng)對(duì)紐荷爾臍橙的種植技術(shù)進(jìn)行了研究與改進(jìn)，使產(chǎn)量得到了增長(zhǎng)，根據(jù)果農(nóng)們的記錄，2020年紐荷爾臍橙平均每株產(chǎn)量是50千克，2022年達(dá)到了72千克，每年的增長(zhǎng)率是相同的．素材二一般采用的是長(zhǎng)方體包裝盒．(1)任務(wù)1：求紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率；(2)任務(wù)2：為了放下適當(dāng)數(shù)量的紐荷爾臍橙，現(xiàn)有邊長(zhǎng)為的正方形紙板，將四角各裁掉一個(gè)正方形，折成無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒．折成的長(zhǎng)方體盒子側(cè)面積（四個(gè)側(cè)面的面積之和）有沒(méi)有最大值？如果沒(méi)有，說(shuō)明理由；如果有，求出此時(shí)剪掉的正方形邊長(zhǎng)．【答案】(1)紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為(2)有，被裁掉的正方形邊長(zhǎng)為20厘米時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的側(cè)面積最大【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用；掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x，則年的產(chǎn)量為50千克，2022年的產(chǎn)量為千克，由2022年的產(chǎn)量72千克列方程即可；（2）由可得裁掉正方形的邊長(zhǎng)即為正方體盒子的高，設(shè)裁掉正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)正方體紙盒的側(cè)面積列出解析式配方即可．【詳解】（1）解：設(shè)紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為，由題意得：解得：，（不符合題意舍去）紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為（2）設(shè)裁掉正方形的邊長(zhǎng)為，由題意得：∴當(dāng)時(shí)，有最大值∴被裁掉的正方形邊長(zhǎng)為厘米時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的側(cè)面積最大．10．如圖，在矩形中，，，從點(diǎn)開(kāi)始沿向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果、分別從、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是．(1)t為何值時(shí)，？(2)t為何值時(shí)，的長(zhǎng)度為？(3)設(shè)五邊形的面積為，當(dāng)t為何值時(shí)，五邊形的面積最??？最小面積為多少？【答案】(1)當(dāng)時(shí)，．(2)當(dāng)或時(shí)，的長(zhǎng)度為．(3)當(dāng)秒時(shí)，五邊形的面積最小，最小面積為．【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，三角形的面積二次函數(shù)的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式．（1）根據(jù)題意得，，則，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的中垂線(xiàn)上，進(jìn)而列方程求解即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理得出，，求解即可得出答案；（3）根據(jù)題意可得當(dāng)五邊形的面積為時(shí)，，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：∵從點(diǎn)開(kāi)始沿向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，∴，，則，當(dāng)時(shí)，故，解得：，故當(dāng)時(shí)，．（2）∵四邊形是矩形，∴，在中，，且，，，即，解得：，．∴當(dāng)或時(shí)，的長(zhǎng)度為．（3）∵五邊形的面積四邊形的面積，故當(dāng)五邊形的面積為時(shí)；∴，∵，有最小值，∴當(dāng)，最小值為：，∴當(dāng)秒時(shí)，五邊形的面積最小，最小面積為．11．如圖1是汝南北城古橋，斑駁的橋面上書(shū)寫(xiě)著歷史的痕跡．古橋拱截面可視為拋物線(xiàn)的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬，橋拱頂點(diǎn)到水面的距離是．

(1)按如圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式（無(wú)需寫(xiě)出取值范圍）；(2)一只寬為的打撈船徑直向橋駛來(lái)，當(dāng)船駛到橋拱下方且距點(diǎn)時(shí)，橋下水位剛好在處，有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱，請(qǐng)說(shuō)明理由（假設(shè)船底與水面齊平）．【答案】(1)；(2)工人不會(huì)碰到頭，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，求出函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意結(jié)合圖象可以求出函數(shù)的頂點(diǎn)，先設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式，再根據(jù)圖象過(guò)原點(diǎn)，求出的值即可；（2）先求出工人距原點(diǎn)的距離，再把距離代入函數(shù)解析式求出的值，然后和1.68比較即可．【詳解】（1）解：如圖②，由題意得：水面寬是，橋拱頂點(diǎn)到水面的距離是，結(jié)合函數(shù)圖象可知，頂點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式，解得：，二次函數(shù)的表達(dá)式為，即；（2）解：工人不會(huì)碰到頭，理由如下：小船距點(diǎn)，小船寬，工人直立在小船中間，由題意得：工人距點(diǎn)距離為，將代入，解得：，此時(shí)工人不會(huì)碰到頭．12．某公司共有個(gè)生產(chǎn)車(chē)間，分別生產(chǎn)與兩種不同的產(chǎn)品，其中個(gè)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)產(chǎn)品（其中為正整數(shù)，且），剩余的生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)產(chǎn)品．今年每個(gè)生產(chǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)車(chē)間的平均收入（單位：萬(wàn)元）與車(chē)間數(shù)量（個(gè)）之間的關(guān)系如圖所示．(1)求當(dāng)時(shí)，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若已知今年公司產(chǎn)品的年總收入（單位：萬(wàn)元）與車(chē)間數(shù)量（個(gè)）的關(guān)系為：（x為正整數(shù)且），設(shè)公司年總收入為（單位：萬(wàn)元），求關(guān)于的函數(shù)解析式．（注：公司年總收入=產(chǎn)品的年總收入產(chǎn)品的年總收入）(3)請(qǐng)問(wèn)公司今年的總收入能超過(guò)萬(wàn)元嗎？說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)公司一年的總收入不能超過(guò)萬(wàn)元【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，分類(lèi)討論是解答本題的關(guān)鍵．（1）分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)兩種情況求解即可；（2）設(shè)為A產(chǎn)品的年收入，先表示出，再根據(jù)求解即可；（3）根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合（2）的結(jié)論求解即可．【詳解】（1）由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，令一次函數(shù)，過(guò)點(diǎn)，，解得，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為，函數(shù)；（2）設(shè)為A產(chǎn)品的年收入，，∵，；（3）不能．理由：當(dāng)時(shí)，，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，且圖象開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，．綜上所述：公司一年的總收入不能超過(guò)萬(wàn)元．13．某數(shù)學(xué)興趣小組在一次課外活動(dòng)中設(shè)計(jì)了一個(gè)彈珠投箱子的游戲（無(wú)蓋正方體箱子放在水平地面上）．現(xiàn)將彈珠抽象為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（軸經(jīng)過(guò)箱子底面中心，并與其一組對(duì)邊平行，正方形為箱子正面示意圖）．某同學(xué)將彈珠從處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線(xiàn)（單位長(zhǎng)度為）的一部分，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若彈珠投入箱內(nèi)后立即向左上方彈起，沿與拋物線(xiàn)形狀相同的拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，且無(wú)阻擋時(shí)彈珠最大高度可達(dá)，請(qǐng)判斷彈珠能否彈出箱子，并說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線(xiàn)的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)彈珠能彈出箱子，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）把點(diǎn)和，代入，再把拋物線(xiàn)解析式化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；（2）先求出拋物線(xiàn)L與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)題意可設(shè)拋物線(xiàn)M的解析式為，然后把代入，求出拋物線(xiàn)M的解析式，再求出當(dāng)時(shí)，y的值即可求解．【詳解】（1）解：把點(diǎn)和代入得：，解得，拋物線(xiàn)的解析式為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：彈珠能彈出箱子，理由如下：，，；當(dāng)時(shí)，解得：，，根據(jù)題意可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，把點(diǎn)代入，得：，解得：或，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在直線(xiàn)的左側(cè)，，拋物線(xiàn)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，彈珠能彈出箱子．14．某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，在柱子的頂端A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水．柱子在水面以上部分的高度為3m．水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線(xiàn)路徑落下，噴出的拋物線(xiàn)形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最大高度為4m，如圖所示．(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求在第一象限部分的拋物線(xiàn)解析式（不必寫(xiě)出自變量取值范圍）；(2)張師傅在噴水池維修設(shè)備期間，噴水池意外噴水，如果他站在與池中心水平距離為處，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明身高的張師傅是否被淋濕？(3)如果不計(jì)其他因素，為使水不濺落在水池外，那么水池的直徑至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)？【答案】(1)；(2)；(3)6米．【分析】本題考查了二次函數(shù)實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是本的解題關(guān)鍵．（1）由題意可知，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：，再利用待定系數(shù)法求解解析式即可；（2）把代入函數(shù)解析式求解的值，再與比較即可得到答案；（3）把令，得，，再解方程，結(jié)合題意可得答案．【詳解】（1）解：由題意可知，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：，將代入得，，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為：；（2）當(dāng)時(shí)，所以，張師傅站在與池中心水平距離為處，能被淋濕．（3）令，得，，解得，（舍）

，∴，答：水池的直徑至少要6米，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)．15．2022年第一季度我省總值約為10000億元，第三季度的總值約為11025億元．(1)假定第二季度、第三季度我省總值的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率；(2)若保持這樣的增長(zhǎng)率不變，估計(jì)到2023年第一季度，我省的總值