專題04點圓模型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（原卷版）

專題04點圓模型題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要和難點題型，綜合考查學(xué)生解析幾何知識和思維能力.該題型一般在填空題或解答題的其中一問出現(xiàn)，具有一定的難度，致使該考點成為學(xué)生在中考中失分的集中點.掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑.本專題就動點軌跡為圓弧型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握.模型01定義型點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓.模型02直徑所對的角為直角（直角模型）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓??；如圖，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧.模型03等弦對等角模型一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧.模型01定義型考｜向｜預(yù)｜測點圓模型的定義型該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，目前與綜合性大題結(jié)合考試，作為其中一問，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的定義判定動點變化的特點，結(jié)合圓和其它幾何的相關(guān)知識點進(jìn)行解題.答｜題｜技｜巧第一步：根據(jù)題意判定動點的變化特性第二步：找準(zhǔn)定點和定長（圓心和半徑）第三步：結(jié)合圓、三角形、四邊形的相關(guān)知識點進(jìn)行解題，一般情況下會涉及最值問題例1．（2022·廣西）如圖，在△ABC中，，，，點D在AC邊上，且，動點P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點C的對應(yīng)點為E，則△AEB面積的最小值是（

）A． B． C．2 D．例2．（2022·北京）如圖，在中，，，，點是邊的中點，將繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點是邊上的一動點，則長度的最大值與最小值的差為．模型02直角模型考｜向｜預(yù)｜測點圓問題中的直角模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查對圓性質(zhì)的的理解.實際題型中會結(jié)合直角三角形的相關(guān)知識點，對數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵.許多實際問題的討論中需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成求固定圖形問題.答｜題｜技｜巧第一步：觀察圖形特點，找準(zhǔn)直角頂點和定長（圓的直徑）；第二步：利用圓與直角三角形的相關(guān)知識點進(jìn)行解題；第三步：涉及最值問題的圖形要考慮線段的轉(zhuǎn)化，熟練掌握共線問題、將軍飲馬問題、垂線段問題等相關(guān)知識點；第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答例1．（2021·山東）如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若，則BG的最小值為__________．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點是第一象限內(nèi)的一個動點并且使，點，則的最小值為．模型03等弦對等角考｜向｜預(yù)｜測點圓問題中的等圓對等角模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握.該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度.該題型主要考查動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解.解題時會考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造對應(yīng)圖形解決問題，屬于中考中的壓軸題．答｜題｜技｜巧第一步：觀察圖形特點，確定定弦和定角；第二步：根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動點的運動軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)圖形（三角形居多）；第三步：利用四邊形、隱圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識點解題；例1．（2022·江蘇）如圖，已知正方形的邊長為2，若動點E滿足，則線段長的最大值為．例2．（2023·重慶）如圖，在邊長為6的等邊中，點，分別是邊，上的動點，且，連接，交于點，連接，則的最小值為．1.（2023·廣東）如圖，四邊形為矩形，，．點P是線段上一動點，點M為線段上一點．，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.（2023·湖南）如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．33．（2023·山西）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點P從C點出發(fā)，沿CB運動到點B停止，過點B作射線AP的垂線，垂足為Q，點Q運動的路徑長為（）A． B． C． D．4．（2023·廣州）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點N，點M分別為BC，DE的中點，AB＝6，AD＝4，△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，MN的最大值為．5．（2023·云南）如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是．6．（2023·貴州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．7．（2022?天津）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，點E在BC上，且CE＝4BE，點M為矩形內(nèi)一動點，使得∠CME＝45°，連接AM，則線段AM的最小值為．8．（2023·貴陽）如圖，矩形中，，，點，分別是，邊上的兩個動點，且，點為的中點，點為邊上一動點，連接、，則的最小值為．9．（2023·安徽）等腰直角中，，，點是平面內(nèi)一點，，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)填度數(shù)度時，可以取最大值，最大值等于．10．（2023·廣西）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是AB，BC邊上的點，且AC＝CD＝3，連接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．（1）當(dāng)∠B＝22.5°時，求證：CD平分∠ACB；（2）當(dāng)CD＝BD時，求的值；（3）如圖②，若點F是線段AC上一點，且AF＝1，連接DF，EF，EF交CD于點G，求△DEF面積的最大值．1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關(guān)于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．2．如圖，正方形的邊長是4，點是邊上一動點，連接，過點作于點，點是邊上另一動點，則的最小值為A．5 B． C．6 D．3．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)最大時，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，點D是邊BC上一動點，連接AD，在AD上取一點E，使∠DAC＝∠DCE，連接BE，則BE的最小值為（）A．2﹣3 B． C．﹣2 D．5．如圖，點P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時，連接PD，則線段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．6．如圖，矩形ABCD的邊AB＝8，AD＝6，M為BC的中點，P是矩形內(nèi)部一動點，且滿足∠ADP＝∠PAB，N為邊CD上的一個動點，連接PN，MN，則PN+MN的最小值為．7．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點D，E分別在邊BC，AC上，且BD＝CE，連接AD，BE交于點F，連接CF，則∠AFB＝，CF的最小值是．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點E是AC的中點，點F是斜邊AB上任意一點，連接EF，將△AEF沿EF對折得到△DEF，連接DB，則△BDF周長的最小值是．9．如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點，且AM＝AD，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C．則A′C長度的最小值是．10.如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為．11．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點P運動的路徑長為．12．如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個動點，且滿足，連接，則線段長的最小值為．13．（1）【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在中，，，是外一點，且，求的度數(shù)，若以點為圓心，為半徑作輔助圓，則點、必在上，是的圓心角，而