重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期10月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

重慶市高2025屆拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高三上10月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷（滿分150分；考試時(shí)間：120分鐘）命題學(xué)校：育才中學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，請(qǐng)考生先在答題卡上準(zhǔn)確工整地填寫(xiě)本人姓名、準(zhǔn)考證號(hào)；2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂：非選擇題必須使用0.5mm黑色簽字筆答題；3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答，超出區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效；4.請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、損毀；考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，圖知道陰影部分表示中把中去掉后剩下元素組成的集合，寫(xiě)出結(jié)果即可.【詳解】，由圖知道陰影部分表示中把中去掉后剩下元素組成的集合.即圖中陰影部分表示的集合為.故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法算出復(fù)數(shù)，由模長(zhǎng)公式計(jì)算.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，得，則.故選：B.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.58 B.68 C.116 D.136【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋约此怨蔬x：B.4.遺忘曲線由德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類(lèi)大腦對(duì)新事物遺忘的規(guī)律，某同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率與初次記憶經(jīng)過(guò)的時(shí)間（小時(shí)）的大致關(guān)系：，則記憶率為20%時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.80小時(shí) B.90小時(shí) C.100小時(shí) D.120小時(shí)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)得到，兩邊取對(duì)數(shù)求解，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得，整理得到，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得到，即，又，所以，得到，故選：C5.在平行四邊形中，點(diǎn)，，分別滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為基底，根據(jù)向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意，如圖，，故選：A6.已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A B.7 C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，據(jù)此可得，再由基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，且易知在上單調(diào)遞減，又，即所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故選：D7.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式與兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)已知條件等式得，根據(jù)角的范圍與函數(shù)值的大小比較得，從而得到，然后利用兩角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得.【詳解】由，得，則，由為銳角，則，又，，故，所以，由二倍角余弦公式得，則.又為銳角，所以，故.故選：C.8.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】問(wèn)題等價(jià)于恒成立，不妨令，求出即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)，恒成立，，即恒成立.不妨令，則設(shè)，有，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，有，所以時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取得等號(hào)，由對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，方程顯然有解，所以，得.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：?jiǎn)栴}等價(jià)于恒成立，由，利用，得到.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，滿足，，，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算及模的定義判斷A，根據(jù)平行可得坐標(biāo)關(guān)系判斷B，根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為0判斷C，根據(jù)向量的投影向量的概念判斷D.【詳解】對(duì)A，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，即，故B正確；對(duì)C，，由可得，即，故C正確；對(duì)D，在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)，，定義域均為，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)與有相同的最小正周期B.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最小值為C.當(dāng)，的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到D.當(dāng)時(shí)，若方程在區(qū)間內(nèi)的解為，，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正余弦型函數(shù)周期判斷A，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷B，根據(jù)圖象平移判斷C，根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱性及誘導(dǎo)公式判斷D.【詳解】對(duì)A，周期均為，故A正確；對(duì)B，時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，所以，解得，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)y=fx的圖象向右平移個(gè)單位得到，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，即，由可知，因?yàn)?，且，所以由正弦函?shù)性質(zhì)可知，即，所以，即，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)與及其導(dǎo)函數(shù)f′x與的定義域均為.若為奇函數(shù)，，，則（）A. B.C.曲線y=f′x關(guān)于點(diǎn)12【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，賦值法令和計(jì)算即可；對(duì)B，易知f′x為偶函數(shù)，不能確定；對(duì)C，運(yùn)用已知條件推出關(guān)于中心對(duì)稱，進(jìn)而得到關(guān)于中心對(duì)稱；對(duì)D，由f′x為偶函數(shù)得f′x周期為2，結(jié)合條件得到，求出，進(jìn)而求.【詳解】對(duì)于A，令，令，則，A正確；對(duì)于B，為奇函數(shù)，則f′x為偶函數(shù)，則求不出，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，又，則，則關(guān)于中心對(duì)稱.，結(jié)合函數(shù)圖象平移，關(guān)于中心對(duì)稱，C正確；對(duì)于D，由于f′x為偶函數(shù)，結(jié)合C所得對(duì)稱中心，知f′x周期為2，且又則，且，，則D正確.故選：ACD第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則______________.【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)解析式分別代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)可得，由可得，即故答案為：13.育才中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量如圖所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三點(diǎn)，，處測(cè)得雕塑頂端處仰角均為，且，，則該雕塑的高度為_(kāi)_____________m．【答案】【解析】【分析】由題可得，，由正切函數(shù)定義得出，進(jìn)而得出點(diǎn)為的外心，根據(jù)已知條件及余弦定理，正弦定理即可求解．【詳解】由題可知，，，設(shè)，在中，，所以，同理可得，所以點(diǎn)為的外心，且外接圓半徑為，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，則，所以該雕塑的高度為，故答案為：．14.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是______________.【答案】112【解析】【分析】作出的圖象，換元后，先考慮方程根的個(gè)數(shù)及根所在范圍，再由數(shù)形結(jié)合求原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】作出的圖象，如圖，令，考慮方程的根，由圖象可知有16個(gè)根，分別設(shè)為，由圖象知，，再考慮，分別作出直線，可知原函數(shù)共有零點(diǎn)個(gè).故答案為：112【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)一個(gè)是作出函數(shù)的圖象，再一個(gè)就是通過(guò)換元結(jié)合圖象先求出方程的根的個(gè)數(shù)及范圍，最后再由數(shù)形結(jié)合確定原函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).四、解答題：本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用已知，，成等比數(shù)列，用等差數(shù)列基本量列方程并求解，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)論；（2）分別利用等差與等比數(shù)列求和公式分組求和法可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列an的公差為，則，由成等比數(shù)列，得，則，又，即，解得（舍），或.所以.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由題意得，，則，且，故bn是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，.故數(shù)列的前項(xiàng)和為.16.心流是由心理學(xué)家米哈里提出的概念，指人們?cè)谶M(jìn)行某項(xiàng)活動(dòng)時(shí)，完全投入并享受其中的狀態(tài).某中學(xué)的學(xué)習(xí)研究小組為設(shè)計(jì)創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，男生與女生的人數(shù)之比為3：2，其中女生有35名自述活動(dòng)過(guò)程中體驗(yàn)到心流，男生有15名沒(méi)有體驗(yàn)到心流.心流無(wú)心流總計(jì)女生35男生15合計(jì)100（1）完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生在創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)中是否體驗(yàn)到心流與性別有關(guān)？（2）在體驗(yàn)到心流的學(xué)生中，有，兩名同學(xué)表示特別喜愛(ài)這種創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)，希望參加到進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中，在接下來(lái)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，研究小組將每次從體驗(yàn)到心流的學(xué)生中不放回的隨機(jī)抽名同學(xué)參加，記抽取兩次后抽中或的概率為，當(dāng)為何值時(shí)最大？請(qǐng)證明你的結(jié)論.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）當(dāng)時(shí)，最大.【解析】【分析】（1）先計(jì)算，得到列聯(lián)表，再求出卡方值，再判斷即可；（2）先求出，再根據(jù)階乘公式化簡(jiǎn)得到，作差比較大小得到，則為增函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性可得到答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)檎{(diào)查的女生人數(shù)為：，所以調(diào)查的男生人數(shù)為：.所以2×2列聯(lián)表如下：心流無(wú)心流總計(jì)女生35540男生451560合計(jì)8020100零假設(shè):學(xué)生在創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)中是否體驗(yàn)到心流與性別無(wú)關(guān).根據(jù)公式和數(shù)據(jù)計(jì)算可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立,因此可以認(rèn)為成立,即創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)中體驗(yàn)到心流與否與性別無(wú)關(guān).【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí),的值最大.,運(yùn)用階乘公式整理得到，.由于，則，則為增函數(shù).則當(dāng)時(shí)，最大.17.在中，的對(duì)邊分別為，，，且滿足_______________.請(qǐng)?jiān)冖?；②，這兩個(gè)中任選一個(gè)作為條件，補(bǔ)充在橫線上，并解答問(wèn)題.（1）求；（2）若面積為，，點(diǎn)在線段上，且，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇①：利用正弦定理和余弦定理可得，即；選擇②：由誘導(dǎo)公式可得，再結(jié)合可得；（2）根據(jù)三角形面積以及角的正切值可解得，再由點(diǎn)的位置關(guān)系利用向量可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】若選擇①，由可得，利用正弦定理可得，整理可得；所以，又，可得.若選擇②,由誘導(dǎo)公式可得；由可得，可得，所以，即.【小問(wèn)2詳解】如下圖所示：由面積為可得，即，又且，所以；又可得；易知，由可得，即可得；由點(diǎn)在線段上，且，可得，所以即的長(zhǎng)為.18.已知圓交軸于，兩點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn)且以為長(zhǎng)軸.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，若不重合的兩條直線與分別平分線段，.①求證：為定值；②已知直線，與橢圓分別交于，，，，且，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析②四邊形面積的最大值為3.【解析】【分析】（1）令.設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓經(jīng)過(guò)，代入計(jì)算即可;（2）①畫(huà)出圖形，顯然直線與垂直，設(shè)直線，則直線l與橢圓交于,由于直線平分直線l與圓O的交線段，則有，運(yùn)用點(diǎn)差法得到.②畫(huà)出圖形，得到聯(lián)立方程得，則直線l1與橢圓交線長(zhǎng)為,同理可得直線l2與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)算出D到直線l1的距離，得到四邊形面積，結(jié)合.得到.和分情況討論，結(jié)合基本不等式得到四邊形面積的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】由,令得，令.則可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓經(jīng)過(guò)，代入計(jì)算得到.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)2詳解】①顯然直線與垂直，設(shè)直線，則直線l與橢圓交于,由于直線平分直線l與圓O的交線段，則有，于是,由于則則.②由題知，則易知令得，則直線l1與橢圓交線長(zhǎng)為，同理可得直線l2與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則D到直線l1的距離，所以四邊形面積.由于.則.當(dāng)時(shí)，四邊形不存在.當(dāng)時(shí)，所以四邊形面積的最大值,在時(shí)取到.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.有時(shí)候可以借助基本不等式求解.19.已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若在定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；（3）求證：.【答案】（1）（2）1（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)兩函數(shù)關(guān)于對(duì)稱求解析式即可；（2）先探求時(shí)成立，再證明當(dāng)時(shí)恒成立，證明過(guò)程利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極大值即可；（3）根據(jù)（2）可得，轉(zhuǎn)化為，再由，累加相消即可得證.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圖