高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：平面向量的數(shù)量積 ?？碱}型歸類（共10題型）（原卷版）

專題03平面向量的數(shù)量積

盛型大裳合

一、向量數(shù)量積的運算律六、根據(jù)向量夾角求參數(shù)

二、坐標法求向量的數(shù)量積七、利用數(shù)量積求向量的模長

八、數(shù)量積與向量垂直關(guān)系'

三、基底法求向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積

四、向量的投影求解九、向量數(shù)量積的最值與范圍

五、利用數(shù)量積求向量夾角十、向量的新定義問題

駁型大通關(guān)

一.向量數(shù)量積的運算律

1.（2324高一下.河南周口?月考）設(shè)向量B的夾角的余弦值為-；，同=2,慟=3,則（2Z+3B"=

（）

A.23B.23C.27D.27

2.（2324高一下.廣東東莞?月考）對任意向量下列向量運算一定成立的是（）

A.若萬2=人2,貝|商=石B.(a-b^-c=a-(bc

C.若=,貝=iD.少+孫（a-b\=^-b2

3.（2324高一下?四川成都?期中）以下等式錯誤的是（）

A.(m+w)-(m—n)=m2—n2B.(m+為產(chǎn)=m2+2m?萬+齊

C.|>n+n||m-n|=|m2-n2|D.(m-n)2=m2-2m-n+n2

4.（2324高一下.安徽?月考）（多選）下列關(guān)于平面向量的運算中，錯誤的是（）

A.伍+5)+卜+，)=(萬+司+(方+/)

B.（西一6）?守=5?（萬一乙）

C.=b^d'C)

D.d'b=d'C,貝=i

5.（2324高一下?江西?月考）（多選）已知25忑是三個非零向量，則下列說法正確的是（）

A.若=貝=5

B.若歸+畫=|萬-5],則〃方

C.若收一同=同+例，則0//5

D.若M//0,則,啰卜=（5?。萬

坐標法求向量的數(shù)量積

1.（1213高一上?黑龍江牡丹江?期末）已知2=（1,1）3=（2,5）,"=（3,x）,若（82-楊三=30,貝口=（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2324高一下.重慶.期中）已知向量4=（2,〃），Z?=（-1,2）,乙=（〃,〃），若日〃3,貝!|第（25+己）=（）

A.-12B.24C.-24D.12

3.（2324高一下.江蘇.月考）在AASC中，滿足AB=3,BC=4,AC=5,則衣.瓦.

4.（2324高一下.江蘇南通?期中）在矩形A8C。中，己知AB=4,AO=2,點P在C。邊上，滿足

UUUUL1U__________

APA3=6，貝1/麗=（）

113

A.—B.0C.—D.一

242

5.（2324高一下?甘肅天水?期中）如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，M,N分別為線段BC,OC上的

1T

點，且MV=2,NCNM二,則A小畫的值為——

三.基底法求向量的數(shù)量積

1.（2324高一下.天津?月考）在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=l,/胡。=60。，點E在CO上，滿

足覺=3讀，貝?麗=.

2.（2324高一下.江蘇南京?期中）在平行四邊形ABCD中，AB=3,AD=4,ABAD=6,DC=3DM,則

MAMB=（）

A.12B.16C.14D.10

3.（2324搞一下?四川南充?月考）如圖，在邊長為3的正三角形A3C中，AD=2DC,BD=4BE＞則

AEAC=（）

A

一

D.2

71

4.（2324高一下?江西景德鎮(zhèn)?期中）如圖，在平面四邊形A5CD中,ABJ.BC,ADLCD,NBCD=—,

3

CB=CD=2^3.若點M為邊8c上的中點，則涼.礪的值為（）

C.8D.12

5.（2324高一下.安徽?月考）如圖所示,a4BC中，AB=AC=\6,BC=1643,BD^-BC,

4

玲*則詼4=（）

C.-291D.-300

四.向量的投影求解

1.（2324高一下?吉林長春?期中）已知向量4與B的夾角為亍，同=4,則&在B上的投影向量的模為—

2.（2324高一下?云南?月考）已知向量2=（2,2）,a-b=4,則向量石在Z方向上的投影向量的坐標為一.

3.（2324高一下.河北邢臺?期中）已知平面向量2=（1,點）范=（2,點），則向量Z+B在B方向上的投影向量

為（）

2-5-7-

A.bB.—bC.—bD.—b

333

4.（2324高一下.江蘇連云港.期中）已知向量2=（-2,26）石=（1,6），貝呼在Z方向上的投影何軍：為（）

C.-bD.b

5.（2324高一下?山東淄博?期中）已知。是AASC的外心，AB+AC^2A0^|OA|=|AB|,則向量初在向

量起上的投影向量為（）

D.-^BC

A.—BCC.—BC

44

五.利用數(shù)量積求向量夾角

1.（2324高一下.天津?月考）已知々=（2,-1）與5=（1,-3）,它們的夾角為（

A.90°B.45?；?35。C.135°D.45°

2.（2324高一下?河南?期中）在四邊形ABCQ中，AD+2AB=ACf且AB=1,AZ）=2,AC=2后，貝U

cos/CBD=（）

A.垣B.-C.好D.-

5555

3.（2324高一下?遼寧?期中）已知向量Z,b,c，滿足問:W：W=3:左:6（此N*）,且2-21=2僅-工）,

若夕為￡，"的夾角，貝Ucose的值是（）

L.----

3

4.（2324高一下.安徽安慶?月考）已知平面內(nèi)非零向量7在向量5上的投影向量為-g方，且同=3回，則

江與方夾角的余弦值為.

5.（2324高一下?湖北?月考）已知向量，,瓦｝滿足I引=|萬|=2,|初=20\且4+石+不=0，則

cos（a-c,b-c）=（）

六.根據(jù)向量夾角求參數(shù)

1.（2324高一下.上海?月考）已知a=（1,1）,5=（2,相），若，與方夾角為銳角,則實數(shù)機的取值范圍

為.

2.（2324高一下?江蘇鹽城?期中）設(shè)乙=（x,3）,5=（2,-1）且萬，方的夾角為鈍角，實數(shù)x的取值范圍

是.

3.（2324高一下.江蘇南京?月考）已知向量。=（-1,-2）,5=（1,2）,若方，B的夾角為鈍角，則幾的取值范

圍是（）

1

A.—00.-------B.（2,+8）

24'T

1

C.一,+8D.（2,+a）

2

4.（2324高一下?浙江?期中）已知向量2=（-1,6）④=（乙岔），且￡與石的夾角為三.

⑵若向量Z+"與Z+2B所成的角是銳角，求實數(shù)之的取值范圍.

5.（2324高一下.河南濮陽?月考）已知向量）=（1,2）,五=（0,2）,向量］滿足6，0且切/（2Z+4.

⑴求"的坐標；

（2）若"與Z+彳后的夾角為鈍角，求實數(shù)2的取值范圍.

七.利用數(shù)量積求向量的模長

1.（2324高一下.江西贛州.期中）已知向量）=（1,2）%=（-1,3）,向量"滿足7Z=3,BU=2,貝=（）

A.拒B.73C.也D.也

22

2.（2324高一下?山東青島?期中）如果同=1,歸卜后，a-b=l，則卜-司的值是（）

A.1B.2C.-1D.-2

3.（2024.江蘇揚州.模擬預(yù)測）已知向量心石滿足同=1,忖=百，且M與石的夾角為葛，則恒-日=

（）

A.1B.V13C.1D.13

4.（2324高一下?云南?月考）已知平面向量1=（l,2）,5=（x,x+l）,^_L5,則k一同=.

5.（2324高一下?北京順義?期中）已知非零向量心b,忑滿足：無B=0，同=忖=2,c-a=2,

c-b=l>貝1J^|=.

A.數(shù)量積與向量垂直關(guān)系

1.（2324高一下?重慶璧山?月考）已知向量1=（2,-1），5=（1,3）,且日（妨+可，貝隈=（）

2.（2324高一下?河北保定?月考）已知單位向量日與5的夾角為三4，（妨+B）,貝廉=（）

A.|B.立C.--D.-①

2222

3.（2324高一下?廣東茂名?月考）已知向量2=（27,-3）石=（-l,2+r）,若貝V=.

4.（2324高一下.黑龍江哈爾濱?期中）己知51=2,出|=6,打石的夾角。=2,若

（25+3^）1（ma-4b）,則根=.

5.（2324高一下.山西運城?月考）已知向量Z，石滿足|Z|=2,出|=2若,cos&］〉=，.

4

⑴求Z在石上的投影向量；

（2）若向量與XZ+B垂直，求實數(shù)九的值.

九.向量數(shù)量積的最值與范圍

1.（2324高一下?四川瀘州?期中）在梯形A8CQ中，AB//DC,ADA.DC,AD=AB=2OC=2,E為

3C的中點，尸為。C上的動點（含端點），則說.衣的取值范圍是（）

-581（9、「081「°7一

A.B.2,—C.3,—D.2,—

\_23」I2）13」L2」

2.（2324高一下?山西運城?月考）已知正六邊形ABC。所的邊長為4,點尸為邊OE上的一個動點（含端

點），則就?赤的取值范圍是.

3.（2324高一下?安徽合肥?期中）如圖，某公園內(nèi)有一塊邊長為2個單位的正方形區(qū)域A5CD市民健身用

地，為提高安全性，擬在點A處安裝一個可轉(zhuǎn)動的大型探照燈，其照射角ZPAQ始終為45°（其中P,Q

分別在邊BC,8上），則Q?戀的取值范圍_____.

4.（2324高一下?遼寧朝陽?期中）已知||加卜1,|6|=2,AD-AC=\A^,則屈.①的最大值為

A.2B.2A/2C.3D.4

5.（2324高一下?山西忻州?月考）已知|那=3,|方|=2,?=1,且垃工-1=0,則小6的取值范圍

是.

十.向量的新定義問題

1.（2324高一下?山東淄博?期中）已知兩個非零向量1與5的夾角為。，我們把數(shù)量同Wsin。叫作向量萬

與5的叉乘axB的模，記作人同，即歸"卜同Wsin氏若向量商=（2,1）,石=（＜3）,貝巾X*（）

A.-10B.10C.-2D.2

2.（2324高一下?福建福州?期中）（多選）定義:已知兩個非零向量原5的夾角為凡把。石兩個向量的叉乘

記作:。xB=|a|一|5|-sin。，則以下說法正確的是（）

A.若Zx5=0,則///5

B."Mx5）=（%萬）x5

C.若四邊形ABC。為平行四邊形，則它的面積等于礪X而

D.若@又吞=6,日心=1,則15+51的最小值為幾

11

rrm?Z7

3.（2324高一下.重慶璧山?月考）對任意兩個非零向量成，n