湖南省2024屆高三“一起考”大聯(lián)考下學期模擬考試數學試題（四）

湖南省2024屆高三“一起考”大聯(lián)考下學期模擬考試數學試題(四)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4=國2、>4},B={訓產<16},則4CB=()

A.(2,+oo)B.(-4,4)C.(2,4)D.0

2.已知復數z滿足|z+2。=|z|,且z-l是純虛數，貝iJzZ=()

A.1B.2C.3D.4

3.已知4CR,平面向量方=(尢—1),%=(2㈤，則|方+目的最小值為()

A.攀B.V3C.V2口.學

4.已知點P是直線久+y+3=0上一動點，過點「作圓。(尢+1)2+、2=1的一條切線，切點為2,

則線段24長度的最小值為()

A.2A/3B.2>/2C.V2D.1

5.趙佶所作《瑞鶴圖》中房殿頂的設計體現(xiàn)了古人的智慧，如下圖，分別以65,礪為%軸、y軸正

方向建立平面直角坐標系，屋頂剖面的曲線與X軸、y軸均相切，A,B兩點間的曲線可近似看成函數/(%)

的圖象，/(%)有導函數f'(無)，為了讓雨水最快排出，f(x)需要滿足螺旋線方程f'QO=a拓匯,

NJ■十，八町

其中a,b為常數，則()

A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0

6.一種動物的后代數y(單位：只)在一定范圍內與溫度久(單位：℃)有關，測得一組數據(4力)

(i=1,2,-,20)可用模型y=jeez、擬合.利用變換z=Iny得到的線性回歸方程為2=0.3%+。，若

遇=600,￡*ln%=140,則q=<)

A.e-1B.e~2C.e~3D.e-4

■JT

7.已知a,6C(0,2),3cos(a+￡)=cosacosjS,則tcm(a+0)的最小值是()

A.2A/3B.2A/5C.2V6D.2V7

8.已知八面體PABCOQ由兩個正四棱錐P-4BCD和Q-4BCD組成.若該八面體的外接球半徑為3,

且平面P2B，平面PCD,則該八面體的體積為()

1/8

A.28B.32C.36D.40

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.若隨機變量X服從標準正態(tài)分布，P(X>Q)=0.3,則()

A.a>0B.a<0

C.P(|X|<a)=0.6D.P(|X|>a)=0.6

10.已知一sina=-1,則函數/(%)=+a)的單調區(qū)間有()

A.(一9患)B.(號空)C.(兀號)D.(等,3兀)

11.已知函數fO)的定義域為R,/'(嗎的圖象關于y=x對稱，且/'(久+1)為奇函數，貝ij()

A./(/(%))=%B./(久)+/(-％)=2

C./(x)-/(%+2)=4D./'(2024)=-2023

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，

12.已知橢圓4+當=1(a>b>0)的上頂點、下頂點和兩個焦點構成正方形，則該橢圓的離心

率為.

13.在△ABC中，ABAC=120°,AB=1,BC=43,則△4BC的面積為.

14.已知數列｛冊｝滿足冊=2”,在即和an+i之間插入n個1,構成數列｛晶｝:alt1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,---,

則數列｛%｝的前20項的和為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟

15.已知單調遞增的等比數列滿足：a2+a3+a4=28,且。3+2是。2，。4的等差中項，

(1)求a?的值，并求數列｛an｝的通項公式：

(2)若勾=anlogian,Sn=比+勾+…+bn)求使%+n,2n+i>50成立的正整數〃的最小值.

16.如圖，在三棱錐P—ABC中，AB1BC,PA=PB=PC=AC=4,。為4c中點.

(1)證明：P0，平面ABC；

(2)若點M在棱BC上，BM=^MC,且AB=BC,求二面角M—PA—C的大小.

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17.已知雙曲線C：ax2—y2=1(a>1)與雙曲線3y2一(a?+2)/=1有相同的漸近線.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知點4(1,1)，點。，E在雙曲線C的左支上，滿足而?荏=0,證明：直線DE過定點；

(3)在(2)的條件下，求點4到直線DE距離的最大值.

18.已知函數/(久)=。/,g(x)=Inx,函數/(x),g(x)有兩條不同的公切線(與/(久),。(%)均相切

的直線)li，h.

Cl)求實數a的取值范圍；

(2)記人，A在y軸上的截距分別為電，d2,證明：+d2<-1.

19.五一小長假到來，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點都推出了種種新奇活動以吸引游客，小

明去成都某熊貓基地游玩時，發(fā)現(xiàn)了一個趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個足夠長的直線軌道的中心處

有一個會走路的機器人，游客可以設定機器人總共行走的步數，機器人每一步會隨機選擇向前行走或

向后行走，且每一步的距離均相等，若機器人走完這些步數后，恰好回到初始位置，則視為勝利.

(1)若小明設定機器人一共行走4步，記機器人的最終位置與初始位置的距離為X步，求X的分布

列和期望；

(2)記p&CN*)為設定機器人一共行走2i步時游戲勝利的概率，求小，并判斷當i為何值時，游戲

勝利的概率最大；

(3)該基地臨時修改了游戲規(guī)則，要求機器人走完設定的步數后，恰好第一次回到初始位置，才

視為勝利.小明發(fā)現(xiàn)，利用現(xiàn)有的知識無法推斷設定多少步時獲得勝利的概率最大，于是求助正在讀大

學的哥哥，哥哥告訴他，“卡特蘭數”可以幫助他解決上面的疑惑：將幾個0和幾個1排成一排，若對任

意的1WkW2n,在前k個數中，0的個數都不少于1的個數，則滿足條件的排列方式共有C%-喘〕

種，其中，C%-的結果被稱為卡特蘭數.若記巳為設定機器人行走2i步時恰好第一次回到初始位

置的概率，證明：對(2)中的小，有「(=居。€村*)

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答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】A,D

10.【答案】B,C

U.【答案】A,B,D

12.【答案】學

13.【答案】4

4

14.【答案】77

15.【答案】（1）等比數列｛冊｝的首項為由,公比為q,

依題意有2（的+2）=與+。4，代入。2+。3+“4=28,可得。3=8,

代入。2+。3+@4=28得。2+。4=20,

?才針解之得_1

11:或q=2(舍去)

a^q+=20—N劭=32

???數列｛冊｝的通項公式為%=2九.

n

(2)???an=2,

nn

bn=anlogian=2logi2=—幾.2九,

22'

n

**.Sn=bi++…+bn=—(1x2+2x22+...+n,2)(l)

23nn+1

2Sn=-[1x2+2x2+...+(n-1)x2+n-2]@,

23nn+1

由②—①得，Sn=2+2+2+...+2-n-2

=2(W)-n-2n+1=2n+1-2-n-2n+1，

由5?+n-2n+i>50得，2n+1-2>50,則2計1>52,

易知：當nW4時，2"+1g25=32<52,當n25時，2n+1>26=64>52,

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故使%+n?2n+1>50成立的正整數"的最小值為5.

16.【答案】(1)證明：因為P4=PC,且。為4c中點，所以P014C,

因為4B1BC,且。為4c中點，所以。B=±ZC=2,

因為PA=PC=AC=4,且。為AC中點，所以PO=2巡，

因為PB=4,OB=2,PO=2V3,^^PB2=PO2+OB2,所以PO_LOB,

OBdAC=0,所以PO1平面ABC.

(2)解：因為ZB=BC,且。為AC中點，所以AC1OB,從而OB,OC,OP兩兩垂直,

如圖，建立以。為原點，以OB,OC,OP分別為無，y,z軸的空間直角坐標系，

y

易知4(0,—2,0),P(0,0,2b)，C(0,2,0),B(2,0,0),

設M(x,y,z),由=即兩=*流，可求得“弓，|,0),

所以刀=(0,-2,-2V3),麗=6，-2V3),

?n-=0

不妨設平面24M的一個法向量為五=(x,y,z),則

-PM=0

-2y-2V3z=0

即42廠，

§久+-2A/3Z=0

令z=l,則工=2B，y=-V3,所以五=(2百，-V3,1),

取平面24c的一個法向量為方=(1,0,0),

所以cos〈m，九)=而同=0=彳,

所以二面角M-PA-C的大小為30°.

17.【答案】(1)雙曲線C與雙曲線3y2一(。2+2)/=1有相同的漸近線方程,

所以苧=":2,即Q—l)(a—2)—0,又a>1,從而Q=2,

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所以雙曲線C的方程為2/一y2=1;

(2)顯然直線DE不與x軸平行，可設其方程為久=my+3

my+

由1,得(2.2-i)y2+4mty+2t2—1=0,

_y2=

設。(久1，月)，E(%2，y2)，則由韋達定理可得yi+、2=一2%1'y02=察L；'

因為4。-AE=0,所以(久1-1)(*2-1)+(71-1)(72-1)=0,

2

即(小2+l)y1y2+(jnt—m—1)(%+y￡)+t-2t+2=0,

整理得3ni?++t2+2t—3—0,即(3m+t+3)(m+t—1)=0,

而顯然直線。E不經過點4(1,1),所以m+t-lHO,3m+t+3=0,

故直線DE經過定點G(-3,3),得證.

(3)設點4在直線DE上的投影為H,由(2)知直線DE經過定點G(-3,3),

所以當4與點G重合，即直線AG1直線DE時，點4到直線DE距離的最大值，

此時|AG|=J(l+3尸+(1—3)2=2Z，所以點/到直線DE距離的最大值為2芯.

18.【答案】(1)設直線Z：y=k%+b同時與/(%),g(x)的圖象相切，切點分別為(根,幾)，(p,q)，

，,1

由/(%)=a/,g(%)=In%知，/(%)=2ax,g(%)—且/(TH)=am2,g(p)=Inp,

貝〃可同時表示為/(%)在(9九)的切線方程和9(%)在(p,q)的切線方程，

1

即y=2am(%-m)+曲層和y=-(%-p)+Inp,兩條直線相同，故它們具有相同的斜率和截距,

所以k=2am="①，b=-am2=-1+lnp(2),結合①②有焉=p2(i一Ep)(p>0).

設八(p)=p2(l-Inp),則由h'(p)=p-2plnp>0有口<泥.

從而飲P)在(0,便)上單調遞增，在(候,+8)上單調遞減，最大值為做平)=*

可作出y二八(%)的大致圖象如下，

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它與y=3有兩個交點，所以0<4<今解得a>^.

1IXx（X4乙匕

所以實數a的取值范圍為忌,+00）.

（2）設人,L與。（%）的切點坐標分別為（久1/1），（久2，丫2）不妨設久1<%2,

1

則由（1）知詢+c?2=—2+且h（%i）=h（久2）=詬，

要證明—2+ln%]%21，即證明％i%2<e.

、仇（尋））（看）ee

（方法一）因為好（1-Imq）=成（1-111久2），所以（_￡_）%=（且）：,設‘1=萬,’2=可’

21

1叫Int1一1叱_lnt+lnt,,所以lntit=ln(11)-+

122?。?1>以），

C1L2十”22-1

t(詈/-I

只需要證明Int?>1,BR/nC-1)--n——>0.

￡2舄戶+1

1

設t、(xJ)=InxM+l(x>1),貝Ko)=X"_儼市+Y1i)百，=x((x:z2+Ul)Iz2>。，

所以Z(%)在(1,+8)上單調遞增,t(x)>t(l)=0,則Inti以>1成立，從而%i%2<e.

故di+c?2V-1成立，證畢.

（方法二）伏工）在（0,便）上單調遞增，在（再,+8）上單調遞減，所以0<%1<迎<久2<e.

Qe

要證明％62<e,即久1<—,注意到％1，石■均在區(qū)間（0,班），

p

故由八（久）的單調性，只要證明以石）>八（%1）=似久2）,

即（看）2一（,pin（套）一始+看In久2>o,整理得in久2—苧”〉0.

N//%2十e

設r（x）=In%-（久>8），則r'O）=,：］：芯>0.

從而r（x）在x>8時單調遞增，所以「（到）>「（便）=|■一品=0，從而久i%2<e成立、

故電+d，2<—1成立，證畢.

19?【答案】（1）依題可知，X的可能取值為0,2,4.

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1Q1111

P(x=0)=Ci