2025屆山東省恒臺(tái)第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2025屆山東省恒臺(tái)第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．兩圓與的公切線(xiàn)有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條2．某機(jī)構(gòu)通過(guò)抽樣調(diào)查，利用列聯(lián)表和統(tǒng)計(jì)量研究患肺病是否與吸煙有關(guān)，計(jì)算得，經(jīng)查對(duì)臨界值表知，，現(xiàn)給出四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A.因?yàn)?，故?0%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)"B.因?yàn)?，故?5%把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”C.因?yàn)?，故?0%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無(wú)關(guān)”D.因?yàn)?，故?5%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無(wú)關(guān)”3．已知公差不為0的等差數(shù)列中，（m，），則mn的最大值為（）A.6 B.12C.36 D.484．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.5．如圖，四棱錐的底面是矩形，設(shè)，，，是棱上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.6．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．（文科）已知點(diǎn)為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),為圓上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值是A.3 B.5C. D.8．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.9．在直三棱柱中，，，則直線(xiàn)與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°10．若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.11．“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn).如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個(gè)數(shù)是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.5612．已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn),F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),則點(diǎn)M到F的距離等于()A.6 B.5C.4 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是______.14．觀察式子：，，，由此歸納，可猜測(cè)一般性的結(jié)論為_(kāi)_____.15．如圖，已知與所在平面垂直，且，，，點(diǎn)P、Q分別在線(xiàn)段BD、CD上，沿直線(xiàn)PQ將向上翻折，使D與A重合．則直線(xiàn)AP與平面ACQ所成角的正弦值為_(kāi)_____16．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為直線(xiàn)l，則l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn).（1）判斷點(diǎn)是否在拋物線(xiàn)上，并說(shuō)明理由；（2）過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，……，以此類(lèi)推，得到數(shù)列，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式.18．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，已知圓的直徑，定直線(xiàn)到圓心的距離為，且直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，點(diǎn)是圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)、分別交與、兩點(diǎn)（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程；（2）若，求以為直徑的圓方程；（3）當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)AB和DE，其中A，B，D，E都在橢圓上，求的取值范圍.20．（12分）2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動(dòng)，老師們立即開(kāi)展了線(xiàn)上教學(xué)．某中學(xué)為了解教學(xué)效果，于11月30日復(fù)課第一天安排了測(cè)試，數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級(jí)學(xué)生這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)與每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)在校高二學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查，了解到其中有25人每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)，并得到如下的統(tǒng)計(jì)圖：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖填寫(xiě)下面列聯(lián)表，是否有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績(jī)與其每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)有關(guān)”；數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分?jǐn)?shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分總計(jì)每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)25每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)總計(jì)45（2）從被抽查的，且這次數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的學(xué)生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再?gòu)倪@5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的概率附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，圓：過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)22．（10分）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上位于第二象限的任一點(diǎn)，直線(xiàn)l是的外角平分線(xiàn)，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線(xiàn)，垂足為N，延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)M，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T在線(xiàn)段AB上，且，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，根據(jù)圓圓的位置關(guān)系的判定方法，得出兩圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓，可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓外離，所以?xún)蓤A共有4條切線(xiàn).故選：D.2、A【解析】根據(jù)給定條件利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)直接判斷作答.【詳解】因，且，由臨界值表知，，，所以有90%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”，則A正確，C不正確；.因臨界值3.841>3.305，則不能確定有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”，也不能確定有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無(wú)關(guān)”，即B，D都不正確.故選：A3、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再應(yīng)用基本不等式求mn的最大值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)及等差數(shù)列的性質(zhì)知：，又m，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以mn的最大值為.故選：C4、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：B5、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理求解【詳解】由已知故選：B6、C【解析】設(shè)，用表示出，求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以當(dāng)λ＝時(shí)，取得最小值，此時(shí)＝＝，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C7、A【解析】數(shù)形結(jié)合分析可得,當(dāng)時(shí)能夠取得的最小值,根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離減去半徑求解即可.【詳解】由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),可知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),結(jié)合圖象可知當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)能使點(diǎn)到圓心的距離最小,最小為4,從而的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩動(dòng)點(diǎn)間距離的最值問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.8、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據(jù)復(fù)合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因?yàn)椋拭}是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)合命題的真假判斷有如下規(guī)律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.9、B【解析】根據(jù)三棱柱的特征補(bǔ)全為正方體，則，為直線(xiàn)與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的特征，補(bǔ)全可得如圖所示的正方體，易知，為直線(xiàn)與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線(xiàn)與所成角的大小為.故選：B10、D【解析】由題意設(shè)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用焦點(diǎn)為建立，解方程即可.【詳解】由題意，設(shè)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D11、B【解析】由題意知第8行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，可得第8行，第3個(gè)數(shù)是為，即可求解【詳解】解：由題意知第8行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，故第8行，第3個(gè)數(shù)是為故選：B12、B【解析】先求出,再利用焦半徑公式即可獲解.【詳解】由題意，,解得所以故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，結(jié)合已知不等式恒成立，即可確定的范圍.【詳解】令，則且，若得：；若得：；所以在上遞增，在上遞減，故，要使在上恒成立，即.故答案為：.14、【解析】根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論【詳解】解：觀察可以發(fā)現(xiàn)，第個(gè)不等式左端有項(xiàng)，分子為1，分母依次為，，，，；右端分母為，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第個(gè)不等式（）故答案為：（）15、##【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求出，再由空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，如圖以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，由，即，解得，所以，故，設(shè)為平面ACQ的一個(gè)法向量，因?yàn)?，，由，即，所以，設(shè)直線(xiàn)AP與平面ACQ所成角為，則.故答案為：16、【解析】先求出切線(xiàn)方程，分別得到直線(xiàn)與x、y軸交點(diǎn)，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數(shù)可得：函數(shù)，所以，.所以切線(xiàn)l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）在拋物線(xiàn)上，理由見(jiàn)解析（2）,,.【解析】（1）根據(jù)直線(xiàn)的方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷點(diǎn)是否在拋物線(xiàn)上；（2）設(shè)出直線(xiàn)的直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，令，即可求出，同理可以求出，設(shè)出直線(xiàn)的直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，令即可求出的方程，若令，，即，故數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)1詳解】由已知條件得直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，由直線(xiàn)的方程為可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿(mǎn)足拋物線(xiàn)，則點(diǎn)是否在拋物線(xiàn)上；【小問(wèn)2詳解】設(shè)的直線(xiàn)方程為，將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立得，，解得，的直線(xiàn)方程為，則，即，由此可知，設(shè)的直線(xiàn)方程為，將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立得，，解得，的直線(xiàn)方程為，則，即，由此可知設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)方程為，將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立得，，其中，即，，解得，直線(xiàn)的方程為，即，令得，即直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程也可以表示為，即，令，，即，則，即數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故.18、（1）或（2）（3）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】（1）對(duì)所求直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，在所求直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證直線(xiàn)與圓相切；在所求直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于的等式，求出的值，綜合可得出所求直線(xiàn)的方程；（2）分點(diǎn)在軸上方、點(diǎn)在軸下方兩種情況討論，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出所求圓的圓心坐標(biāo)和半徑，即可得出所求圓的方程；（3）設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以線(xiàn)段為直徑的圓的方程，并化簡(jiǎn)圓的方程，可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】解：易知圓的方程為，圓心為原點(diǎn)，半徑為，若所求直線(xiàn)的斜率不存在，則所求直線(xiàn)的方程為，此時(shí)直線(xiàn)與圓相切，合乎題意，若所求直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，即，由已知可得，解得，此時(shí)所求直線(xiàn)的方程為.綜上所述，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程為或.【小問(wèn)2詳解】解：易知直線(xiàn)的方程為，、，若點(diǎn)在軸上方，則直線(xiàn)的方程為，在直線(xiàn)的方程中，令，可得，即點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，在直線(xiàn)的方程中，令，可得，即點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，且，此時(shí)，所求圓的方程為；若點(diǎn)在軸下方，同理可求得所求圓的方程為.綜上所述，以為直徑的圓方程為.【小問(wèn)3詳解】解：不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中，在直線(xiàn)的方程中，令，可得，即點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t直線(xiàn)的方程為，在直線(xiàn)的方程中，令，可得，即點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)為，，所以，以線(xiàn)段為直徑的圓的方程為，即，由，解得，因此，當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的定點(diǎn).19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，及經(jīng)過(guò)點(diǎn)建立等式可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，計(jì)算與后再求范圍即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知的離心率為，整理得，又因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，因此，的方程為.小問(wèn)2詳解】由已知可得，當(dāng)直線(xiàn)AB或DE有一條的斜率不存在時(shí)，可得，或，，此時(shí)有或.當(dāng)AB和DE的斜率都存在時(shí)且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，，，，由得，所以，，所以，用替換可得.所以，綜上所述，的取值范圍為.20、（1）表格見(jiàn)解析，有（2）【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算填表即可；（2）根據(jù)古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得：每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分的有人，每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的有人，每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分的有人，每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的有人，可得列聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分?jǐn)?shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分總計(jì)每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)151025每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)51520總計(jì)202545根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，所以有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績(jī)與其每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)有關(guān)”【小問(wèn)2詳解】由列聯(lián)表可得，被抽查學(xué)生中這次數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的有25人，其中每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)的有10人，每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的有15人，人數(shù)比為2∶3，按分層抽樣每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)的抽2人，記為：1，2；每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的抽3人，記為：a，b，c.所有可能結(jié)果如下：，共計(jì)10種．設(shè)事件A為“兩名同學(xué)中至多有一名每天在線(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)一小時(shí)”包含這7種可能結(jié)果所