2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之常用邏輯用語

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之常用邏輯用語（2024年7月）

選擇題（共10小題）

1.設(shè)函數(shù)/⑴=cos（x+電，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.f（x）的一個周期為-2H

B.尸八無）的圖象關(guān)于直線尤=詈對稱

C.f（X+Tt）的一個零點為尤=1

7T

D.f（無）在（一，TT）單調(diào)遞減

2

2.設(shè)a€R,則“a>l”是“/>/，的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)x6R,則“/-5尤<0”是“|x-1|<1"的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)命題0：3M￡N,/>2",則-'p為（）

A.VHGN,"2>2〃B.3/iGN,MW2”

C.VM￡N,D.HnGN,n2=2w

5.設(shè)p：實數(shù)x,y滿足x>l且y>l,q：實數(shù)x,y滿足x+y>2,則p是q的（)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.若。>0,b>0,貝ij“a+6W4”是“abW4”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

7.設(shè)aeR,貝lj"a>l”是"/>/，的（）

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分也非必要條件

8.設(shè)X6R,則“丁>8”是“|x|>2"的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

9.設(shè)Q,b是向量，則a\a\=\b\"是a\a+b\=\a-bf的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

10.已知直線/_!_平面a,直線根u平面0,給出下列命題

①a〃0=/_Lm；

②aJ_0=>/〃m；

③/〃m=>a_Lp；

④p.

其中正確命題的序號是（）

A.①②③B.②③④C.①③D.②④

二.填空題（共5小題）

11.a,0是兩個平面，m,〃是兩條直線，有下列四個命題：

①如果M_L〃，m±a,幾〃0,那么a_L0.

②如果m_La,n//a,那么m_L〃.

③如果a〃dmca,那么機〃0.

④如果機〃%a〃由那么m與a所成的角和〃與0所成的角相等.

其中正確的命題是(填序號)

1

12.若“八€邑2],使得2X2-XA+KO成立”是假命題，則實數(shù)A的取值范圍為.

13.關(guān)于函數(shù)/(x)=sinx+焉^有如下四個命題：

①/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.

②于3的圖象關(guān)于原點對稱.

@/(x)的圖象關(guān)于直線對稱.

@f(%)的最小值為2.

其中所有真命題的序號是.

14.設(shè)有下列四個命題：

pi:兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2:過空間中任意三點有且僅有一個平面.

0：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面a,直線根_L平面a,則m_L/.

則下述命題中所有真命題的序號是.

?pi/\p4

②’1Ap2

③[p2vp3

④-'P3V-'p4

15.命題：3xER,/一%+1=0的否定是.

三.解答題(共5小題)

16.設(shè)p：實數(shù)%滿足％2-4以+3〃2<0,q-實數(shù)x滿足|元-31Vl.

(1)若。=1,且pAq為真，求實數(shù)x的取值范圍；

(2)若〃>0且「p是「夕的充分不必要條件，求實數(shù)〃的取值范圍.

17.已知集合AMIHX2-2x-3V0},B={x|(x-m+1)(x-m-1)20}.

(1)當(dāng)m=0時，求AG5；

(2)若p：x2-2x-3<0,q：(x-m+1)(x-m-1)20,且q是p的必要不充分條件，求實數(shù)m的

取值范圍.

18.(I)命題FxoCR,刈2_3QXO+9V0"為假命題，求實數(shù)〃的取值范圍;

(II)若u?+2x-8<0"是"x-m>0"的充分不必要條件，求實數(shù)機的取值范圍.

19.已知命題p：XI和X2是方程X1-mx-2=0的兩個實根，不等式a2-5a-32|xi-x2|對任意實數(shù)mE[-

1,1]恒成立；命題0不等式辦2+2%-1>0有解，若命題p是真命題，命題q是假命題，求〃的取值

范圍.

20.已知〃：x2-7x+10<0,q：x2-4mx+3m2<0,其中機>0.

(1)若機=4,且pAq為真，求工的取值范圍；

(2)若「q是「p的充分不必要條件，求實數(shù)機的取值范圍.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之常用邏輯用語(2024年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.設(shè)函數(shù)無)=cos(x+|),則下列結(jié)論錯誤的是()

A.f(x)的一個周期為-2TT

B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線％=等對稱

C.f(x+n)的一個零點為％=看

71

D.f(尤)在(3，Tt)單調(diào)遞減

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；余弦函數(shù)的圖象.

【專題】函數(shù)思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進行判斷即可.

【解答】解：A.函數(shù)的周期為2E,當(dāng)人=7時，周期T=-2m故A正確，

B.當(dāng)％=母時，cos(x+5)=cos(―+—)=cos/-=cos3n=-1為最小值，此時y=/(x)的圖象

關(guān)于直線x=^對稱，故8正確，

。當(dāng)x=看時，f(―+TC)=cos(―+n+^)=cos—=0,則/(1+ir)的一個零點為冗=?故C正確，

D.當(dāng)囚VvVn時，—<x+^<^,此時函數(shù)/(%)不是單調(diào)函數(shù)，故。錯誤，

2603

故選：D.

【點評】本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)

鍵.

2.設(shè)aeR,則aa>r是“a2〉a”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；簡易邏輯；邏輯推理.

【答案】A

【分析】解得。的范圍，即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：由/>°,解得。<0或。>1,

故。>1”是“4a”的充分不必要條件，

故選：A.

【點評】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.設(shè)xeR,則“/-5x<0”是“|x-1|<1"的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡易邏輯；邏輯推理.

【答案】B

【分析】充分、必要條件的定義結(jié)合不等式的解法可推結(jié)果

【解答】解：：f-5x<0,；.0<尤<5,

VU-1|<1,.\0<x<2,

V0<x<5推不出0cx<2,

0<x<2=>0<x<5,

.-.0<x<5是0<x<2的必要不充分條件，

即/-5x<0是|x-1|<1的必要不充分條件.

故選：B.

【點評】本題考查了充分必要條件，考查解不等式問題，是一道基礎(chǔ)題.

4.設(shè)命題p：3?eN,tr>2n,則-'p為（）

A.VnGN,rr>2nB.3/ieN,

C.VnGN,rr^2nD.3?JGN,*=2"

【考點】存在量詞命題的否定.

【專題】簡易邏輯.

【答案】C

【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得到結(jié)論.

【解答】解：命題的否定是：v”eN,〃2忘2”,

故選：C.

【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ).

5.設(shè)p：實數(shù)x,y滿足了>1且y>l,q：實數(shù)無，y滿足x+y>2,則p是q的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；簡易邏輯.

【答案】A

【分析】由x>l且y>l,可得：x+y>2,反之不成立，例如取x=3,1.

【解答】解：由尤>1且y>l,可得：x+y>2,反之不成立：例如取x=3,y=/

:.p是q的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.若a>0,b>0,則“a+6W4”是“abW4”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯；邏輯推理.

【答案】A

【分析】充分條件和必要條件的定義結(jié)合均值不等式、特值法可得結(jié)果

【解答】解：：a>0,b>0,：.4^a+b^2y[ab,

.,.2>Vab>ab^4,即

1

右〃=4,b=7,貝IJ〃Z?=1W4,

1

但〃+/?=4+彳>4,

即abW4推不出a+bW4,

a+b^4是abW4的充分不必要條件

故選：A.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，均值不等式，考查了推理能力與計算能力.

7.設(shè)aeR,則“a>l”是“/>1”的()

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分也非必要條件

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡易邏輯.

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【解答】解：由/>1得。>1或-1,

即“心1”是“洽>i”的充分不必要條件，

故選：A.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用不等式的關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義

是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

8.設(shè)x€R,則“城>8”是“國>2”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；簡易邏輯.

【答案】A

【分析】由/>8得到|尤|>2,由國>2不一定得到尤3>8,然后結(jié)合查充分條件、必要條件的判定方法

得答案.

【解答】解：由小>8,得尤>2,則|x|>2,

反之，由|x|>2,得x<-2或無>2,

貝ijx3<-8或尤3>8.

即“小>8”是“|x|>2"的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題考查充分條件、必要條件及其判定方法，是基礎(chǔ)題.

9.設(shè)a,匕是向量,則“|。|=網(wǎng)”是9a+b|=|a-b|"的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件與必要條件；平面向量的概念與平面向量的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用；矩陣和變換.

【答案】D

【分析】根據(jù)向量模相等的幾何意義，結(jié)合充要條件的定義，可得答案.

TTT—

【解答】解：若“回=網(wǎng)”，則以a,b為鄰邊的平行四邊形是菱形；

—TTT—

若“|a+b|=|a-勿”，則以a,b為鄰邊的平行四邊形是矩形；

T—TTT-

故“@=網(wǎng)”是“|a+b|=|a—b|"的既不充分也不必要條件；

故選：D.

【點評】本題考查的知識點是充要條件，向量的模，分析出“而=向”與“而+&=向-加,表示的幾

何意義，是解答的關(guān)鍵.

10.己知直線/_L平面a,直線“zu平面0,給出下列命題

①a〃0=/J_%；

m-,

③/〃機=>aJ_0；

④/J_〃z=>a〃p.

其中正確命題的序號是()

A.①②③B.②③④C.①③D.②④

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】綜合題.

【答案】c

【分析】由兩平行平面中的一個和直線垂直，另一個也和平面垂直得直線平面p,再利用面面垂直

的判定可得①為真命題；

當(dāng)直線與平面都和同一平面垂直時，直線與平面可以平行，也可以在平面內(nèi)，故②為假命題；

由兩平行線中的一條和平面垂直，另一條也和平面垂直得直線機，平面a,再利用面面垂直的判定可得

③為真命題；

當(dāng)直線與平面都和同一平面垂直時，直線與平面可以平行，也可以在平面內(nèi)，如果直線機在平面a內(nèi)，

則有a和0相交于m,故④為假命題.

【解答】解：平面a且a〃0可以得到直線八平面0,又由直線”仁平面0,所以有L機；即①為

真命題；

因為直線平面a且a,0可得直線I平行于平面P或在平面P內(nèi)，又由直線平面0,所以/與加，

可以平行，相交，異面；故②為假命題；

因為直線/_L平面a且/〃機可得直線平面a,又由直線“zu平面0可得a_L0；即③為真命題；

由直線平面a以及機可得直線m平行于平面a或在平面a內(nèi)，又由直線mu平面0得a與0可

以平行也可以相交，即④為假命題.

所以真命題為①③.

故選：C.

【點評】本題是對空間中直線和平面以及直線和直線位置關(guān)系的綜合考查.重點考查課本上的公理，定

理以及推論，所以一定要對課本知識掌握熟練，對公理，定理以及推論理解透徹，并會用.

二.填空題（共5小題）

11.a,0是兩個平面，m,“是兩條直線，有下列四個命題：

①如果機_1_”，機_La,九〃0,那么a_L0.

②如果n//a,那么

③如果a〃0,"zua,那么加〃0.

④如果機〃ma〃0,那么相與a所成的角和”與0所成的角相等.

其中正確的命題是②③④（填序號）

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)

系.

【專題】探究型；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系的判定方法及幾何特征,分析判斷各個結(jié)論的真假,可得答案.

【解答】解：①如果機_1_",m±a,w〃仇不能得出a_LB，故錯誤；

②如果"〃a,則存在直線/ua,使/〃/,由可得m那么〃z_L〃.故正確；

③如果a〃B，〃?ua,那么與0無公共點，則ni〃B.故正確

④如果機〃“a//P，那么機，”與a所成的角和機，〃與0所成的角均相等.故正確；

故答案為：②③④

【點評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，難度中檔.

1

12.若“mxeg,2],使得2：-右+1<0成立”是假命題，則實數(shù)人的取值范圍為（-8,2a1.

【考點】存在量詞和存在量詞命題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)“八€與，2],不等式zW-Xx+lCO成立”是假命題，求出“勤[5,2],使得]>2x+《成

立”是假命題時A的最小值，即可求出實數(shù)人的取值范圍.

1

【解答】解：若"八日,2],使得2/-右+1<0成立”是假命題，

即“八曰=,2],使得入>2x+/成立”是假命題，

21

由成62],當(dāng)x=￥時，函數(shù)y=2x+r2Hm=2夜，當(dāng)且僅當(dāng)2x=即戶苧時取“=”，

所以y的最小值為2/；

所以實數(shù)）的取值范圍為（-8,2V2].

故答案為：（-8,2V2].

【點評】本題考查了特稱命題，不等式恒成立問題以及函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題.

1

13.關(guān)于函數(shù)/（x）=sinx+茄法有如下四個命題：

&/Cx）的圖象關(guān)于y軸對稱.

②于3的圖象關(guān)于原點對稱.

③/（X）的圖象關(guān)于直線x=*對稱.

@f（x）的最小值為2.

其中所有真命題的序號是②③.

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，對稱性的判定，對稱軸的求法，逐一判斷即可.

【解答】解：對于①，由sinxT^O可得函數(shù)的定義域為因尤力匕1,左CZ},故定義域關(guān)于原點對稱，由f

11

(-無)=sin(-無)+^-7—r=—siiu：—=—f(x)；

sin{—x)sinxJ

所以該函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，所以①錯②對；

對于③，由/(n-x)=sin(IT-x)+.、=sinx+」-=/(尤),所以該函數(shù)/(x)關(guān)于對稱，

X)SITT%Z

③對；

11

對于④，令片sinx,則生[-1,0)U(0,1],由雙勾函數(shù)g⑺=什下的性質(zhì)，可知，g⑺=/+-￡

(-8,-2]U[2,+8),所以/(x)無最小值，④錯；

故答案為：②③.

【點評】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，奇偶性的判斷，求函數(shù)的對稱軸、值域，屬于基礎(chǔ)題.

14.設(shè)有下列四個命題：

pv.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2:過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3-.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面a,直線機_1_平面a,則m±Z.

則下述命題中所有真命題的序號是①③④.

①pi/\p4

②piAp2

③-772093

④「P3\Z「P4

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】定義法；空間位置關(guān)系與距離；簡易邏輯；邏輯推理.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系對四個命題分別判斷真假即可得到答案.

【解答】解：設(shè)有下列四個命題：

pi:兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).根據(jù)平面的確定定理可得此命題為真命題，

P2-.過空間中任意三點有且僅有一個平面.若三點在一條直線上則有無數(shù)平面，此命題為假命題，

P3:若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行，也有可能異面的情況，此命題為假命題，

P4：若直線仁平面a,直線機，平面a,則機_U.由線面垂直的定義可知，此命題為真命題；

由復(fù)合命題的真假可判斷①為真命題，②"八°2為假命題，③[p2Vp3為真命題，④「P3V「P4

為真命題，

故真命題的序號是：①③④，

故答案為：①③④，

【點評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，難度不大，

屬于基礎(chǔ)題.

15.命題：SxGR,/-尤+1=0的否定是VxeR,7-x+IWO.

【考點】存在量詞命題的否定；存在量詞和存在量詞命題.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結(jié)果即可.

【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，

所以mxCR,/-x+l=0的否定是：VxGR,x2-x+l#0.

故答案為：VxCR,x+lWO.

【點評】本題考查特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，考查基本知識的應(yīng)用.

三.解答題(共5小題)

16.設(shè)p：實數(shù)尤滿足/-4辦+3a2＜o(jì),q：實數(shù)x滿足|尤-3陣1.

(1)若。=1,且pAq為真，求實數(shù)x的取值范圍；

(2)若a＞0且「p是「q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】簡易邏輯.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)若。=1,根據(jù)p/\q為真，則0,q同時為真，即可求實數(shù)x的取值范圍；

(2)根據(jù)「°是「4的充分不必要條件，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(1)由x2-4依+3/＜。得(x-3a)(x-a)＜0

當(dāng)。=1時，1＜尤＜3,即p為真時實數(shù)x的取值范圍是1＜尤＜3.

由|尤-3|V1,M-1<X-3<1,得2cx<4

即q為真時實數(shù)尤的取值范圍是2<尤<4,

若pAq為真，則p真且q真，

，實數(shù)尤的取值范圍是2Vx<3.

(2)由x2-4辦+3。2<0得(x-3a)(x-a)<0,

若「°是「4的充分不必要條件，

則-'p—-'/且-分一'p,

設(shè)4={尤廠0},3={尤|一1?},則A呈2,

又A={x|-'p}={x|xWa或x03a},

B=[x\^q]={x\x^4或無W2},

則0<aW2,且3a24

4

，實數(shù)。的取值范圍是]<a<2.

【點評】本題主要考查復(fù)合命題的真假關(guān)系以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力.

17.已知集合A={4?-2x-3<0},B={x|(x-m+l)(x-m-1)NO}.

(1)當(dāng)機=0時，求ACB；

(2)若p：x2-2x-3<0,q：(x-m+1)(x-m-1)20,且q是p的必要不充分條件，求實數(shù)m的

取值范圍.

【考點】充分條件與必要條件；交集及其運算.

【專題】常規(guī)題型；轉(zhuǎn)化思想.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)分別求出A,B,再根據(jù)集合的交集運算，求出A與8的交集即可；

(2)由于q是p的必要不充分條件，再由判斷充要條件的方法，我們可知再根據(jù)集合關(guān)系求出

U

m的范圍即可.

【解答】解：(1)VA=Mx2-lx-3<0}={x|-l<x<3],???(2分)

B=[x\(x+1)(x-1)20}={小21或T}.…(4分)

：.AQB={x\\^：x<3].…(6分)

(2)由于命題p為：(-1,3),…(7分)

而命題q為：(-8,m-]]U[m+l,4-oo),...(9分)

又q是〃的必要不充分條件，即夕今4，…(10分)

所以m+1-C-1或機-123,解得優(yōu)24或mW-2

即實數(shù)根的取值范圍為：(-8,-2]U[4,+8).…(12分)

【點評】本題考查充分條件、必要條件及充要條件的判斷，同時考查了一元二次不等式的解法，集合的

運算.

由判斷充要條件的方法，我們可知命題“xeA”是命題“x&B”的充分不必要條件，則A力反

U

18.(I)命題"三尤oCR,xo2_3(xro+9<O，'為假命題，求實數(shù)a的取值范圍；

(II)若''7+2尤-8<0”是“尤-小>0”的充分不必要條件，求實數(shù)機的取值范圍.

【考點】存在量詞和存在量詞命題；充分條件與必要條件.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(/)BxoGR,Mi?-3aro+9<O為假命題，等價于VxCR,7-3ar+92O為真命題，利用判別式,

即可確定實數(shù)。的取值范圍；

(〃)根據(jù)一元二次不等式的解法分別求出兩不等式的解集，由“d+2x-8<0”是“x-〃2>0”的充分

不必要條件，可得不等式解集的包含關(guān)系，從而求出機的范圍

【解答】解：(I)：BxoGR,xo?-3axo+9<O為假命題，等價于VxeR,/-3ox+9N0為真命題，

/.A=9a2-4X9W0今-2WaW2,

，實數(shù)a的取值范圍是-2W.W2；

(II)由X2+2X-8co今-4<x<2,

另由尤-加>0,

即x>m,

?；"+2x-8<0”是“x-m>0”的充分不必要條件，

故，〃的取值范圍是機W-4.

【點評】(1)本題借助特稱命題考查二次不等式恒成立問題，解決此類問題要結(jié)合二次函數(shù)的圖象處理.

(〃)本題考查充分條件、必要條件和充要條件，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答.

19.已知命題p：xi和X2是方程/mx-2=0的兩個實根，不等式/-5a-32|xi-尤2|對任意實數(shù)加-

1,口恒成立；命題q：不等式。7+2彳-1>。有解，若命題是真命題，命題q是假命題，求。的取值

范圍.

【考點】四種命題的真假關(guān)系；一元二次不等式及其應(yīng)用.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】本題考查的知識點是命題的真假判定，由命題P：XI和X2是方程/-如-2=0的兩個實根，

不等式/-5a-32|xi-X2|對任意實數(shù)機日-1,U恒成立，我們易求出P是真命題時，。的取值范圍；

由命題q：不等式以2+2尤-有解，我們也易求出q為假命題時的a的取值范圍，再由命題〃是真命

題，命題q是假命題，求出兩個范圍的公共部分，即得答案.

【解答】解：?.,尤1,X2是方程d-wu-ZuO的兩個實根

.(xr+x2=m

U1^2=-2

\xi-X2\=+%2)2—

=Vm2+8

.??當(dāng)機曰-1,1]時，仇1-X2|加a%=3,

由不等式a1-5a-32枕i-%2|對任意實數(shù)mE[-1,■恒成立.

可得：/-5〃-323,或aW-1,

命題p為真命題時或aW-1,

命題分不等式狽2+2%-有解.

①當(dāng)〃>0時，顯然有解.

②當(dāng)a=0時，2%-1〉0有解

③當(dāng)aVO時，???0?+21-1>0有解，

??.A=4+4〃>0,

從而命題q：不等式依2+2工-1>0有解時〃>-1.

又命題9是假命題，

aW-1,

故命題p是真命題且命題q是假命題時，

a的取值范圍為-1.

【點評】若P為真命題時，參數(shù)a的范圍是4則p為假命題時，參數(shù)。的范圍是CRA.這個結(jié)論在命

題的否定中經(jīng)常用到，請同學(xué)們熟練掌握

20.已知p：x2-7x+10<0,q：x2-4mx+3m2<0,其中別>0.

(1)若m=4,且pAq為真，求x的取值范圍；

(2)若「q是「p的充分不必要條件，求實數(shù)機的取值范圍.

【考點】復(fù)合命題及其真假；充分條件與必要條件.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；簡易邏輯.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)分別解出關(guān)于p，q的不等式，根據(jù)pAg為真，p,g都為真，求出x的范圍即可;

(2)由「4是10的充分不必要條件，即其逆否命題為pnq,求出機的范圍即可.

【解答】解(1)由W-7x+10<0,解得2cx<5,所以p：2<x<5；

又/-4妙+37九2<0,因為相>0,解得所以q：m<x<3m.

當(dāng)機=4時，q：4Vx<12,又pAq為真，p,q都為真，所以4cx<5.

(2)由「4是1°的充分不必要條件，即「pW>「q,

其逆否命題為p今q,q^>p,

由（1）/?：2Vx<5,q：m〈x<3m,

fm<2§

所以5,即：-<m<2.

°

【點評】本題考查了充分必要條件，考查復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題.

考點卡片

1.交集及其運算

【知識點的認(rèn)識】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與8的交集，記作AAB.

符號語言：4「12={尤|尤&4,且底8}.

AC2實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.

運算形狀：

①②AC0=0.③④AHBUA,AP\BQB.⑤AnB=AQAUB.⑥AClB=0,兩個

集合沒有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)

合命題.

2.充分條件與必要條件

【知識點的認(rèn)識】

1、判斷：當(dāng)命題“若p則/為真時，可表示為p今q,稱p為q的充分條件，q是p的必要條件.事實上，

與“0今/'等價的逆否命題是“「g今「p”.它的意義是：若q不成立，則p一定不成立.這就是說，q對

于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件.例如：p：x>2；q：x>0.顯然xCp,則xCg.等價于尤Cg,

則xip一定成立.

2、充要條件：如果既有“pnq”，又有“qnp”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是0成立的

充要條件，記作“pcq”.p與q互為充要條件.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一

不可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)

生答題時往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若pnq為真命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若pnq為假命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若p=q為真命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若p=q為假命題且q=p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q

的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)

容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣.

3.存在量詞和存在量詞命題

【知識點的認(rèn)識】

存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞.符號：3

特稱命題：含有存在量詞的命題.符號："十'.

存在量詞：對應(yīng)日常語言中的“存在一個”、“至少有一個”、“有個”、“某個”、“有些”、“有的”等詞，用

符號"于'表示.

特稱命題：含有存在量詞的命題.匕X06M,有p(xo)成立”簡記成“左06〃，p(xo)”.

“存在一個”，“至少有一個”叫做存在量詞.

命題全稱命題VxeM,P(X)特稱命題iroeM,P(無0)

表述方①所有的xeM,使p(%)成立①存在xoeAf,使p(xo)成立

法②對一切xeAf,使p(x)成立②至少有一個無oeM,使p(xo)成立

③對每一個xCM,使。(%)成立③某些xCAL使p(x)成立

④對任給一個尤CM,使p(無)成立④存在某一個xoew,使p(xo)成立

⑤若xeM,則p(尤)成立⑤有一個無oeM,使p(尤o)成立

【解題方法點撥】由于全稱量詞的否定是存在量詞，而存在量詞的否定又是全稱量詞；因此，全稱命題的

否定一定是特稱命題；特稱命題的否定一定是全稱命題.命題的“否定”與一個命題的“否命題”是兩個

不同的概念，對命題的否定是否定命題所作的判斷，而否命題是對“若p則形式的命題而言，既要否

定條件，也要否定結(jié)論.

常見詞語的否定如下表所示:

詞語是一定是都是大于小于

詞語的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于

詞語且必有一個至少有〃個至多有一個所有X成立

詞語的否定或一個也沒有至多有"T個至少有兩個存在一個X不成立

【命題方向】本考點通常與全稱命題的否定，多以小題出現(xiàn)在填空題，選擇題中.

4.存在量詞命題的否定

【知識點的認(rèn)識】

一般地，對于含有一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論：

特稱命題p：BXOEM,p（X0）它的否命題rp：VxGM,rp（x）.

【解題方法點撥】

寫特稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將存在量詞換為全稱量詞，即將“存在”改為“任意”；（2）

將結(jié)論否定，比如將“〉”改為“W”.值得注意的是，特稱命題的否定的全稱命題.

【命題方向】

這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn).難度一般不大，從考查的數(shù)學(xué)知識上看,

能涉及高中數(shù)學(xué)的全部知識.

5.四種命題的真假關(guān)系

【知識點的認(rèn)識】

四種命題的間的關(guān)系：

二.四種命題間的真假關(guān)系

（一）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

（二）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.

原命題互為逆命題逆命題

若p.則g若義則P

互為否命題互為否命題

否命題互為送命題逆否命題

若非R則非g若非。.則非。

【解題方法點撥】

“正難則反”是數(shù)學(xué)解題中一種轉(zhuǎn)化的方式，將判斷一個命題的真假的問題轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真

假就是這種技巧的一個方面的運用，對于有些命題，轉(zhuǎn)化為與其真假性相同的逆否命題來證可大大簡化判

斷過程降低判斷難度，如：“若號2或戶3,則無+戶5”這個命題的判斷，正面不易判斷，而其逆否命題

為“若無+y=5,貝U尤=2且y=3"，容易判斷此命題是一個假命題.

【命題方向】

命題的真假判斷是本考點中試題的考察重點，對于原命題情況較復(fù)雜，真假不易判斷的命題，常常轉(zhuǎn)化為

判斷它的逆否命題的真假，這是對四種命題真假關(guān)系考察的主要方式.

6.復(fù)合命題及其真假

【知識點的認(rèn)識】

含有邏輯連接詞“或”“且”“非”的命題不一定是復(fù)合命題.若此命題的真假滿足真值表，就是復(fù)合

命題，否則就是簡單命題.邏輯中的''或”“且”“非”與日常用語中的“或”“且”“非”含義不盡相同.判

斷復(fù)合命題的真假要根據(jù)真值表來判定.【解題方法點撥】

能判斷真假的、陳述句、反詰疑問句都是命題，而不能判斷真假的陳述句、疑問句以及祈使句都不是

命題.能判斷真假的不等式、集合運算式也是命題.寫命題尸的否定形式，不能一概在關(guān)鍵詞前、力口“不”，

而要搞清一個命題研究的對象是個體還是全體，如果研究的對象是個體，只須將“是”改成“不是”，將

“不是”改成“是”即可.如果命題研究的對象不是一個個體，就不能簡單地將“是”改成“不是”，將

“不是”改成“是"，而要分清命題是全稱命題還是存在性命題（所謂全稱命題是指含有“所有”“全部”

“任意”這一類全稱量訶的命題；所謂存在性命題是指含有“某些”“某個”“至少有一個”這一類存在性

量詞的命題，全稱命題的否定形式是存在性命題，存在性命題的否定形式是全稱命題.因此，在表述一個

命題的否定形式的時候，不僅“是”與“不是”要發(fā)生變化，有關(guān)命題的關(guān)鍵詞也應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，常

見關(guān)鍵詞及其否定形式附表如下：

關(guān)等大小至至I至I至任任

鍵于于于是能都沒多少少多兩PP

詞(=)(>)(<)是有有有有有的個且或

■一

nnQQ

個個個個

否不不不不至至一至至某rPrP

定等大小不不都少少個多少某兩或且

詞于于于是能是有有都有有個個「2「0

(#)(<)（三）一兩沒n-1〃+1

個個有個個

若原命題尸為真，貝卜尸必定為假，但否命題可真可假，與原命題的真假無關(guān)，否命題與逆命題是等價命

題，同真同假.

7.命題的真假判斷與應(yīng)用

【知識點的認(rèn)識】

判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、〃及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)

合命題的真假.

注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程尤2-2尤+1=0的兩根都不是實根”，因為“都

是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分.

【解題方法點撥】

1.判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由

真值表得出復(fù)合命題的真假.

2.判斷一個“若p則/形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”,則“若p

則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可.

3.判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同

真同假這一關(guān)系進行轉(zhuǎn)化判斷.

【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題

形式出現(xiàn).

8.一元二次不等式及其應(yīng)用

【知識點的認(rèn)識】

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+c>G

或ax1+bx+c<0(a不等于0)其中以2+區(qū)+(?是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式.

特征

當(dāng)△=//-4<?c>0時，

一元二次方程ax2+6x+c=0有兩個實根，那么a/+6x+c可寫成a(x-xi)(x-X2)

當(dāng)△=%2-4ac—0時，

一元二次方程ax2+bx+c=0僅有一個實根，那么(u2+bx+c可寫成0(%-xi)2.

當(dāng)△=i>2-4ac<0時.

一元二次方程ax1+bx+c=0沒有實根，那么aj^+bx+c與x軸沒有交點.

【解題方法點撥】

例1：一元二次不等式/<x+6的解集為.

解：原不等式可變形為(尤-3)(x+2)<0

所以，-2<x<3

故答案為：(-2,3).

這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成"2+bx+c<0的形式；然后應(yīng)用了特征

當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解.

【命題方向】

①一元二次不等式恒成立問題：

一元二次不等式a^+bx+cX)的解集是R的等價條件是：a>0且△<()；一元二次不等式ajT+bx+c<0的

解集是R的等價條件是：。<0且△<().

②分式不等式問題：

~~>。=/(x)?g(x)>0；

。(久)

\?<0^f（尤）?g（x）<0；

g（久）

f（x）c/（x）-g（x）>0

g⑶UW*0

f（x）vnJf（久）-g。）＜0

。㈤U（x）豐0^

9.余弦函數(shù)的圖象

【知識點的認(rèn)識】

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖象

-,1