2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：圓的相關(guān)性質(zhì)及計算證明（34題）解析版

專題18圓的相關(guān)性質(zhì)及計算證明（34題）

一、單選題

1.（2024.江蘇無錫.中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3,母線長為4,則圓錐的側(cè)面積為（）

A.6兀B.12nC.157rD.24兀

【答案】B

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積展開圖公式，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐的側(cè)面積的計算公式：圓錐的側(cè)面

積萬X底面半徑X母線長.

【詳解】解：5惻==;rx3x4=12萬，

故選：B.

2.（2024?甘肅?中考真題）如圖，點A,B,C在。上，ACYOB,垂足為D若NA=35。，則/C的度

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】A

【分析】根據(jù)4=35°得到NO=70°,根據(jù)AC±OB得到NCDO=90°，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，

計算即可.

本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】VZA=35°,

NO=70。，

ACLOB,

"DO=90。，

ZC=90°-ZO=20°.

故選A.

3.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在,：。中，弦的長為8,圓心。到A3的距離OE=4,貝1|<O的半

徑長為（）

B,472C.5D.572

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據(jù)垂徑定理得到AE,再根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：：在［O中，弦A8的長為8,圓心。到的距離OE=4,

AOE±AB,AE=-AB=4,

2

在RtZXAOE中，OA=>JOE2+AE2=A/42+42=472，

故選：B.

4.（2024.山東泰安?中考真題）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓O'的一個直徑端點與半圓。的

圓心重合，若半圓的半徑為2,則陰影部分的面積是（）

C.2萬-百D.-p--

33'4

【答案】A

【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用等知識點，熟練掌握扇形的面

積公式是關(guān)鍵.

如圖：連接OAAO',作于點8,得三角形是等邊三角形，求出

AB=-s/3,S弓形A。，=S扇形A。。,一SAOO.=-A/3,再根據(jù)S陰影=S弓/人。,+S扇形皿。，即可解答.

【詳解】解：如圖：連接OAAO',作ABLOO,于點B,

OA=OO'=AOf=2,

：.三角形AOO'是等邊三角形，

ZAOO'=60°,OB=-OO'=1,

2

,?AB=\22—I2=

S弓形AO,=S扇形AO0,—S,

A00嗤Lx職

,'S陰影=S弓形AO,+S扇形A0,0=---J3+—=--6.

故選：A.

5.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，在扇形AOB中，NAO5=80。，半徑Q4=3,C是AB上一點，連

接。C,。是OC上一點，且OD=DC,連接80.若B9L0C,則AC的長為（）

71—兀一兀一

A.-B.-C.-D.兀

632

【答案】B

【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接BC,根據(jù)OD=OC,

BD1OC,易證△03C是等腰三角形，再根據(jù)O5=OC,推出△O5C是等邊三角形，得到N5OC=60。，

即可求出NAOC=20。，再根據(jù)弧長公式計算即可.

;.OB=BC,

??.△oec是等腰三角形,

OB=OC,

OB=OC=BC,

△QBC是等邊三角形,

=60°,

=80°,

ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

0A=3,

20x3兀7i

AC=

1803

故選：B.

6.（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDE尸內(nèi)接于<O,則它的內(nèi)切圓半徑為（）

A.1B.2C.垃D.73

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；

連接。4,OF,作OG_LA尸于G,證明AO尸是等邊三角形，可得/G=gaF=l,然后利用勾股定理求

出OG即可.

【詳解】解：如圖，連接Q4,OF,作。GLA產(chǎn)于G,

VOF=OA,ZAOF=360°x-=60°,

6

AO/7是等邊三角形，

OF=OA=AF=2,

VOG1AF,

???FG=-AF=1,

2

,,OG=>/22—I2=A/3）

即它的內(nèi)切圓半徑為百，

故選：D.

7.（2024.四川雅安?中考真題）如圖，。的周長為8%,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O.則Q4B的面積

為（）

A.4B.46C.6D.6石

【答案】B

【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形是正確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及解直角三角形進行計算即可.

【詳解】解：設(shè)半徑為「，由題意得，2夕=既，

解得r=4,

:六邊形4BCDE尸是。的內(nèi)接正六邊形，

"?OA=OB,

：.11Ao5是正三角形，

?*.6MB=60。，

弦AB所對應(yīng)的弦心距為OA-sin60°=—OA=2^，

2

???S△/RX2艮4技

故選：B.

8.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，48是：。的直徑，C,D是O上兩點，54平分/C8。，若？AOD50?,

A.65°B.55°C.50°D.75°

【答案】A

【分析】本題考查圓周角定理、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，先根據(jù)角平分線的定義得到根據(jù)

圓周角定理得到NA5C=NABD,再根據(jù)圓周角定理得到NACB=90。，NABC==；NAO。=25。，

然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：：BA平分ZCBD，

ZABC^ZABD,

,/AB是.。的直徑，？AOD50?,

AZACB=90°,ZABD=^ZAOD=25°,貝i」ZABC=25°,

AZA=180°-ZC-ZABC=180°-90°-25°=65°,

故選：A.

9.（2024?重慶?中考真題）如圖，AB是O的弦，OCLAff交O于點C,點。是O上一點，連接80,

CD.若ND=28。，則/。43的度數(shù)為（）

A.28°B.34°C.56°D.62°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用圓周角定理求出NCOB,根據(jù)等腰三角

形的三線合一性質(zhì)求出NAQ?,等邊對等角然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：；ZD=28。,

?*.NBOC=2ND=56°,

VOC±AB,OA=OB,

：.ZAOB=2ZBOC=112°,Z.OAB=Z.OBA,

ZOAB=1（180°-ZAOB）=34°

故選：B.

10.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，。為A5的中點，C為拱門最高點,

線段8經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若AB=lm,CD=2.5m,則拱門所在圓的半徑為（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【答案】B

【分析】本題考查的是垂徑定理的實際應(yīng)用。勾股定理的應(yīng)用，如圖，連接。4,先證明CDLAB,

AD=BD=0.5,再進一步的利用勾股定理計算即可；

【詳解】解：如圖，連接Q4,

:,。為A3的中點，C為拱門最高點，線段CZ）經(jīng)過拱門所在圓的圓心，AB=lm,

ACD1AB,AD=BD=0.5,

設(shè)拱門所在圓的半徑為廠，

OA=OC=r,ffijCD=2.5m,

OD=2.5-r,

：.r2=0.52+（2.5-r）2,

解得:r=1.3,

.??拱門所在圓的半徑為L3m；

故選B

H.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，/1BC內(nèi)接于BC為。的直徑，AO平分/比1C交：O于。.則

A.72B.73C.272D.273

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數(shù)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識點，合理作輔

助線為解題的關(guān)鍵.

作輔助線如圖，先證明=ZACD+ZABD=180°,從而可以得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，再證明是

等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得結(jié)果.

【詳解】解:如圖，連接30、CD,

是。的直徑，

ZBAC=ZBDC=90°,

,/平分，及1C,

NBAD=NCAD,

?*-BD=DC，

：.BD=CD,

在四邊形ABAC中，ABAC=ZBDC=90°,

：.ZACD+ZABD=180°,

則A,64三點共線，如圖所示

,/由旋轉(zhuǎn)可知ZADB=ZADC,AD=AD

：.ZADA=ZADB+ABDA=ZADC+ZBDA=ZBDC=90°,

：.在等腰直角三角形A'DA中，sinZA,=sin45°=—=—,

AA'2

.A4'AB+AC=^2.

ADAD

故選：A

二、多選題

12.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，。是一MC的外接圓，AO//BC,連接CO并延長交r。于點O.分

別以點A,C為圓心，以大于!AC的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點直線。M交BC于點E,

2

連接下列結(jié)論一定正確的是（）

D

AB=ADB.AB=OE

ZAOD=ZBACD.四邊形AOC￡為菱形

【答案】ABD

【分析】本題主要考查圓的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的性質(zhì)以及菱形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形的判定定理證明NOC4=NACE,證明OC=CE=Q4即可證明四邊形AOC石為菱

形，再根據(jù)圓周角定理進行判定即可.

【詳解】解：令A(yù)COE交于點廠,

由題意得：?！晔茿C的垂直平分線,

:.EA=EC

AO=OC

「.△AO石且△COE

:.ZAOE=ZCOE

OF=OF,AO=AO

..AOF冬COF

:,ZOAF=ZOCF

AO//BC,

ZOAF=ZACE

,\ZOCA=ZACE

AB=AD^選項A正確；

ZOCF=ZECF,/OFC=/EFC=90°,CF=CF

:.EFC空OFC

.\OC=CE=OA

AO//EC

故四邊形AOC石為菱形，選項D正確；

AB=AD

:.AB=AD

四邊形AOCE為菱形，，AE=OC=OD

，四邊形AEOD為平行四邊形，

:.AD=OE

:.AB=OE,選項B正確；

ZAOD=ZOAE,故選項C錯誤；

故選ABD.

三、填空題

13.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，48是。的直徑，8是，。的弦，連接AD、BC、BD.若N3CD=20。,

WJZABD=

【答案】70

【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角，結(jié)合三角形的內(nèi)

角和定理，進行求解即可.

【詳解】解：：A3是（O的直徑，BD=BD，/fiCD=20。，

ZADB=90°,ZA=/BCD=20°,

ZASD=90?！?0°=70°；

故答案為：70.

14.（2024?內(nèi)蒙古通遼.中考真題）如圖，為便于研究圓錐與扇形的關(guān)系，小方同學(xué)利用扇形紙片恰好圍成

一個底面半徑為5cm,母線長為12cm的圓雉的側(cè)面，那么這個扇形紙片的面積是cm2（結(jié)果用含兀

的式子表示）.

【答案】60下

【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積的計算，圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開扇形的弧長，再利用扇形的面

積公式計算即可.

【詳解】解：???底面半徑為5cm,

圓錐底面圓的周長為2萬x5=10兀（cm）,

即扇形紙片的弧長為10乃cm,

?母線長為12cm,

圓錐的側(cè)面積1X12X10TT=60萬（cm?）.

故答案為：60%

15.（2024?湖南長沙?中考真題）半徑為4,圓心角為90。的扇形的面積為（結(jié)果保留兀）.

【答案】4兀

【分析】本題考查扇形的面積公式，根據(jù)扇形的面積公式5=吧二（”為圓心角的度數(shù)，廠為半徑）求解即

360

可.

【詳解】解：由題意，半徑為4,圓心角為90。的扇形的面積為駟把=4無，

360

故答案為：47r.

16.（2024?甘肅蘭州?中考真題）“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應(yīng)用，

圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅(qū)動部分的示意圖，其中M,eN的半徑分別是1cm和

10cm,當(dāng)M順時針轉(zhuǎn)動3周時，eN上的點P隨之旋轉(zhuǎn)臚，貝獷=.

【答案】108

【分析】本題主要考查了求弧長.先求出點P移動的距離，再根據(jù)弧長公式計算，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：點P移動的距離為3x2萬xl=6萬cm,

.〃°x%xl0

..--------------------=O7T,

180

解得：n=108.

故答案為：108

17.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，ABC是。的內(nèi)接三角形，ZC=40°,連接04OB,貝=

【答案】50

【分析】本題考查主要考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)圓周角定理計算

出NAO6=2NC=80。，再根據(jù)等邊對等角得出=最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求出

ZOAB.

【詳解】解：ZC=40°,

ZAOB=2ZC=80°,

OA=OB,

ZOAB^ZOBA,

NOAB+ZOBA+ZAOB=180°,

NOAB=1(180°-ZAOB)=1x(180°-80°)=50°,

故答案為：50.

18.(2024?江蘇連云港?中考真題)如圖，A5是圓的直徑，N1、/2、/3、/4的頂點均在上方的圓弧

上，Nl、N4的一邊分別經(jīng)過點A、B,則/1+/2+/3+/4=°.

【答案】90

【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)半圓的度數(shù)為180。，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行求解即

可.

【詳解】是圓的直徑，

43所對的弧是半圓，所對圓心角的度數(shù)為180。，

,/Zl,N2、/3、N4所對的弧的和為半圓，

Z1+Z2+Z3+Z4=-x180°=90°,

故答案為：90.

19.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2.以點A為圓心，AO長為半徑

作弧交于點E,再以48為直徑作半圓，與DE交于點尸，則圖中陰影部分的面積為.

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法

求陰影部分的面積.

設(shè)弓形4nF,連接AF,FE,由題意知AE=AF=FE=2,即"FE■為等邊三角形，ZFAE=ZFEA=60°,

即可得出陰影部分面積為$陰=S半圓一S扇形小E-S弓粉笳，代入數(shù)值即可求出結(jié)果.

【詳解】解：,以點A為圓心，AD長為半徑作弧交于點E,AB=4,AD=2,

?*.AE=AD=BE=2,

.??以AB為直徑作半圓時，圓心為點E,

設(shè)弓形AmP,連接AF,FE,AE=AF=FE=2,如圖：

AAFE為等邊三角形,

ZFAE=ZFEA=60°,

故陰影部分面積為5陰=S半圓一S扇形OFE-S弓形A冽尸,

代入數(shù)值可得廝=；x2x2兀-22=y/i+—TI

360136043

故答案為V3+—71.

20.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出:

作等邊三角形A3C；分別以點A,B,。為圓心，以A3的長為半徑作BC，AC，AB-三段弧所圍成的

圖形就是一個曲邊三角形.若該“萊洛三角形''的周長為3兀，則它的面積是.

2

【分析】本題考查了弧長的計算，扇形面積的計算，三角函數(shù)的應(yīng)用，曲邊三角形是由三段弧組成，如果

周長為3兀，則其中的一段弧長就是兀，所以根據(jù)弧長公式可得AB=AC=5C=3,即正三角形的邊長為3.那

么曲邊三角形的面積=三角形的面積十三個弓形的面積，從而可得答案.

【詳解】解：曲邊三角形的周長為3兀，ABC為等邊三角形,

AB=BC=AC,AB=BC=AC,ZABC=60°,

60兀-AB3兀

-----------=----=71,

1803

.-.AB=BC=AC=3,

19J3

sARC=_ABBC-sinZABC=,

ABC24

._60TTX32_3^9A/3

??J弓形AB-D扇形045dABC~2gQ-？4，

心、上一立.弘hr且973,f3^-9石19K-9A/3

曲邊二角形的面積為：丁一+3x—--二--

4124J2

故答案為：9萬+班.

2

21.（2024.重慶?中考真題）如圖，48是二O的直徑，3C是.Q的切線，點8為切點.連接AC交（0于

點。，點E是。上一點，連接BE,DE,過點A作AF〃朝交3。的延長線于點若BC=5,CD=3,

ZF=ZADE,則A8的長度是；OF的長度是

【分析】由直徑所對的圓周角是直角得到/AD3=/BDC=90。，根據(jù)勾股定理求出5。=4,則

cosC=Cg==,由切線的性質(zhì)得到NABC=90。，則可證明NC=/AB。，解直角三角形即可求出

BC5

BD20

AB=——二^二=；連接AE，由平行線的性質(zhì)得到4L4F=NAB石，再由々=NM)￡，ZADE=ZABE,

cosZABD3

2Q20Q

推出NF=NB4F,得到==則OF=BF-8。=§-4=§.

【詳解】解：：A3是CO的直徑，

Z.ZADB=ZSDC=90°,

在Rt3DC中，由勾股定理得比）=J3C2_CE>2=4,

.「CD3

??cosC==—,

BC5

〈BC是。的切線，

???ZABC=90°,

NC+NCBD=NCBD+NABD=90。,

??.Z.C=ZABD,

—BD420

,.AB----------=—二—

在RtAABZ）中，cosNABD33；

5

如圖所示，連接A￡,

；?ZBAF=ZABE,

?；ZF=ZADE,ZADE=ZABE,

.，.ZF=ZBAF,

20Q

DF=BF-BD=——4=—；

33

,,/必一—y,208

故答案為：-；—.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，解

直角三角形，等腰三角形的判定等等，證明NF=44F是解題的關(guān)鍵.

22.（2024.山東?中考真題）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，若。4〃CB,NACB=25。，則/C4B=

【答案】40。/40度

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，利用圓周角定理求出

/A03的度數(shù)，利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求出/。4c的

度數(shù)，即可求解.

【詳解】解：連接。3,

ZAOB=2ZACB=50°,

OA=OB,

ZOAB=ZOBA=)(180。-ZAOB)=65°,

'：OA//CB,

ZYMC=ZAC3=25°,

ZCAB=ZOAB-ZOAC=40°,

故答案為：40°.

23.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，是。的直徑，是一。的切線，點C為。上任意一點，點

。為AC的中點，連接8。交AC于點E,延長8。與AH相交于點E，若止=1,tanB=1,則AE的長

為.

【答案】75

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是

解題關(guān)鍵.

先證=可得DATs。朋從而得到竺=d2=tan2=^,求得4）=2,再運用勾股定理可

ADBD2

得人尸=有，再根據(jù)圓周角定理以及角的和差可得NAED=NAFD,最后根據(jù)等角對等邊即可解答.

【詳解】解：〈AB是。的直徑,

???ZADB=90°,

???AH是。的切線，

：.ZBAF=90°,

：./DAF=ZABD=90?！?DAB,

:.二DAFs,DBA,

.DFAD八1

??----=-tanB=一,

ADBD2

*.*DF=1,

:.AD=2,

：.AF=y[5,

:點。為AC的中點,

AD=CD

ZABD=ZDAC=ZDAF,

；ZADE=ZADF=90。,

：.90°-ZDAE=90°-ZDAF,ZAED=ZAFD,

?*.AE=AF=y[5.

故答案為：卮

24.（2024.四川巴中?中考真題）如圖，四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形，若四邊形。48c為菱形，則上WC

的度數(shù)是.

【答案】60°

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到NAOC=NABC,根據(jù)圓周角定理得到根據(jù)圓內(nèi)接四邊

形的性質(zhì)得到NADC+NA8C=180。，計算即可.

【詳解】解：：四邊形0ABe為菱形，

ZAOC=ZABC,

由圓周角定理得：ZADC=|ZAOC,

四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，

ZADC+ZABC=1SO°,

：.ZADC+2ZADC=180°,解得：ZADC=60°,

故答案為：60°.

【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、菱形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是

解題的關(guān)鍵.

25.（2024.重慶?中考真題）如圖，以AB為直徑的，；O與AC相切于點A,以AC為邊作平行四邊形ACDE,

點。、E均在。上，OE與交于點尸，連接CE,與I。交于點G,連接。G.若A8=10,OE=8,則

AF=.DG=.

【答案】8喑/||相

【分析】連接。。并延長，交G。于點連接GH,設(shè)CE、AB交于點M,根據(jù)四邊形ACDE為平行四

邊形，得出龍〃47,AC=DE=8,證明至，。石，根據(jù)垂徑定理得出。/=功=,。后=4,根據(jù)勾股

2

---------------FFFM

定理得出0尸=，002_°b2=3,求出AF=Q4+Qb=5+3=8；證明..石7小公。C4M,得出一=——

ACAM

求出產(chǎn)M=|,根據(jù)勾股定理得出EM二歷。麗7='42+[|]=*1,證明一ER0s"GO,得出

FM_EM求出它誓

DG-DH

【詳解】解：連接。0并延長，交。于點“，連接GH,設(shè)CE、A5交于點M,如圖所示:

??,以A3為直徑的一。與AC相切于點A,

：.AB.LACf

：.ZC4B=90°,

,/四邊形ACDE為平行四邊形,

?**DE//AC,AC=DE=8,

JZBFD=ZCAB=90°,

：?AB工DE,

：.DF=EF=-DE=4,

2

9：AB=1Q,

：.DO=BO=AO=-AB=5,

2

-0F=y10D2-DF2=3,

???AF=Q4+。尸=5+3=8；

DE//AC,

???EFMs^CAM,

.EFFM

，9~AC~~AM

.4_FM

,?飛―AF—FM

即？4=FM

88—FM

Q

解得：FM=-,

*.EM=ylEF2+FM2=J42+=￥^，

??DH為直徑,

??NDGH=900,

??/DGH=/EFM,

.*DG=DG,

??/DEG=/DHG,

??EFMsHGD,

.FMEM

'?京一而'

84713

即§二3

DG~10

解得：OG;普

故答案為：8；型巫

13

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，三角形相

似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法.

四、解答題

26.（2024?四川南充?中考真題）如圖，在中，AB是直徑，AE是弦，點F是瀝上一點，AF=BE,AE,BF

交于點C,點D為所延長線上一點，且NG4Z）=NCZM.

⑴求證：AD是：。的切線.

（2^BE=4,AD=2#,求,：。的半徑長.

【答案】（1）見解析

⑵2百

【分析】本題考查圓周角定理，切線的判定，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵:

（1）圓周角定理推出=石，根據(jù)NC4O=NS4,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，推出

NB4E+NC40=9O。，即N3AO=90。,即可得證；

（2）連接AF,易得AF=BE=4,直徑得到NATO=90。,在Rt仞尸中，勾股定理求出。方的長，三角函

數(shù)求出AB的長即可.

【詳解】（1）證明：AF=BE

:.AF=BE,

.\ZABF=ZBAE.

ACAD=/CDA,ZADC+ZABF+/BAE+ACAD=180。，

:.ZBAE+ZCAD=90°.

即/BAD=90。，

.\AD±AB.

又???。4為半徑，

是。的切線.

(2)解：連接AF.

BE=4

：.AF=BE=4.

AB是直徑，

s.ZAFB=90°,

:.ZAFD=90°.

在RtAPb中，OF=yjAD2-AF2=2-

八ABAF

tanD=----=-----,

ADDF

AB_4

,,*r

AB=4A/5.

又AB是直徑

。的半徑長為26.

27.(2024?遼寧?中考真題)如圖，.)0是ABC的外接圓，是：。的直徑，點。在8C上，AC=BD，

E在A4的延長線上，ZCEA=ACAD.

(1)如圖1,求證：CE是：。的切線；

(2)如圖2,若NCEA=2ZDAB,0A=8,求BO的長.

【答案】(1)見詳解

(2)2萬

【分析】(1)連接CO,貝=故N3=/1+/2=2N2,由AC=BD，得至U/4=N2,而ZACB=90。,

貝I]/CW+2/2=90。，由NCE4=NC4D,得NCE4+2/2=90°,因止匕/CE4+/3=90°,故NECO=90。,

則CE是O的切線;

90°

(2)連接C。,。。，可得N3=2N2=2/4=NCE4,則/3=/C￡A=y=45。，故/4=22.5°,由BD=BD，

得/">3=2/4=45。，那么長為竺篙”=2%.

lol)

【詳解】(1)證明：連接CO,

,:OC=OB,

AZ1=Z2,

??.N3=N1+N2=2N2,

AC=BD，

???N4=N2,

???4?為直徑，

JZACB=90°,

：.ZC4Z)+Z4+Z2=90°,即NC4D+2/2=90。,

ZCEA=ZCAD,

：.NCE4+2/2=90。,

???NCE4+N3=90。，

???NECO=90。，

???OC.LCE,

???C￡是。的切線；

(2)解：連接CO,DO,

由⑴得N3=2N2=2N4,

ACEA=2^DAB,

JNCEA=N3,

*：ZECO=90°,

90°

???Z3=ZCEA=—=45°

2f

???N4=22.5。，

;BD=BD，

J"06=2/4=45。，

RD長為：*=2「

【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，弧長公式等，正

確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

28.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，AB是。的直徑，ACD內(nèi)接于IO,CD=DB，AB,CD的延長

線相交于點E,且DE=4）.

D

⑴求證：ACW^ACEA；

(2)求NADC的度數(shù).

【答案】(1)見詳解

(2)45°

【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對等角等

知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由等弧所對的圓周角相等可得出=再由等邊對等角得出=等量代換可得

出/C4D=NE,又NC=NC,即可得出△CSSACEA.

(2)連接5。，由直徑所對的圓周角等于90。得出/AD3=90°,^ZCAD^ZDAB^a,即N01E=2c,

由相似三角形的性質(zhì)可得出NADC=NC4E=26Z,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出2夕+2&+90。=180。，

即可得出a的值，進一步即可得出答案.

【詳解】(1)證明：,；CZ)=DB

ZCAD=ZDAB,

DE=AD，

ZDAB=ZE,

：.NCAD=ZE,

又：ZC=ZC

AGID^ACEA,

(2)連接8。，如下圖：

,/A3為直徑，

：.ZADB=90°,

設(shè)NG4D=NZMB=a,

Z.CAE=2a,

由(1)知：ACW^ACEA

，AADC=Z.CAE=2a,

:四邊形ABOC是圓的內(nèi)接四邊形,

，ZCAB+ZCDB=1SO°,

即2dz+2?+90°=180°,

解得：a=22.5。

ZADC=ZCAE=2x22.5°=45°

29.(2024?山東濰坊?中考真題)【問題提出】

在綠化公園時，需要安裝一定數(shù)量的自動噴灑裝置，定時噴水養(yǎng)護，某公司準備在一塊邊長為18m的正方

形草坪(如圖1)中安裝自動噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計合適

的安裝方案.

說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r(m)的圓面.噴灑覆蓋率夕=：,5為待噴灑區(qū)域面積，k為

待噴灑區(qū)域中的實際噴灑面積.

圖1

【數(shù)學(xué)建?！?/p>

這個問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問題.

【探索發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖2,在該草坪中心位置設(shè)計安裝1個噴灑半徑為9m的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率夕=

9

(2)如圖3,在該草坪內(nèi)設(shè)計安裝4個噴灑半徑均為；m的自動噴灑裝置；如圖4,設(shè)計安裝9個噴灑半

27

徑均為3m的自動噴灑裝置；……,以此類推，如圖5,設(shè)計安裝/個噴灑半徑均為'9m的自動噴灑裝置.與

n

(1)中的方案相比，采用這種增加裝置個數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給

出理由.

(3)如圖6所示，該公司設(shè)計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率

夕=1.已知/歸=3尸=。6=?！?，設(shè)A￡=x(m),的面積為求＞關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求

(4)該公司現(xiàn)有噴灑半徑為30m的自動噴灑裝置若干個，至少安裝幾個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴

灑覆蓋率夕=1?(直接寫出結(jié)果即可)

【答案】(1)0.785；(2)不能，理由見解析；(3)y=](x-9)2+等；當(dāng)y取得最小值時廠=竽；(4)

9

【分析】(1)根據(jù)定義，分別計算圓的面積與正方形的面積，即可求解；

(2)根據(jù)(1)的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；

(3)根據(jù)勾股定理求得x/的關(guān)系，進而根據(jù)圓的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可

求解；

(4)根據(jù)(3)的結(jié)論可得當(dāng)圓為正方形的外接圓時，面積最小，則求得半徑為3扃1的圓的內(nèi)接正方形

的邊長為6,進而將草坪分為9個正方形，即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)噴灑半徑為9m時，噴灑的圓面積$=%產(chǎn)=萬*92=8反012.

正方形草坪的面積s=a2=182=324m2.

故噴灑覆蓋率P=乙=箸=￡。0.785.

s3244

(2)對于任意的“，噴灑面積舄=〃%(2)2=8brm2,而草坪面積始終為324m?.

n

因此，無論〃取何值，噴灑覆蓋率始終為0.785.

4

這說明增加裝置個數(shù)同時減小噴灑半徑，對提高噴灑覆蓋率不起作用.

(3)如圖所示，連接E尸，

其中s為草坪面積,上為噴灑面積.

Q,a，，：。3，Q都經(jīng)過正方形的中心點。，

在Rt但"中，EF=1r,AE=x,

"：AE=BF=CG=DH

：.AF=18-x,

在RtAEF中，AE2+AF2=EF2

：.4r2=X2+(18-X)2

/+08-4

???y=7ir2

4

元/c\281K

=5(X-9)+—

???當(dāng)x=9時，＞取得最小值，此時4/=9?+9?

解得：廠=述

2

（4）由（3）可得，當(dāng)。的面積最小時，此時圓為邊長為9m的正方形的外接圓，

則當(dāng)r=3"n時，圓的內(nèi)接正方形的邊長為42x2x3亞=6m

2

10_

而草坪的邊長為18m,—=3,即將草坪分為9個正方形，將半徑為30m的自動噴灑裝置放置于9個正方

6

形的中心，此時所用裝置個數(shù)最少，

至少安裝9個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率P=1

【點睛】本題考查了正方形與圓綜合問題，二次函數(shù)的應(yīng)用；本題要求我們先理解和計算噴灑覆蓋率，然

后通過調(diào)整噴灑裝置的數(shù)量和噴灑半徑來分析噴灑覆蓋率的變化，最后在一個特定的條件下找出噴灑面積

和噴灑半徑之間的函數(shù)關(guān)系.解決此類問題的關(guān)鍵在于將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即如何將噴灑覆蓋率

的計算問題轉(zhuǎn)化為面積計算和函數(shù)求解問題.同時，在解決具體問題時，需要靈活運用已知的數(shù)學(xué)知識，

如圓的面積公式，正方形面積公式，以及函數(shù)解析式求解等.最后，還需要注意將數(shù)學(xué)計算結(jié)果還原為實

際問題的解決方案.

30.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，ASC中，/4CB=90。，點。為AC邊上一點，以點。為圓心,

OC為半徑作圓與48相切于點。，連接CO.

⑴求證：ZABC=2ZACD；

（2）若AC=8,BC=6,求。的半徑.

【答案】（1）證明見解析

⑵3

【分析】（1）連接OD,根據(jù)題意可得NO/M=90。，根據(jù)余角的性質(zhì)可得NAOD=NABC,根據(jù)圓周角定

理可得NAOD=2/ACD,等量代換即可得證；

（2）在Rt^ABC中，勾股定理求得AS=10,證明RtODB^RtOCB（HL）,設(shè)。的半徑為廣，則

OD=OC=r,OA=8-r,在RtAOD中，r+42=（8-r）2,解方程即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OO,

TAB為切線，

ODA.AB,

：.ZODA=90°,

???NA+NAC?=90。，

ZACB=90°,

：.ZABC+ZA=90°

JZAOD=ZABC,

ZAOD=2ZACDf

：.ZABC=2ZACD.

⑵解：在RtZXABC中，AB=^BC2+AC2=A/62+82=10,

ZOCB=90°=ZODBf

在RtZ\OD3和Rt^OCB中，OD=OC,OB=OB,

：.RtODB^RtOCB（HL）,

BD=BC=6,

：.AD=AB-BD=4,

設(shè)〈。的半徑為r,則OD=OC=r,04=8-r,

在RtAOD中,r2+42=（8-r）2,

解得r=3,

O半徑的長為3

【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知

識是解題的關(guān)鍵.

31.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，ABC是的內(nèi)接三角形，A3是。的直徑，過點8作，。的切

線與AC的延長線交于點D點E在O上，AC^CE,CE交AB于點兒

⑴求證：ZCAE=ZD；

⑵過點C作CGLAB于點G,若0A=3,BD=3及，求尸G的長.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）由直徑所對的圓周角是直角得到/3CD=90。，則/D+NCBZ）=90。，由切線的性質(zhì)推出

1ABC?CBD90?,則N4BC=N￡>,再由同弧所對的圓周角相等和等邊對等角得到/E=/ABC,

ZCAE=ZE,據(jù)此即可證明NC4E=NO；

（2）由勾股定理得AD=3限,利用等面積法求出BC=2百，則AC=2瓜,同理可得CG=20，貝1MG=4,

進而得到BG=2；如圖所示,過點C作CH，AE于H,則AE=2AH,證明AACB^AC/44，求出A〃=2四，

則AE=4后；設(shè)PG=x,則AF=4+x,證明△AEFSACB/,推出CF=生絲巫，在Rt^CGP中,

由勾股定理得:瘋=（20『+/,解方程即可得到答案.

\7

【詳解】（1）證明：:川是；O的直徑，

???ZACB=90°,

：.ZBCD=90°,

/.ZD+ZCBD=90°；

?；BD是。的切線，

：.?ABD90?,

?ABC?CBD90?,

:.ZABC=ZD,

AC=AC9

:./E=ZABC,

■:AC=CE,

：.NCAE=NE,

二ZCAE=ZD；

(2)解：V0A=3,

**.AB=2OA=6,

在Rt^ABD中，由勾股定理得AD=VAB2+BD2=J62+卜五『=3底,

S.^-ABBD=-ADBC,

LXADRL)n22

?_A5?BD_6x3A/2_/r

AD3V6

/?AC=yjAB2-BC2=舊一(2陰=2A/6,

同理可得CG=2夜，

AG=7AC2-CG2=J(2@-(2>/2)2=4,

BG=2；

如圖所示，過點C作CHLAE于H,貝UAE=2AW,

由⑴可得/ABC=NC4H,ZACB=ZCHA=90°,

：.AACB^ACHA,

.AHACAH2y[6

??一,艮nnI)J=—,

BCAB2736

AH=2V2,

?*-AE=4A/2;

設(shè)R?=x,貝!JAF=4+X,

'：ZE=ZCBF,ZEAF=ZBCF,

AAEFsz\CBF,

.CFBCCF26

??=,即Hn—，

AFAE4+x4>/2

?54A/6+A/6X

??CF=-------------,

4

在中，由勾股定理得尸

RtACGFC2=CG2+FG2,

.?.’4"*2=僅可+/,

4

解得尤=二或工=4（舍去），

4

/.FG=-.

5

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，同弧所對的圓周角相等，直

徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題的

關(guān)鍵.

32.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，已知ABC內(nèi)接于。，AB是的直徑，NB4C的平分線交G。

于點。，過點。作OE/AC,交AC的延長線于點E,連接班）,CD.

⑴求證：DE是I。的切線；

⑵若CE=1,sinZBAD=1,求：。的直徑.

【答案】（1）證明見解析；

⑵9.

【分析】（1）連接由角平分線可得44￡>=NE4￡>,又由。4=OD可得=即得

ZODA=ZEAD,由得NE4D+Z4T>E=90。，進而可得N84+NADE=90。，即得OD人。E,即

可求證；

（2）A3是，：O的直徑可得/ZMS+/ABC+/D3c=90。，又由（1）知/皿）+/4￡）。+/。。石=90。，

由ZBAD=/FAD,4DBC=ZADC,進而可得Z.DBC=Z.CDE,再根據(jù)NDBC=ZCAD,ZDCB=ZBAD