銳角的三角函數(shù)重難點題型專訓(xùn)（7大題型+15道拓展培優(yōu)）-2024-2025學(xué)年滬教版九年級上冊重難點專練（解析版）

專題01銳角的三角函數(shù)重難點題型專訓(xùn)(7大題型+15道拓展培優(yōu))

?題型目錄

題型一正弦、余弦與正切的概念辨析

題型二求角的正弦值

題型三已知正弦值求邊長

題型四求角的余弦值

題型五已知余弦值求邊長

題型六求角的正切值

題型七已知正切值求邊長

或知識梳理

知識點1：正切與余切

1.正切

直角三角形中一個銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切(tangent).銳角A的正切記作tanA.

“銳角碘對邊BCa

一銳角)勺鄰邊一前一丁

2.余切

直角三角形中一個銳角的鄰邊與對邊的比叫做這個銳角的余切(cotangent).銳角A的余切記作cotA.

.銳角加勺鄰邊ACb

一銳角和勺對邊一工一".

知識點2：正弦與余弦

1.正弦

直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個銳角的正弦(sine).銳角A的正弦記作sinA.

銳角屋I勺對邊BC_a

sinA=

AB~c

2.余弦

直角三角形中一個銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角的余弦(cosine).銳角A的余弦記作cosA.

銳角朋鄰邊_AC_b

cosA=

斜邊ABc

0-經(jīng)典例題

41經(jīng)典例題一正弦、余弦與正切的概念辨析】

【例1】（23-24九年級上.山東青島.階段練習(xí)）在VABC中，ZC=90°,a,b,c分別是ZB,ZC

的對邊，有下列關(guān)系式：①6=c-cos3；②6=a-tanB；③a=c-sinA；@a=btanB,其中正確的有（

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查銳角的三角函數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是根據(jù)銳角的三角函數(shù)的定義分別表示出cos3、tan2、

sinA,從而逐一判斷即可得.

【詳解】解：如圖,

丁cosB=-,

c

a=c-cosB,故①錯誤;

b

VtanB=-

a

b=a-tanB,故②正確、④錯誤;

*.*sinA=—,

c

a=c-sinA,故③正確,

???正確的有2個.

故選：B.

A

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（2。23?浙江杭州?一模）在"BC中’/C=9。。，2二|,貝U（）

A.cosA=-B.sinB=—C.tanA=—D.tanB=—

5533

【答案】D

【分析】設(shè)A3=5a,BC=3a,則AC=4a,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項排查即可.

【詳解】解：設(shè)AB=5a,BC=3a,貝l|AC=4a,

AC4a4

則=故A錯誤；

AB5a5

BC_4Q4

sinB==|,故B錯誤;

AB5a

BC3Q3

tanA==-,故。錯誤;

AC4a4

AC4k4

tanB==；,故。正確

BC3k3

故選：D.

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運用三角函數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)

鍵.

2.（22-23九年級上?全國?單元測試）當44+/3=90。時，sinA=cosB.在凡ABC中，CD是斜邊力B上的

高，那么與C胃D的值相等的銳角三角函數(shù)是一?

【答案】sin/A,cosZACD,sin/BCD,cosZB

【分析】根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，然后利用正弦和余弦函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

B

\D

\A

C

???是斜邊AB上的高，

.??/A+/ACD=90。，

CD

：.sin/A=cos^ACD=——,

AC

NBCD+NACD=90°,

；?NBCD=NA,

sin/A=sin^BCD,

9

：^BCD+^B=90°f

sin^BCD=cos/B,

CD

sin/A=cos/ACD=sin^BCD=cos/5=,

AC

故答案為：sin/A,cos/ACD,sin^BCD,cos^B.

【點睛】題目主要考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，理解三角函數(shù)的基本定義是解題關(guān)鍵.

3.（23-24九年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，在銳角VA3C中，探究上ny,三h,c之間的關(guān)系.（提

sinAsinBsinC

示：分別作A8和BC邊上的高.）

【分析】分別作垂足分別為2E,根據(jù)正弦的定義，在4個直角三角形中分別表示出

CE,AD,進而將等式變形,即可求得號=工

sinAsinBsinC

【詳解】解：如圖，分別作AD，BC,CE_LA3,垂足分別為D,E,

￡

.?ADAD

在MVA4B。中，sin5=——=——,

ABc

:.AD=csinB,

4nAn

在RtADC中，sinC=—八"

ACb

..AD=bsinC,

/.csinB=Z?sinC,

c_b

sinCsin3'

EC

在RtAEC中，sinA=----,

b

EC=sinA-b,

EC

在Rt^BEC中，sinB=——,

a

?#-EC=sinB?a,

.\sinAb=sinBa,

a_b

??—9

sinAsinB

a_b_c

sinAsinBsinC

【點睛】本題考查了正弦的定義，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

,4【經(jīng)典例題二求角的正弦值】

【例2】（23-24九年級下?全國?單元測試）在及ABC中，NC=90。，若將各邊長度都擴大為原來的2倍,

則NA的正弦值（）

A

A.擴大2倍B.縮小;C.擴大4倍D.不變

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可.

【詳解】解：ABC中，ZC=90°,將各邊長度都擴大為原來的2倍，其比值不變,

的正弦值不變.

故選：D.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的表示以及求值，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.(22-23九年級下?江蘇泰州?期中)如圖，點A,民C在正方形網(wǎng)格的格點上，貝iJsin/R4C=()

A屈RV6rV26nA/26

1361326

【答案】D

【分析】如圖，取格點。、E,連接CD、BE交于H,則設(shè):BH=a,貝i」AH=5a,利用勾股定

理求出A8,可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，取格點E,連接CD、BE交于H,則A、C、。三點共線，且即

設(shè)BH=a,則AH=5a，

在RtAABW中，AB=y]BH2+AH2=7a2+(5a)2=區(qū)a,

V26

sinZBAC=—

AB

故選D.

【點睛】本題考查求角的正弦值、勾股定理與網(wǎng)格問題，根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?浙江杭州?一模）如圖，在4x5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.若VA2C的頂點都在格點

上，則sinC的值為

【答案】普

【分析】本題主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的

關(guān)鍵.連接格點3、。，根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABD是直角三角形，得到NA7M=90。，NBDC=90。，

再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：連接格點B、D.

由題圖知：AB=Vl2+32=A/10，BC=A/12+52=A/26-BD=yl22+22=2^2>AD=Vl2+12=A/2?

AD2+B￡)2=2+8=10,AB2=10,

AD2+BD2=AB2.

△AB。是直角三角形.

ZADB=9Q°.

ZBDC=9Q)°.

.「BD2近2V13

在Rt如C中,

BCV2613

3.（23-24九年級上?上海青浦?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，AC=4,。為邊3C上一點，且CD=2,若△ADC

與△ABD的面積比為1：3.

（1）求證：AADCs△癡C；

（2）當AB=8時，求sinB.

【答案】（1）見解析

（2）姮

8

【分析】（1）根據(jù)已知得出BD=3DC=6,BC=BD+CD=8,進而可得3C:AC=AC:CD=2,根據(jù)兩組

對應(yīng)邊成比例，夾角相等，證明△WCs^BAC；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AD=4,過點A作于點E,進而勾股定理求得AE,根據(jù)正弦的

定義，即可求解.

【詳解】（1）證明：：8=2,且△ADC與的面積比為1:3.

BD=3DC=6,

BC=BD+CD=S,

.?.在VA5c與.ACO中，BC:AC=AC:CD=2,ZBCA^ZACD.

：.AADCABAC.

（2）解：VAADCABAC,

.ADDC

??一，

BAAC

又?「AB=8,AC=4,CD=2.

"=竽=4.

???AD=AC=4,

如圖所示，過點A作AELOC于點E,

2

在RtADE中，AE^yjAD2-DE2=742-l2>

?人強=出=姮

AB8

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求正弦，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，求正弦是解

題的關(guān)鍵.

A【經(jīng)典例題三已知正弦值求邊長】

【例3】（22-23九年級上?吉林長春?階段練習(xí)）如圖，ZAO3=45。，點C在射線02上.若0C=3應(yīng)，則

點C到。4的距離等于（)

A.3B.3&C.3岳D.6

【答案】A

【分析】構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義，即可得答案.

【詳解】解：如圖，過點C作CDLQ4,垂足為。，

B

c

在RtCOD中，ZCOD=45°,OC二3屈,

:?CD=二OC=3,

2

即點。到Q4的距離為3,

故選：A.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)銳角三角函數(shù)求得線段的長度.

X變式訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?浙江寧波?期末）如圖是一段索道的示意圖.若45=100米，NBAC=a,則纜車從A

點到8點上升的高度8c的長為（）

A.lOOOsina米B.100°米

C.lOOOcosa米

C0S6Z

【答案】A

【分析】在凡ABC中，ZACB=9Q°,斜邊A3是已知邊，/B4C是已知角，而要求的是2R4C的對邊BC

的長，所以選擇一BAC的正弦，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，在放ABC中，ZACB=90°,ZBAC=af

,.BC

??sm。=,

AB

BC=AB-sincr,

TAB=1000米,

5C=1000sine米.

故選：A.

【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確掌握銳角三角函數(shù)的定義，選擇適當?shù)匿J角

三角函數(shù)模型.

4

2.（23-24九年級上?上海金山?期末）如果。是直角三角形的一個銳角，sina=那么tana=.

【答案】|/1|

【分析】本題主要考查了正弦和正切的知識，熟練掌握正弦和正切的定義是解題關(guān)鍵.由題意可知,

/74

五…二丁可設(shè)……弘，則人女,然后根據(jù)正切的定義求解即可.

Q4

由題意可知，sina,

c5

設(shè)。=4左,。=5左，貝!=，。2_片=3左,

.Q4左4

??tanOL——=—=一.

b3k3

4

故答案為：y.

3.（23-24九年級上.上海閔行?期中）如圖，已知點。、E分別在△A8C中的邊A4、CA的延長線上，且。E

//BC.

(1)如果A￡>=3,BD=9,DE=4,求BC的長;

⑵如果看弓.=4,過點。作垂足為點憶求成的長.

【答案】（1）8

(2)275

【分析】（1）根據(jù)。E〃8C可得△ADES&4BC,進而可得=代入數(shù)值進行計算即可求解;

BCAB

AF）FA好，即可求得。尸的長.

（2）由（1）可得——=—,求得BD=10,在放ABDP中,根據(jù)sinB：

BDEC5

【詳解】3?:DE//BC,

AADE^AABC

.DEAD

??一，

BCAB

?.?AD=\BD=9,

：.AB=BD-AD=6

?:DE=4,

BC~~6

：.BC=S

(2)'：DE//BC,

AADE^AABC

.ADEA

??BD~EC'

..CA_3

?CE-5

.AD_2

??麗—丁

4)=4,

.4_2

??茄M

：.BD=10

?：BF±BC,垂足為點尸，

NDFB=90°,

在RtABDF中,sinB=—,

BD5

即變=立，

105

DF=275

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，已知正弦求邊長，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的

關(guān)鍵.

4【經(jīng)典例題四求角的余弦值】

【例4】（2024?廣東汕頭?模擬預(yù)測）中，若NC=90。，BC=3,AC=4,則cosA的值為（）

A.劣B.1C.』D.1

4355

【答案】D

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識點，熟練掌握余弦定義和勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

先利用勾股定理計算出AB,然后利用余弦的定義求解即可.

【詳解】解：ZC=90°,BC=3,AC=4,

AB=VAC2+BC2=j32+42=5,

“AC4

/.cosA=----=—.

AB5

故選：D.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（2024九年級?全國?競賽）在VA5C中，3AB=2BC,ZA=60°,貝!Jcos3=（）.

A3±\/6口3—y/603±A/6八3—^6

A.-----D.-----------u.--------u.--------

2266

【答案】D

【分析】本題考查了求一個角的余弦值，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，過點。作CDLAB于點。，根據(jù)

勾股定理列式計算，得d+3（2左-X）2=9/，解得x=怎再根據(jù)cos2=gg代入數(shù)值計算化簡，即可

作答.

【詳解】解：過點C作CDLAB于點

設(shè)AB=2左>0,BC=3k,BD=x>0,

貝UAD=2左一x>0,CZ>=G(2A:—x),

由g+m=叱，

得d+3（2左一X）2=9〃,

解得X=主區(qū)％,

2

AD=2k-x>Q,

x<2k,

.“=如住人舍去，

2

故選：D

2.（2024?上海?中考真題）在平行四邊形9CD中，/ASC是銳角，將C。沿直線/翻折至43所在直線，對

應(yīng)點分別為C',Df,若AC':AB:3c=1:3:7,貝UcosNABC=.

【答案】；2或4?/自4或:2

7777

【分析】本題考查了平行四邊形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類討

論的思想進行求解.

【詳解】解：當C'在A3之間時，作下圖，

根據(jù)AC':AB:3c=1:3:7,不妨設(shè)AC'=1,AB=3,8C=7,

由翻折的性質(zhì)知：ZFCD=NFC'D,

8沿直線/翻折至A3所在直線，

ZBC'F+Z.FCD'=NFCD+ZFBA,

NBC'F=ZFBA。

7

CF=BF=C'F=-,

過/作A3的垂線交于E,

:.BE=-BC'=1,

2

:.cosZABC=-=^-=-

BFL7，

2

當C'在54的延長線上時，作下圖,

根據(jù)AC:AB:3c=1:3:7,不妨設(shè)AC'=1,AB=3,3C=7,

7

同理知：CF=BF=CfF=-,

過尸作A8的垂線交于￡,

:.BE=-BC=2,

2

…廠BE24

cosNA5c==-=—

BFL7，

2

故答案為：92或4

3.(22-23九年級上?全國?單元測試)如圖，在中，ZACB=90,BC=5,AC=12,

試求:

(l)sinA的值;

(2)cosNACD的值;

(3)。的值.

【答案】⑴]

⑵9

13

60

(3)—

13

【分析】題目主要考查正弦函數(shù)及余弦函數(shù)，熟練掌握二者的定義是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)勾股定理得出鉆=13,再由正弦函數(shù)求解即可；

（2）根據(jù)同角的余角得出NB=NACD,再求余弦值即可；

（3）根據(jù)正弦函數(shù)求解即可.

【詳解】（1）解：：NACB=90,BC=5,AC=12,

:.AB=13,

?.A_BC_5

>?siiiA-——；

AB13

（2）解：???。0_146于0,NACB=90,

AZA+ZB=90,ZA+ZACD=90,

ZB=ZACD,

5

cosZACD=cosZB=

AB13

(3)解：VAC=12,sinA=—,

sinA=0CD5

ACTT-13

3竺

13

4【經(jīng)典例題五已知余弦值求邊長】

【例5】（2023?上海長寧?一模）在RSABC中，ZC=90°,如果cosB=g,BC=a,那么AC的長是（）

A.2\f2aB.3aC.y/10aD.

4

【答案】A

【分析】依據(jù)cosB=；,BC=a,即可得到AB=3a,再根據(jù)勾股定理，即可得到AC的長.

【詳解】如圖，

Bz

VcosB=-,BC=a,

3

.\AB=3a,

?：ZC=90°,

/.RtAABC中,AC=dAB。-BC?=?。?a#-a2=2亞a,

故選A.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理.在直角三角形中，銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫

做NA的余弦，記作cosA.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（23-24九年級下?安徽淮南?階段練習(xí)）已知在心A3c中，ZC=90°,NA=tz,AC=m,那么4B的長

為（）

.cm41n

A4.msmaB.mcosaC.-------D.--------

COS6Zsina

【答案】c

【分析】本題主要考查銳角的三角函數(shù)，結(jié)合圖形根據(jù)余弦函數(shù)的定義求解可得，熟練掌握余弦函數(shù)的定

義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，

cosA=,tipcostz=,

ABAB

：.AB=-^—,

cosa

故選：C.

4

2.（23-24九年級下?上海寶山.期中）如圖，菱形ABC。的邊長為5,cosB=~,E是邊C￡＞上一點（不與點

C、。重合），把△4DE沿著直線AE翻折，如果點。落在菱形一條邊的延長線上，那么CE的長為.

【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，由折疊得==過點A作

AHL3C于點H,過點E作EGLb于點G,得8"=HF=4,CF=3,由菱形的性質(zhì)得NOCF=/8,可得

冠CG=49,設(shè)CG=4y,則CE=5y,由勾股定理得EG=3y,由折疊得所=DE=5-5y,而

CE5

FG=FC—CG=3—4y,在Rt△所G中由勾股定理得(3-4?+(3?=(5-54，解方程求出V的值即可解

決問題

【詳解】解：過點A作于點H,過點E作EGLCF于點G,點。與點尸重合，如圖,

由折疊得，AF=AD=AB=5,

：.BH=AH,

:.BH=4,

BF=2BH=8,

??.FC=AF-AC=8-5=3,

???四邊形ABC。是菱形，

CD//AB,

：./DCF=/B,

4CG

cos/DCF=cosZB=—=,

5CE

設(shè)CG=4y,貝1_]0石=5'，F(xiàn)G=CF-CG=3-4y,

由折疊得，EF=DE=5-5y,

在中，由勾股定理得，EG=A/CE2-CG2=3y,

在RrVFEG中，由勾股定理得，EG1+FG1=EF\

???（3y），（3-4y）2=（5-5y）2,

Q

解得，y哈

CE=5x—=—,

1313

40

故答案為：—

2

3.（23-24九年級上.上海寶山?期中）如圖，RtAABC中，ZC=90°,cosA=1,。是邊AC的中點，連結(jié)8。.

(1)已知BC=石，求A8的長;

⑵求cotNASD的值.

【答案】⑴AB=3；

7J5

(2)cotZABD=-1-.

【分析】本題考查了解直角三角形，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意設(shè)AC=2a,則AB=3a,利用勾股定理列式計算求得。=1,據(jù)此求解即可；

2

（2）作于求得A￡>=1,利用余弦函數(shù)求得AE=§,再利用勾股定理和余切函數(shù)的定義求解

即可.

【詳解】（1）解：???NC=90。，cosA=—=-,

AB3

.??設(shè)AC=2Q,貝ljAB=3a,

BC2=AB2-AC2,即（3。）2一（2〃『=（6）,

解得〃=1,

AB=3；

（2）解：作。石/于E,

c

由⑴得AC=2,

???。是邊AC的中點,

AD=-AC=1,

2

2

*.*cosA=—

3

?AE-2

，9~AD~3

AE=—

3

***BE=AB—AE=3—=-,DE=VAD2—AE2=,

333

7

'.-ABD嚙=友=咚

3

A【經(jīng)典例題六求角的正切值】

【例6】（23-24九年級上.上海靜安?期末）如果直線丫=》與無軸正半軸的夾角為銳角a,那么下列各式正

確的是（）

A.sina~~B.cosa—\/2C.tancr=1D.cota=

，2

【答案】C

【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.將圖像畫出，

設(shè)點A是直線上的點，設(shè)點A（也㈤，過點A作AHLx軸于點H,則A"=〃z,OH=m,即可求解.

【詳解】解：設(shè)點A是直線上的點，設(shè)點4（加,附，過點A作軸于點則==

/.OA=A2+/—y[2m

.AHmV2

sina=-----

OAyflm2

OHmA/2

cosa=-----

OAV2m2

AHm

tana=----

OHm

OHm

cota=-----

AHm

故選c.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（2023?上海嘉定?一模）在平面直角坐標系X?！分?，已知點P（l,3）,點P與原點。的連線與X軸的正半軸

的夾角為。（0°＜。＜90°）,那么tan以的值是（）

A,巫B.-C,D,3

10310

【答案】D

【分析】如圖，過P作PALx軸于A,根據(jù)尸（1,3）,得至?。軴A=1,PA=3,由NPOA=a,利用角的正切值等

于對邊比鄰邊求出答案.

【詳解】如圖，過P作PALx軸于A,

VP（L3）,

/.OA=1,PA=3,

在RtAOPA中,ZPOA=?,

PA

tana=tanZPOA==3,

OA

故選：D.

【點睛】此題考查直角坐標系中點到坐標軸的距離，銳角三角函數(shù)值的計算，正確掌握正切值計算公式是

解題的關(guān)鍵.

2.(2024?上海奉賢?二模)如圖，正方形ABC。的邊長為1,點P在AD延長線上(PD<CD),連接P&PC,

如果△口>?與相似，那么tanZBPA=.

【答案】叵【

2

r)pCD

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，設(shè)。P=x,利用相似三角形的性質(zhì)可得￡==,即

ABPA

：=工，求出X,得到。尸=避上1,再根據(jù)正切的定義計算即可求解，利用相似三角形的性質(zhì)求得OP是

1X+12

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)=則尸4=元+1

VPD<CD,尸與相似,

.DPCD

"AB"PA）

.x_1

??——,

1x+1

??X2+%—1=0,

解得h=告叵，%2=Z1_^（不合，舍去）,

5P=zl±^+i=^±l,

22

1

tanNBPA=----=

PA75+1

2

故答案為：與

3.（22-23九年級?上海?假期作業(yè)）在RtAABC中，ZC=90°,AB=13,3C=12,AC=5,求sinA、cosA、tanA

和cotA.

19

【答案】sinA唁,8sA=上，tanA=U,8tA=9

13512

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義直接計算即可.

【詳解】VZC=90°,AB=13,BC=12,AC=5,

s?M=+=乜，cosA=^=9，tanA=^12cotA=^5

AB13AB13ACyBC12

嚓巴…絲％tan,二縹笑2縹挈,

【點睛】考查銳角的三角函數(shù)的定義即sina=

斜邊斜邊。的鄰邊a的對邊

熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

,41經(jīng)典例題七已知正切值求邊長】

【例7】（2023?上海徐匯?一模）在Rt^ABC中，ZC=90°,如果ZA=40。，AC=b,那么8C等于（）

A.Z?sin40°B./JCOS40°C.仇an40°D.Z?cot40o

【答案】C

【分析】根據(jù)解直角三角形即可求解.

【詳解】解:如圖:

,?在RtAABC中，ZC=90°,ZA=40°,AC=b,

BC=AC-tanZA=btan40°,

故選：C.

【點睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正

切為對邊比鄰邊.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（2023?吉林長春?二模）如圖所示一座樓梯的示意圖，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為"現(xiàn)

要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=6米，樓梯寬度4米，則地毯的面積至少需要（）

A.3米2B.超-米2C.(24+用1米2D,(24+24tane)米2

sin。cos。Itan。J

【答案】D

【分析】在即母48。中，利用銳角三角函數(shù)求出BC,然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得在樓梯上鋪的地毯長，從而

求出地毯的面積.

【詳解】解：在MAABC中，AC=6,ZBAC=0,

；.tanQ族,

AC

BC=ACt2Ln0=6tan3（米）,

二?在樓梯上鋪的地毯長=5C+AC=（6+6tan6）米，

二?地毯的面積=4（6+6tan。）=（24+24tan。）平方米，

故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的計算是解題的關(guān)鍵.

2.（23-24九年級上?上海黃浦?期中）如圖已知在VABC中，ZC=90°,AB=5,cotB=1,正方形OEFG的

頂點G、廠分別在邊AC、上，點D、E在斜邊A8上，那么正方形DEfG的邊長為.

【答案】y

【分析】由正方形DEFG,設(shè)DE=DG=EF=x,由NA+NAGO=90°=NA+N3,可得NAGD=/fi,則

cotZAGD=cotB=—,即==^=g^=J_,解得，AD=2x,BE=—x,根據(jù)

2ADEF2ADx22

AB=AD+DE+BE=5,代值計算求解即可.

【詳解】解：???正方形OE尸G,

\ZADG=ZBEF=9009DE=DG=EF,

^DE=DG=EF=x,

：ZA+ZAGD=90°=ZA+ZBf

??ZAGD=ZB,

*.cotNAGD=cotB=—BP——=——=—,

2fADEF2

---=---=—>解得，AD=2x,BE=-x,

ADx22

：AB=AD+DE+BE=5,

*.2x+x+—x=5,解得，x=—

27

故答案為：-y

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，余切，一元一次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于正確表示余切，確定線

段之間的數(shù)量關(guān)系.

3.(23-24九年級上.上海.階段練習(xí))在平面直角坐標系xOy中，已知BA分別是y=-%+4與x軸，、軸

的交點.

(2)在第一問的條件下，求tanNOB的值;

（3）若。在直線4B上，tan，OD3=；,求。的坐標.

【答案】⑴C（L3）

⑵2

⑶（3,1）或（6,-2）

【分析】本題考查一次函數(shù)的綜合；熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正切函

數(shù)的定義是關(guān)鍵.

（1）過點C作S_Ly軸于根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出AH,OH,的長,即可得C的坐標;

（2）連接OC,過點。作在RtOCE中，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解；

（3）設(shè)O（x,f+4）,進而求出tanNBODJ一）；旬=g,求出x的值即可得。的坐標.

"AO~AB~OB'

..ACl

'BC~3'

?AC_1

??一，

AB4

.AHACHC

"AO~AB~OB~4"

???B,A分另|是丁=一九+4與％軸，y軸的交點.

當x=0時，y=4；當y=0時，x=4,

AA(0,4),5(4,0),

?*-OA=4,05=4,=J42+42=40，

?.?AH丁一H丁C一_"1

：.AH=1,HC=1,

OH=OA—AH=4—1=3,

C(l,3)；

(2)解：連接OC,過點。作OELAB

在RtOCE中，tanZOCB=—=2；

(3)解：如圖，過點。作DE_Lx軸于E,

設(shè)。（用一%+4）,

tanZBOD=|"A'+41=

x3

解得x=3或6.

.?.0（3,1）或（6,-2）,

綜上所述：。的坐標為（3,1）或（6,-2）.

提優(yōu)訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?山東泰安?階段練習(xí)）在△ABC中，ZC=90°,若tanA=；,貝UsinB=（）

A.好B.好C.述D.亞

5253

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，知tanA=§J=:，設(shè)2。=無，AC=2x,根據(jù)勾股定理可求得A3,再根據(jù)三

ACL

角函數(shù)的定義就可以求出sin3的值.

【詳解】解：在AABC中，ZC=90°,

.?.設(shè)BC=x,AC=2x,

AB=A/BC2+AC2=次+（2x）2=顯,

2x2A/5

:.sinB=—--=-

ABy/5x5

故選：C.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，一個銳角的正弦值為對邊比斜邊，余

弦值為鄰邊比斜邊，正切值為對邊比鄰邊.

2.（2023?江蘇揚州?中考真題）在VABC中，ZB=60°,AB=4,若VABC是銳角三角形，則滿足條件的8C

長可以是（）

A.1B.2C.6D.8

【答案】C

【分析】如圖，作AD_L9,則ZADB=90°,ZBAE=90°,BD=ABcosZB=2,BE=---------=8,

cosAB

由VA5c是銳角三角形，可得BD<BC<BE,即2<3C<8,然后作答即可.

【詳解】解：如圖，作AD_L3C,AE±AB,交的延長線于點E

A5

ABD=ABcosZB=2BE=---------=8,

fcos/B

YVABC是銳角三角形，

ABD<BC<BE,即2<3C<8,

滿足條件的2C長可以是6,

故選：C.

【點睛】本題考查了余弦，銳角三角形.解題的關(guān)鍵在于確定8C的取值范圍.

3.（22-23九年級上?山東青島?期末）如圖，ABC的頂點分別在單位長度為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則

sin/BAC的值為（）

A.V5B.好C.-D.正

523

【答案】B

【分析】過8作60J_AC于點。，根據(jù)勾股定理得出AB,AC的值，再利用面積公式求出BD的值，由

sinNBAC=嬰可得角的正弦值.

【詳解】解：如圖，過8作于點。

根據(jù)勾股定理得：AB=732+42=5,AC=^32+62=345

：.S...=-AC-Br>=4x6--x3xl--x3x4--x6x3=—,

由Rr22222

/.BD=y/5

?■”AR_BD下

??sin/CAB-二—

AB5

故選：B.

【點睛】本題考查了正弦值，勾股定理與網(wǎng)格，三角形的面積等知識點，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形.

4.（2024九年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為/e,敘述正確的是（）

.a

A.sina的值越大，梯子越陡

B.cosa的值越大，梯子越陡

C.tana的值越小，梯子越陡

D.陡緩程度與的函數(shù)值無關(guān)

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義與性質(zhì)，sina值越大越大；cosa值越小/夕越大；tana值越大/夕越大，

從而判斷出答案.

本題考查三角函數(shù)定義與性質(zhì)，熟記“sine值越大越大；cose值越小/以越大；tan。值越大Na越大”

是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、sina的值越大，梯子越陡，故A符合題意；

B、cosa的值越小，梯子越陡，故B不符合題意；

C、tana的值越大，梯子越陡，故C不符合題意；

D、陡緩程度與的三角函數(shù)值有關(guān)，故D不符合題意.

故選：A.

5.（2023?安徽蚌埠?二模）如圖①，在RtAABC中，ZA=45°,點N分別從點C,A出發(fā)，以每秒1個

單位長度的速度向A,8移動，當點M到達點A時，點N也停止移動，CMN的面積y隨時間x的變化情

況如圖②所示，則AC的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】過點"作人不，4?于點R得出AN=x,CM=x,根據(jù)三角函數(shù)得出NF=ANxsin45o=也x,

2

求出>=走/,把>=四代入得也/=0，得出彳=2,即可求出AC的長.

44

【詳解】解：過點N作于點尸，如圖所示:

A

①

則NA7W=90。，

??,點M,N分別從點C,A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向A,3移動，

:.AN=x,CM=x,

VZA=45°,

NF=ANxsin45°=x>

2

?*-y=-CMxNF=工彳.^^尤=^^尤2，

'2224

把>=近代入得變尤2=8,

4

解得：*=2或犬=-0'（舍去），

:.點、M仄C運動到A所用的時間為2秒，

AC=2,故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，三角形面積的計算，已知函數(shù)值求自變量，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)

合，根據(jù)函數(shù)圖象求出點/從C運動到A所用的時間為2秒.

6.（23-24九年級.全國.單元測試）若坡面與水平面的夾角為a,則坡度i與坡角a之間的關(guān)系是.

【答案】i=tana

【分析】坡面與水平面的夾角a叫做坡角，坡度i與坡角a之間的關(guān)系為：i=tana.

【詳解】解:如圖所示:i=tana.

【點睛】本題考查了坡度與坡角的關(guān)系，屬于簡單題，熟悉正切三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

7.（22-23九年級上?全國?單元測試）已知等腰三角形兩邊長分別為5和8,則底角的余弦值為

【答案】

【分析】本題考查了解直角三角形，等腰三角形邊的討論是解題的關(guān)鍵

分兩種情況：當A8=AC=5,3C=8時，當AB=AC=8,8C=5時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及余弦函數(shù)的

定義求解即可

【詳解】解：如圖，在A5C中，AB=AC,過A作于Z）,

當AB=AC=5,BC=8時,

貝。=4,

CD4

在&ACD中，cos/C=——=-

5

當AB=AC=8,BC=5時，貝|CD=2.5,

在HAC。中，cos/C=*CD=二25=25

AC816

故答案為：或g

165

8.（2024九年級?全國?競賽）已知VABC為直