人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)思維特訓(xùn)（十七） 分類討論思想在圓中的應(yīng)用

思維特訓(xùn)（十七）分類討論思想在圓中的應(yīng)用

方法點(diǎn)津?

分類討論的數(shù)學(xué)思想：當(dāng)面臨的問題存在一些不確定因素，解答方法或結(jié)論不能給予統(tǒng)

一表述的數(shù)學(xué)問題.我們往往將問題劃分為若干類或若干個(gè)局部問題來解決.

具體步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體范圍；其次要確定分類標(biāo)準(zhǔn),

正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對(duì)所分類別逐步進(jìn)行

討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納，綜合得出結(jié)論.

典題精練?

類型一由點(diǎn)的位置的不確定性引起的分類討論

當(dāng)題中給出的某個(gè)點(diǎn)的位置不確定時(shí)，要考慮到這個(gè)點(diǎn)的所有可能位置，進(jìn)而畫出符合

題意的圖形并求解.

1.已知。0的半徑為5,直線1上有一點(diǎn)P滿足P0=5,則直線1與。0的位置關(guān)系是

（）

A.相切B.相禺

C.相離或相切D.相切或相交

2.已知點(diǎn)P到。0上的點(diǎn)的最大距離是7cm,最小距離是1cm,則。0的半徑是（）

A.4cmB.3cm

C.4cm或3cmD.6cm

3.如圖17—1,AB,AC分別與。。相切于點(diǎn)B,C,/A=50°,P是圓上異于B,C的一

動(dòng)點(diǎn)，則NBPC的度數(shù)是（）

圖17-1

A.65°B.115°

C.65°或115°D.130°或50°

4.2019?濰坊A,C是半徑為3的圓周上兩點(diǎn),B為的中點(diǎn)，以線段BA,BC為鄰邊作菱

形ABCD,頂點(diǎn)D恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上，則該菱形的邊長(zhǎng)為（）

A.小或2/B.小或2小C.乖或2小D.乖或2小

5.2019?荊州如圖17—2,A,B,C是。O上的三點(diǎn)，且四邊形OABC是菱形.若D是。

0上異于A,B,C的另一點(diǎn)，則NADC的度數(shù)是.

圖17-2

6.如圖17—3,已知AB是。O的弦，半徑OA=2cm,/AOB=120°,點(diǎn)P在。O上(不

與點(diǎn)A,B重合)，當(dāng)S4POA=S^AOB時(shí)，求的長(zhǎng).

圖17-3

7.如圖17—4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0),(7,0).

對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P.給出如下定義：如果NAPB=45°,則稱點(diǎn)P為線段AB的

”等角點(diǎn)”.顯然，線段AB的“等角點(diǎn)”有無數(shù)個(gè)，且A,B,P三點(diǎn)共圓.

(1)設(shè)A,B,P三點(diǎn)所在圓的圓心為C,直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和。C的半徑.

(2)在y軸的正半軸上是否存在線段AB的“等角點(diǎn)”？如果存在，求出“等角點(diǎn)”的坐

標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

圖17-4

類型二由圓的對(duì)稱性引起的分類討論

當(dāng)圓中給出兩條弦的長(zhǎng)度，但是沒有給出圖形時(shí)，通常根據(jù)圓的對(duì)稱性分兩弦在圓心的

同側(cè)和兩弦在圓心的兩側(cè)兩種情況進(jìn)行討論.

8.已知。O的直徑AB=13,C為。O上的一點(diǎn)，已知CD_LAB,垂足為D,并且CD=

6,求AD的長(zhǎng).

9.在直徑為50的。。中，有兩條弦AB和CD,AB〃CD,且AB為40.弦CD為48,求

AB與CD之間距離.

類型三由外心與三角形的形狀的關(guān)系引起的分類討論

銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心

在斜邊的中點(diǎn)處.

10.若點(diǎn)。是AABC的外心，且/BOC=70°,則NBAC的度數(shù)為()

A.35°B.110°

C.35°或145°D.35°或140°

11.若點(diǎn)0是等腰三角形ABC的外心，且NBOC=60°,底邊BC=2,求^ABC的面

積.

類型四由圖形的運(yùn)動(dòng)引起的分類討論

圖形的運(yùn)動(dòng)問題，要抓住在圖形變化過程中幾種特殊靜態(tài)位置的關(guān)鍵要素，從而進(jìn)行逐

一討論.

12.[2019?煙臺(tái)]如圖17—5,RtZViBC的斜邊AB與量角器的零刻度線恰好重合，點(diǎn)

B與零刻度線的一端重合，ZABC=40°,射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，與量角器外沿交于點(diǎn)D.若

射線CD將AABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)是()

A.40°B.70°C.70°或80°D.80°或140°

圖17-5圖17-6

13.如圖17-6,已知一動(dòng)圓的圓心P在拋物線y=x2—3x+3上運(yùn)動(dòng).若。P的半徑為

1,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),當(dāng)。P與x軸相交時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍是.

14.如圖17-7,平面直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位是厘米，直線AB分別與x軸、y軸相交于

B,A兩點(diǎn).若OA=6厘米，NABO=30°,點(diǎn)C在射線BA上以3厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，以

點(diǎn)C為圓心作半徑為1厘米的。C.點(diǎn)P以2厘米/秒的速度在線段OA上來回運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P

作直線l〃x軸.若點(diǎn)C與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)B、點(diǎn)。開始運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則在整個(gè)

運(yùn)動(dòng)過程中直線1與。C相切時(shí)t的值為.

圖17-7

15.問題情境：老師給出了這樣一道題：如圖17—8①，已知4ABC是0O的內(nèi)接三角

形，且AB=AC,P是劣弧BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,連接PC并延長(zhǎng)到點(diǎn)F.鵬鵬

同學(xué)發(fā)現(xiàn)NFPA=NEPA,理由是NABC=NFPA,NACB=NEPA.又因?yàn)锳B=AC,所以

NABC=NACB,所以NFPA=NEPA.請(qǐng)你說出鵬鵬運(yùn)用的是圓周角的哪個(gè)性質(zhì):

深入探究：愛鉆研的程程將動(dòng)點(diǎn)P放到了劣弧AC上，連接CP并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,如圖②所

示，其他條件不變.請(qǐng)你判斷NFPA與NEPA之間還相等嗎？并證明.

拓展提高：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，過點(diǎn)P作NFPA=NEPA,如圖③

所示，其他條件不變.請(qǐng)你判斷射線PF是不是的切線，并說明理由.

圖17-8

16.如圖17—9,在AABC中,AB=10,AC=8,BC=6,M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AC

上，且D是MN的中點(diǎn),E是AC的中點(diǎn),NFXAC于點(diǎn)F.設(shè)AD=x,MD=y.

⑴求NF；

(2)確定x與y的數(shù)量關(guān)系;

(3)若。N的半徑為AN,那么x取何值時(shí)，?N與4ABC的邊相切.

圖17-9

典題講評(píng)與答案詳析

1.D［解析］當(dāng)P0垂直于直線1時(shí)，即圓心0到直線1的距離d=5=r,OO與直線1

相切；

當(dāng)P0不垂直于直線1時(shí)，即圓心0到直線1的距離d<5=r,。。與直線1相交.

故直線1與。O的位置關(guān)系是相切或相交.

2.C3.C

4.D［解析］設(shè)圓的圓心為O.過點(diǎn)B作。O的直徑，連接AC交BO于點(diǎn)E.

為的中點(diǎn)，.-.BD1AC.

(1)如圖①.：D恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上，

.*.BD=X2X3=2,.*.OD=OB-BD=1.

,四邊形ABCD是菱形，；.DE=BD=1,

：.0E=2.

連接0c.

VCE==,

CD=7DE2+CE^=#.

(2)如圖②,BD=X2X3=4.

同理可得OD=1,OE=1,DE=2.

連接0C.

VCE==2,

.?.8=。。序+“=2^3

5.60°或120°［解析］如圖，連接OB.

,*,四邊形OABC是菱形，

???AB=OA=OB=BC=OC,

AAAOB,△BOC都是等邊三角形，

.\ZA0B=ZB0C=60°,

AZA0C=ZA0B+ZB0C=120°,

???NADC=NA0C=60°,NAD，C=180°—NADC=120°.

6.解：VOA=OB,

：.ZOAB=ZOBA.

又???NAOB=120°,

：.ZOAB=ZOBA=30°.

如圖，延長(zhǎng)BO交。O于點(diǎn)Pl.

VOP1=OB,.\SAA0Pl=SAA0B,

,1

此時(shí)5尸i=1X（2兀X2）=2兀.

過點(diǎn)Pl作P1P2〃OA交。O于點(diǎn)P2,

此時(shí)SAAOP2=SAAOB.

VZA0B=120°,AZAOP1=6O°,

???NOP尸2=NAO尸i=60°.

?.,OP1=OP2,???△0P1P2是等邊三角形，

BPZP10P2=60°,

.,.ZB0P2=120°,

.…120X兀義24

=

；?BP2=[so3”-

過點(diǎn)B作BP3〃OA交。O于點(diǎn)P3,此時(shí)

SAAOPs=S^AOB-

VZA0B=120°,

：.ZP3BO=60°.

V0P3=0B,

.?.△0BP3是等邊三角形，即NP30B=60°,

綜上可得，的長(zhǎng)為2口,口或n.

7.解:⑴如圖①，在x軸的上方，作以AB為斜邊的等腰直角三角形ACB,易知A,B,P

三點(diǎn)在。C上，圓心C的坐標(biāo)為(4,3),半徑為3.

根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)C(4,—3)也滿足條件.

綜上所得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3)或(4,-3),OC的半徑為3.

(2)在y軸的正半軸上存在線段AB的“等角點(diǎn)”.

如圖②所示，當(dāng)圓心為C(4,3)時(shí)，過點(diǎn)C作CDLy軸于點(diǎn)D,則D(0,3),CD=4.

：(DC的半徑r=3>4,

OC與y軸相交.

設(shè)交點(diǎn)為Pl,P2,此時(shí)Pl,P2在y軸的正半軸上，連接CP1,CP2,則CPl=CP2=CA=r

=3.

???CD_Ly軸，CD=4,CP1=3,

???DP1===DP2,

.\P1(O,3+),P2(0,3-).

即“等角點(diǎn)”的坐標(biāo)為(0,3+)或(0,3-).

8.解：分兩種情況：(1)如圖①，當(dāng)CD靠近點(diǎn)A時(shí)，連接OC,則OD===,

135

所以AD=OA—OD=-7—5=4.

(2)如圖②，當(dāng)CD靠近點(diǎn)B時(shí)，同理可得OD=,所以AD=OA+OD=+=9.

綜上可得,AD的長(zhǎng)為4或9.

9.解：分兩種情況:(1)如圖①所示，當(dāng)兩弦位于圓心的同側(cè)時(shí)，過點(diǎn)。作OMLAB于點(diǎn)

M,交CD于點(diǎn)N,連接OB,OC.

VAB//CD,AON±CD.

在RtZXBMO中，OB=25.

由垂徑定理，得BM=AB=X40=20,

OM=^/OB2-BM2=AJ252-202=15.

同理可求ON==7,

.*.MN=OM-ON=15-7=8.

(2)如圖②所示，當(dāng)兩弦位于圓心的兩側(cè)時(shí)，同理可得MN=OM+ON=15+7=22.

綜上可得,AB與CD之間的距離為8或22.

10.C［解析］⑴當(dāng)點(diǎn)O在三角形的內(nèi)部時(shí)(如圖①所示)，ZBAC=ZBOC=35°；

(2)當(dāng)點(diǎn)O在三角形的外部時(shí)(如圖②所示)，

ZBAC=1x(360°-70°)=145°.

綜上可得，NBAC的度數(shù)為35°或145°.

11.解：如圖所示,/

存在兩種情況:(1)當(dāng)4ABC為4A1BC時(shí)，連接OB,OC.

:點(diǎn)0是等腰三角形ABC的外心，且/B0C=60°,底邊BC=2,OB=OC,

.?.△OBC為等邊三角形，0B=0C=BC=2,0A1XBC,設(shè)垂足為D,

；.CD=1,0D==,

.\SAAIBC=|BC-AID=1X2X(2-V3)=2-V3.

(2)當(dāng)4ABC為4A2BC時(shí)，

同理可得OA2=OB=2,OD=,

.,.SAA2BC=|BC-A2D=1X2X(2+V3)=2+V3.

綜上可得，AABC的面積為2—或2+.

12.［全品導(dǎo)學(xué)號(hào)：04402485］D

13.［全品導(dǎo)學(xué)號(hào):04402486］3-<m<2或4<m<3+

14.2或或［解析］過點(diǎn)C作CD，x軸于點(diǎn)D.

?.?在Rt^BCD中，ZCBD=30°,.\BC=2CD.

VOA=6,/ABO=30°,

.\AB=12.

在點(diǎn)P向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，如圖①，直線1與。C第一次相切.

由題意，得OP=2t,BC=3t,；.CD=2t—l,

；.3t=2(2t—1),解得t=2.

如圖②，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A返回點(diǎn)O處時(shí)，OC在直線1下方與直線1第二次相切.

由題意，得OP=6—(2t—6)=12—2t,

.\CD=12-2t-l,

.?.3t=2(12-2t-l),

22

解得t=y.

如圖③，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A返回點(diǎn)O處時(shí)，0c在直線1上方與直線1第三次相切.

由題意，得OP=6—(2t—6)=12—2t,BC=3t,

.,.CD=12-2t+l,

；.3t=2(12—2t+l),解得t=.

綜上可得，直線1與。C相切時(shí),t的值為2,或.

15.解：?jiǎn)栴}情境：同弧所對(duì)的圓周角相等

深入探究：NFPA與NEPA相等.

證明：在圓內(nèi)接四邊形ABCP中，ZAPC+ZABC=180°,ZAPC+ZFPA=180°,

NABC=/FPA.

,/NABC=ZACB,NACB=ZEPA,

.\ZEPA=ZABC=ZFPA,

即/FPA=/EPA.

拓展提高：射線PF是。O的切線.理由如下：

如圖，連接PO并延長(zhǎng)，交。O于點(diǎn)D,連接AD.易得NDAP=90°,

；./ADP+NDPA=90°.

VZABC=ZACB,ZACB=ZFPA,ZABC=ZADP,AZFPA=ZADP,

ZFPA+ZDPA=90°,即NDPF=90°.

：DC是。。的直徑，射線PF是。。的切線.

16.解：(l)VAB=10,AC=8,BC=6,

；.AB2=AC2+BC2,ZACB=90°.

易得ME是AABC的中位線，

；.ME〃BC,且ME=BC=X6=3,

.\ZAEM=ZACB=90°,AZMEF=90°.

是MN的中點(diǎn)，；.MD=ND.

：NFJ_AC于點(diǎn)F,AZNFE=90°=ZMEF.

在△MED和ANFD中，

/.△MED^ANFD,

；.NF=ME=3.

⑵是AC的中點(diǎn),AC=8,

；.AE=CE=AC=4,；.DE=x—4.

在