中考數(shù)學專項復習：用公式法求解一元二次方程（專項練習）

專題2.6用公式法求解一元二次方程（專項練習）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

（23-24九年級上?河北保定?期末）

1.一元二次方程x?+2后=0的解為（）

A.玉=0,x2=-2y/5B.%]=-1,x2=-2A/5C.再=0,x2=275

D.無i=1,x2-2A/5

（2024九年級上?江蘇?專題練習）

2.已知方程一_|2%-1|-4=0,則滿足該方程的所有根之和為（）

A.2-V6B.1-76C.0D.1

（2024九年級上?全國?專題練習）

3.三角形兩邊長分別為3和6,第三邊長是方程x2-6x+8=0的解，則這個三角形的周長

是（）

A.11B.13C.11或8D.11和13

（2024九年級上?全國?專題練習）

4.方程（x-2y=2x（x-2）的解是（）

A.玉=2,x[=1B.西=2,X?——2

C.%=2,x?=0D.X]=2,%?=—1

（23-24八年級下?浙江麗水?期末）

=0的一個根是-：，則方程的另一個根是（

5.已知關于x的一元二次方程2/一加工—加）

C.1D.-1

（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）

6.一元二次方程Q+2）（X-4）=X-4的解是（）

A.-2B.-1C.-1和4D.-2和4

（2024?浙江?模擬預測）

7.己知關于龍的一元二次方程/-2加x-4w+5=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為（

試卷第1頁，共4頁

A.m=-5B.m-1C.加=-5或機=1D.加=-1或加=5

（2024?河南?模擬預測）

8.下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）

A.2x2-5x+5=0B.（x-3）（x+2）=0

C.X2+4X+4=0D.3X2=0

（2024九年級上?全國?專題練習）

9.已知實數(shù)x滿足（X2_X）2_4（X2-X）-12=0,則代數(shù)式x-x+l的值為（）

A.7B.-1C.7或一1D.-2或1

（23-24九年級上?遼寧鐵嶺?階段練習）

10.若（Jx+y）+2“+y=3,貝!|x+y的值為（）

A.1B.9C.9或1D.無法確定

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（2024?山東泰安?二模）

II.關于〉的方程y（y-2）=4（y-2）的解是.

（23-24八年級下?江蘇無錫?階段練習）

12.若最簡二次根式療不與3廊不是同類二次根式，則x的值是.

（23-24八年級下?四川成都?期中）

Yk

13.關于x的方程上;-1=2.無解，則左=______.

x-2x-x-2

（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）

14.如果二一工一8=0,則工的值是—.

XXX

（23-24八年級上?遼寧丹東?期中）

15.若」2x-1—2x+1=0,那么％=.

（2024?上海徐匯?三模）

16.如果實數(shù)x滿足-2（X+工］-1=0,那么x+工的值是_____.

-XyXyX

（23-24九年級下?江蘇宿遷?階段練習）

2Y-12

17.關于x的分式方程—+—=1的解是—.

X-11-X

（23-24八年級下?福建南平?期末）

試卷第2頁，共4頁

18.如圖，在平面直角坐標系中，點”(1,0),。(0,4)點5在x軸正半軸上，且4cB=45。,

則08的長是.

三、解答題(本大題共6小題，共58分)

(23-24九年級上?北京?期末)

19.用因式分解法解下列方程：

(1)4(X-3)2-X(X-3)=0

(2)7X(X-3)=3X-9.

(2024?廣西河池?一模)

20.解方程：4^+—=--

x-\x2

(23-24九年級下?山東煙臺?期中)

21.用指定的方法解方程：

(1)X2-4X-1=0(用配方法)

(2)3X2-11X=-9(用公式法)

(3)5(無一3)2=/一9(用因式分解法)

(4)2y2+4y=y+2(用適當?shù)姆椒?

(22-23八年級下?浙江杭州?期中)

22.已知關于x的一元二次方程x2-(m+6)x+6m=0.

(1)求證：這個一元二次方程一定有實數(shù)根；

(2)設該一元二次方程的兩根為。，b,且8,a,6分別是一個直角三角形的三邊長，求加

的值.

(22-23八年級上?山西太原?期末)

23.閱讀材料，解答問題.

解方程：(4X-1)2-10(4X-1)+24=0,

試卷第3頁，共4頁

解：把4x7視為一個整體，設4x-l=y,

則原方程可化為：y2-10.v+24=0,

解得：必=6,%=4,

:.4x-l=6或4x-l=4,

75

?'=4'w=a，

以上方法就叫換元法，達到了降次的目的，體現(xiàn)了轉化的思想.

請仿照上例，請用換元法解答問題：

已知(%2+/+l)(x)+y2-3)=5,求/+V的值.

(23-24九年級上?四川內(nèi)江?期中)

24.換元法是數(shù)學中的一種解題方法.若我們把其中某些部分看成一個整體，用一個新字母

代替(即換元)，則能使復雜的問題簡單化.如：解二元一次方程組

[2,(x+y)+3(x—y)=—2

,,：a，按常規(guī)思路解方程組計算量較大.可設x+j=。，x-y=b,那么

[x+y-2(x-y)-3

[2。+36=-2

方程組可化為“。，從而將方程組簡單化，解出。和6的值后，再利用x+>=。，

[a-2b-3

=6解出x和y的值即可.用上面的思想方法解方程：

⑵X2+2X+46+2X-5=0

試卷第4頁，共4頁

1.A

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程

的方法是解題的關鍵.

【詳解】解：,?,一+2后％=0,

.??、（工+2店）=0,

?'?X—x+=0,

解得玉=。，、2=-2#>，

故選：A.

2.A

【詳解】本題考查的是解一元二次方程，由于帶有絕對值符號，必須對題目進行討論，對不

在討論范圍內(nèi)的根要舍去.

因為題目中帶有絕對值符號，所以必須分兩種情況進行討論，去掉絕對值符號，得到兩個一

元二次方程，求出方程的根，不在討論范圍內(nèi)的根要舍去.

解：當2x-120時，即原方程化為：X2-2X-3=0,

???（%-3）（X+1）=0,

二百=3,x2=-1（舍去），

，x=3,

當2x-l<0,即x<1時，原方程化為：f+2x-5=0,

2

??.（％+1）2-6,

x+1=iV6，

-'-x1=-1+V6（舍去），x2=-1-^6,

???x=-1-^6.

貝iJ3+（—1—痛）=2—八.

故選：A.

3.B

答案第1頁，共14頁

【分析】本題考查的是因式分解法解一元二次方程，先用因式分解求出方程的兩個根，再根

據(jù)三角形三邊的關系確定三角形第三邊的長，計算出三角形的周長.

【詳解】解：x2—6x+8=0,

(x-2)(x-4)=0,

?,?工一2=0或％-4=0,

xx—2>x2=4.

因為三角形兩邊的長分別為3和6,

所以第三邊的長必須大于3,

故周長=3+6+4=13.

故選：B.

4.B

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，先移項得到(％-2『-2x(%-2)=0,再利用因式

分解法把方程轉化為x-2=0或x-2-2、=0,然后解兩個一次方程即可.

【詳解】解：(x-2)2-2x(x-2)=0,

(x-2)(x-2-2x)=0,

工一2=0或x-2-2x=0,

—

所以玉=2,x2=2.

故選：B.

5.C

【分析】本題考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，由題意得出g+gm-%=0,求

出，”的值，從而得出方程為2--x-l=0,再利用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】解：???關于x的一元二次方程2/-f-機=0的一個根是《，

11c

22

解得：m=l,

???方程為2/一%一1=。，

.-.(2x+l)(x-l)=0,

答案第2頁，共14頁

2x+l=0或x-l=O,

解得：xi=——，x?=1,

方程的另一個根是1,

故選：C.

6.C

【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:

直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解

題的關鍵.

利用因式分解法求解即可.

【詳解】解：；(X+2)(X-4)=X-4,

/.(x+2)(x-4)-(x-4)=0,

則(x-4)(x+l)=0,

x-4=0或x+l=O,

解得X]=4,x2=—1,

故選：C.

7.C

【分析】本題考查了利用一元二次方程的根的情況求參數(shù)，正確掌握一元二次方程根的情況

與判別式之間的關系是解題的關鍵.根據(jù)一元二次方程有兩個相等實根，則根的判別式為

0,據(jù)此解答即可.

【詳解】解：???關于x的一元二次方程工2-25-4加+5=0有兩個相等的實數(shù)根，

A=(—2〃?！?4x1x(—4m+5)=0,即m2+4m—5=0,

.1zw=-5或=1.

故選：C.

8.A

【分析】本題主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判別式等知識點，掌握一元

二次方程根的判別式與根的關系成為解題的關鍵.根據(jù)解一元二次方程、一元二次方程跟的

判別式逐項判斷即可.

【詳解】解：A.由2/-5x+5=O的A=(-5)2-4X5X2=T5<0,故A選項沒有實數(shù)根,

答案第3頁，共14頁

符合題意；

B.由(x-3)(x+2)=0的解為%=3戶2=-2,故B選項有實數(shù)根，不符合題意；

C.由/+4x+4=0方程的解為國=%=-2,故C選項有實數(shù)根，不符合題意；

D.由3/=。的解為x=0,故D選項有實數(shù)根，不符合題意.

故選：A.

9.A

【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，將/-X看作一個整體，再用換元法解方程求

出/-X的值即可，解題的關鍵是掌握換元法解方程.

【詳解】解：設x2-x=y,則原方程可化為：/-4y-12=0,

解得夕=-2,y=6.

2

當了=一2時，x-x=-2,即/一》+2=0,A=l-8<0,原方程沒有實數(shù)根，故>=一2不

合題意，舍去；

當>=6時，x2-x=6>即/一x-6=0,A=1+24>0,故》的值為6；

x~—x+l=y+l=6+l=7.

故選：A.

10.A

【分析】利用換元法解一元二次方程求出而5=1，然后可得x+V的值.

【詳解】解：令后亍="。20),則可得/+2a=3,

配方得：/+20+1=3+1,即(a+l『=4,

開方得：a+l=±2,

解得：0[=1,a2=-3(舍)，

.".yjx+y=a=l,

：.x+y=l,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程，整體求出而7的值是解題的關鍵.

11.必=2,%=4,

答案第4頁，共14頁

【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握求解一元二次方程的方法是解題的關鍵.

根據(jù)因式分解法求解即可.

【詳解】解：62）=4（尸2）,

（尸2）（尸4）=0,

y-2=0或y-4=0,

解得必=2,%=4.

故答案為：弘=2,%=4.

12.-1

【分析】本題考查了同類二次根式的定義以及一元二次方程的求解，掌握同類二次根式的定

義以及一元二次方程的解法是解題的關鍵.

根據(jù)題意列出等式/-4x=8+3無，移項化簡/一7X-8=0,再根據(jù)十字相乘法解得》的兩

個值，再將x的兩個值代入京不與3廊石檢驗是否是最簡二次根式與同類二次根式即

可.

【詳解】由題意得：X2-4X=8+3X

x2-7x-8=0

（x-8）（x+l）=0

x-8=0或x+l=0

解得：X]=8,x2=-1.

當x=8時，

G-4x=18?-4x8=A/64-32=732=4收，

3j8+3x=3j8+3x8=3寂=1272.

.,.當x=8時，J尤2-4x與3,8+3x不是最簡二次根式,

x=8（不合題意，舍去）

當x=-l時，

3j8+3x=3^8+3x(-l)=3>/8^3=375,

答案第5頁，共14頁

???當x=-l時，J/_4x與3回石是最簡二次根式,

*'?X=-1.

13.0或6##6或0

【分析】本題考查分式方程無解求參數(shù)的值，將分式方程轉化為整式方程后，根據(jù)分式方程

無解分兩種情況：整式方程無解和分式方程有增根，兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】解：方程去分母，得：x(x+l)-/+x+2=發(fā)，

整理，得：2x+2=k,

???方程無解，

x2-x-2=0,

???x=-1或x=2,

當％=—1時，k=0,當x=2時，k=6；

故答案為：0或6.

14.1±2匣或匕叵

22

【分析】本題考查了解分式方程.熟練掌握換元法解方程，解分式方程檢驗，是解決問題的

關鍵.

設,=了，原方程化為/一了一8=0,用求根公式解得了=上返，換回！=上叵，檢驗,

x2x2

即得.

【詳解】解：=

XX

設Ly,則y2_y_8=0,

X

vA=(-l)2-4xlx(-8)=33,

1±A/33

??y=------,

2

,1_1±V33

,,一=------,

x2

經(jīng)檢驗工=上返適合原方程，

x2

1_1+V331_1-733

?<,="，="，

xl2x22

故答案為：1±照或izYH.

22

答案第6頁，共14頁

15.工或1

2

【分析】本題考查解一元二次方程，令叵口=t,求出工的值后再檢驗.

【詳解】解：v72^1-2x4-1=0,

yjlx—1—(J2X-1)=0,

令yj2x-1=t

E=O或i-%=o,

2x-1=0或1=2x-1,

解得x=1或X=1,

經(jīng)檢驗，X=；或X=1都是原方程的解，

故答案為：5或1.

16.3

【分析】本題主要考查了用換元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程

變形是解題的關鍵.

利用完全平方公式把方程變形為-2卜+：］-3=0,利用換元法，設x+：=加，則

m2-2m-3=0,轉化為解一元二次方程，求出x+工可能的值，分別得出分式方程，計算檢

驗是否有解，即可得出答案.

【詳解】解：??-x2+^-2fx+-Vl=0,

XIX)

H——+2-2x-\—?-3=0,

XX)

設■—=機，貝!加J2-2加一3=0,

x

因式分解得：(冽-3)(加+1)=0,

???加一3=0或加+1=0,

答案第7頁，共14頁

解得：加=3或機=—1,

當加=3時，則、+工=3,

x

整理得：、2-3%+1=0,

—6±"2—3±J9—43±V5

???x=--------------------=---------------=---------，

2a22

解得：%=告叵，七=三3，

經(jīng)檢驗，V=1±2^,X三區(qū)都是方程x+'=3的解，

1222x

x+—的值為3；

x

當加=一1時，則1+,=-1,

X

整理得：x2+x+l=0,

A=Z?2-4QC=1-4=-3<0,

XH---=-1時，方程無解.

X

綜上所述，X+，的值為3,

X

故答案為：3.

17.x=-2

【分析】本題考查了解分式方程和解一元二次方程，熟練掌握分式方程的解法是解題關

鍵.需注意的是，分式方程的解一定要進行檢驗.方程兩邊同乘以(x+l)(x-1)化成整式方

程，再利用因式分解法解一元二次方程可得X的值，然后進行檢驗即可得.

2x-l2

【詳解】解：--+-—=l,

x-11-xr

方程兩邊同乘以(x+l)(x—1),得(2x—l)(x+l)—2=(x+l)(x—1),

22

去括號，^2x+2x-x-l-2=x-lf

移項、合并同類項，得Y+x—2=0,

因式分解，得(-1)卜+2)=0,

解得x=l或x=-2,

經(jīng)檢驗，尤=1不是原分式方程的解，尤=-2是原分式方程的解，

故答案為：x=-2.

答案第8頁，共14頁

【分析】本題考查坐標與圖形，勾股定理，設NB=x,勾股定理求出/C,3C,過點A作

AD1BC,易得A/CD為等腰直角三角形，求出的長，等積法列出方程進行求解即

可.

【詳解】解：?.?”（l,0）,C（0,4）,

.-.OA=1,OC=4,

■■AC=Vl2+42=V17，

過點A作4D28C,

ZACB=45°,

???△/DC為等腰直角三角形,

...AD=CD=—AC=典,

22

設AB=x,貝!J：OB=1+x,

BC=y]0C2+0B2=^(1+X)2+16,

?：S“Bc=gAB.OC=gBC.AD，

???4x=?J(l+x)2+16,

16x2=》[(1+才+161，

1717

解得：x或==（舍去）,

1720

??.OB=1+—=

33

故答案為：—.

19.(1)再=3,x2=4；

3

(2)%=3,x2=—.

答案第9頁，共14頁

【分析】本題主要考查因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解

的方法是解題的關鍵.

(1)先提取公因式3),再根據(jù)解一元一次方程的方法即可求解；

(2)移項得7Mx-3)-3(x-3)=0,再提取公因式(X-3),最后根據(jù)解一元一次方程的方法

即可求解.

【詳解】(1)解：4(X-3)2-X(^-3)=0

(x-3)[4(x-3)-x]=0

(x-3)(3x-12)=0,

.??工一3=0或3]-12=0,

二百=3,x2=4；

(2)解：7x(x-3)=3x-9

7x(x-3)-3(x-3)=0

(x-3)(7x-3)=0,

???工一3=0或7%-3=0,

O3

X]—3,%2=~.

20.X]=1+%=1-yfijx3=——,x4=2

【分析】本題考查了換元法解可以化為一元二次方程的分式方程等知識.設告=九原

X-1

方程變?yōu)椤?解得"]或再分別代入士=y,求出x=l土收，或x=-g

y123x-12

或x=2,代入最簡公分母進行檢驗即可求解.

【詳解】解：設*=>,貝

x-1xy

17

原方程變?yōu)?+二=5，

y乙

去分母得：6y2-7y+2=0,

解得白二1或片；2

答案第10頁，共14頁

x]

當-#7=彳時，去分母得：X2-2X-X=0,

x-12

解得：x=1±V2;

Y2

當三=彳時，去分母得：2X2-3X-2=0,

x-13

解得：x=-g或尤=2,

檢驗：當x=l土板時，2x(x+l)(x-l)w0,當工=-；或x=2時，2x(x+l)(x-l)w0,

二分式方程的解為項=1+V2,X2=1-72,x3=--^,x4=2.

21.(1)X]=5/5+2,x?=—\fs+2

小、11+V1311-V13

(2)/=---，/=―7—

66

9

(3)玉=3,x2=—

(4)?=；,%=-2

【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關性質內(nèi)容是解題的關鍵.

(1)運用配方法解方程，先移項再配方，然后開方即可作答.

(2)先化為一般式，再根據(jù)A=/-4ac算出，以及代入x「b土&進行化簡,即可作

2a

答.

(3)先移項，再提取公因式，令每個因式為0,進行解出x的值，即可作答.

(4)先移項，再提取公因式，令每個因式為0,進行解出x的值，即可作答.

【詳解1(1)解:x?-4x-1=0

移項，得/-4x=l

配方，得M-4x+4=l+4,即(x-2『=5

x—2=±V5

解得Xj=V5+2,x2=—yl~5+2；

(2)解：3X2-11X=-9

3X2-11X+9=0

△=/-4ac=121-4x3x9=121-108=13

答案第11頁，共14頁

11±V13

x=-----------

6

解得寸生正,▼上g

66

(3)解：5(X-3)2=X2-9

5(X-3)2-(X2-9)=0

5(X-3)2-(X-3)(X+3)=0

(x-3)[5(x-3)-(x+3)]=(x-3)(4x-18)=0

則x-3=0,4x-18=0

9

解得X1=3,x2——；

(4)解：2y2+4y=y+2

2y2+4y-(y+2)=0

2.y(j+2)-(y+2)=0

(2y-l)(y+2)=0

???2y—1=0,>+2=0

解得m=；，％=-2.

22.(1)證明見解析;

(2)10或2"

【分析】(1)利用根的判別式求出A=Z>2-4ac=("?+6y-24加=m2-12/M+36=(m-6)2即

可；

(2)把原方程因式分解(x-加)(x-6)=0,求出方程的兩個根網(wǎng)=機，X2=6,分別探討不

同的數(shù)值為斜邊，利用勾股定理解決問題；

本題考查了根的判別式，解一元二次方程和勾股定理，熟練掌握知識點的應用是解題的關

鍵.

【詳解】(1)證明："b2-4ac=(m+6)--24m=m2-12/W+36=(TH-6)2,

答案第12頁，共14頁

b2-4ac>0，

??.這個一元二次方程一定有兩個實數(shù)根；

(2)解：原方程可變?yōu)?x-機)(x-6)=0,

則方程的兩根為西=%，超=6,

二直角三角形三邊為6,