新高考物理二輪專題復(fù)習(xí)精練專題23 數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用（原卷版）

2023高考二輪復(fù)習(xí)二十專題專題二十三、數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用第一部分織網(wǎng)點(diǎn)睛，綱舉目張高考物理試題的解答離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，借助物理知識(shí)滲透考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永恒主題?？梢哉f(shuō)任何物理試題的求解過(guò)程實(shí)際上是將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)求解再還原為物理結(jié)論的過(guò)程。第二部分實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練，高考真題演練1．（18分）（2022重慶高考）小明設(shè)計(jì)了一個(gè)青蛙捉飛蟲(chóng)的游戲，游戲中蛙和蟲(chóng)都在SKIPIF1<0豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。蟲(chóng)可以從水平x軸上任意位置處由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，每次運(yùn)動(dòng)的加速度大小恒為SKIPIF1<0（g為重力加速度），方向均與x軸負(fù)方向成SKIPIF1<0斜向上（x軸向右為正）。蛙位于y軸上M點(diǎn)處，SKIPIF1<0，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙運(yùn)動(dòng)過(guò)程中僅受重力作用。蛙和蟲(chóng)均視為質(zhì)點(diǎn)，取SKIPIF1<0。（1）若蟲(chóng)飛出一段時(shí)間后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在SKIPIF1<0的高度捉住蟲(chóng)時(shí)，蛙與蟲(chóng)的水平位移大小之比為SKIPIF1<0，求蛙的最大跳出速率。（2）若蛙跳出的速率不大于（1）問(wèn)中的最大跳出速率，蛙跳出時(shí)刻不早于蟲(chóng)飛出時(shí)刻，蟲(chóng)能被捉住，求蟲(chóng)在x軸上飛出的位置范圍。（3）若蟲(chóng)從某位置飛出后，蛙可選擇在某時(shí)刻以某速率跳出，捉住蟲(chóng)時(shí)蛙與蟲(chóng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為SKIPIF1<0；蛙也可選擇在另一時(shí)刻以同一速率跳出，捉住蟲(chóng)時(shí)蛙與蟲(chóng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為SKIPIF1<0。求滿足上述條件的蟲(chóng)飛出的所有可能位置及蛙對(duì)應(yīng)的跳出速率。第三部分思路歸納，內(nèi)化方法物理解題過(guò)程中常用的數(shù)學(xué)方法主要有1．正弦定理：在如圖甲所示的三角形中，各邊和所對(duì)應(yīng)角的正弦之比相等。即：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)2．余弦定理：在如圖甲所示的三角形中，有如下三個(gè)表達(dá)式：a2＝b2＋c2－2bc·cosAb2＝a2＋c2－2ac·cosBc2＝a2＋b2－2ab·cosC3．三角形相似法：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，如圖乙所示，兩三角形相似，有：eq\f(OM,ON)＝eq\f(OP,OQ)＝eq\f(PM,NQ)[例3]表面光滑、半徑為R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′處有一無(wú)摩擦定滑輪，輕質(zhì)細(xì)繩兩端各系一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球掛在定滑輪上，如圖所示。兩小球平衡時(shí)，若滑輪兩側(cè)細(xì)繩的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1＝2.4R和L2＝2.5R，這兩個(gè)小球的質(zhì)量之比為eq\f(m1,m2)，小球與半球之間的壓力之比為eq\f(FN1,FN2)，則以下說(shuō)法正確的是()A.eq\f(m1,m2)＝eq\f(24,25) B.eq\f(m1,m2)＝eq\f(25,24)C.eq\f(FN1,FN2)＝eq\f(25,24) D.eq\f(FN1,FN2)＝eq\f(24,25)[解析]先以左側(cè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析受力情況：重力m1g、繩子的拉力FT和半球的支持力FN1，作出受力分析圖。由平衡條件得知，拉力FT和支持力FN1的合力與重力m1g大小相等、方向相反。設(shè)OO′＝h，根據(jù)三角形相似得eq\f(FT,L1)＝eq\f(FN1,R)＝eq\f(m1g,h)，解得m1g＝eq\f(FTh,L1)，F(xiàn)N1＝eq\f(FTR,L1)①同理，以右側(cè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，得：m2g＝eq\f(FTh,L2)，F(xiàn)N2＝eq\f(FTR,L2)，②由①②式得eq\f(m1,m2)＝eq\f(L2,L1)＝eq\f(25,24)，eq\f(FN1,FN2)＝eq\f(L2,L1)＝eq\f(25,24)。[答案]BC4三角函數(shù)法三角函數(shù)：y＝acosθ＋bsinθy＝acosθ＋bsinθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋α)，其中α＝arctaneq\f(a,b)。當(dāng)θ＋α＝90°時(shí)，有極大值ymax＝eq\r(a2＋b2)。[例4]如圖所示是一旅行箱，它既可以在地面上推著行走，也可以在地面上拉著行走。已知該旅行箱的總質(zhì)量為15kg，一旅客用斜向上的拉力拉著旅行箱在水平地面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，若拉力的最小值為90N，此時(shí)拉力與水平方向間的夾角為θ，重力加速度大小為g＝10m/s2，sin37°＝0.6，旅行箱受到地面的阻力與其受到地面的支持力成正比，比值為μ，則()A．μ＝0.5，θ＝37° B．μ＝0.5，θ＝53°C．μ＝0.75，θ＝53° D．μ＝0.75，θ＝37°[解析]對(duì)旅行箱受力分析，如圖所示，根據(jù)平衡條件，水平方向，有：Fcosθ－Ff＝0，豎直方向，有：FN＋Fsinθ－G＝0，其中：Ff＝μFN，故F＝eq\f(μG,cosθ＋μsinθ)，令μ＝tanα，則F＝eq\f(Gsinα,cosα－θ)；當(dāng)α－θ＝0°時(shí)，F(xiàn)有最小值，故F＝Gsinα＝90N，故α＝37°，故μ＝tan37°＝0.75，θ＝37°，故選D。[答案]D5.二次函數(shù)法二次函數(shù)：y＝ax2＋bx＋c當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，有極值ym＝eq\f(4ac－b2,4a)(若二次項(xiàng)系數(shù)a＞0，y有極小值；若a＜0，y有極大值)。6.數(shù)學(xué)歸納法凡涉及數(shù)列求解的物理問(wèn)題都具有過(guò)程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過(guò)程均不是原來(lái)的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)。隨著物理過(guò)程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化。該類(lèi)問(wèn)題求解的基本思路為：(1)逐個(gè)分析開(kāi)始的幾個(gè)物理過(guò)程；(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項(xiàng)公式(這是解題的關(guān)鍵)；(3)最后分析整個(gè)物理過(guò)程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律求解。7.數(shù)列法無(wú)窮數(shù)列的求和，一般是無(wú)窮遞減數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用。等差：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(d為公差)。等比：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)，q≠1,na1，q＝1))(q為公比)。8.圖像法根據(jù)題述情景畫(huà)出相關(guān)圖像進(jìn)行定性分析或定量運(yùn)算。9.矢量圖解法第四部分最新模擬集萃，提升應(yīng)試能力1.（2023寧夏銀川一中第一次月考）如圖，懸掛甲物體的細(xì)線拴牢在一不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩上O點(diǎn)處；繩的一端通過(guò)光滑的定滑輪與物體丙相連，另一端通過(guò)光滑定滑輪與物體乙相連。甲、乙兩物體質(zhì)量相等。系統(tǒng)平衡時(shí)，O點(diǎn)兩側(cè)繩與豎直方向的夾角分別為α和β。若β=55°，則（）

A.α>β B.α<β C.丙的質(zhì)量小于甲的質(zhì)量 D.丙的質(zhì)量大于甲的質(zhì)量2.（16分）（2023湖南名校聯(lián)盟期中）如圖所示，水平地面上固定兩個(gè)相同的斜面SKIPIF1<0，斜面足夠長(zhǎng)且傾角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0，在其中點(diǎn)正上方有光滑水平軸SKIPIF1<0。一根長(zhǎng)為SKIPIF1<0的輕質(zhì)細(xì)繩一端固定在軸SKIPIF1<0上，另一端系一個(gè)質(zhì)量為SKIPIF1<0的小球SKIPIF1<0，小球與地面接觸但無(wú)相互作用?；瑝KSKIPIF1<0和小球SKIPIF1<0的質(zhì)量相等，且均可視為質(zhì)點(diǎn)，滑塊與小球發(fā)生彈性正碰，若不計(jì)空氣阻力和滑塊經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0點(diǎn)處的機(jī)械能損失，重力加速度SKIPIF1<0取SKIPIF1<0。（1）若滑塊SKIPIF1<0從SKIPIF1<0處由靜止下滑，滑塊SKIPIF1<0與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為SKIPIF1<0，斜面SKIPIF1<0均光滑，求：①滑塊SKIPIF1<0與小球SKIPIF1<0第一次碰后瞬間繩子對(duì)小球SKIPIF1<0的拉力大??；②滑塊SKIPIF1<0與小球SKIPIF1<0碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。（2）若滑塊SKIPIF1<0從SKIPIF1<0處由靜止滑下，斜面SKIPIF1<0均粗糙，滑塊SKIPIF1<0與斜面和水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為SKIPIF1<0。求小球SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在最低點(diǎn)的動(dòng)能SKIPIF1<0的表達(dá)式。（要求除SKIPIF1<0外，其他物理量的數(shù)值需代入，寫(xiě)出關(guān)系式即可，不需要寫(xiě)出取值范圍。）3．（2023四川遂寧零診）如圖所示，水平地面PQ上豎直平面內(nèi)固定光滑軌道ABC，AB是半徑為3R的弧形軌道，BC是半徑為R的弧形軌道，兩軌道在地面上的B點(diǎn)平滑對(duì)接。BC的圓心為O，BO豎直，AB的圓心在O點(diǎn)正上方，CO與豎直線夾角為θ。D點(diǎn)是C點(diǎn)關(guān)于過(guò)BO豎直線始終對(duì)稱的點(diǎn)。一個(gè)質(zhì)量為m的小球在軌道AB上從距PQ高h(yuǎn)處?kù)o止釋放。已知重力加速度為g。（1）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)前、后瞬時(shí)對(duì)軌道壓力大小的變化量。（2）如果小球能夠到達(dá)C點(diǎn)，求小球靜止釋放位置高h(yuǎn)的最小值。（3）如果半徑R確定，改變夾角為θ，并相應(yīng)調(diào)整小球在AB軌道上靜止釋放的位置，以確保能依次通過(guò)C、D兩點(diǎn)，求h的最小值。4.（2023湖南三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合起點(diǎn)考試）如圖所示，有兩足夠長(zhǎng)傾角均為SKIPIF1<0的粗糙斜面AB和CD均通過(guò)一小段平滑的圓弧與足夠長(zhǎng)的光滑水平面BC連接，小滑塊a與斜面AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)SKIPIF1<0，小滑塊b與斜面CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)SKIPIF1<0，小滑塊a從斜面AB上的P點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，一段時(shí)間后，與靜止在水平面BC上的裝有質(zhì)量不計(jì)的彈簧的物塊b發(fā)生第一次碰撞，之后彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能的最大值SKIPIF1<0，已知小滑塊a、b均可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量均為SKIPIF1<0，小滑塊a與彈簧碰撞過(guò)程中不損失機(jī)械能，且彈簧始終在彈性限度內(nèi)，取重力加速度大小SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。求：（1）P點(diǎn)距水平面的高度h；（2）小滑塊a與小滑塊b第一次碰撞后，小滑塊b沿CD斜面上滑的最大距離SKIPIF1<0；（3）小滑塊b在斜面上運(yùn)動(dòng)的總路程SKIPIF1<0。

5.（2023重慶八中高三質(zhì)檢）如圖所示，一傾角為SKIPIF1<0的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一垂直于斜面的擋板，現(xiàn)將一質(zhì)量為SKIPIF1<0的小滑塊A從離擋板距離為18L處由靜止釋放：隨后某一時(shí)刻，再將質(zhì)量為SKIPIF1<0的小滑塊B從斜面上的另一位置由靜止釋放；滑塊A與擋板相撞反彈后向上運(yùn)動(dòng)到離擋板距離為SKIPIF1<0處與同速率下滑的滑塊B發(fā)生彈性碰撞，碰后立即將滑塊B取走。已知每次滑塊A與擋板碰撞，碰后速率為碰前的SKIPIF1<0倍，兩滑塊和斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)SKIPIF1<0，重力加速度為SKIPIF1<0，兩滑塊均視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)各次碰撞時(shí)間。求：（1）滑塊A第一次與擋板碰撞前的速度大小；（2）滑塊A、B釋放的時(shí)間差；（3）整個(gè)過(guò)程中滑塊A與擋板碰撞損失的能量。6(2020·日照模擬)如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為eq\r(3)m、m的小圓環(huán)A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)線連著，套在一個(gè)豎直固定的大圓環(huán)上，大圓環(huán)的圓心為O。系統(tǒng)平衡時(shí)，細(xì)線所對(duì)的圓心角為90°，大圓環(huán)和小圓環(huán)之間的摩擦力及細(xì)線的質(zhì)量忽略不計(jì)，重力加速度大小用g表示，下列判斷正確的是()A．小圓環(huán)A、B受到大圓環(huán)的支持力之比是eq\r(3)∶1B．小圓環(huán)A受到大圓環(huán)的支持力與豎直方向的夾角為15°C．細(xì)線與水平方向的夾角為30°D．細(xì)線的拉力大小為eq\f(\r(3),2)mg6如圖，固定在豎直平面內(nèi)的傾斜軌道AB，與水平固定光滑軌道BC相連，豎直墻壁CD高H＝0.2m，在地面上緊靠墻壁固定一個(gè)和CD等高，底邊長(zhǎng)L1＝0.3m的固定斜面。一個(gè)質(zhì)量m＝0.1kg的小物塊(視為質(zhì)點(diǎn))在軌道AB上從距離B點(diǎn)L2＝4m處由靜止釋放，從C點(diǎn)水平拋出，已知小物塊與AB段軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，通過(guò)B點(diǎn)時(shí)無(wú)能量損失；AB段與水平面的夾角為37°。(空氣阻力不計(jì)，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)求小物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大??；(2)求小物塊從C點(diǎn)拋出到擊中斜面的時(shí)間；(3)改變小物塊從軌道上釋放的初位置，求小物塊擊中斜面時(shí)動(dòng)能的最小值。7如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一、二象限內(nèi)，存在以虛線OM為邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)。勻強(qiáng)電場(chǎng)方向沿y軸負(fù)方向，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里，虛線OM與x軸負(fù)方向成45°角。一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處以初速度v0沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，粒子每次到達(dá)x軸將反彈，第一次反彈無(wú)能量損失，以后每次反彈水平分速度不變、豎直分速度大小均減為反彈前的eq\f(1,2)，方向相反。電場(chǎng)強(qiáng)度大小等于eq\f(mv02,16qd)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小等于eq\f(mv0,qd)，求：(不計(jì)粒子重力，題中各物理量單位均為國(guó)際單位，計(jì)算結(jié)果可用分式表示)(1)帶電粒子第三次經(jīng)過(guò)OM時(shí)的坐標(biāo)；(2)帶電粒子第三次到達(dá)OM時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間；(3)帶電粒子從第二次進(jìn)入電場(chǎng)開(kāi)始，沿電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)的總路程。8．(2020·銀川模擬)如圖所示，a、b兩個(gè)小球穿在一根光滑的固定桿上，并且通過(guò)一條細(xì)繩跨過(guò)定滑輪連接。已知b球質(zhì)量為m，桿與水平面的夾角為30°，不計(jì)所有摩擦。當(dāng)兩球靜止時(shí)，Oa段繩與桿的夾角也為30°，Ob段繩沿豎直方向，則a球的質(zhì)量為()A.eq\r(3)m B.eq\f(\r(3),3)mC.eq\f(\r(3),2)m D．2m．9.[多選](2020·臨沂期末)如圖所示，矩形線框abcd處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與線框平面垂直，線框ab長(zhǎng)為2L，bc長(zhǎng)為L(zhǎng)，MN為垂直于ab并可在ab和cd上自由滑動(dòng)的金屬桿，且桿與ab和cd接觸良好，abcd和MN上單位長(zhǎng)度的電阻皆為r。讓MN從ad處開(kāi)始以速度v向右勻速滑動(dòng)，設(shè)MN與ad之間的距離為x(0≤x≤2L)，則在整個(gè)過(guò)程中()A．當(dāng)x＝0時(shí)，MN中電流最小B．當(dāng)x＝L時(shí)，MN中電流最小C．MN中電流的最小值為eq\f(2Bv,5r)D．MN中電流的最大值為eq\f(6Bv,11r)10．(2020·肇慶一模)如圖(a)所示，一物體以一定的速度v0沿足夠長(zhǎng)的固定斜面向上運(yùn)動(dòng)，此物體在斜面上的最大位移與斜面傾角的關(guān)系如圖(b)所示。設(shè)各種條件下，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)不變，取g＝10m/s2。試求：(1)物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)及物體的初速度大?。?2)θ為多大時(shí)，x值最小？求出x的最小值。11.在仰角α＝30°的雪坡上舉行跳臺(tái)滑雪比賽，如圖所示。運(yùn)動(dòng)員從坡上方A點(diǎn)開(kāi)始下滑，到起跳點(diǎn)O時(shí)借助設(shè)備和技巧，保持在該點(diǎn)的速率不變而以與水平面成θ角的方向起跳。最后落在坡上B點(diǎn)，坡上OB兩點(diǎn)距離為L(zhǎng)。已知A點(diǎn)高于O點(diǎn)h＝50m，不計(jì)摩擦和阻力，則OB兩點(diǎn)距離L最大值為多少米？此時(shí)起跳角為多大？12．如圖所示，裝置的左邊是足夠長(zhǎng)的光滑水平面，一輕質(zhì)彈簧左端固定，右端連接著質(zhì)量M＝2kg的小物塊A；裝置的中間是水平傳送帶，它與左右兩邊的水平面等高，并能平滑對(duì)接，傳送帶始終以v＝2m/s的速率逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。裝置的右邊是一光滑的曲面，質(zhì)量m＝1kg的小物塊B從其上距水平面h＝1.0m處由靜止釋放。已知物塊B與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，傳送帶的長(zhǎng)度l＝1.0m。設(shè)物塊A、B之間發(fā)生的是對(duì)心彈性碰撞，第一次碰撞前物塊A靜止，g取10m/s2。(1)求物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大??；(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明物塊B與物塊A第一次碰撞后能否運(yùn)動(dòng)到右邊曲面上；(3)如果物塊A、B每次