【學霸滿分】2023-2024學年九年級數(shù)學下冊重難點專題提優(yōu)訓練（北師大版）專題13 垂徑定理之六大考點（解析版）

專題13垂徑定理之六大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用垂徑定理求值】 1【考點二利用垂徑定理求平行弦問題】 4【考點三利用垂徑定理求同心圓問題】 7【考點四利用垂徑定理求解其他問題】 10【考點五垂徑定理的推論】 13【考點六垂徑定理的實際應用】 16【過關檢測】 18【典型例題】【考點一利用垂徑定理求值】例題：（2023上·安徽合肥·九年級?？茧A段練習）如圖，為的直徑，為的弦，，垂足為，，，．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，連接，由垂徑定理可得，由勾股定理可得，最后根據(jù)即可得出答案，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，為的直徑，為的弦，，，，，，，故答案為：．【變式訓練】1．（2023上·江蘇無錫·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，弦，垂足為點E，，則．【答案】10【分析】本題主要考查垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理以及勾股定理是解決本題的關鍵．根據(jù)得，進而根據(jù)垂徑定理得出，連接，設，則，根據(jù)勾股定理得方程解答．【詳解】解：連接，設，則，∵，∴，∵是的直徑，弦，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，解得，即的長為10．故答案為：10．2．（2023上·江蘇蘇州·九年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校?？计谥校霃綖?的如圖折疊，折痕長為6，C為折疊后的中點，則長為．【答案】3【分析】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系和勾股定理．延長交于D點，交于E點，連接，如圖根據(jù)圓心角、弧、弦的關系由得到，則可判斷垂直平分，則，再利用勾股定理計算出，所以，然后利用C點和D點關于對稱得到，最后計算即可．【詳解】解：延長交于D點，交于E點，連接，如圖，∵C為折疊后的中點，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，在中，，∴，∵沿折疊得到，垂直，∴C點和D點關于對稱，∴，∴．故答案為：3．【考點二利用垂徑定理求平行弦問題】例題：（2023秋·天津和平·九年級校考期末）半徑為5，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過點作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當圓點在、之間，與之間的距離；當圓點不在、之間，與之間的距離．【詳解】解：過點作，為垂足，交與，連，，如圖，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；當圓點在、之間，與之間的距離；當圓點不在、之間，與之間的距離；所以與之間的距離為7或1．故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的?。部疾榱斯垂啥ɡ硪约胺诸愑懻摰乃枷氲倪\用．【變式訓練】1．（2023·全國·九年級專題練習）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．【答案】2或14【分析】由于弦與的具體位置不能確定，故應分兩種情況進行討論：①弦與在圓心同側；②弦與在圓心異側；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當弦與在圓心同側時，如圖①，

過點O作，垂足為F，交于點E，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②當弦與在圓心異側時，如圖，

過點O作于點E，反向延長交于點F，連接，同理，，，所以與之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．2．（2023春·甘肅武威·九年級校聯(lián)考階段練習）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【答案】7cm或17cm．【分析】分兩種情況進行討論：①弦AB和CD在圓心同側；②弦AB和CD在圓心異側；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當弦AB和CD在圓心同側時，如圖1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12?5＝7cm；②當弦AB和CD在圓心異側時，如圖2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB與CD之間的距離為7cm或17cm．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應用，正確作出輔助線、靈活運用定理是解題的關鍵，注意掌握數(shù)形結合思想與分類討論思想的應用．【考點三利用垂徑定理求同心圓問題】例題：如圖，已知的兩條弦、分別與的同心圓交于點E、F、X、Y，，，，則的長度為．

【答案】5【分析】先設大圓半徑為R，小圓半徑為r，的長度為．連結、、、，然后過點分別作交于點，交于點，根據(jù)垂徑定理和勾股定理，得，，即，則，同理得，則，即可作答．【詳解】解：設大圓半徑為R，小圓半徑為r，的長度為．連結、、、，然后過點分別作交于點，交于點，如圖所示：

由垂徑定理可得，，在和，由勾股定理得，，即，則，那么，在和，由勾股定理得，，即，則，那么，因為，所以，解得，所以．故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，解出和是本題解題的關鍵，難度適中．【變式訓練】1．如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫出同心圓圓心，設弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中，在RT△OCE中，，則解得：r=134．故答案為：134．【點睛】本題考查垂徑定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．2．如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見解析(2)小圓的半徑r為【分析】（1）過O作于點E，由垂徑定理可知E為和的中點，則可證得結論；（2）連接，由條件可求得的長，則可求得和的長，在中，利用勾股定理可求得的長，在中可求得的長；【詳解】（1）證明：過O作于點E，如圖1，由垂徑定理可得∴∴（2）解：連接，如圖2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圓的半徑r為．【點睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．【考點四利用垂徑定理求解其他問題】例題：如圖所示，一圓弧過方格的格點，試在方格中建立平面直角坐標系，使點的坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，作線段、的垂直平分線，其交點即為圓心，根據(jù)點的坐標即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接，作線段、的垂直平分線，其交點即為圓心．

∵點的坐標為，∴該圓弧所在圓的圓心坐標是．故選：C．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系、垂徑定理的推論，牢記垂徑定理的推論（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。┦墙忸}的關鍵．【變式訓練】1．如圖是一破損了的圓形零件的設計圖，請你根據(jù)所學的有關知識將設計圖恢復完整．

【答案】見解析【分析】在弧上任取三點，，，連接，，分別做，的中垂線交于點，以點O為圓心，長為半徑作圓即可．【詳解】解：如圖即為所作的圓．

【點睛】本題考查了復雜作圖及垂徑定理，解決本題的關鍵是掌握：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心．2．已知：如圖，是的直徑，點C在上，請用無刻度直尺畫圖（保留作圖痕跡，不寫畫法）．

(1)如圖①，若M是半圓的中點，且與C點在同側，畫出的平分線．并說明理由；(2)如圖②，若，畫出的平分線．【答案】(1)畫圖，理由見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）作直徑，作射線即可，理由見解析；（2）連接，交于點，作直線交于點，作射線即可，由可得，從而得出，從而得出，再由等腰三角形性質(zhì)得出，推出，最后得出結論．【詳解】（1）如圖①，即為所求的平分線；

證明：∵M是半圓的中點，∴，∴直徑直徑，∴，∴，即平分．（2）如圖2中，射線即為所求．

【點睛】本題考查作圖復雜作圖，角平分線的概念，圓周角定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【考點五垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設圓弧所在圓的圓心為O，測得其同一水平線上A、B兩點之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【答案】【分析】連接，設的半徑為R，利用垂徑定理以及勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，設的半徑為R，則，由題意得，，∴，在中，由勾股定理得，解得，則的半徑為米．故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理的應用，根據(jù)題意作出輔助線，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖是一位同學從照片上前切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A，B兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】連接，作于點D，交優(yōu)弧于點C，利用垂徑定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的長，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，作于點D，交優(yōu)弧于點C，則厘米．由題意得厘米，在中，厘米，∴厘米，則“圖上”太陽從目前所處位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案為：16．【點睛】本題考查了垂徑定理的應用，利用垂徑定理構造直角三角形是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）《九章算術》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺．問徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長是寸．【答案】【分析】連接，依題意，得出，設半徑為，則，在中，，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，，為的半徑，∴，設半徑為，則，在中，，∴，解得：，∴直徑為，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理的應用，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵．【考點六垂徑定理的實際應用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級專題練習）如圖，的直徑與弦交于點E，，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論判斷即可．【詳解】解：∵是的直徑與弦交于點，，根據(jù)垂徑定理及其推論可得，點B為劣弧的中點，點為優(yōu)弧的中點，∴，，但不能證明，故選項說法錯誤，符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是垂徑定理及其推論，解決本題的關鍵是熟練掌握垂徑定理及其推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧，平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。咀兪接柧殹?．（2023春·九年級單元測試）下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦②平分弦的直徑平分弦所對的?、鄞怪庇谙业闹本€必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【詳解】根據(jù)垂徑定理及其推論進行判斷．【解答】解：根據(jù)垂徑定理，①正確；②錯誤．平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對的?。虎坼e誤．垂直于弦且平分弦的直線必過圓心；④正確．故選：D．【點評】注意概念性質(zhì)的語言敘述，有時是專門來混淆是非的，只是一字之差，所以學生一定要養(yǎng)成認真仔細的習慣．2．已知一座圓弧形拱橋，圓心為點O，橋下水面寬度為，過O作于點D，．

(1)求該圓弧形拱橋的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬，船艙頂部高出水面的貨船要經(jīng)過這座拱橋（船艙截面為長方形），請問，該貨船能順利通過嗎？【答案】(1)(2)可以順利通過，見解析【分析】本題考查垂徑定理及勾股定理，利用半弦，半徑和弦心距構造直角三角形，根據(jù)直角三角形中的勾股定理作為相等關系解方程求線段的長度是解決問題的關鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，連接，設，得：解得：，∴圓弧形拱橋的半徑為；（2）∵，，∴，且，

∴，.連接，則，

∴，即：，∴該貨船可以順利通過．【過關檢測】一、單選題1．（2023上·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的弦，半徑，垂足為D，設的半徑為5，，則的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，連接，再求出，根據(jù)勾股定理得出，最后根據(jù)垂徑定理即可得出．【詳解】解：連接，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：B．2．（2023上·廣西南寧·九年級南寧市第四十七中學校聯(lián)考階段練習）如圖，點在上，直徑于點，下列結論中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查的是垂徑定理．由題意可知為垂直于弦的直徑，根據(jù)垂徑定理即可做出正確的判斷．【詳解】解：根據(jù)為的直徑，且，垂足為，則是垂直于弦的直徑，滿足垂徑定理．所以是的垂直平分線，因而，，，都是正確的．所以選項B、不一定成立．故選：B．3．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）已知，為中的兩條弦，．若，，的直徑為，則與之間距離為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理：“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧”．也考查了勾股定理．連接，，過圓心作直線于，交于，由，根據(jù)垂徑定理得到，，再根據(jù)勾股定理可計算出，，然后分類討論：當和在圓心的同側時，則；②當和在圓心的兩側時，則．【詳解】如圖所示，連接，，過圓心作直線于，交于，，，的直徑為，，，，，，由勾股定理可得：，，①當和在圓心的同側時，則；②當和在圓心的兩側時，則．則與間的距離為或．故選：C．4．（2013·重慶·統(tǒng)考二模）如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C． D．【答案】D【詳解】解：O為圓心的兩個同心圓的圓心，大圓的弦AB與小圓相切于C點，C點是AB的中點，即AC=BC==6；并且OC⊥AB，在中，由勾股定理得，所以；AO=8cm，所以，所以OC=故選：【點睛】本題考查弦心距，勾股定理，解答本題要求考生掌握弦心距的概念和性質(zhì)，熟悉勾股定理的內(nèi)容.5．（2023上·浙江杭州·九年級杭州市豐潭中學?？计谥校┖贾輥嗊\會開幕式出現(xiàn)一座古今交匯拱底橋，橋面呈拱形．該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對的弦的長），拱高（橋拱圓弧的中點到弦的距離）約為，則此橋拱的半徑是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】該題主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．設圓心為，作于點，的延長線交圓弧為點，設半徑為，根據(jù)垂徑定理得，，由勾股定理得：，即可求出答案．【詳解】解：如圖，設圓心為，作于點，的延長線交圓弧為點，則為優(yōu)弧的中點，設半徑為，，，，由勾股定理得：，，解得：，故選：B．二、填空題6．（2023上·福建莆田·九年級?？计谥校┤鐖D，都是的半徑，交于點D．若，則的長為

【答案】4【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關鍵是：根據(jù)垂徑定理的推論得，再根據(jù)勾股定理得，即可求出答案．【詳解】解：，，在中，，，．故答案為：4．7．（2023上·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考階段練習）把一張圓形紙片按如圖方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則的度數(shù)是．【答案】/度【分析】過O作半徑于點F，連，由垂徑定理得到，則有，再根據(jù)題意證明為等邊三角形，得到，則，的度數(shù)可求．【詳解】解：過O作半徑于點F，連，∴，∴，∴垂直平分，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，∴，則的度數(shù)是，故答案為：【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的性質(zhì)、垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定，及軸對稱圖形的性質(zhì)，熟練根據(jù)垂徑定理作輔助線得到等邊三角形是關鍵．8．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”．問題翻譯為：如圖，現(xiàn)有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，將它鋸下來測得深度為1寸，鋸長為10寸，則圓材的半徑為寸．【答案】13【分析】本題考查的是垂徑定理的應用以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解題的關鍵．設圓材的圓心為，延長，交于點，連接，由題意知過點，且，設圓形木材半徑為，可知寸，寸，根據(jù)列方程求解可得．【詳解】解：設圓材的圓心為，延長，交于點，連接，如圖所示：由題意知：過點，且，則，設圓形木材半徑為寸，則寸，寸，∵，∴，解得：，∴的半徑為13寸，故答案為：13．9．（2023上·全國·九年級專題練習）已知的直徑為，，是的兩條弦，，，，則與之間的距離為cm．【答案】2或14【分析】作于E，延長交于F，連接、，如圖，利用平行線的性質(zhì)，根據(jù)垂徑定理得到，，則利用勾股定理可計算出，，討論：當點O在與之間時，；當點O不在與之間時，．【詳解】解：作于E，延長交于F，連接、，如圖

∵，，∴，∴，，在中，，在中，，當點O在與之間時，如圖1，，當點O不在與之間時，如圖2，，故答案為：2或14．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．注意分類討論．10．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）圖1是某奢侈品牌的香水瓶．從正面看上去（如圖2），它可以近似看作割去兩個弓形后余下的部分與矩形組合而成的圖形（點B、C在⊙O上），其中；從側面看，它是扁平的，厚度為，已知的半徑為，，香水瓶的高度為，現(xiàn)用一張矩形硬紙板做成如圖3所示的香水瓶包裝盒，則這個香水瓶包裝盒的表面積是【答案】6【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，長方體表面積的計算，作于，延長交于，連接、，根據(jù)垂徑定理求出、，解直角三角形求出，，根據(jù)即可解決問題，再求出長方體的長寬高，利用長方體表面積公式求出答案即可．【詳解】解：如圖，作于，延長交于，連接、．，，，，，，，∴香水瓶的高度為；根據(jù)題意可知長方體盒子的長為，寬為，高為，∴該這個香水瓶包裝盒的表面積是，故答案為：2；．三、解答題11．（2023上·安徽合肥·九年級校考階段練習）如圖，是的直徑，且經(jīng)過弦的中點，已知，，則的長的長度．

【答案】【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理、余弦的定義，連接，由垂徑定理可得，由余弦的定義計算出，由勾股定理可得，設，則，由勾股定理可得，求解即可得出答案，熟練掌握垂徑定理、勾股定理、余弦的定義，是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，

，是的直徑，且經(jīng)過弦的中點，，，，，，，設，則，，，解得：，．12．（2023上·江蘇蘇州·九年級蘇州高新區(qū)第二中學?？茧A段練習）如圖，在中，，以點O為圓心，為半徑的圓交于點C，交于點D．(1)若，則弧的度數(shù)為______．(2)若，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，利用三角形的內(nèi)角和定理求出，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出可求解．（2）作于，利用面積法求出，再利用勾股定理求出，利用垂徑定理即可解決問題．【詳解】（1）解：連接．，，，，，，弧的度數(shù)為，（2）如圖，作于．在中，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，弧與圓心角的關系，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．13．（2023上·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期中）某村為了促進農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展，建設了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如圖是蔬菜大棚的截面，形狀為圓弧型，圓心為，跨度（弧所對的弦）的長為8米，拱高（弧的中點到弦的距離）為2米．

(1)求該圓弧所在圓的半徑；(2)在修建過程中，在距蔬菜大棚的一端（點）1米處將豎立支撐桿，求支撐桿的高度．【答案】(1)該圓弧所在圓的半徑為5米(2)支撐桿的高度為1米【分析】此題考查了矩形判定和性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理的應用：（1）根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心在的延長線上，設的半徑為米，則米．由垂徑定理得到米．在中，由勾股定理得，得到方程，解方程即可求出該圓弧所在圓的半徑；（2）過點作于點，連，先求出，證明四邊形為矩形，則．在中，，求出．根據(jù)四邊形為矩形即可得到答案．【詳解】（1）垂直平分，圓心在的延長線上．設的半徑為米，則米．，（米）．在中，由勾股定理得：，即，解得．即該圓弧所在圓的半徑為5米；（2）過點作于點，連接．

，．∵，∴四邊形為矩形，，在中，．，．．即支撐桿的高度為1米．14．（2023上·北京·九年級期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，垂足為D．(1)求證：；(2)已知的半徑為5，，求長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）由垂徑定理，得到，進而得到，三線合一，得到，等邊對等角，得到，即可得出；（2）先求出的長，勾股定理求出的長，垂徑定理得到即可．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵的半徑為5，，∴，∵，∴，∵是的直徑，，∴．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，中垂線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，是解題的關鍵．15．（2023上·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點．

(1)與相等嗎？為什么？(2)若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，求的長．【答案】(1)與相等，理由見解析(2)【分析】（1）過點O作于點E，根據(jù)垂徑定理可得，即可；（2）連接，則，分別在和中，根據(jù)勾股定理求出，即可．【詳解】（1）解：與相等，理由如下：如圖，過點O作于點E，

∵點O為兩個同心圓的圓心，∴，∴，∴；（2）解：如圖，連接，則，

由（1）得：，，在中，，在中，，∴．16．（2023上·江蘇蘇州·九年級蘇州市胥江實驗中學校校聯(lián)考階段練習）如圖，中，，以為直徑作，分別交，于點，，過點作，交于點，垂足為，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求弦的長．【答案】(1)(2)24【分析】本題考查了垂徑定理，掌握定理并靈活運用是解題的關鍵，（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，進而求出，根據(jù)垂徑定理可得，從而求出的度數(shù)；（2）連接，已知，則，則，已知，則，在中利用勾股定理求出，即可求出．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，；（2）連接，，，，，，，，，，在中，，，即弦的長為24．17．（2023上·河北石家莊·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為O，直徑是河底藏線，弦是水位線，米，于點E，此時測得．(1)求的長；(2)如圖，陰影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面圖，若其長為10米，高為2米，當點E恰在中點時，①畫出半圓O最高點H，并直接寫出點H到線段的距離；②若該箱子隨水面上升1米，請判斷此木箱能否通過該橋洞