湖南省部分學校2024-2025學年高三年級上冊入學考試數學試題（含答案解析）

湖南省部分學校2024-2025學年高三上學期入學考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知向量a=("%T),6=。,2),且°為<0，則優(yōu)的取值范圍為()

A.(—oo,2)B.(—co,—2)C.(—2,2)D.(—1,2)

2.已知集合A=<>>=-；>,B={x|尤2-5尤-6vo},則AB=()

A.0B.[2,3]C.-了3D.-16

3.已知母線長為10的圓臺的側面積為100兀，且其上底面的半徑/與下底面的半徑H滿足

R=4r,則R=()

A.2B.4C.8D.12

o

4.已知復數z滿足7三二一,則慟=()

z+i4

A.1B.撞C.2

D.垂

5

5.記VA5c的內角A,B,C的對邊分別為4,b,c,若acosC-ccosA=b,則JsinA=()

A.B.-C?走D.1

222

6.記拋物線氏V=4%的焦點為尸，點A在右上，8(2,1),則|/F|+|4引的最小值為()

A.2B.

7.記A,8為隨機事件,)

AB.

-12123

8.已知〃x)=sin?x+9)(0>0,0</苫)的部分圖象如圖所示，點AB,C是/(x)與

且0sin0=，^,則/之?=(

坐標軸的交點,若VABC是直角三角形,)

3.

。.—D.1

2

二、多選題

9.北京時間2024年7月27日，我國射擊健將黃雨婷、李豪戰(zhàn)勝韓國選手，摘奪了射擊混合

團體10米氣步槍金牌，通過賽后數據記錄得到其中一名選手的得分分別為

7,12,13,17,18,20,32,則()

A.該組數據的極差為25

B.該組數據的75%分位數為19

C.該組數據的平均數為17

D.若該組數據去掉一個數得到一組新數據，則這兩組數據的平均數可能相等

10.已知首項為1的數列｛%｝滿足(4+1-〃4)(4+1+%)=。，記｛"4+J的前幾項和為(，則

()

A.［受］可能為等差數列

1

B.an=(-1)"-

C.若%>0,則+

D.若的也<0,則成-+或=。

11.已知函數〃x)=ln(l+ea)-x是偶函數，點A(%J(xj),點網9,〃％)),點(:區(qū)/伉))

在函數“X)的圖象上，且毛-%=%-再=1，記AC邊上的高為人，貝U()

A.a=2B.函數g(x)=/(x)-x是減函數

C.點8可能在以AC為直徑的圓上D.”的最大值為

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知4cos，+sin￡=O,貝!|tan26=.

13.寫出一個同時具有下列性質的函數/（x）的解析式：.

①“X）不是常函數

②“X）的最小正周期為2

③/（無）不存在對稱中心

22

14.已知雙曲線。:，-斗=1（a>0,b>0）的左，右焦點為居，F2,過F2的直線4交C

ab

的右支于點A8（點A在點8上方），|A月|=2忸閭，過點片作直線交C于點E（點

2

E在第二象限）,若直線8E與直線AF的交點在直線x=-—±,則C的離心率為.

XC

四、解答題

22

15.已知橢圓〃:當+a=1（。>°>°）過點（仇新）和（L@-

⑴求M的離心率；

（2）若直線/:y=x+根與M有且僅有一個交點，求I的一般式方程.

16.中國能源生產量和消費量持續(xù)攀升，目前已經成為全球第一大能源生產國和消費國，能

源安全是關乎國家經濟社會發(fā)展的全局性、戰(zhàn)略性問題，為了助力新形勢下中國能源高質量

發(fā)展和能源安全水平提升，發(fā)展和開發(fā)新能源是當務之急.近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃

發(fā)展,新能源汽車不僅對環(huán)境保護具有重大的意義,而且還能夠減少對不可再生資源的開發(fā),

是全球汽車發(fā)展的重要方向.“保護環(huán)境，人人有責”，在政府和有關企業(yè)的努力下，某地區(qū)

近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：

年份X20192020202120222023

新能源汽車購買數量y（萬輛）0.400.701.101.501.80

⑴計算y與無的相關系數『（保留三位小數）；

（2）求y關于X的線性回歸方程，并預測該地區(qū)2025年新能源汽車購買數量.

參考公式r=I?"I?，B=，-1?--,a=y-bx._

忸-可臥F1（—）

參考數值：V13?3.6056,J(x,.-x)(X.-y)=3.6.

Z=1

jr

17.如圖,三棱柱ABC-A6G中，側面441GC是邊長為2的正方形，■=2行，/8旦4=

⑴證明：A^IBC,；

(2)若二面角A-BG-4的余弦值為-半,求BG的值.

18.已知函數/'(x)=x_lnx,g(x)=^-e2x-fl-1-e1-1-aex~a+ax.

⑴求的極值；

(2)討論g(x)的單調性;

⑶若g。)存在兩個極值點4，%(。<玉<々)，討論/&)和〃/)的大小關系.

19.對于一個非零整數〃和質數。，我們稱〃中含的P哥次為%5),^(")定義為最大的非

負整數左，使得存在非零整數加，有〃="〃，例如%⑻=3,%(36)=2等.定義一個非零

有理數:的vd=O(s)-力⑺，如?=一2,%(%)=3,且規(guī)定%(0)=+8.現在對

于任意一個有理數;，我們定義其“0示數"為口=",其中M=規(guī)定例p=0.記

兩個有理數X，y的“P示數距離”為dp(x,y)=||x-y||p.

⑴直接寫出皿4嘰,高,43(9,學的值;

⑵證明：對于一個正整數。，存在一列非整數的正有理數為,無2，，士使

1>《(。,玉)>%(。,%2)>>4(。,X”)；

⑶給定質數p,若一個無窮集合A中任意一數列{%,},對于任意yeA：叫則

我們稱集合A是“。一緊致的“，是否存在質數P,使得整數集是“P-緊致的”？若存在，求出

所有p；若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案ADCADBDCACDACD

題號11

答案ABD

1.A

【分析】根據數量積的坐標表示，列出不等式，即可得答案.

【詳解】由a=(m,—1)力=(1,2),0.力<0,可得機一2<0,

解得根<2,

故選：A.

2.D

【分析】化簡集合A,B,根據交集定義求Acb.

【詳解】?.?y=L--Y-->--,

12)44

,AV

解爐-5尤一6W0,^-l<x<6,

AB=—,6.

_4_

故選：D.

3.C

【分析】根據圓臺側面積公式計算即可.

【詳解】因為該圓臺的側面積為100兀，母線長/=10,R=4r

所以Mr+4r)xl0=100兀，解得r=2,則兄=8,

故選：C.

4.A

【分析】根據3z=2—+i求出1+匕求出工，求出Z,求出|z|.

Z+14zz

【詳解】由三=?，有i+:=a=U*=IT，

z+l4z2+j(2+j)(2-p55

j=。一ii,z=旦=5i(3+4i)=_￡+冬，

z553-4j(3-4p(3+4j)55

答案第1頁，共12頁

\z\=1.

故選：B.

5.D

【分析】利用正弦定理進行邊角互化，結合兩角差的正弦公式求解即可.

【詳解】由正弦定理得sinAcosC-sinCcosA=sinB,

gpsin（A-C）=sinB,A—C=3或A—C+8=7T.

若A—C+8=7t,結合A+B+C=7t,有C=0,故舍去.

71

A=B+C.A=—,...sinA=l,

2

故選：D.

6.B

【分析】由拋物線的定義即可求解.

【詳解】過點A作x=T的垂線，垂足為D,則=

則|4F|+\AB\=MD|+MB|>3,如圖所示.

所以|4F|+|4B|的最小值為3.

故選：B.

【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解.

【詳解】記P（A）=吐由全概率公式有尸閭=P（A）尸（回勾+尸㈤尸（劇Z）,

1171

代入數據有5=］尤+］（1-尤），解得尤=5，

.-.P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=1-P（A）P（B|A）=1-1（1-P（B|A））=|,

故選：D.

8.C

【分析】由正弦函數性質得AB,c三點坐標，再由ABL3C,結合有

答案第2頁，共12頁

|OB|2=|Q4|X|OC|,建立方程即可求出他9,最后將”半代入函數解析式即可得解.

【詳解】由正弦函數性質有3（0,sin。），c（與9,01

由VA5C是直角三角形，可得AB1.3C,

結合80工AC有108『=4moe|,

71-1((.2

—P—P=sin,

CD')co

（Gsin0）2=（兀一夕）°二K，

解得吟或0d（舍去）,

A/2KV271

33A/2K22瓜式

：.CO=—=---=-----x—f==--------

sin。sin工3百9

3

￡(、./2'\]'^式71.

j(x)—sin(-----xH—)，

,,2屈K3\/6兀、."兀、.nA/3

=sin(―-—x2+y)=sin(2n+§)=sin—~T

故選：c.

【分析】根據題意，利用極差、百分位數、平均數的概念逐項判斷即可.

【詳解】對于A項，極差等于32-7=25,故A正確；

對于B項，7x75%=5.25,故75%分位數為20,故B錯誤;

7+12+13+17+18+20+32

對于C項,平均數等于=17,故C正確;

7

對于D項，去掉17后，這兩組數據的平均數相等，故D正確.

故選：ACD.

10.ACD

【分析】根據已知分類討論得出通項及性質判斷A,B,C,分類討論求和即可判斷D.

答案第3頁，共12頁

【詳解】由題意可得??+1="%或+4=0.

注意到若存在m6N*使得am+1+am=o,則amam+1<0,

對于C項，只能滿足。"+1得見+i=nxall=nx(n-l)xall_l==〃!na“=("-1)!(〃22),

當〃=1時也符合，此時‘包="故數列為等差數列，故A正確;

an

%+1=〃,川=(〃+1-1)/！=(〃+1)!-〃!=用=(〃+1)!-1,故C正確;

若則%+4=。，故?！?(-1尸，故B錯誤;

一絲1,“為奇數

此時“—=(-!)"〃，奇偶分類討論有(=,則故D正確，

3"為偶數

12

故選:ACD.

11.ABD

【分析】利用偶函數的性質求解參數判斷A,利用導數判斷B,利用圓的性質判斷C,利用

不等式的取等條件判斷D即可.

【詳解】對于A選項，由是偶函數得到〃x)=〃r),

則InO+e^^-xulnO+eij+x,解得a=2,故A正確;

對于B選項，g(x)=f(x)-x=ln(l+e2x)-2x,

故g'(x)=-十7,且g'(x)<0恒成立，

故得g(x)為減函數，故B正確；

對于C選項，由B知g(x2)>g(%3)，即〃電)-

由對稱性，可設則/(%)-〃當)>0.

若點8在以AC為直徑的圓上，貝第54.8C=0，

帶入即(〃石)一/(%))(/(電)一〃%))+&-々)(&-%2)=0,

即(〃石)-/(々》(/(%)-/(%))=1.

若尤3>%>占2。，則“石不滿足題意；

答案第4頁，共12頁

1

e+1

2T而en—

若％3〉冗2>°>石1，"再）_/（入2）￡In------,ln-----'而In—

12

e+-2

e

故B不可能在以AC為直徑的圓上，故C錯誤;

對于D選項，過點2作x軸的垂線交AC于點Z）,則//WAD（當且僅當％=。時取等）,

而/(x,—1)+/(%,+1),、記e巧二%,

AD=八°J2)-/(x2)=

/+卜+』>+11+

則?+1)2

0+1)2<ln^l

AD=

22e

當且僅當，=1的時候取等，即9=0時取等，所以兩個不等號能同時取等,

已2+]

故/I的最大值為In上，故D正確.

2e

故答案選：ABD

【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數，解題關鍵是找到不等式的取等條件，然后得到參數值,

得到所要求的最值即可.

【分析】由4cos，+sin，=O求得tan。，進而利用二倍角公式可得tan26的值.

【詳解】因為4cose+sin6=0,所以tan，=-4,

2tan6_-8_8

所以tan26=

l-tan26?-1-16-15

故答案為：-jy.

13.（不唯一）

【分析】根據函數/'（x）所具有的性質，結合正弦函數的性質，即可確定答案.

【詳解】根據題中函數需滿足的條件，可取函數為正弦型函數，

答案第5頁，共12頁

即可取〃無)=sin]]),其圖象為:

結合圖象可知滿足題意，

故答案為：/(x)=sin]d(不唯一)

14.叵

3

【分析】利用給定條件分別求出邊長，利用余弦定理表示同角的三角函數，建立齊次方程求

由對稱性有8E過坐標原點。且|環(huán)|=|巡

由卜&有△EFiPs^BAP,;.畢一EP_1

BP-3

X*,\EO\=\BO\,：.\EP\=\OP\,x=2x=-^―,

Epc

\EF^=a,|AF21=2tz,|AFX|=4a,即忸耳|=3a,忸閭=a,

在.ABF1中,cos/片AB=--------------,

2X4QX3Q

■/rAAr4-t/L/n16〃+4Q?—4c-々刀zgJ21

在可耳中，cos/片AB=--------------,解得e二」—，

2X4GX2Q3

故答案為：浮.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查求解析幾何，解題關鍵是利用給定條件求出各個三角形的邊

長，然后利用余弦定理表示同一個角，得到所要求的離心率即可.

答案第6頁，共12頁

5⑴半

（2）x-y±2V2=0

22

【分析】⑴由橢圓?。?a=1(4＞人＞0)過點心,何和(1,@,求得△投,進而求得

C,即可得到M的離心率；

(2)聯立M和/的方程，得到關于x的一元二次方程，由△=(),可求得〃?=±20,即可

得到/的一般式方程.

22

【詳解】(1)因為橢圓M:4+京=13＞6＞0)過點(0,旬和(1,⑹,

色-1r

所以；1「解得:二2,

b

由,得0=2,

22

由（1）可得M的方程為，匕+上=1,

62

、寸+t=1

聯立＜62,得+2如+/一6=0,

y=x+m

由A=4〃廣-4x4（租2_6）=o,得租=±20,

，直線/的一般式方程為：x-y±2s/2=0.

16.(1)0.998

⑵線性回歸方程是＞0.36^-726.46,該地區(qū)2025年新能源汽車購買數量約為2.54萬輛.

答案第7頁，共12頁

【分析】(1)利用所提供數據求后代入參考公式求「即可;

(2)結合公式求分，a,由此可得回歸方程，再利用回歸方程進行預測.

2021x5+(-2)+(-l)+0+l+2=2。2u」4。+。.7。+1.1。+1.5。+1.8。

【詳解】(1)無==1.10,

5

5

X(七一元)一=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,

1=1

5c

J(y.-j)2=(-0.7)2+(-0.4)2+02+0.42+0.72=1.3,

<=1

5

￡(%-可(%-刃3.63.6

1=1?0.998

；(X，-T)2j4(?一9)23.6056

5

,可(X-刃36

(2)由(1)知匕=-----------=—=0.36,

2仕一寸W

1=1

a=y-bx=1.1-2021x0.36=-726.46,

所以，關于x的線性回歸方程是y=0.36元-726.46,

當x=2025時，夕=0.36x2025—726.46=2.54(萬輛),

該地區(qū)2025年新能源汽車購買數量約為2.54萬輛.

17.(1)證明見解析

(2)273

【分析】⑴側面ACGA是邊長為2的正方形得到AA和AG的關系，M、4G和AG的

長度，根據側面斜片B是平行四邊形得到/即A和，在，氏阻中，由余弦定理得AXB,

判斷A4W的形狀，證明A4,，平面ABC」證明AALBG；

(2)取BCj的中點，記為D,連接AD,AQ.證明AD_LBG，,8C；_L平面3,,

求出二面角A-5G-A的平面角，證明B瓦，平面記二面角A-8C|-瓦為凡表示

出〃與NADA的關系，找至Ijcosd和sin/A￡)A的關系，求出sin/ADR,求出tan/A￡)A，證

明求出

【詳解】(1)?.?側面ACQA是邊長為2的正方形，

答案第8頁，共12頁

M-LAG-AAl=AiC,=2,AC[=叵,

側面441g也是平行四邊形，

TT

ZBB^=ZBA\=-,

在，BAA,中，由余弦定理有M2+AB2-\B2=2A4(-ABcosZBA^,

解得AB=2,r.MB是直角三角形，

/.AAX1\B,ABcAC[=Ai，AXB,AQu平面A^G，

「./L4j_L平面,又5Gu平面AfG，

/.A\1BCX；

(2)取BG的中點，記為D,連接AD,A。，

/.AD±BCX,AD上BC],

ADAD=D,AD,AQu平面ADA，

BC]_L平面AD\,NA￡)A為二面角A-BCi-Ax的平面角.

又?,明，平面A^G，AA.IIBB,,

_L平面ABC,記二面角A—BG-4為e,

7T

貝|。=萬+/24￡)4,cose=—sin/A￡)4,

二.sin/ADA=羋，.?.tan/AO4=2.

(34。(=平面45。1，M1AD，

A4

.,.力=2,二4。=1,BC\=2BD=26

??.8G的值為2VL

答案第9頁，共12頁

18.(1)極小值為1,沒有極大值

(2)

答案見詳解

(3)答案見詳解

【分析】⑴對求導，令/。)=0求得x=l"'(x)的零點把定義域劃分為(0,1)和(1,+8)

判斷各個區(qū)間的單調性，從而判斷x=l是極大值點還是極小值點，再求出對應的極值即可；

(2)對g(x)求導，并對g(x)的導函數進行整理，整理成因式乘積的形式，然后根據不同

的。對g(x)的導函數正負的影響進行討論，從而得到g(x)的單調性；

(3)由(2)可以得到%=ln〃+l,x2=a,結合%>占>0,得到。取不同范圍時無”馬的范

圍，再結合函數/(x)的單調性，從而判斷/&)和/(々)的大小關系.

【詳解】(1)=1--,xe(0,1)時/''(X)<0,久e(1,+8)時尸(久)>o,

X

■■■/(X)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

/O)在尤=1處取到極小值"1)=1,沒有極大值.

(2)g'(x)=e2'-0'1-aeax+a={e-a

情形一若aWO,可得e--o>0恒成立，且g'(a)=0,

xe(-oo,a)時，g<x)<0,故g(x)在xe(-8,a)單調遞減；

xe(a,+e)時,g'(x)>0,故g(x)在xe(a,+e)單調遞增;

情形二若g'(x)=(ec-'-l)(e-1-l)=(e-1-l)2,則g，(x)NO,

g(X)在XW(-00,+8)單調遞增；

情形三若ae(O,l)u(l,+力)，令g'(無)=(/"一1)(尸一0)=0,解得*=1僦+1或》=〃，

又由(1)知當ae(0,l)5L+。)時，/(a)=a—lna>/(l)=l可得a>lna+l,

二.xe(lna+l,a)時，g[x)<0,故g(x)在xe(lm+l,a)單調遞減;

xG(-co,Ina+1)和xe(a,+8)時，g'(x)>0,故g(%)在xe(—8,Ina+1)和xw(a,+oo)單調遞

答案第10頁，共12頁

增.

綜上所述,若aVO,a)時,g(x)單調遞減,xe(a,+a))時,g(x)單調遞增;

若a=l,XG(-OO,+OO),g(x)在單調遞增；

若a€(0,1)31，+°°),x《lna+l,a)時，g(x)單調遞減，xw(-8,lna+l)和xe(a,+8)時,

g(x)單調遞增.

(3)由(2)知，只能是Xi=lna+1,x2=a,

玉=Ina+1>0

x=a>0,解得a>工且aw1,

由％>為>0,貝卜2

e

\na+1wa

又當ae:時，X],e(o,l),由/(%)在(0,1)上單調遞減可知；

當ae(l,+oo)時，4，x2>1,由/(x)在(1,+8)上單調遞增可知?

綜上所述，aw時，/(芭)>/(々)；。?1，+°°)時，/(西)</(々)-

9111

19.(1)11144||=—,——

⑴216128吟「

3713

(2)證明見解析

(3)不存在質數P,使得整數集是“。一緊致的“，理由見解析

【分析】(1)根據定義分別計算即可;

2;

(2)取%=CCH----,ieN*,則*為非整數的正有理數，結合定義及指數函數單調性即可證

3

明;

p2一1

(3)取x產,ieN*,則

P+1

(…(。-1)

=(pf(p2T+*4++p2+［

yez,