例析對“投影向量”與“數(shù)量投影”的理解與應用-2024年高考數(shù)學復習（上海專用）

【原卷版】例析對“投影向量”與“數(shù)量投影”的理解與應用

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確了“向量的投影是從高維空間到低維子空間的一種線性變換”,

將平面向量投影的結(jié)果由“數(shù)量”變?yōu)椤跋蛄俊?，并引入了“投影向量”的概念；滬教?020數(shù)學必修第二冊新

增了“821向量的投影“，就：投影向量（簡稱為投影）與數(shù)量投影進行了詳解與比較；

一、對投影向量與數(shù)量投影的理解

1、投影向量的定義”8

如圖：如果向量A5的起點A和終點3在直線/上的投影分別為A和8,A（

那么向量彳萬叫做向量通在直線/上的投影向量（簡稱為：投影）；；」I

A'B'

理解：一個向量B在一個非零向量Z的方向的投影，就是向量B在向量Z的任意一條所在直線上的投影，因

為這些直線都是平行的，所以，向量B在一個非零向量3的方向的投影是唯一確定的;

特殊地，如圖，若兩個向量共起點。；

即：OA=a,OB=b,過點3作直線Q4的垂線，垂足為3’,

則而就是向量B在向量￡上的投影向量；

2、投影向量的計算公式

以一點。為起點，；

作：OA=a,OB=b,把射線Q4、08的夾角稱為向量￡、向量B的夾角，記作：＜%石＞；

<a,b>e[0,7r]；

/<a,b>e\0,—

0BA

BA

—>—*](_?_.,,

<a,b>=—,又稱向量垂直，記作Q_L/?；

2

O(B>A

B,

71

<a,b>E5'"

B

(1)0(5')(2)

當＜Z,B＞為銳角（如圖（1））時，。5’與Zo方向相同,

|b|cos<a.b>-

2=|OB|=|b|cos<a.b>,所以OB=|b\cos<a,b>ao-----------------a；

|。|

當＜Z,B＞為直角（如圖（2））時，2=0,所以礪=6；

當＜Z,B＞為鈍角（如圖（3））時，而與方向相反,

所以4=一|05|=-1|cosBOB=-1|cos(^--<a.b>)=\b\cos<a.b>

rri17I一7一Ib|cos<ab>-*

所以H06=|b|cos<a,b>ao=--------=；-------a；

|o|

當＜Z,B＞=o時，2=i^l,所以礪=|引￡。=口￡；

\a\

00

當<a,B>=?時，A,=—\b\,所以05=|B|cosJia。J"s冗a；

綜上可知，對于任意的＜。，石＞￡[0,"],都有OB=1B于os＜〃，B＞〃0J"c°s："，〃＞〃

|o|

3、數(shù)量投影的定義與求法

〃A

1

-為向量。的單位向量，那么

.h

向量B在向量a方向上的向量投影為：|B|cos<W,B>萬J>Icos：a,」>￡；

\a\

其中，實數(shù)囪cos<2,石〉(*)稱為向量B在向量￡方向上的數(shù)量投影；

理解：⑴當時；實數(shù)曲cos<￡,B〉(*)大于0；

(2)當<a,b>=—時；實數(shù)網(wǎng)cos<a,B>(*)等于0；

2

(3)當<4,B時；實數(shù)的cosva,B>(*)小于0；

特別的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相應的數(shù)量投影的絕對值是該投影的模，因此,

這個數(shù)量投影等于0；

工典題例折

投影向量與數(shù)量投影相關題型例析

題型1、直接求投影向量與數(shù)量投影

求投影向量時，根據(jù)定義由投影向量與投影所在的向量共線，問題轉(zhuǎn)化為利用該向量的數(shù)量投影與投

影所在向量方向上單位向量的積；特別注意：投影向量與數(shù)量投影的本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系；

例1、已知|a|=6,"為單位向量，當向量工的夾角<a,5〉分別等于(1)45。；(2)90°；(3)135°

時，求向量［在向量工上的投影向量；

【說明】本題考有了向量的投影的概念與運算，重點考直了運算能力；由投影向量與投影向量所在的向量

共線，問題轉(zhuǎn)化為求向量間的數(shù)量投影與投影所在向量方向上單位向量的積；

例2、在AABC中，已知|通|=5,|反。=4,|正|=3,求:

⑴ABBC^

(2)就在Z百方向上的投影向量;

(3)不目在前方向上的數(shù)量投影;

【說明】掌握投影向量與數(shù)量投影的概念與計算公式，是正確解答本題的基礎；

題型2、已知投影向量與數(shù)量投影求與向量相關

已知投影向量求解向量的模、數(shù)量積等；

例3、已知向量a=(2,0),I=sina,,若向量B在向量￡上的投影向量c=[g,o],則|a+1|=()

A.百B.77C.3D.7

【說明】本題考查向量投影的應用，考查分析理解的能力；

一一5-

例4、已知|a|=5,g|=4,與B同向的單位向量為e，若￡在石上的投影向量為-§e，則之與B的夾角6=

()

A.60°B.120°C.135°D.150°

【說明】本題考直向量的投影，此類問題熟記公式是關鍵；

題型3、已知投影向量與數(shù)量投影求參數(shù)

根據(jù)已知投影向量與數(shù)量投影及其相關表示與計算方法，構建等式或不等式求相關待定的參數(shù)；

例5、已知向量Z=(—4,3),點B(2,-1),記彳萬為通在向量￡上的投影向量，若45'=京，

則2=.

例6、對任意平面向量荏=(x,y),將荏繞其起點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角后得到

向量AQ=(xcos"-ysin(p,xsincp+ycos。)，叫做把點3繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)夕角得到點Q,

已知平面內(nèi)兩點A(l,2),3(l+四，2—20)；

(1)若將點3繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)乙后得到點尸，求點P的坐標；

4

(2)已知向量〃二(0,2),向量方是向量AQ在向量〃方向上的投影向量，若對于任意的0,-,不

等式|B|2+cos2。一加＞0恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

題型4、投影向量與數(shù)量投影與其他知識的交匯

注意向量的表示多樣性，構建與轉(zhuǎn)化與其他知識的交匯與綜合;

___.AZ?1

例7、已知非零向量薪與前滿足?3C=0,且鳥=則向量而在向量而

\AB\|AC|2

上的投影向量為（）

3-.3―?

A.-CBB.-CBC.——CBD.

222

【說明】本題整合了投影向量的概念與計算和平面幾何性質(zhì)的交匯；

例8、如圖，設Ox,是平面內(nèi)相交成。角的兩條數(shù)軸，/分別是與x軸、＞軸同方向的單位向量.若

向量而=E+,則把有序數(shù)對（蒼y）叫做而在斜坐標系中的坐標；

（1）若。=5，2=（1,1）3=（3,1）,求：B在G上的投影向量斜坐標.

(2)若Z=(l,l),b=(3,1),c=(2,-l),\c\<y/2,求cos?<a,I>的最小值.

【說明】關鍵點睛：利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合分式型函數(shù)的單調(diào)性是解題的關犍;

綜上，現(xiàn)行高中數(shù)學新教材強化平面向量投影的學習，體現(xiàn)了數(shù)學的整體性、邏輯的連貫性、思想的

一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，有利于學生構建銜接自然、渾然一體的的高中數(shù)學知識體系；

臉|鞏固練習

1、己知|引=8,75=24,則向量7在向量B上的投影向