廣西桂林某中學(xué)2024-2025學(xué)年下學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣西桂林陽朔中學(xué)2024-2025學(xué)年下學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是()

A.8B.32C.64D.128

2.已知拋物線y2=2px(p>0),尸為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過焦點(diǎn)的弦，若|。/|=1,|W|=8,則△OAW的面

積為()

A.2^2B?3A/2C?4^2D?--—

3.已知函數(shù)/(%)=]/-J—，則函數(shù)》=/(%-1)的圖象大致為()

ln(x+l)-x

=2py的焦點(diǎn)，點(diǎn)工為拋物線C的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過工作拋物線。的切線，

切點(diǎn)為A,若點(diǎn)4恰好在以片，月為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為()

A.*2B.V2-1C.逅產(chǎn)D.V2+1

'_l

5.已知/(x)=e二是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式/(-3)</(9-/的解集為()

ex+a

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

6.3本不同的語文書，2本不同的數(shù)學(xué)書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是()

￡111

A.B.-C.一D.—

24510

("2+

7.復(fù)數(shù)2=R)為純虛數(shù)，則z=()

A.1B.-2iC.2iD.-i

8.在函數(shù)：①丁二以?/耳；?y=\cosx|；③>=cos[2x+%J；④y=tan[2x—1J中，最小正周期為左的所有

函數(shù)為()

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

9.閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是()

I開始）

A.i>5B.Z>8C.z>10D.Z>12

223

10.已知雙曲線C:=-2=l（a>0/>0）的漸近線方程為y=?—x,且其右焦點(diǎn)為（5,0）,則雙曲線c的方程為（）

a-b4

A.=lB.《上=1C,耳上=1D.看上=1

9161693443

11.某大學(xué)計算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人

臉識別，數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學(xué)習(xí)，其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉

識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）

A.480種B.360種C.240種D.120種

12.如圖，圓。的半徑為1,A,B是圓上的定點(diǎn)，OBLOA,尸是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線08的對稱點(diǎn)為

P',角x的始邊為射線Q4,終邊為射線0尸，將口A-赤|表示為x的函數(shù)/（九），則y=/（x）在［0,句上的圖像

大致為（）

13.若復(fù)數(shù)Z滿足22+5=3+3其中i是虛數(shù)單位，三是Z的共朝復(fù)數(shù)，則2=.

14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是.

15.已知正方體----_二-，-.-棱長為2,點(diǎn)一是上底面內(nèi)一動點(diǎn)，若三棱錐-------的外接球表面積

LwJjMMJ4M*jMMMM/JX*jMMJMMMM

恰為,則此時點(diǎn)-構(gòu)成的圖形面積為.

16.過直線4x+3y—10=0上一點(diǎn)p作圓好+/=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為人，B,則丙.麗的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(%)=k+i|.

(1)求不等式/(x)W4T2x-3|的解集；

(2)若正數(shù)機(jī)、九滿足m+2〃=7加，求證：f(m)+f(―2/z)>8.

18.(12分)如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=2石。，點(diǎn)”是3E的中點(diǎn),

將A4B后沿著BE折起，使點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)S處，且滿足sc=sr>.

(1)證明：5/7，平面3。￡如；

(2)求二面角C—S3—E的余弦值.

19.(12分)已知/(x)=e*-〃優(yōu).

(1)若曲線y=lnx在點(diǎn)02,2)處的切線也與曲線y=/(x)相切，求實(shí)數(shù)的值;

(2)試討論函數(shù)/(尤)零點(diǎn)的個數(shù).

20.(12分)設(shè)函數(shù)〃x)=lnx-a(。一1).

(1)若函數(shù)y=/(x)在。,+8)是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

c,°In,

(2)若n>m>0,證明:2+Inn<2.----v\nm.

vm

21.(12分)如圖，焦點(diǎn)在工軸上的橢圓G與焦點(diǎn)在丁軸上的橢圓02都過點(diǎn)M(O』)，中心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，且橢圓G

與C,的離心率均為走.

2

(I)求橢圓G與橢圓C］的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過點(diǎn)M的互相垂直的兩直線分別與G，。2交于點(diǎn)A，3(點(diǎn)A、5不同于點(diǎn)M),當(dāng)AM45的面積取最大值

時，求兩直線MA,M3斜率的比值.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=e-*+e*+ax,aeR.

(1)討論了(九)的單調(diào)性；

A1

⑵若〃龍)存在兩個極值點(diǎn)再，x2,證明：/(x1)-/(x2)<(?-2)(e-e^).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，逐次計算，結(jié)合判斷條件，即可求解.

【詳解】

由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得

第1次循環(huán)，滿足判斷條件，s=l,k=l；

第2次循環(huán)，滿足判斷條件，s=2,k=2；

第3次循環(huán)，滿足判斷條件，S=8,攵=3；

第4次循環(huán)，滿足判斷條件，S=64,k=4；

不滿足判斷條件，輸出S=64.

故選：C.

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計算，結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)

鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

根據(jù)I。b1=1可知丁2=4x,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.

【詳解】

由題意可知拋物線方程為y2=4x，設(shè)點(diǎn)"（玉,X）點(diǎn)N（%2,%），則由拋物線定義

知,MN|=|MF|+1NF|=%%2+2,|MN|=8則%+Z=6.

由>2=4x得y=4芯，￡=49則y；+yl=24.

又MN為過焦點(diǎn)的弦，所以%%=-4，則1%—J1|=Jy；+y；-2yly2=4J5,所以S^OMN=^\OF\-\y2-y\=28.

故選：A

本題考查拋物線的方程應(yīng)用，同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.

3.A

【解析】

用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(x—1)=———，由于］］〉0,排除8選項(xiàng)；由于g(e)=±,g(e?)=二所以

lnx-x+1'7ln-+-2-e'73-e

22

g(e)>g(e2),排除C選項(xiàng)；由于當(dāng)xf中?時，g(x)>0,排除。選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.

故選：A

本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.

4.D

【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，求得左的值，設(shè)出雙曲線方程，求得2a=|AF2|-|AFi|

=(V2-1)P，利用雙曲線的離心率公式求得e.

【詳解】

直線的直線方程為：y=kx-R,Fi(0,"),F2(0,—"),

222

代入拋物線C：%2=2py方程，整理得：X2-2pkx+p2—0,

.?.△=4a2_4p2=0,解得:k=+l,

22

.,.A(p,E),設(shè)雙曲線方程為：々—二=1,

2a2b2

IAF1I=p,IAF2I=Jp2+「2=?p,

2a=IAF2I-IAFiI=(血一1)夕，

2c—p,

離心率e——=—j=—=A/2+1,

aV2-1

故選：D.

本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于中檔題.

5.C

【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，=1,進(jìn)而可知/(%)在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得％-3<9-解一元二次不等式即可得解.

【詳解】

因?yàn)槿嵌x在R上的奇函數(shù)，所以〃1)+/(—1)=0,

1-1X

即一=0,解得a=l,即/(x)=1=i__

v

e+al+fl'e'+le'+l

e

易知/(九)在R上為增函數(shù).

又〃無一3)</(9—尤2),所以％—3<9—f，解得—4〈尤<3.

故選：C.

本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.

6.D

【解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件.計數(shù)后可求得概率.

【詳解】

3本不同的語文書編號為A5C,2本不同的數(shù)學(xué)書編號為。力，從中任意取出2本，所有的可能為：

AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab10個，恰好都是數(shù)學(xué)書的只有a匕一種，.??所求概率為。=

10

故選：D.

本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計數(shù)計算概率.

7.B

【解析】

復(fù)數(shù)z=(Y—l)+(a—為純虛數(shù)，則實(shí)部為0,虛部不為0,求出0,即得z.

【詳解】

,.1z=(a2_i)+(a_1)*aeR)為純虛數(shù)，

a2-1=0

解得a=—1.

4一1W0

z=—2z.

故選：B.

本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

逐一考查所給的函數(shù)：

y=cos|2x|=cos2x，該函數(shù)為偶函數(shù)，周期7=夸=%；

將函數(shù)y=cosx圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到y(tǒng)=|cosx|的圖象，該函數(shù)的周期為gx2?="；

函數(shù)y=cos(2x+。的最小正周期為7=4；

函數(shù)y=tan12x-的最小正周期為T=W=W；

綜上可得最小正周期為萬的所有函數(shù)為①②③.

本題選擇A選項(xiàng).

點(diǎn)睛：求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子，否則很容易出現(xiàn)錯

誤.一般地，經(jīng)過恒等變形成"y=Asin((?x+9),y=Acos(twx+°),y=Atan(①x+0)”的形式，再利用周期

公式即可.

9.C

【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計算可得輸出為25時i的值，進(jìn)而得判斷框內(nèi)容.

【詳解】

根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，S=O,i=l

則S=l』=3,

S=4,z=5,

S=9,i=7,

S=16,7=9,

S=25,z=11,

此時輸出S,因而，=9不符合條件框的內(nèi)容，但，=11符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項(xiàng)可知C為正確選項(xiàng),

故選：C.

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應(yīng)用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

1o22

試題分析：由題意得一=二，02=〃+〃=25,所以。=4,b=3,所求雙曲線方程為三—匕=1.

a4169

考點(diǎn)：雙曲線方程.

11.B

【解析】

將人臉識別方向的人數(shù)分成：有2人、有1人兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合捆綁計算出不同的分配方法數(shù).

【詳解】

當(dāng)人臉識別方向有2人時，有團(tuán)=120種，當(dāng)人臉識別方向有1人時，有C；禺=240種，.??共有360種.

故選：B

本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項(xiàng)，得到函數(shù)圖象，即可求解.

【詳解】

由題意，當(dāng)％=0時，P與A重合，則p與B重合，

所以|無一赤卜|麗|=2,故排除C,D選項(xiàng)；

當(dāng)0<x<g時，|而—例=|P'P|=2sinq—x)=2cosx,由圖象可知選B.

故選：B

本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1+z

【解析】

設(shè)2=。+4?，代入已知條件進(jìn)行化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，求得。力的值.

【詳解】

設(shè)2=。+初，由2z+z=3+i，得2a+2bi+a—bi=3a+瓦=3+i,所以a=l,b=l,所以z=1+i.

故答案為：1+i

本小題主要考查共輾復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

14.1

【解析】

該程序的功能為利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得

答案.

【詳解】

模擬程序的運(yùn)行，可得：5=0,n=l,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，S=l,n=2,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，S=6,〃=3,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，S=27,n=4,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體,S=124,n=5,

此時滿足條件〃>4,退出循環(huán),輸出S的值為1.

故答案為：1.

本題考查程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.

15.

【解析】

設(shè)三棱錐二一二二二的外接球?yàn)榍蚨?，分別取二二、二二，的中點(diǎn)二、二,，先確定球心二在線段二二和二.二，中點(diǎn)的連線上,

先求出球-的半徑一的值，然后利用勾股定理求出--的值，于是得出--=再利用勾股定理求出點(diǎn)-在

上底面軌跡圓的半徑長，最后利用圓的面積公式可求出答案.

【詳解】

如圖所示，設(shè)三棱錐二一二-二的外接球?yàn)榍蚨?/p>

分別取一-、--的中點(diǎn)一、一,，則點(diǎn)一在線段--上,

由于正方體t—arttart'I——廠-j，-j，-的j棱長為2,

則，---的外接圓的半徑為--=、F

設(shè)球一的半徑為一,則，，解得

--

所以，..,

二二=J二;-二二;=:

則---.......—、：，,

'-1J-:

而點(diǎn)L在上底面所形成的軌跡是以一為圓心的圓,

由于所以_一一?一；，

L'LTL」71—J-1，

因此，點(diǎn)一所構(gòu)成的圖形的面積為二X二一二二二二，

本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題，根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動點(diǎn)的軌跡，屬于中檔題.

3

16.-

2

【解析】

由切線的性質(zhì)，可知?dú)w3=|而切由直角三角形B4。，PBO,即可設(shè)|麗卜羽/4尸。=。，進(jìn)而表示cosa,由圖

像觀察可知PONd。一進(jìn)而求出x的范圍，再用國。的式子表示百.而，整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.

【詳解】

由題可知，|啊=|尸耳,設(shè)修臼=%，//APO=a,由切線的性質(zhì)可知po=Jf+i，貝I

X2

cosa=1,cos-a=—：——

尤+]

|4x0+3x0-10|

顯然PONdg」^――匕2，貝IJf+i之2=x?G或x<—（舍去）

因?yàn)槎?可-PficosZAPO二二x2cos2a=x1-（2cos2a-l^=x2?--

X-+1

22

2f-I2）22%22（X+1）-222/2\2c

—x+2—（x+1）+3

2292929

IX+1Jx+lx+lx+l\）x-+l

,—,—.2

令t=jr+l/24,則PA-P3=/+---3,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間[4,+8）上單調(diào)遞增，所以

i

（PAPB）=4+2-3=。

\/min42

3

故答案為：—

2

本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題，應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子，進(jìn)而利用分析函

數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值，屬于較難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1){%|0<x<2};(2)見解析

【解析】

%<—1

(1)/(x)<4—|2x—3|等價于(I)<—(x+l)—(2x-3)44或(11)或(III)

(x+l)-(2x-3)<4

3

X>一

2,分別解出，再求并集即可;

(x+l)+(2x-3)<4

(2)禾?。萦没静坏仁郊癿+2九=”加可得〃z+2〃28,代入/(帆)+/(-2〃)=|相+1|+卜2〃+13加+2〃|可得最值.

【詳解】

3

X<—1

(1)〃x)W4—|2x—3|等價于(I)<-(x+l)-(2%-3)<4^(11)<2或(III)

(x+l)-(2x-3)<4

(x+l)+(2x-3)<4

X<—1

由(I)得：<2=

x>——

[3

-1<%<。3

由(II)得：<2^>0<x<-

2

%>0

-3

X>一

由(III)得：<2n-<x<2.

2

x<2

???原不等式的解集為同0<x<2};

(2)?.?加>0,〃>0,m+2n=mn,

1/、1(m+2nf

:,m+2n=—(m-2n)<—x---------,

2V724

:.m+2n>8,

m=2nfm=4

當(dāng)且僅當(dāng)〈c，即1c時取等號,

m+2n=mn[〃=2

/.+2n)=|m+l|+|-2n+l|>|m+2n|>8,

當(dāng)且僅當(dāng)一2〃+1<0即〃2工時取等號，

2

.1./(m)+/(-2n)>8.

本題考查分類討論解絕對值不等式，考查三角不等式的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題.

18.(1)見解析；(2)同

3

【解析】

(1)取CD的中點(diǎn)M，連接胸，SM,由SE=Sfi=2,進(jìn)而由SC=SD,得SMLCD.進(jìn)而CD,

平面,進(jìn)而結(jié)論可得證(2)(方法一)過〃點(diǎn)作CD的平行線GH交于點(diǎn)G,以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，

所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”-孫z,求得平面SBC,平面SBE的

法向量，由二面角公式求解即可(方法二)取3S的中點(diǎn)N,上的點(diǎn)P,使超姜HN,PN,PH,得

HNLBS,HP上BE，得二面角C—S3—石的平面角為再求解即可

【詳解】

(1)證明：取CD的中點(diǎn)“，連接胸，SM,由已知得AE=AB=2,所以SE=Sfi=2,又點(diǎn)H是鹿的中點(diǎn),

所以SHL5E.

因?yàn)镾C=SD,點(diǎn)M是線段CD的中點(diǎn)，

所以SMLCD.

又因?yàn)樗訦W，CE）,從而CD,平面SHM,

所以CDLSH,又CD,助不平行，

所以平面3CDE.

（2）（方法一）由（1）知，過X點(diǎn)作CD的平行線GH交BC于點(diǎn)G,以點(diǎn)〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線

分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”一孫z,則點(diǎn)3（1,—1,0）,C（l,2,0）,￡（-1,1,0）,

所以能=(0,3,0),BE=(-2,2,0),(-1,1,72).

設(shè)平面S5E的法向量為罰=（%,%,zj,

m-BE=0X]=%

—■，得｛r令％=1得應(yīng)=(1,1,0).

m-BS=0[-%]+%+J2Z[=0

同理，設(shè)平面SBC的法向量為力=（%，%，22），

n-BC=0f%=0

由《一，得〈r

n-BS=0[一%2+y2+V2Z2=0

令Z2=l,得力=(0,0,1).

m-n6

所以二面角C—SB—石的余弦值為cos〈玩，為〉=

網(wǎng)同拒義6―3

（方法二）取3S的中點(diǎn)N,上的點(diǎn)P,使連接HN,PN,PH,易知HNLBS,HP±BE.

由（1）得SHLHP,所以印5,平面BSE,所以HP工SB,

又HNLBS,所以3SL平面PHN,

所以二面角C—S3—七的平面角為NPNH.

又計算得NW=1,PH=6,，PN=6

本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計算能力，是中檔題

19.（1）m=l-e-2（2）答案不唯一具體見解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)（不，e%-加%），用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一

條，從而得到方程組《居居，，再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進(jìn)而求得m=1-"2；

e0-xoe°=1

（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得/'（x）="-根，對相分三種情況進(jìn)行一級討論，即加<0,m=0,

m>0,結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)零點(diǎn)情況.

【詳解】

解：（1）曲線y=lnx在點(diǎn)02,2）處的切線方程為y—2=±（x—e2）,即y=[x+l.

ee

x

令切線與曲線/（%）="-租％相切于點(diǎn)（%,*-加/），則切線方程為y=（e"-m）x-e°（x0-l）,

XQx()

e-xQe=1

(加+6-2)[l—ln(加+"2)]=1,

令=t，則—=

記g?)=r(1-Ini),g'Q)=1—(l+ln/)=—In/

于是，g(。在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,y)上單調(diào)遞減，

2

?，-8(0max=g(1)=1,于是/=m+e~=1,m=l—e~~■

(2)f'(x)=ex—m,

i1

①當(dāng)田<0時，尸。)>0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增，且/(0)=1>0,/(上)=〃—1<0

m

函數(shù)/(%)在R上有且僅有一個零點(diǎn)；

②當(dāng)加=0時，/(x)="在R上沒有零點(diǎn)；

③當(dāng)機(jī)>0時，令/'。)>0,則x>lnw,即函數(shù)/(x)的增區(qū)間是(lnm,+oo),

同理，減區(qū)間是(一°o/nm),

/Wmin=m(l-ln/7i).

i)若0<m<e,則/(x^n=7〃(l—lnm)>0,f(x)在R上沒有零點(diǎn)；

ii)若加=e,則/(x)="—ex有且僅有一個零點(diǎn)；

iii)若〃2>e,則/(x)1nm=根(1一出也)<0.

/(21nm)=m2-2mlnm=m(m-21nm),

2

令h(m)=m-21nm,貝=l-----,

m

二.當(dāng)根〉e時，/z(7%)單調(diào)遞增，hQn)>h{e}>0.

/(21nm)-m1-2mlnm-m(m-21nm)>m(e-2)>0

又?:/(0)=l>0,

/(x)在R上恰有兩個零點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)0Wm<e時，函數(shù)Ax)沒有零點(diǎn)；當(dāng)加<0或加=e時，函數(shù)/Xx)恰有一個零點(diǎn)；當(dāng)機(jī)〉e時，“X)恰

有兩個零點(diǎn).

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點(diǎn)等知識，求解切線有關(guān)問題時，一定要明確切點(diǎn)坐標(biāo).以導(dǎo)數(shù)為工具，研究

函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，此時如果用到零點(diǎn)存在定理，必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個

端點(diǎn)值的函數(shù)值相乘小于0,才算完整的解法.

20.(1)a>2(2)證明見解析

【解析】

⑴求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),由/"(x)WO在(1,+s)上恒成立，采用分離參數(shù)法求解;

n

(2)觀察函數(shù)/(尤)，不等式湊配后知，利用a=2時/＜/(1)可證結(jié)論.

m

【詳解】

(1)因?yàn)閥=/(X)在。,+8)上單調(diào)遞減,

12

所以/'(%)—云廠V。，即〃27=在(1，+8)上恒成立

22

因?yàn)閥=一?在(1，+8)上是單調(diào)遞減的，所以〒￡(0,2),所以“22

yjx

(2)因?yàn)椤ǎ痉?,所以一〉1

m

由⑴知，當(dāng)a=2時，y=/(x)在(L+s)上單調(diào)遞減

n

所以/<〃1)

m

"<o

即In——2

mm,

所以2+ln〃<2./—+lnm.

Vm

本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.解題關(guān)鍵是把不等式與函數(shù)的結(jié)論聯(lián)系起來，利用函數(shù)

的特例得出不等式的證明.

2

xC，2+丁=1(2)9-^^

21.(1)—+y2=1,1I乙/----------

4-

【解析】

分析：(1)根據(jù)題的條件，得到對應(yīng)的橢圓的上頂點(diǎn)，即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得

相應(yīng)的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；

(2)設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得向量的坐標(biāo)，將S

表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結(jié)果.

詳解：(I)依題意得對G：b=l,e=^ne2=』=仁生，得G：—+y2=1；

24a24-

2X2

同理02：丁+1=1

4

(II)設(shè)直線M4,MB的斜率分別為船上2，則MA：y=《x+l,與橢圓方程聯(lián)立得:

/22

41=>—+4（左述+1>-4=0,得（4短+1）%2+8a％=0,得4=一/心2]1，（=4勺十],所以

產(chǎn)幻+1做+1的+1

A(8%-4左「+1)

‘4婷+1，4婷+1