專題08垂直平分線的性質(zhì)判定與應(yīng)用（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）（教師版）

專題08垂直平分線的性質(zhì)、判定與應(yīng)用（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，精選易錯(cuò)，常考，壓軸類問題進(jìn)行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點(diǎn)難點(diǎn)類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)化必備！適合成績(jī)中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（本題2分）（2022秋·廣東珠海·八年級(jí)珠海市紫荊中學(xué)桃園校區(qū)?？计谥校┤鐖D，中，，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形．其作法錯(cuò)誤的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】由作法知，可判斷A；由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，可判斷B；由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，可判斷C；由作法知是的平分線，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定得到，可判斷D．【詳解】解：A．由作法知，∴是等腰三角形，故選項(xiàng)A不符合題意；B．由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，∴不能推出和是等腰三角形，故選項(xiàng)B符合題意；C．由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，∴，∴是等腰三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；D．∵，，∴，由作法知是的平分線，∴，∴，∴是等腰三角形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，等腰三角形的判刑，線段垂直平分線的性質(zhì)，交平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握尺規(guī)作圖的五個(gè)基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．2．（本題2分）（2023春·甘肅白銀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，且，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出，然后根據(jù)直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得，即可求解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，又∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，作輔助線構(gòu)造出含角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（本題2分）（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖所示，在中，內(nèi)角與外角的平分線相交于點(diǎn)P，，與交于點(diǎn)H，交于F，交于G，連接CP．下列結(jié)論：①；②；③垂直平分；④．其中，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)可得，，然后可得①正確；過P作于M，于N，于S，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后利用三角形面積公式列式，繼而得出②正確；根據(jù)三線合一可知③正確；證明平分，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義可得④正確．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，∴，∴，①正確；過P作于M，于N，于S，∵平分，平分，∴，∵，②正確；∵，平分，∴垂直平分（三線合一），③正確；∵，∴，∵，，，∴平分，∴，∴，④正確．綜上，正確的有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等是解答本題的關(guān)鍵．4．（本題2分）（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，銳角按下列步驟圖：①在射線上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓弧，交射線與點(diǎn)，連接；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交弧于點(diǎn)；③連接，．作射線．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C．垂直平分 D．【答案】D【分析】由作法得，則可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，則可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；由線段垂直平分線的判定可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用三角形三邊的關(guān)系得到，則可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：由作法得，，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；又∵，∴∴，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；∵，，∴垂直平分，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；，，，所以選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖．5．（本題2分）（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，和相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，若的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明得到，再根據(jù)周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，又，∴（）∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴的周長(zhǎng)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)公式，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．6．（本題2分）（2023春·重慶涪陵·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，且，若，則矩形的面積為（

）

A．12 B．20 C． D．【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)得到，，，證明垂直平分，得到，由勾股定理求出，即可得到矩形的面積．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，∴矩形的面積為．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（本題2分）（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于、兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】由作圖可知是的垂直平分線，則，因此.在中，分別求出的度數(shù)都等于，則可得是等邊三角形，于是可得的長(zhǎng)度.【詳解】∵中，，，由作圖可知是的垂直平分線，點(diǎn)F在上，是等邊三角形，

.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定.證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.8．（本題2分）（2023春·陜西西安·八年級(jí)高新一中?？计谀┤鐖D，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，且的面積為，則的周長(zhǎng)的最小值是（

）

A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】利用已知條件可以求出邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)“將軍飲馬”問題，求最短距離即可．【詳解】如圖1，過作，作點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，∴，

由，∴，，∴；∵，即，∴，解得：，∴，要使周長(zhǎng)最小，則需點(diǎn)與重合時(shí)，即點(diǎn)共線時(shí)，如圖2由勾股定理得：，∴的周長(zhǎng)的最小值是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了求線段和最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活利用軸對(duì)稱的有關(guān)定理及將軍飲馬數(shù)學(xué)模型．9．（本題2分）（2023春·重慶豐都·八年級(jí)校考期中）如圖，正方形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列結(jié)論:（1）；（2）；（3）點(diǎn)為的中點(diǎn)；（4）；（5）若，則．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】由四邊形是正方形，得，而則所以因?yàn)樗钥膳袛啵?）正確；連接，，，設(shè)交于，先證明得再證明，得，再證明，則，可判斷（3）正確；由，，垂直平分得，進(jìn)而證明得，可判斷（2）正確；當(dāng)逐漸變小時(shí)，則的值逐漸變小，而逐漸變大，可知與不一定相等，可判斷（4）錯(cuò)誤；作于點(diǎn)，先證明得，即可根據(jù)勾股定理求得，可判斷（5）正確，于是可得到最后答案．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，故（1）正確；連接，，，設(shè)交于，則，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，為中點(diǎn)，故（3）正確；，，垂直平分，，，，在和中，，，，故（2）正確；當(dāng)逐漸變小時(shí)，則的值逐漸變小，而逐漸變大，與不一定相等，故（4）錯(cuò)誤；作于點(diǎn)，，，，在和中，，，，，，，，，，故（5）正確；綜上所述：（1）（2）（3）（5）這個(gè)正確；故選：．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（本題2分）（2022秋·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②；③；④若，則．正確的結(jié)論序號(hào)是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)垂直定義可得，再利用，得到，從而可證明，進(jìn)而得到，即可判斷①；根據(jù)，，即可判斷②，根據(jù)三角形面積公式和它們有一條公共邊可得，即可判斷③，若，根據(jù)可以得到，從而可得是的中點(diǎn)，然后可以推出是的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，，故①正確；，，，故②不正確；，，故③正確；，，，為的中點(diǎn)，，為線段的垂直平分線，，故④正確，所以，正確結(jié)論的序號(hào)是：①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，，，則下列結(jié)論：①，②，③，④，⑤；其中正確的有．（填上正確的序號(hào)）．

【答案】個(gè)【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由余角的性質(zhì)可得故①正確；通過證明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，故②正確；由可證，可得，由，可得，故③錯(cuò)誤；由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，可求可得，可得，故④正確；通過證明，可得，故⑤正確，即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，故①正確；∵，，，，是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，，故②正確；在和中，，，，，，，故③錯(cuò)誤；，，，，，，，，故④正確；是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，，，，故⑤正確綜上所述①②④⑤正確，正確的有個(gè)．故答案為：個(gè)．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．12．（本題2分）（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形中，是的垂直平分線，，則．

【答案】25【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，即，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（本題2分）（2023春·廣東云浮·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，若，，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】先證明，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴．∵，∴是的垂直平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，證明是解答本題的關(guān)鍵．14．（本題2分）（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在四邊形中，，，，E為的中點(diǎn)，連結(jié)，若，則的度數(shù)為．

【答案】52【分析】連接，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，作于G，得出，由平行線的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，證出，得出，證明得出，，得出，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，作于G，如圖所示：

∵，，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，故答案為：52．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．（本題2分）（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）在中，的垂直平分線分別交于點(diǎn)的垂直平分線分別交于點(diǎn)，若，則【答案】或【分析】當(dāng)為銳角時(shí)，如圖1，設(shè)，，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得：，，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖2，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得：，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．【詳解】解：當(dāng)為銳角時(shí)，如圖1，設(shè)，，∵，∴，，，

∵分別垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∴；當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖2，

∵分別垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴；綜上所述，．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．16．（本題2分）（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，斜邊，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)E、點(diǎn)D，連接，點(diǎn)M，N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，推得，根據(jù)角平分線的判定可得平分，根據(jù)等邊三角形的判定可得是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，推得點(diǎn)于點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，即可推得故的最小值為線段的長(zhǎng)，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，的值最小，根據(jù)30度所對(duì)的邊是斜邊的一半和勾股定理求得,即可求得的最小值為．【詳解】連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖：

在中，，∴，∵的垂直平分線分別交、于點(diǎn)E、點(diǎn)D，∴，∴，即平分，又∵，，∴，，∴是等邊三角形，又∵平分，故垂直平分，即點(diǎn)于點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，則，故的最小值為線段的長(zhǎng)，故當(dāng)時(shí)，的值最小，在中，，，故，,即的最小值為，故答案為；．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的判定可，等邊三角形的判定，等腰三角形的三線合一，垂線段最短，30度所對(duì)的邊是斜邊的一半，勾股定理等，確定出點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵．17．（本題2分）（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，點(diǎn)在射線上，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€經(jīng)過一邊中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為．

【答案】2或3或5【分析】本題需考慮經(jīng)過各邊中點(diǎn)，共三種情況，依次討論即可．【詳解】解：，，，，，的垂直平分線經(jīng)過一邊中點(diǎn)，可分為以下三種情況：經(jīng)過的中點(diǎn)；經(jīng)過的中點(diǎn)；經(jīng)過的中點(diǎn)．當(dāng)經(jīng)過的中點(diǎn)時(shí)，交于點(diǎn)，如圖：，

繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，，，是的外角，，垂直平分，，是等邊三角形，，，；當(dāng)經(jīng)過的中點(diǎn)時(shí)，交于點(diǎn)，如圖：，

，垂直，，，在中，，，，點(diǎn)在上，，，是的外角，，，，在中，，∴，由勾股定理得：；當(dāng)經(jīng)過的中點(diǎn)時(shí)，交于點(diǎn)（），如圖：，

同理可證：，在中，，，．綜上：的長(zhǎng)為：2或5或3．故答案為：2，3或5．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了垂直平分線，含角的直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．分類討論思想是解題的關(guān)鍵，同時(shí)也是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．18．（本題2分）（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，將沿在上，在上折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，則為度．

【答案】【分析】連接、，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，再求出，證明，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接、，

，為的平分線，，又，，是的垂直平分線，，，，為的平分線，，點(diǎn)在的垂直平分線上，，，將沿在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，，，

在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（本題2分）（2023春·廣東茂名·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，、，在第一象限內(nèi)作，其中且，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值是

【答案】【分析】利用勾股定理得出，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，根據(jù)，可得垂直平分，由垂直平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短可得：當(dāng)、、三點(diǎn)共線且時(shí)，，此時(shí)的長(zhǎng)即為的最小值，再根據(jù)，即可得解．【詳解】解：∵、，∴、，∵且，∴，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，∴，∵，∴垂直平分，即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線且時(shí)，，此時(shí)的長(zhǎng)即為的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短，等積法．通過作輔助線得出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，確定的長(zhǎng)即為的最小值是解題的關(guān)鍵．20．（本題2分）（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，將沿著對(duì)角線翻折得到，連接．若，，，則到的距離為．

【答案】【分析】連接交于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由翻折性質(zhì)可證，得出為的垂直平分線，由平行四邊形的性質(zhì)求出，由中位線性質(zhì)求出，由勾股定理求出，的長(zhǎng)，再利用即可求出的長(zhǎng)，得出最后結(jié)論．【詳解】解：連接交于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由翻折性質(zhì)可知，，，又，，，為的垂直平分線，，四邊形為平行四邊形，，，分別為，的中點(diǎn)，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線性質(zhì)，正確作出輔助線，利用中位線性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共7小題，2125題每小題8分，2627題每小題10分，共60分．21．（本題8分）（2022秋·天津東麗·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，．(1)求證：≌；(2)求證：垂直平分．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）利用證明和全等；（2）和全等，可證明，再證明和全等，可得，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，在和中，≌；（2）≌，，，，≌，，，，垂直平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定．掌握全等的證明方法以及垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．22．（本題8分）（2023春·貴州黔西·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，過點(diǎn)O且與，分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，若，的周長(zhǎng)是15，求四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)30【分析】(1)由可證，可得，由可證，可得，即可證四邊形是平行四邊形；(2)由線段中垂線的性質(zhì)可得，可得，即可求四邊形的周長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，

∴，∴，即，的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．23．（本題8分）（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，垂直平分，，．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，再證明得到，進(jìn)而推出得到，進(jìn)一步證明，由此即可證明四邊形是平行四邊形；（2）先由平行四邊形的性質(zhì)得到，再由勾股定理建立方程，解方程求出，進(jìn)而求出即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，∴，解得，∴，∵垂直平分，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知平行四邊形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．24．（本題8分）（2023春·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，按下列要求作圖，使得所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

(1)在圖1中所在直線上方找到一個(gè)格點(diǎn)D，連接，使．(2)在圖2中確定一點(diǎn)E，使四邊形為正方形．(3)在圖3中所在直線下方有______個(gè)格點(diǎn)到兩點(diǎn)距離相等．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4【分析】（1）根據(jù)同底等高，確定點(diǎn)位置即可；（2）勾股定理逆定理得到為等腰直角三角形，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即為點(diǎn)；（3）根據(jù)題意，可得，找到在線段的中垂線上的格點(diǎn)即可得解．【詳解】（1）解：如圖1所示，D點(diǎn)即為所求．(答案不唯一)

（2）如圖2所示，E點(diǎn)即為所求；

由勾股定理，得：，∴四邊形為菱形，∵，∴，∴四邊形為正方形；（3）如圖，

所在直線下方有4個(gè)格點(diǎn)到兩點(diǎn)距離相等；故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)作圖．熟練掌握正方形的判定，勾股定理，中垂線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．25．（本題8分）（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形和正方形（其中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上），與相交于點(diǎn)．

(1)若是的中點(diǎn)，求證：；(2)如備用圖1，連接，求的度數(shù)；(3)如備用圖2，連接，相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）證明，即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，得到，，則，即，則，由得到是等腰直角三角形，即可得到的度數(shù)；（3）連接，，由四邊形是正方形得到，，則直線垂直平分，，，得到，由四邊形是正方形得到，則，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，，∴∴即，∴，∵∴是等腰直角三角形∴；（3）證明：連接，，，

∵四邊形是正方形，∴，，∴直線垂直平分，∵，，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，即點(diǎn)在直線上．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（本題10分）（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐(1)如圖1，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為1，四邊形為兩個(gè)正方形重疊部分．正方形可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．則下列結(jié)論正確的是_________（填序號(hào)即可）．①；②；③四邊形的面積總等于；④連接，總有．

(2)如圖2，矩形的對(duì)角線中點(diǎn)是矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，與邊相文于點(diǎn)與邊相交于點(diǎn)，連接，矩形可繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．①猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；②直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________．

(3)如圖3，在中，，直角的頂點(diǎn)在邊的中點(diǎn)處，它的兩條邊和分別與直線相交于點(diǎn)