2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：課時(shí)作業(yè)六十 圓錐曲線中的定點(diǎn)問題

六十圓錐曲線中的定點(diǎn)問題

（時(shí)間：45分鐘分值:40分）

1.（10分）（2024?紹興模擬）設(shè)拋物線。鏟=2"3>0）,過y軸上點(diǎn)P的直線/與。相

1

切于點(diǎn)。，且當(dāng)I的斜率為2時(shí),1尸。1=2巡

⑴求。的方程；

【解析】（1）當(dāng)I的斜率為;時(shí),設(shè)直線I的方程為丁當(dāng)+”與C的方程聯(lián)立消去

以得N+4（62?）%+4Z?2=0,當(dāng)/與C相切時(shí)/=16（6-空）2-1662=0,整理有b=p,

此時(shí)％2一4.+4鏟=0,所以尸22，所以y=2p或-22（舍去）.故。（0夕）,0（22,22），所以

/。l=J（2p-+（2。-PS=PP=2P，

故p=2,所以C的方程為y2=4x.

⑵過P且垂直于I的直線交C于M,N兩點(diǎn)，若R為線段MN的中點(diǎn)，證明:直線

QR過定點(diǎn).

【解析】（2）設(shè)直線/的方程為嚴(yán)丘+加，

I與C的方程聯(lián)立得左2%2+2（加一2）x+/=0,

當(dāng)I與C相切時(shí),/=4（左加-2）2-4N加2=o,則左加=1,加［故。（：5，

11

設(shè)直線MN的方程為嚴(yán)-K/+/K,與C的方程聯(lián)立有N一2(2F+1)X+1=0,

設(shè)MX1J1),N(X2㈤廁％1+%2=2(2左2+1),

111112%1+12丫1+丫2

N1力2=-/1%-方孫+廠工。1+%2)方-4左，所以—2k?+1,—~=-2k,

/vK.K.K.K.K.Z.乙

T2+2fc

所以R(2左2+1,3),所以QR的方程為y+2k^——(^2-l),

F-2k-1

-2k2-1)

令y=0,貝Ux-2A：2-l=—------

k+k

22

=一絲孚…"，

所以x=2,所以直線QR過定點(diǎn)(2,0).

22房

2.（10分）（2023?全國(guó)乙卷）已知橢圓C:夕，1伍村＞0）的離心率是今點(diǎn)4-2,0）在

ab3

c±.

（1）求。的方程;

b=2

2R2I2a=3

【解析】（1）由題意可得，a=b+cb=Q

(c=P

22

所以橢圓方程為廿±1.

(2)過點(diǎn)(-2,3)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，直線APAQ與y軸的交點(diǎn)分別為證

明:線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).

【解析】(2)由題意可知:直線P0的斜率存在，設(shè)

尸。:尸依v+2)+39P

,y=k(x+2)+3

22

聯(lián)立方程得yxj肖去y彳導(dǎo):(4N+9)%2+8左(2左+3)x+l6(N+3左)=0,

[—9+T—4=，1

貝U/=64左2(263戶64(4左2+9)(左2+3左)=-l728左>0,解彳導(dǎo)k<Q,

2

8k(2k+3)16(fc+3k)

可彳導(dǎo)/+%2=-2加2=2

4fc+94/c+9

y.

因?yàn)?-2,0),則直線/P:尸石#+2),

2yl2yl

令％=o,解彳導(dǎo)歹即M(o,久+2),

I4人]I乙

幺為％+.+2[k(x1+2)+3][fc(x2+2)+3]

同理可得N(0，E),則-2%1+2+&+2

“2十乙

[kx1+(2k+3)](%2+2)+[kx2+(2k+3)](%1+2)

(%i+2)(%2+2)

2kxix2+(4k+3)(%i+%2)+4(2fc+3)

%1%2+2(%1+%2)+4

7

32k(k+3k)8k(4k+3)(2k+3)

2-2+4(2/c+3)

4k+94k+9

2

16(k+3k)16k(2k+3)

-----2-----------2------+14

4k+94/c+9

108-

=—=3

365

所以線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

【加練備選】

（2022?全國(guó)乙卷）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸沙軸，且過

4（0廣2）石（2，-1）兩點(diǎn)

⑴求E的方程；

【解析】（D因?yàn)闄E圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸y軸，且過力（0,-2）,

22

可設(shè)橢圓E的方程為

a4

Q

又橢圓石過點(diǎn)G，-D,

所以為41，解得。2=3,

4a4

22

所以E的方程為

54,

⑵設(shè)過點(diǎn)。（1,-2）的直線交E于MN兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB

父于點(diǎn)T,點(diǎn)H滿足MT=7證明:直線HN過7E點(diǎn).

【解析】（2）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),4/N：%=1,

x=la?后

由乙Jv得儼=|,所以產(chǎn)士手

、3十4.,

可得M1，手）,M1，-亨）,

過點(diǎn)M且平行于x軸的直線方程為產(chǎn)-F直線AB的方程為廣（一2）二^*（%-

2-°

2

0）,即嚴(yán)干-2,

2^/6

V=__z-

由2，解得X尸3-也

y=/-2

所以7（3-依-芋）.

因?yàn)橛?汴，所以〃（5-2依-等）.

4?

所以直線HN的方程為廣之I*。一1）,即產(chǎn)空了x_2,

J3b-4J

所以直線過點(diǎn)（0,-2）.

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),

設(shè)〃（％1,為）聲（%2必）.

IMN:y^kx+m（k+m=-T）,

y=kx+m

由，久2y2得,（3左2+4）爐+6加x+3加2/2=0,/>0,

+=1

bTT

2

6km3m-12

Xl+%2=-r—,修過=~2---，

3k+43fc+4

過點(diǎn)M且平行于x軸的直線方程為丁=為，與直線AB方程聯(lián)立,

'y=y13d+2）

得產(chǎn)|%一2府^^

3(%+2)_,_,

所以T(—一,%),因?yàn)镸T=T”,所以"(3%+6-X01),此時(shí)直線HN的方程為

yi-y2nn、1-，2

廣冷=3%+6一叼一叼(*用)，即歹=3當(dāng)+6-久「叼'+為飛當(dāng)+6-叼-叼孫

入/日（%-巧）%-（久1%+叼力）+3yly2+6y2-（巧巧+久2當(dāng)）+3yly2+6y2

令x=0,得y=y?----------------------=-----------------------------------------=---------------------------------------------,

'J）3yl+6-%1-%2-（x1+%2）+6+3y]-（%1+%2）+6+3（yt+y2）-3y2

因?yàn)闉榇?=（京1+加）+（履2+加尸左（、1+、2）+2加=~^一?%必+應(yīng)月=修（履2+加）+'2（丘1+加）

"'3fc+4

2

-24k匚匚］、］-24（fc-3k_2）匚匚］\］

=2區(qū)1應(yīng)+加（%1+孫）=^—，所以一（XU2+X*1）+3yly2=-----2--------，所以一

3k+43k+4

（Xi+x2）+6+3（yi+y2）

7

12（k-3k-2）

2

3k+4

2

-24（k-3k-2）

2+6為

3k+4

------=-2,

所以產(chǎn)2

12（左-3k-2）

2-3y

3fc+42

所以直線過定點(diǎn)(0,-2).

綜上，可得直線過定點(diǎn)(0,-2).

221

3.(10分)已知橢圓。3+?15>6>。)的離心率為小長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)為，(-2,0).

ab乙

⑴求橢圓。的方程；

【解析】(1)由題意可得/那=2,得

22

所以橢圓。的方程為》4=1；

(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)的任意一條直線/與橢圓。分別相交于MN兩點(diǎn)，且

4MMN與直線尸4,分別相交于D,E兩點(diǎn)，求證:以。E為直徑的圓恒過x軸上定

點(diǎn)，并求出定點(diǎn).

【解析】(2)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),由題意得直線斜率不為零,設(shè)直線I的方程為

x^my+1,

設(shè)M(xi,yx),N(X2,y2),

'x=my+1

由題意，聯(lián)立方程得//

［了+了=1

消去x得(3加2+4)y+6加y-9=0,

_6n7_QV-i6yl

所以刃+為=~2—~2一直線AM的方程為丁丁方(x+2)得D(4,——t),

3m+43m+4xi+zxi+z

y

同理，直線AN的方程為y=—7—(x+2~),

%2十,

6y2

得E(4，E4

>*Jr[

設(shè)X軸上一點(diǎn)P&0）廁PD=（41，F(xiàn)X]?乙t）,

=TE/日一，、6y2、—>一/“6yl6y236yly?

同理得:PE=（42彳"DPE=（42正4（42彳同（4-降+&+20+2），

___,,36yly2

因?yàn)椋ㄐ?2）3+2）=（加y+3）（加處+3）,所以PD,PE=（4l）2c^^^^^=（4i）2

36x（-9）

*2*

277=（4-/）-9=0,

-9m-18m+27m+36

得:八4=±3,即片1或片7,

所以以DE為直徑的圓恒過x軸上定點(diǎn)，定點(diǎn)分別為（1,0）,（7,0）.

4.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)網(wǎng)2,0）的距離和它到定直線

/：%"的距離之比是常數(shù)竽，記P的軌跡為曲線E.

⑴求曲線E的方程；

【解析】（D設(shè)RAX）,因?yàn)镻與定點(diǎn)網(wǎng)2,0）的距離和它到定直線/：%=（的距離之比

是常^^竽，

r-r-pJ（x-2）2+y2_2V3

所以I3|3-5

2

化簡(jiǎn)得

2

所以曲線片的方程為:-儼=1.

（2）設(shè)過點(diǎn)4（通,0）的兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)MM異于點(diǎn)A）,

求證:直線過定點(diǎn).

【解析】（2）設(shè)Mxi,，）,N（%2j2）,

當(dāng)直線MN斜率