專(zhuān)題17圓-5年(2018~2022)中考1年模擬數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編(北京專(zhuān)用)(原卷版+解析)

專(zhuān)題17圓一、單選題1．（2019·北京·中考真題）已知銳角∠AOB如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)M，N；（3）連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，則∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD二、填空題2．（2021·北京·中考真題）如圖，是的切線，是切點(diǎn)．若，則______________．3．（2018·北京·中考真題）如圖，點(diǎn)，，，在上，，，，則________．三、解答題4．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫(huà)出點(diǎn)；②連接交線段于點(diǎn)求證：(2)的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫(xiě)出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）5．（2022·北京·中考真題）如圖，是的直徑，是的一條弦，連接(1)求證：(2)連接,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，求證：直線為的切線．6．（2021·北京·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若的半徑為5，，求和的長(zhǎng)．7．（2021·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫(xiě)出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．8．（2020·北京·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的長(zhǎng)．9．（2020·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦（分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長(zhǎng)度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點(diǎn)中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點(diǎn)A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫(xiě)出的取值范圍．10．（2020·北京·中考真題）已知：如圖，ABC為銳角三角形，AB=AC，CD∥AB．求作：線段BP，使得點(diǎn)P在直線CD上，且∠ABP=．作法：①以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線CD于C，P兩點(diǎn)；②連接BP．線段BP就是所求作線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵CD∥AB，∴∠ABP=．∵AB=AC，∴點(diǎn)B在⊙A上．又∵∠BPC=∠BAC（）（填推理依據(jù)）∴∠ABP=∠BAC11．（2019·北京·中考真題）在△ABC中，，分別是兩邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱(chēng)為△ABC的中內(nèi)弧．例如，下圖中是△ABC的一條中內(nèi)?。?）如圖，在Rt△ABC中，分別是的中點(diǎn)．畫(huà)出△ABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧，并直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，在△ABC中，分別是的中點(diǎn)．①若，求△ABC的中內(nèi)弧所在圓的圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍；②若在△ABC中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心P在△ABC的內(nèi)部或邊上，直接寫(xiě)出t的取值范圍．12．（2019·北京·中考真題）在平面內(nèi)，給定不在同一直線上的點(diǎn)A，B，C，如圖所示．點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，C的距離均等于a（a為常數(shù)），到點(diǎn)O的距離等于a的所有點(diǎn)組成圖形G，的平分線交圖形G于點(diǎn)D，連接AD，CD．（1）求證：AD=CD；（2）過(guò)點(diǎn)D作DEBA，垂足為E，作DFBC，垂足為F，延長(zhǎng)DF交圖形G于點(diǎn)M，連接CM．若AD=CM，求直線DE與圖形G的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．13．（2018·北京·中考真題）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，為圖形上任意一點(diǎn)，如果，兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形，間的“閉距離”，記作（，）．已知點(diǎn)（，6），（，），（6，）．（1）求（點(diǎn)，）；（2）記函數(shù)（，）的圖象為圖形，若（，），直接寫(xiě)出的取值范圍；（3）的圓心為（t，0），半徑為1．若（，），直接寫(xiě)出t的取值范圍．14．（2018·北京·中考真題）如圖，是與弦所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點(diǎn)，是弦上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．已知，設(shè)，兩點(diǎn)間的距離為，，兩點(diǎn)間的距離為，，兩點(diǎn)間的距離為．小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對(duì)函數(shù)，隨自變量的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小騰的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）按照下表中自變量的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量，分別得到了，與的幾組對(duì)應(yīng)值；0123456（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（，），（，），并畫(huà)出函數(shù)，的圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)度約為_(kāi)___．15．（2018·北京·中考真題）如圖，是的直徑，過(guò)外一點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，連接，．（1）求證：；（2）連接，，若，，，求的長(zhǎng)．一、單選題1．（2022·北京市廣渠門(mén)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是圓錐的母線，BC為底面直徑，已知，圓錐的側(cè)面積為，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2022·北京大興·一模）如圖，AB是的弦，半徑于點(diǎn)D，若，，則OB的長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022·北京平谷·一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠D＝110°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．55° B．110° C．130° D．140°4．（2022·北京海淀·一模）某校舉辦校慶晚會(huì)，其主舞臺(tái)為一圓形舞臺(tái)，圓心為O．A，B是舞臺(tái)邊緣上兩個(gè)固定位置，由線段AB及優(yōu)弧圍成的區(qū)域是表演區(qū)．若在A處安裝一臺(tái)某種型號(hào)的燈光裝置，其照亮區(qū)域如圖1中陰影所示．若在B處再安裝一臺(tái)同種型號(hào)的燈光裝置，恰好可以照亮整個(gè)表演區(qū)，如圖2中陰影所示．若將燈光裝置改放在如圖3所示的點(diǎn)M，N或P處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是（

）①在M處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置②在M，N處各放置1臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置③在P處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）若圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為3．則該圓錐的母線長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題6．（2022·北京東城·一模）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，則∠AOB的度數(shù)為_(kāi)_______．7．（2022·北京石景山·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，PC，PD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D，若∠CPA=40°，則∠CAD的度數(shù)為_(kāi)_____°．8．（2022·北京大興·一模）已知72°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為cm，則此弧所在圓的半徑是______cm．9．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，OA，OB，OC均為⊙O的半徑，OA⊥OB，，若點(diǎn)D是弧AB上的一點(diǎn)，則∠ADC的度數(shù)為_(kāi)____．10．（2022·北京海淀·一模）如圖，PA，PB是的切線，A，B為切點(diǎn)．若，則的大小為_(kāi)_____．11．（2022·北京朝陽(yáng)·一模）如圖，是的弦，是的切線，若，則_________．12．（2022·北京西城·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，則∠CDB=______°．13．（2022·北京市第七中學(xué)一模）如圖，⊙中，半徑于點(diǎn)，點(diǎn)在⊙上，，，則半徑等于______．14．（2022·北京市第五中學(xué)分校模擬預(yù)測(cè)）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)．若∠P＝45°，則∠AOB＝_____°．15．（2022·北京·中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校一模）如圖，四邊形是平行四邊形，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D與交于點(diǎn)E，連接，若，則_____________．三、解答題16．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是的弦，C為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接BO并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)E，連接EC，CD是的切線．(1)求證：；(2)若，，求BD的長(zhǎng)．17．（2022·北京房山·二模）下面是小文設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線”的作圖過(guò)程．已知：和圓外一點(diǎn)P．求作：過(guò)點(diǎn)P的的切線．作法：①連接；作的垂直平分線與交于點(diǎn)M；②以半徑作，交于點(diǎn)A，B；③作直線；所以直線為的切線．請(qǐng)利用尺規(guī)作圖補(bǔ)全小文的作圖過(guò)程，并完成下面的證明．證明：連接．∵為的直徑，∴__________=__________（__________）（填推理的依據(jù)）．∴∵為半徑，∴直線為的切線．（__________）（填推理的依據(jù)）．18．（2022·北京房山·二模）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作直線的垂線于交于點(diǎn)F，是的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，若，求的長(zhǎng)度．19．（2022·北京·清華附中一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)P，Q和圖形W，如果在圖形W上存在點(diǎn)M，N（M，N可以重合）使得，那么稱(chēng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q是圖形W的一對(duì)平衡點(diǎn)．(1)如圖1，已知點(diǎn)，；①設(shè)點(diǎn)O與線段AB上一點(diǎn)的距離為d，則d的最小值是______，最大值是______；②在，，這三個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)O是線段AB的一對(duì)平衡點(diǎn)的是______．(2)如圖2，已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0）．若點(diǎn)在第一象限，且點(diǎn)D與點(diǎn)E是⊙O的一對(duì)平衡點(diǎn)，求x的取值范圍；(3)如圖3，已知點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OH長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x的正半軸于點(diǎn)K．點(diǎn)（其中）是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，⊙C是以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓，若HK上的任意兩個(gè)點(diǎn)都是⊙C的一對(duì)平衡點(diǎn)，直接寫(xiě)出b的取值范圍．20．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2，稱(chēng)△P1PP2為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”．(1)已知點(diǎn)A(1，2)，求點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；(2)如圖，已知點(diǎn)B(m，n)，⊙T的圓心為T(mén)(2，2)，半徑為2．若點(diǎn)B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出m的取值范圍；(3)已知⊙O的半徑為r，OP=2r，若點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出∠PP1P2的取值范圍．21．（2022·北京·東直門(mén)中學(xué)一模）如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C、點(diǎn)D為上異于A、B的兩點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC、AD．(1)若，求證：CE是的切線．(2)若的半徑為，，求AC的長(zhǎng)．22．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作直線BE的垂線于交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，若CD＝8，求HF的長(zhǎng)度．23．（2022·北京市燕山教研中心一模）如圖，為的直徑，點(diǎn)C在上，過(guò)點(diǎn)C作的切線，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．24．（2022·北京平谷·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC、BC，過(guò)O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．(1)求證：∠DCB＝∠DOF；(2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的長(zhǎng)．25．（2022·北京·東直門(mén)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)、在上，，過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于．(1)求證：；(2)如果的半徑為5.．求的長(zhǎng)．專(zhuān)題17圓一、單選題1．（2019·北京·中考真題）已知銳角∠AOB如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)M，N；（3）連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，則∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【解析】解：由作圖知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A選項(xiàng)正確；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等邊三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B選項(xiàng)正確；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，∴∠OCD=∠OCM=，∴∠MCD=，又∠CMN=∠AON=∠COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C選項(xiàng)正確；∵M(jìn)C+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D．二、填空題2．（2021·北京·中考真題）如圖，是的切線，是切點(diǎn)．若，則______________．【答案】130°【解析】解：∵是的切線，∴，∴由四邊形內(nèi)角和可得：，∵，∴；故答案為130°．3．（2018·北京·中考真題）如圖，點(diǎn)，，，在上，，，，則________．【答案】70°【解析】∵=，∴，∴，∵，∴．故答案為三、解答題4．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫(huà)出點(diǎn)；②連接交線段于點(diǎn)求證：(2)的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫(xiě)出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【解析】(1)解：①點(diǎn)Q如下圖所示．∵點(diǎn)，∴點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，∴點(diǎn)，在坐標(biāo)系內(nèi)找出該點(diǎn)即可；②證明：如圖延長(zhǎng)ON至點(diǎn)，連接AQ，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴；

(2)解：如圖所示，連接PO并延長(zhǎng)至S，使，延長(zhǎng)SQ至T，使，∵，點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，∴，又∵，∴OM∥ST，∴NM為的中位線，∴，，∵，∴，∴，

在中，，結(jié)合題意，，，∴，即長(zhǎng)的最大值與最小值的差為．5．（2022·北京·中考真題）如圖，是的直徑，是的一條弦，連接(1)求證：(2)連接,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，求證：直線為的切線．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【解析】(1)證明：設(shè)交于點(diǎn)，連接，由題可知，，，，，，，，，；(2)證明：連接，，，同理可得：,，∵點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，，，，，為的直徑，

，，，，，，直線為的切線．6．（2021·北京·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若的半徑為5，，求和的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2），【解析】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∴；（2）解：由題意可得如圖所示：由（1）可得點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∵的半徑為5，∴，∴，∴．7．（2021·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫(xiě)出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．【解析】解：（1）由題意得：通過(guò)觀察圖象可得：線段能繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到的“關(guān)聯(lián)線段”，都不能繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到；故答案為；（2）由題意可得：當(dāng)是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時(shí)，則有是等邊三角形，且邊長(zhǎng)也為1，當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：設(shè)與y軸的交點(diǎn)為D，連接，易得軸，∴，∴，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：同理可得此時(shí)的，∴；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，則有當(dāng)以為圓心，1為半徑作圓，然后以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：由運(yùn)動(dòng)軌跡可得當(dāng)點(diǎn)A也在上時(shí)為最小，最小值為1，此時(shí)為的直徑，∴，∴，∴；由以上情況可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)P，∴，設(shè)，則有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；綜上所述：當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．8．（2020·北京·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2．【解析】（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）設(shè)半徑為r，在Rt△OCD中，，∴，∴，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴，∴OE=4，∵，∴，∴．9．（2020·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦（分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長(zhǎng)度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點(diǎn)中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點(diǎn)A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】（1）平行，P3；（2）；（3）【解析】解：（1）平行；P3；（2）如圖，線段AB在直線上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD，CD∥AB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，交弦CD于點(diǎn)F，OF⊥CD，令，直線與x軸交點(diǎn)為（-2，0），直線與x軸夾角為60°，∴．由垂徑定理得：，∴；（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O內(nèi)找到與之平行，且長(zhǎng)度為1的弦即可；點(diǎn)A到O的距離為．如圖，平移距離的最小值即點(diǎn)A到⊙O的最小值：；平移距離的最大值線段是下圖AB的情況，即當(dāng)A1,A2關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1時(shí).∠B2A2A1=60°，則∠OA2A1=30°,∵OA2=1,∴OM=,A2M=,∴MA=3,AA2=,∴的取值范圍為：．10．（2020·北京·中考真題）已知：如圖，ABC為銳角三角形，AB=AC，CD∥AB．求作：線段BP，使得點(diǎn)P在直線CD上，且∠ABP=．作法：①以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線CD于C，P兩點(diǎn)；②連接BP．線段BP就是所求作線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵CD∥AB，∴∠ABP=．∵AB=AC，∴點(diǎn)B在⊙A上．又∵∠BPC=∠BAC（）（填推理依據(jù)）∴∠ABP=∠BAC【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠BPC，在同圓或等圓中同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半【解析】解：（1）依據(jù)作圖提示作圖如下：（2）證明：∵CD∥AB，∴∠ABP=．∵AB=AC，∴點(diǎn)B在⊙A上．又∵∠BPC=∠BAC（在同圓或等圓中同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半．）（填推理依據(jù)）∴∠ABP=∠BAC故答案為：∠BPC；在同圓或等圓中同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半．11．（2019·北京·中考真題）在△ABC中，，分別是兩邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱(chēng)為△ABC的中內(nèi)?。?，下圖中是△ABC的一條中內(nèi)?。?）如圖，在Rt△ABC中，分別是的中點(diǎn)．畫(huà)出△ABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧，并直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，在△ABC中，分別是的中點(diǎn)．①若，求△ABC的中內(nèi)弧所在圓的圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍；②若在△ABC中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心P在△ABC的內(nèi)部或邊上，直接寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】（1）；（2）①P的縱坐標(biāo)或；②.【解析】解：（1）如圖2，以DE為直徑的半圓弧，就是△ABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧，連接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，，∴??；（2）如圖3，由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE，作DE垂直平分線FP，作EG⊥AC交FP于G，①當(dāng)時(shí)，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），，設(shè)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心線段DE上方射線FP上均可，∴m≥1，∵OA=OC，∠AOC=90°∴∠ACO=45°，∵DE∥OC∴∠AED=∠ACO=45°作EG⊥AC交直線FP于G，F(xiàn)G=EF=根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G的下方（含點(diǎn)G）直線FP上時(shí)也符合要求；綜上所述，或m≥1．②圖4，設(shè)圓心P在AC上，∵P在DE中垂線上，∴P為AE中點(diǎn)，作PM⊥OC于M，則PM=，∵DE∥BC∴∠ADE=∠AOB=90°，∵PD=PE，∴∠AED=∠PDE∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，∴∠DAE=∠ADP由三角形中內(nèi)弧定義知，PD≤PM，AE≤3，即，解得：12．（2019·北京·中考真題）在平面內(nèi)，給定不在同一直線上的點(diǎn)A，B，C，如圖所示．點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，C的距離均等于a（a為常數(shù)），到點(diǎn)O的距離等于a的所有點(diǎn)組成圖形G，的平分線交圖形G于點(diǎn)D，連接AD，CD．（1）求證：AD=CD；（2）過(guò)點(diǎn)D作DEBA，垂足為E，作DFBC，垂足為F，延長(zhǎng)DF交圖形G于點(diǎn)M，連接CM．若AD=CM，求直線DE與圖形G的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】依題意畫(huà)出圖形G為⊙O，如圖所示,見(jiàn)解析；（1）證明見(jiàn)解析；（2）直線DE與圖形G的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).【解析】如圖所示，依題意畫(huà)出圖形G為⊙O，如圖所示（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴，∴AD=CD（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°在Rt△CDF和Rt△CMF中，∴Rt△CDF≌Rt△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC為弦DM的垂直平分線∴BC為⊙O的直徑，連接OD∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE為⊙O的切線.∴直線DE與圖形G的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).13．（2018·北京·中考真題）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，為圖形上任意一點(diǎn)，如果，兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形，間的“閉距離”，記作（，）．已知點(diǎn)（，6），（，），（6，）．（1）求（點(diǎn)，）；（2）記函數(shù)（，）的圖象為圖形，若（，），直接寫(xiě)出的取值范圍；（3）的圓心為（t，0），半徑為1．若（，），直接寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】（1）2；（2）或；（3）或或．【解析】（1）如下圖所示：∵（，），（6，）∴（0，）∴（，）（2）或（3）或或．14．（2018·北京·中考真題）如圖，是與弦所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點(diǎn)，是弦上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．已知，設(shè)，兩點(diǎn)間的距離為，，兩點(diǎn)間的距離為，，兩點(diǎn)間的距離為．小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對(duì)函數(shù)，隨自變量的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小騰的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）按照下表中自變量的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量，分別得到了，與的幾組對(duì)應(yīng)值；0123456（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（，），（，），并畫(huà)出函數(shù)，的圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)度約為_(kāi)___．【答案】（1）3.00；（2）作圖見(jiàn)解析；（3）或或．【解析】解：（1）（2）如下圖所示：（3）或或．如下圖所示，函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求．15．（2018·北京·中考真題）如圖，是的直徑，過(guò)外一點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，連接，．（1）求證：；（2）連接，，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明：∵、與相切于、．∴，平分．在等腰中，，平分．∴于，即．（2）解：連接、．∵∴∴同理：∴．在等腰中，．∴．∵與相切于．∴．∴．在中，，∴．一、單選題1．（2022·北京市廣渠門(mén)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是圓錐的母線，BC為底面直徑，已知，圓錐的側(cè)面積為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】BC為底面直徑，已知，，圓錐的側(cè)面積為，，中，，．故選：B．2．（2022·北京大興·一模）如圖，AB是的弦，半徑于點(diǎn)D，若，，則OB的長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】解：∵∴AD=BD∵∴BD=AB=4∵設(shè)OB=x，OD=x-2由勾股定理得，即，解得：x=5故選：C3．（2022·北京平谷·一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠D＝110°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．55° B．110° C．130° D．140°【答案】D【解析】解：，，．故選：D．4．（2022·北京海淀·一模）某校舉辦校慶晚會(huì)，其主舞臺(tái)為一圓形舞臺(tái)，圓心為O．A，B是舞臺(tái)邊緣上兩個(gè)固定位置，由線段AB及優(yōu)弧圍成的區(qū)域是表演區(qū)．若在A處安裝一臺(tái)某種型號(hào)的燈光裝置，其照亮區(qū)域如圖1中陰影所示．若在B處再安裝一臺(tái)同種型號(hào)的燈光裝置，恰好可以照亮整個(gè)表演區(qū)，如圖2中陰影所示．若將燈光裝置改放在如圖3所示的點(diǎn)M，N或P處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是（

）①在M處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置②在M，N處各放置1臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置③在P處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【解析】在M處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，如下圖∵在A、B兩處安裝各一臺(tái)某種型號(hào)的燈光裝置，恰好可以照亮整個(gè)表演區(qū)，∴優(yōu)弧所對(duì)圓周角如要照亮整個(gè)表演區(qū)，則兩臺(tái)燈光照亮角度為，且∴為優(yōu)弧所對(duì)圓周角∴，即①方案成立；在M，N處各放置1臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，分別連接、、、、、,如下圖，∵，∴②方案成立；在P處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，如下圖，MN和相切于點(diǎn)P如要照亮整個(gè)表演區(qū)，則兩臺(tái)燈光照亮角度為總根據(jù)題意，，即兩臺(tái)燈光照亮角度總和∴③方案不成立；故選：A．5．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）若圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為3．則該圓錐的母線長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】解：底面半徑為3，圓錐的側(cè)面積為，設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)是l，由S=πrl可得18π=3πl(wèi)．解得：l＝6，故答案選：D．二、填空題6．（2022·北京東城·一模）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，則∠AOB的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】30°【解析】解：∵∠BAC與∠BOC所對(duì)弧為，由圓周角定理可知：∠BOC=2∠BAC=60°，又∠AOC=90°，∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．故答案為：30°．7．（2022·北京石景山·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，PC，PD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D，若∠CPA=40°，則∠CAD的度數(shù)為_(kāi)_____°．【答案】50【解析】解：連接OC、OD，如圖，∵PC，PD與⊙O相切，切點(diǎn)分別為C，D，∴OC⊥CP，OD⊥DP，∵OP=OP，OC=OD，∴△POC≌△POD(HL)，∴∠CPO=∠DPO，∵∠CPA=40°，∴∠CPD=80°，∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，∵∠CAD=∠COD=50°，故答案為：50．8．（2022·北京大興·一模）已知72°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為cm，則此弧所在圓的半徑是______cm．【答案】5【解析】解：設(shè)此弧所在圓的半徑為Rcm，則＝，解得，R＝5（cm），故答案為5．9．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，OA，OB，OC均為⊙O的半徑，OA⊥OB，，若點(diǎn)D是弧AB上的一點(diǎn)，則∠ADC的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】112.5°【解析】解：作所對(duì)的圓周角∠AEC，如圖，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，∵，∴∠COA+∠OAB＝180°，∴∠COA＝180°－45°＝135°，∴，∵∠CEA+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°－67.5°＝112.5°．故答案為112.5°．10．（2022·北京海淀·一模）如圖，PA，PB是的切線，A，B為切點(diǎn)．若，則的大小為_(kāi)_____．【答案】60°【解析】PA，PB是的切線，A，B為切點(diǎn)故答案為：60°．11．（2022·北京朝陽(yáng)·一模）如圖，是的弦，是的切線，若，則_________．【答案】60【解析】解：如圖，連接OA，OB，∵是的切線，∴PA⊥OA，PB⊥OB∴∠PAO=∠PBO=90°∵，∴∠AOB=2∠C=120o，∵四邊形內(nèi)角和等于360o．∴在四邊形AOBP中，∠P=360o-90o-90o-120o=60o．故答案為：60．12．（2022·北京西城·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，則∠CDB=______°．【答案】40【解析】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CBA=50°，∴∠A=90°-∠CBA=40°，∵∠CDB=∠A，∴∠CDB=40°．故答案為：4013．（2022·北京市第七中學(xué)一模）如圖，⊙中，半徑于點(diǎn)，點(diǎn)在⊙上，，，則半徑等于______．【答案】【解析】解：⊙中，半徑于點(diǎn)，，，點(diǎn)在⊙上，，，在中，，，，則由勾股定理得，故答案為．14．（2022·北京市第五中學(xué)分校模擬預(yù)測(cè)）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)．若∠P＝45°，則∠AOB＝_____°．【答案】135【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切線，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴由四邊形內(nèi)角和可得：∠AOB+∠P=180°，∵∠P=45°，∴∠AOB=135°；故答案為：135．15．（2022·北京·中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校一模）如圖，四邊形是平行四邊形，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D與交于點(diǎn)E，連接，若，則_____________．【答案】【解析】四邊形是的內(nèi)接四邊形，四邊形是平行四邊形，故答案為：三、解答題16．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是的弦，C為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接BO并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)E，連接EC，CD是的切線．(1)求證：；(2)若，，求BD的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1【解析】(1)證明：連接OC，如下圖．∵CD是的切線，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴；(2)解：連接BC和AC，CO，如下圖．∵BE是的直徑，∴，∴．∵CD是的切線，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．∵，，∴，∴．17．（2022·北京房山·二模）下面是小文設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線”的作圖過(guò)程．已知：和圓外一點(diǎn)P．求作：過(guò)點(diǎn)P的的切線．作法：①連接；作的垂直平分線與交于點(diǎn)M；②以半徑作，交于點(diǎn)A，B；③作直線；所以直線為的切線．請(qǐng)利用尺規(guī)作圖補(bǔ)全小文的作圖過(guò)程，并完成下面的證明．證明：連接．∵為的直徑，∴__________=__________（__________）（填推理的依據(jù)）．∴∵為半徑，∴直線為的切線．（__________）（填推理的依據(jù)）．【答案】OBP，90，直徑所對(duì)圓周角為直角，過(guò)半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線【解析】尺規(guī)作圖如下：連接OA，OB．∵OP為⊙M的直徑，∴根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角有∠OAP=∠OBP=90°．∴OA⊥AP，OB⊥BP∵OA、OB為⊙O半徑，又∵過(guò)半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，∴直線PA、PB為⊙O的切線．故答案為：OBP，90，直徑所對(duì)圓周角為直角，過(guò)半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線．18．（2022·北京房山·二模）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作直線的垂線于交于點(diǎn)F，是的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，若，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)2【解析】(1)連接OE，如圖，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∵⊙O是△BEF的外接圓，∴BF是⊙O的直徑，OE是⊙O的半徑，∴∠OEB=∠OBE，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠OBE=∠CBE，∴∠OEB=∠CBE，∴，∴∠OEA=∠C=90°，即OE⊥AC，∵OE是半徑，∴AC是⊙O的切線；(2)連接ED，如圖，∵BE平分∠ABC，且EH⊥BA，EC⊥BC，∴EH=EC，∵四邊形BDEF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠EFH=∠EDC，∵∠EHF=∠C=90°，∴△EHF≌△ECD，∴HF=CD=2，即HF的值為2．19．（2022·北京·清華附中一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)P，Q和圖形W，如果在圖形W上存在點(diǎn)M，N（M，N可以重合）使得，那么稱(chēng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q是圖形W的一對(duì)平衡點(diǎn)．(1)如圖1，已知點(diǎn)，；①設(shè)點(diǎn)O與線段AB上一點(diǎn)的距離為d，則d的最小值是______，最大值是______；②在，，這三個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)O是線段AB的一對(duì)平衡點(diǎn)的是______．(2)如圖2，已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0）．若點(diǎn)在第一象限，且點(diǎn)D與點(diǎn)E是⊙O的一對(duì)平衡點(diǎn)，求x的取值范圍；(3)如圖3，已知點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OH長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x的正半軸于點(diǎn)K．點(diǎn)（其中）是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，⊙C是以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓，若HK上的任意兩個(gè)點(diǎn)都是⊙C的一對(duì)平衡點(diǎn)，直接寫(xiě)出b的取值范圍．【答案】(1)①3，；②；(2)；(3)【解析】(1)由題意可知，OA=3，，則d的最小值為3，最大值為，根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，點(diǎn)P1與點(diǎn)O是線段AB的一對(duì)平衡點(diǎn)；(2)如圖，由題意點(diǎn)D到⊙O的距離是4，最遠(yuǎn)距離是6，∵點(diǎn)D與點(diǎn)E是⊙O的一對(duì)平衡點(diǎn)，此時(shí)需要滿足E1到⊙O的最大距離是4，即OE1=3，可得，同理：當(dāng)E2到⊙O的最小距離是6時(shí)，OE2=7，此時(shí)，綜上所述，滿足條件的x的值為：；(3)∵點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，5為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴以C為圓心、2為半徑的圓剛好與相切，此時(shí)要想上任意的兩點(diǎn)都是⊙C的平衡點(diǎn)需要滿足，，如下圖，當(dāng)CK=6時(shí)，作CM⊥HK于點(diǎn)M，根據(jù)題意有：，解得：，（b為負(fù)值的舍去），當(dāng)CH=6時(shí)，如下圖，同理可得，在兩者中間時(shí)，a=0，b=5，觀察圖像可知：滿足條件的b的取值范圍：．20．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2，稱(chēng)△P1PP2為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”．(1)已知點(diǎn)A(1，2)，求點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；(2)如圖，已知點(diǎn)B(m，n)，⊙T的圓心為T(mén)(2，2)，半徑為2．若點(diǎn)B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出m的取值范圍；(3)已知⊙O的半徑為r，OP=2r，若點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出∠PP1P2的取值范圍．【答案】(1)4(2)0<m≤4(3)0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°【解析】(1)解：∵點(diǎn)A(1，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A1(1，-2)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A2(-1，2)，∴S△AA1A2的面積=×2×4=4；(2)解：∵⊙T的圓心為T(mén)(2，2)，半徑為2．∴四邊形OADC是⊙T的外接四邊形，∴D(2，2)，∵點(diǎn)B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點(diǎn)，且點(diǎn)B(m，n)，∴0<m≤4；(3)解：當(dāng)PP2與⊙O相切于點(diǎn)E時(shí)，如圖：∵OE=r，OP=2r，∴∠OPE=30°，∴∠OPP1=∠OP1P=60°，∴當(dāng)60°<∠OP1P<90°時(shí)，點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)PP1與⊙O相切于點(diǎn)F時(shí)，如圖：∵OF=r，OP=2r，∴∠OPE=∠OP1P=30°，∴當(dāng)0°<∠OP1P<30°時(shí)，點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)；綜上，點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)，∠PP1P2的取值范圍為：0°<∠OP1P<30°或60°<