專題16三角形之飛鏢模型-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案(原卷版+解析)

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題16三角形之飛鏢模型解題策略解題策略模型1：角的飛鏢模型如圖所示，有結(jié)論：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．模型2：邊的飛鏢模型如圖所示有結(jié)論：AB+AC>BD+CD.模型分析如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E。∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC，DE+EC>CD，∴BE+EC>BD+CD.②，由①②可得：AB+AC>BD+CD.經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD內(nèi)部，則∠BPD，∠B，∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論．（2）在圖1中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖2，則∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間的關(guān)系為；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖3中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【例2】（2019秋?吉州區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．【例3】（2022春?樂(lè)平市期末）在△ABC中，兩條高BD、CE所在的直線相交于點(diǎn)O．（1）當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，如圖1，求證：∠BOC+∠BAC＝180°．（2）當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，如圖2，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出相應(yīng)的圖形（用三角尺），并回答（1）中結(jié)論是否成立？不需證明．【例4】（2022春?衡山縣期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝60°，則∠1+∠2＝；（2）若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一．選擇題1．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，∠D＝40°，則∠C為（）A．20° B．15° C．30° D．25°2．（2010?武漢）如圖，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，則∠BDC的大小是（）A．100° B．80° C．70° D．50°3．（2010?南昌）如圖，⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的內(nèi)部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC＝θ，則下列關(guān)系式中，正確的是（）A．θ＝α+β B．θ＝2α+2β C．θ+α+β＝180° D．θ+α+β＝360°二．解答題（共20小題）4．（2022?雁塔區(qū)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE＝BC，∠F＝∠ABD，EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：FB＝DB．5．（2020春?如東縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，∠A＝54°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠DCE的度數(shù)（用含α和β的式子表示）；③如圖4，∠ABD，∠ACD的12等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度數(shù)．6．（2019秋?建平縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下問(wèn)題：①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°．②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．7．（2019秋?陳倉(cāng)區(qū)期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，∠B＝50°，∠D＝30°，求∠BPD．（2）如圖2，將點(diǎn)P移到AB、CD外部，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．（3）如圖3，寫(xiě)出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間的數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（4）如圖4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．8．（2019?錦江區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，連接CE，CF并延長(zhǎng)，分別交DA，BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，G．（1）如圖1，若四邊形ABCD是菱形，∠ECF＝∠BCD，求證：AC2＝AH?AG；（2）如圖2，若四邊形ABCD是正方形，∠ECF＝45°，BC＝4，設(shè)AE＝x，AG＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，AB：AD＝1：2，CG＝CH，∠GCH＝45°，請(qǐng)求tan∠AHG的值．9．（2017春?郫都區(qū)期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖①，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖②，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖②中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖③，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．10．（2017春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間的數(shù)量關(guān)系．初步應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝135°，則∠2﹣∠C＝．（3）解決問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫(xiě)出答案．（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請(qǐng)利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A、∠D的數(shù)量關(guān)系．11．（2016春?門頭溝區(qū)期末）在一次空間與圖形的學(xué)習(xí)中，小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，探究∠B，∠D，∠BPD的關(guān)系．小明只完成了（1）的部分證明，請(qǐng)你根據(jù)學(xué)習(xí)《觀察猜想與證明》的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)完成（1）的證明并在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)睦碚撘罁?jù)同時(shí)完成（2）﹣（3）．（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴∥∴∠D＝又∵PE∥AB∴∠B＝∠BPE∴∠BPD＝．（2）如圖2，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的關(guān)系是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化請(qǐng)寫(xiě)出它們的關(guān)系，并證明；若沒(méi)有發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)果）12．（2016春?鹽都區(qū)期中）【課本拓展】我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的連個(gè)內(nèi)角的和，那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？【嘗試探究】（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？【初步應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABCA紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，則∠2﹣∠C＝；（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．【拓展提升】（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB、∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說(shuō)明，可直接使用，不需說(shuō)明理由）13．（2014春?蕭山區(qū)期中）同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，我們過(guò)點(diǎn)P作AB、CD的平行線PE，則有AB∥CD∥PE，故∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，故∠BPE＝∠BPD+∠DPE，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，利用（1）中的結(jié)論（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（3）設(shè)BF交AC于點(diǎn)P，AE交DF于點(diǎn)Q．已知∠APB＝130°，∠AQF＝110°，利用（2）的結(jié)論直接寫(xiě)出∠B+∠E+∠F的度數(shù)為度，∠A比∠F大度．14．（2012春?清浦區(qū)校級(jí)期中）同學(xué)們都知道，平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．已知AB∥CD．如圖1，點(diǎn)P在AB、CD外部時(shí)，由AB∥CD，有∠B＝∠BOD，又因?yàn)椤螧OD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．（1）已知AB∥CD．如圖2，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你說(shuō)明你的結(jié)論；（2）在圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；（3）利用第（2）小題的結(jié)論求圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．15．（2010春?中衛(wèi)校級(jí)期末）如圖1，在∠A內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接BP、CP，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：①求證：∠P＝∠1+∠A+∠2；②如圖2，利用上面的結(jié)論，你能求出五角星五個(gè)“角”的和嗎？③如圖3，如果在∠BAC間有兩個(gè)向上突起的角，請(qǐng)你根據(jù)前面的結(jié)論猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之間有什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．16．（2010?玉溪）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．17．（2009春?無(wú)為縣校級(jí)期末）星期天，小明見(jiàn)爸爸愁眉苦臉在看一張圖紙，他便悄悄地來(lái)到爸爸身邊，想看爸爸為什么犯愁．爸爸見(jiàn)到他，高興地對(duì)他說(shuō)：“來(lái)幫我一個(gè)忙，你看這是一個(gè)四邊形零件的平面圖，它要求∠BDC等于140°才算合格，小明通過(guò)測(cè)量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下結(jié)論說(shuō)此零件不合格，于是爸爸讓小明解釋這是為什么，小明很輕松地說(shuō)出了原因，并用如下的三種方法解出此題．請(qǐng)你代小明分別說(shuō)出不合格的理由．（1）如圖1，連接AD并延長(zhǎng)．（2）如圖2，延長(zhǎng)CD交AB于E．（3）如圖3，連接BC．18．（2008?莆田）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在如圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．19．（2008春?三明期末）探究與思考：（1）如圖①，∠BPC是△ABP的一個(gè)外角，則有結(jié)論：∠BPC＝∠A+∠B成立．若點(diǎn)P沿著線段PB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），連接PC形成圖形②，我們稱之為“飛鏢”圖形，那么請(qǐng)你猜想“飛鏢”圖形中∠BPC與∠A、∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；（2）利用（1）的結(jié)論，請(qǐng)你求出五角星（如圖③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，說(shuō)明你的理由；（3）若五角星中的點(diǎn)B向右運(yùn)動(dòng)，形成如圖④⑤形狀，（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)從圖④⑤中任選一個(gè)圖形說(shuō)明理由．【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題16三角形之飛鏢模型解題策略解題策略模型1：角的飛鏢模型如圖所示，有結(jié)論：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．模型2：邊的飛鏢模型如圖所示有結(jié)論：AB+AC>BD+CD.模型分析如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E?！逜B+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC，DE+EC>CD，∴BE+EC>BD+CD.②，由①②可得：AB+AC>BD+CD.經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD內(nèi)部，則∠BPD，∠B，∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論．（2）在圖1中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖2，則∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間的關(guān)系為∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖3中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【分析】（1）過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得∠BPD＝∠B+∠D；（2）過(guò)B作BF∥CD，結(jié)合（1）的結(jié)論和平行線的性質(zhì)可得到∠BPD＝∠ABP+∠D+∠BQD；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠A+∠F＝∠1，∠B+∠G＝∠2，進(jìn)而可得∠A+∠F+∠B+∠G＝∠1+∠2，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和可得答案．【解答】解：（1）∠BPD＝∠B+∠D；過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1＝∠ABP，∠2＝∠CDP，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）延長(zhǎng)BP交CD于E，∵∠B+∠BQD＝∠BED，∠D+∠BED＝∠BPD，∴∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD；故答案為：∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD．（3）∵∠A+∠F＝∠1，∠B+∠G＝∠2，∴∠A+∠F+∠B+∠G＝∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠C+∠D+∠E＝540°，∴∠A+∠F+∠B+∠G+∠C+∠D+∠E＝540°．【例2】（2019秋?吉州區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝50°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）首先連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據(jù)∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．③根據(jù)∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設(shè)∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．【解答】解：（1）如圖（1），連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度數(shù)為63°．【例3】（2022春?樂(lè)平市期末）在△ABC中，兩條高BD、CE所在的直線相交于點(diǎn)O．（1）當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，如圖1，求證：∠BOC+∠BAC＝180°．（2）當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，如圖2，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出相應(yīng)的圖形（用三角尺），并回答（1）中結(jié)論是否成立？不需證明．【分析】（1）利用直角三角形的兩個(gè)余角相等、同角的余角相等，得出∠BAC＝∠BOE，把∠BOC+∠BAC轉(zhuǎn)化為平角∠COE．（2）根據(jù)題意，分別作出AB、AC邊上的高，根據(jù)（1）的證明思路得出（1）的結(jié)論在∠BAC為鈍角時(shí)依舊成立．【解答】解：（1）證明：∵BD、CE是△ABC的兩條高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°∴∠BAC+∠ABD＝90°，∠BOE+∠ABD＝90°，∴∠BAC＝∠BOE（同角的余角相等），∴∠BOC+∠BAC＝∠BOC+∠BOE（等量代換），∵∠BOC+∠BOE＝180°（平角的定義），∴∠BOC+∠BAC＝180°．（2）成立．理由：∵BD、CE是△ABC的兩條高，∴∠OEB＝∠BDC＝90°∴∠BOC+∠OBE＝90°，∠DAB+∠OBE＝90°∴∠BOC＝∠DAB（同角的余角相等），∴∠BOC+∠BAC＝∠DAB+∠BAC（等量代換），∵∠DAB+∠BAC＝180°（平角的定義），∴∠BOC+∠BAC＝180°．【例4】（2022春?衡山縣期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝60°，則∠1+∠2＝150°；（2）若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為90°+α；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由．【分析】（1）由平角的定義得出，∠CDP＝180﹣∠1，∠CEP＝180﹣∠2，最后用四邊形CDPE的內(nèi)角和是360°即可求得∠1+∠2．（2）同（1）的方法．（3）利用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．（4）利用外角的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由平角的定義知，∠1+∠CDP＝180°，∠2+∠CEP＝180°，在四邊形CDPE中，∠CDP+∠α+∠PEC+∠C＝360°，即（180°﹣∠1）+∠α+（180°﹣∠2）+∠C＝360°，180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α．當(dāng)α＝60°時(shí)，∠1+∠2＝150°．故答案為：150°．（2）由（1）知，∠1+∠2＝90°+α．故答案為：90°+α．（3）∠1＝90°+∠2+∠α．理由如下：由三角形的外角的性質(zhì)知，∠DMC＝∠2+∠α，∠1＝∠C+∠DMC，∴∠1＝∠C+（∠2+∠α），即∠1＝90°+∠2+∠α．（4）∠2＝90°+∠1﹣∠α．理由如下：由三角形的外角的性質(zhì)知，∠2＝∠CFE+∠C，∠1＝∠PFD+∠α，∵∠CFE＝∠PFD，∴∠2﹣∠C＝∠1﹣∠α，∴∠2＝∠C+∠1﹣∠α，即∠2＝90°+∠1﹣∠α．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一．選擇題（共3小題）1．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，∠D＝40°，則∠C為（）A．20° B．15° C．30° D．25°【分析】由DE⊥AB于點(diǎn)E，∠D＝40°，由三角形內(nèi)角和定理可求出∠ABD＝50°，再由三角形外角定理可得∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝40°，∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故選：A．2．（2010?武漢）如圖，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，則∠BDC的大小是（）A．100° B．80° C．70° D．50°【分析】如果延長(zhǎng)BD交AC于E，由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，所以∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD，又DA＝DB＝DC，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得出∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°，進(jìn)而得出結(jié)果．【解答】解：延長(zhǎng)BD交AC于E．∵DA＝DB＝DC，∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°．又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°，∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°．故選：A．3．（2010?南昌）如圖，⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的內(nèi)部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC＝θ，則下列關(guān)系式中，正確的是（）A．θ＝α+β B．θ＝2α+2β C．θ+α+β＝180° D．θ+α+β＝360°【分析】過(guò)A、O作⊙O的直徑AD，分別在等腰△OAB、等腰△OAC中，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出θ＝2α+2β．【解答】解：過(guò)A作⊙O的直徑，交⊙O于D；△OAB中，OA＝OB，則∠BOD＝∠OBA+∠OAB＝2α；同理可得：∠COD＝∠OCA+∠OAC＝2β；∵∠BOC＝∠BOD+∠COD，∴θ＝2α+2β；故選：B．4．（2022?雁塔區(qū)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE＝BC，∠F＝∠ABD，EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：FB＝DB．【分析】要證明FB＝DB，轉(zhuǎn)化證明△BCD≌△BEF便可．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠F＝∠ABD，∴∠CDB＝∠F，在△BCD和△BEF中，，∴△BCD≌△BEF（AAS），∴FB＝DB．5．（2020春?如東縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，∠A＝54°，則∠ABX+∠ACX＝36°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠DCE的度數(shù)（用含α和β的式子表示）；③如圖4，∠ABD，∠ACD的12等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）結(jié)論：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．（2）①利用（1）中結(jié)論計(jì)算即可．②圖3中，設(shè)∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y(tǒng)，構(gòu)建方程組解決問(wèn)題即可．③設(shè)∠ABD＝x°，∠ACD＝y(tǒng)°，構(gòu)建方程組解決問(wèn)題即可．【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．理由：連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E．∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C，∴∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．（2）①∵∠BXC＝∠ABX+∠ACX+∠A＝90°，∠A＝54°，∴∠ABX+∠ACX＝36°．故答案為36．②如圖3中，設(shè)∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y(tǒng)，則有∠DCE＝x+y+α，β＝2x+2y+α，∴∠DCE＝．故答案為．③設(shè)∠ABD＝x°，∠ACD＝y(tǒng)°．由題意可得，解得∠A＝55°．6．（2019秋?建平縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下問(wèn)題：①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝50°．②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．【分析】（1）作射線AF，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①先根據(jù)三角尺可知：∠X＝90°，根據(jù)（1）的結(jié)論可得：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，從而得結(jié)論；②先根據(jù)第1題的結(jié)論可得：∠ADE+∠AEB的度數(shù)，由角平分線可得：∠ADC+∠AEC＝＝45°，從而得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：過(guò)點(diǎn)A、D作射線AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如圖（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案為：50；②如圖（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．7．（2019秋?陳倉(cāng)區(qū)期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，∠B＝50°，∠D＝30°，求∠BPD．（2）如圖2，將點(diǎn)P移到AB、CD外部，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．（3）如圖3，寫(xiě)出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間的數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（4）如圖4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠B＝∠1，∠D＝∠2，再根據(jù)∠BPD＝∠1+∠2代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BOD＝∠B，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式整理即可得解；（3）連接QP并延長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答；（4）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠A+∠E＝∠1，∠B+∠F＝∠2，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EP∥CD，∴∠B＝∠1＝50°，∠D＝∠2＝30°，∴∠BPD＝80°；（2）∠B＝∠BPD+∠D．理由如下：設(shè)BP與CD相交于點(diǎn)O，∵AB∥CD，∴∠BOD＝∠B，在△POD中，∠BOD＝∠BPD+∠D，∴∠B＝∠BPD+∠D．（3）如圖，連接QP并延長(zhǎng)，結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．（4）如圖，由三角形的外角性質(zhì)，∠A+∠E＝∠1，∠B+∠F＝∠2，∵∠1+∠2+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．8．（2019?錦江區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，連接CE，CF并延長(zhǎng)，分別交DA，BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，G．（1）如圖1，若四邊形ABCD是菱形，∠ECF＝∠BCD，求證：AC2＝AH?AG；（2）如圖2，若四邊形ABCD是正方形，∠ECF＝45°，BC＝4，設(shè)AE＝x，AG＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，AB：AD＝1：2，CG＝CH，∠GCH＝45°，請(qǐng)求tan∠AHG的值．【分析】（1）通過(guò)證明△ACG∽△AHC，可得，可得結(jié)論；（2）通過(guò)證明△ACG∽△AHC，可得，可得AC2＝AH?AG，通過(guò)證明△EAH∽△EBC，可得，即AH＝，即可求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）取BC中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BG，交AD于點(diǎn)P，交CG于點(diǎn)N，連接CP，可證四邊形CDPM是正方形，由（2）可知△CPN∽△HPC，由相似三角形的性質(zhì)可得PH＝2CP＝2a，PN＝a，可求AH，AG的長(zhǎng)，即可求tan∠AHG的值．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD，∵AD∥BC，CD∥AB，∴∠G＝∠DCG，∠H＝∠BCH，∵∠ECF＝∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB＝∠ECF，∴∠DCG＝∠ACH，∠BCE＝∠ACG，∴∠G＝∠ACH，∠H＝∠ACG，∴△ACG∽△AHC，∴，∴AC2＝AH?AG；（2）連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝45°，∵AD∥BC，CD∥AB，∴∠G＝∠DCG，∠H＝∠BCH，∵∠ECF＝45°＝∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB＝∠ECF，∴∠DCG＝∠ACH，∠BCE＝∠ACG，∴∠G＝∠ACH，∠H＝∠ACG，∴△ACG∽△AHC，∴，∴AC2＝AH?AG，∵BC＝AB＝4，∴AC＝4，∴y＝，∵BC∥AD，∴△EAH∽△EBC，∴，∴，∴AH＝，∴y＝；（3）如圖，取BC中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BG，交AD于點(diǎn)P，交CG于點(diǎn)N，連接CP，∵M(jìn)N∥BG，∴，且M是BC中點(diǎn)，∴＝，∴BC＝2CM，CG＝2CN，BG＝2MN，∵CG＝CH，∴CG＝CH＝2CN，∵CD∥BA，MN∥BG，∴CD∥MN∥BG，∴，∴DP＝PA，∵AB：AD＝1：2，∴設(shè)AB＝a＝CD，AD＝2a＝BC，∴CM＝a＝DP，且BC∥AD，∴四邊形CDPM是平行四邊形，且CD＝DP＝a，∠D＝90°，∴四邊形CDPM是正方形，∴CP＝a，∵四邊形CDPM是正方形，且∠GCH＝90°，由（2）可得：△CPN∽△HPC，∴，∴PH＝2CP＝2a，PN＝a，∴MN＝a+a，AH＝PH﹣PA＝a﹣a，∴BG＝2MN＝2a+a，∴AG＝BG﹣AB＝a+a，∴tan∠AHG＝＝．9．（2017春?郫都區(qū)期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖①，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖②，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖②中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖③，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【分析】（1）延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，根據(jù)AB∥CD得出∠B＝∠BED，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）連接QP并延長(zhǎng)，由三角形外角的性質(zhì)得出∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，由此可得出結(jié)論；（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．再根據(jù)∠A+∠AFG+∠AGF＝180°即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D．延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，又∵∠BPD＝∠BED+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．連接QP并延長(zhǎng)，∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．10．（2017春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間的數(shù)量關(guān)系．初步應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝135°，則∠2﹣∠C＝45°．（3）解決問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫(xiě)出答案．（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請(qǐng)利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A、∠D的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，兩式相加可得結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，將∠1＝135°代入可得結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義得：，，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的結(jié)論：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：；（4）根據(jù)平角的定義得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分線得：，，相加可得：，再由四邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°．（2）∠2﹣∠C＝45°．理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，∴∠2﹣∠C+135°＝180°，∴∠2﹣∠C＝45°．故答案為：45°；（3），理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴，，∵△BPC中，，∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∴，＝．故答案為：，（4）．理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴，，∴，∵四邊形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝，∴＝．11．（2016春?門頭溝區(qū)期末）在一次空間與圖形的學(xué)習(xí)中，小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，探究∠B，∠D，∠BPD的關(guān)系．小明只完成了（1）的部分證明，請(qǐng)你根據(jù)學(xué)習(xí)《觀察猜想與證明》的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)完成（1）的證明并在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)睦碚撘罁?jù)同時(shí)完成（2）﹣（3）．（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴PE∥CD∴∠D＝∠DPE又∵PE∥AB∴∠B＝∠BPE∴∠BPD＝∠B+∠D．（2）如圖2，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的關(guān)系是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化請(qǐng)寫(xiě)出它們的關(guān)系，并證明；若沒(méi)有發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)果）【分析】（1）首先過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠1＝∠B，∠2＝∠D，從而證得∠BPD＝∠B+∠D；（2）由AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得∠BOD＝∠B，又由三角形外角的性質(zhì)可得∠BOD＝∠D+∠P，從而得到∠BPD＝∠B﹣∠D；（3）首先連接QP，并延長(zhǎng)到E，利用三角形外角的性質(zhì)，可證得∠BPD＝∠1+∠2＝∠BQP+∠B+∠DQP+∠D＝∠B+∠D+∠BQD．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD，∴PE∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），又∵PE∥AB，∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠BPD＝∠B+∠D．（2）發(fā)生變化，應(yīng)是∠BPD＝∠B﹣∠D．證明：如圖2，∵AB∥CD∴∠B＝∠BOD，∵∠BOD＝∠P+∠D，∴∠BPD＝∠B﹣∠D；（3）如圖3，連接QP，并延長(zhǎng)到E，∵∠1＝∠B+∠BQP，∠2＝∠D+∠DQP，∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠BQP+∠B+∠DQP+∠D＝∠B+∠D+∠BQD．12．（2016春?鹽都區(qū)期中）【課本拓展】我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的連個(gè)內(nèi)角的和，那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？【嘗試探究】（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？【初步應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABCA紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，則∠2﹣∠C＝50°；（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．【拓展提升】（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB、∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說(shuō)明，可直接使用，不需說(shuō)明理由）【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；（2）利用（1）中的結(jié)論即可求出；（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠PCE＝∠BCE，∠PBD＝∠CBD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BAD+∠CDA，然后同理（3）解答即可．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°．故答案為50°．（3）∵BP，CP分別是外角∠DBC，∠ECB的平分線，∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°﹣∠A），在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．（4）如圖1，延長(zhǎng)BA、CD于Q，則∠P＝90°﹣∠Q，∴∠Q＝180°﹣2∠P．∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q＝180°+180°﹣2∠P＝360°﹣2∠P．13．（2014春?蕭山區(qū)期中）同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，我們過(guò)點(diǎn)P作AB、CD的平行線PE，則有AB∥CD∥PE，故∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，故∠BPE＝∠BPD+∠DPE，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，利用（1）中的結(jié)論（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（3）設(shè)BF交AC于點(diǎn)P，AE交DF于點(diǎn)Q．已知∠APB＝130°，∠AQF＝110°，利用（2）的結(jié)論直接寫(xiě)出∠B+∠E+∠F的度數(shù)為70度，∠A比∠F大60度．【分析】（1）依據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，三角形外角的性質(zhì)即可求得．（2）依據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，三角形外角的性質(zhì)即可求得．（3）依據(jù)（2）中的結(jié)論、三角形的內(nèi)角和及三角形的外角和即可求得．【解答】（1）∠BPD＝∠B﹣∠D不成立，是∠BPD＝∠B+∠D，證明：如圖b，延長(zhǎng)BP交DC于M，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BMD，∵∠BPD＝∠BMD+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD；∵A′B∥CD，∴∠A′BQ＝∠BQD，證明同（1）．（3）解∵∠AQF＝110°，∴∠EQF＝∠B+∠E+∠F＝180°﹣110°＝70°，∵∠1＝∠APB﹣∠A＝130°﹣∠A，∠2＝180°﹣∠AQF﹣∠F＝180°﹣110°﹣∠F＝70°﹣∠F；∵∠1＝∠2，∴130°﹣∠A＝70°﹣∠F；∴∠A﹣∠F＝60°．14．（2012春?清浦區(qū)校級(jí)期中）同學(xué)們都知道，平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．已知AB∥CD．如圖1，點(diǎn)P在AB、CD外部時(shí)，由AB∥CD，有∠B＝∠BOD，又因?yàn)椤螧OD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．（1）已知AB∥CD．如圖2，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你說(shuō)明你的結(jié)論；（2）在圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；（3）利用第（2）小題的結(jié)論求圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【分析】（1）∠BPD＝∠B+∠D，延長(zhǎng)BP交CD于E，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠B＝∠BED，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠BPD＝∠BED+∠D，代入即可；（2）∠BPD＝∠B+∠BQD+∠D，延長(zhǎng)BP交CD于F，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠BFD＝∠B+∠BQD，∠BPD＝∠BFD+∠D，即可得出答案；（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠CMN＝∠A+∠E，∠DNB＝∠B+∠F，代入∠C+∠D+CMN+∠DNM＝360°即可求出答案．【解答】解：（1）不成立，∠BPD＝∠B+∠D，理由是：延長(zhǎng)BP交CD于E，如圖2，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，∵∠BPD＝∠BED+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）如圖3，∠BPD＝∠B+∠BQD+∠D，理由是：延長(zhǎng)BP交CD于F，∵∠BFD＝∠B+∠BQD，∠BPD＝∠BFD+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠BQD+∠D；（3）∵∠CMN＝∠A+∠E，∠DNB＝∠B+∠F，又∵∠C+∠D+∠CMN+∠DNM＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．15．（2010春?中衛(wèi)校級(jí)期末）如圖1，在∠A內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接BP、CP，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：①求證：∠P＝∠1+∠A+∠2；②如圖2，利用上面的結(jié)論，你能求出五角星五個(gè)“角”的和嗎？③如圖3，如果在∠BAC間有兩個(gè)向上突起的角，請(qǐng)你根據(jù)前面的結(jié)論猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之間有什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】①連接AP并延長(zhǎng)，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)即可求出∠P＝∠1+∠A+∠2；②先把五角星五個(gè)“角”歸結(jié)到一個(gè)三角形中，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可；③分別連接AP、AD、AG并延長(zhǎng)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可．【解答】解：①連接AP并延長(zhǎng)，則∠3＝∠1+∠BAP，∠4＝∠2+∠PAC，故∠P＝∠1+∠A+∠2；②∵∠1是△DBF的外角，∴∠1＝∠B+∠D，同理∠2是△ECG的外角，∴∠2＝∠C+∠E，∵∠1、∠2、∠A是△AFG的內(nèi)角，∴∠1+∠2+∠A＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．③連接AP、AD、AG并延長(zhǎng)，同①由三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可求出∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠A．16．（2010?玉溪）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【分析】（1）延長(zhǎng)BP交CD于E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，求出∠PED＝∠B，再利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可說(shuō)明不成立，應(yīng)為∠BPD＝∠B+∠D；（2）作射線QP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得；（3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，把角轉(zhuǎn)化到四邊形中再求解．【解答】解：（1）不成立