華師版九年級數學 24.4 解直角三角形（學習、上課課件）

24.4解直角三角形第24章解直角三角形逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2解直角三角形解直角三角形在實際問題中的應用知識點解直角三角形知1－講11.

一般地，直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.(1)在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一個是邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).(2)

一個直角三角形可解，則其面積可求.但在一個解直角三角形的題中，如無特別說明，則不包括求面積.知1－講深度理解1.已知兩個角不能解直角三角形，因為只有角的條件，三角形邊的大小不唯一，所以有無數個三角形符合條件.2.已知一角一邊時，角必須為銳角，若已知角為直角，則不能求解.知1－講2.

直角三角形中的邊角關系在直角三角形ABC中，∠C為直角，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，那么除直角∠C外的五個元素之間有如下關系：(1)三邊之間的關系：a2＋b2＝c2(勾股定理).(2)兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°.知1－講

知1－講活學巧記口訣記憶法有斜求對乘正弦，有斜求鄰乘余弦，無斜求對乘正切.“有斜求對乘正弦”的意思是在一個直角三角形中，對一個銳角而言，如果已知斜邊長，要求該銳角的對邊，那么就用斜邊長乘該銳角的正弦，其余的口訣意思可類推.知1－練例1

解題秘方：緊扣“直角三角形的邊角關系”選擇合適的關系式求解.知1－練

知1－練

知1－練

知1－練知1－練根據下列條件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.例2解題秘方：緊扣以下兩種思路去求解：(1)求邊時，一般用未知邊比已知邊(或已知邊比未知邊)，去找已知角的某一個銳角三角函數.(2)求角時，一般用已知邊比已知邊，去找未知角的某一個銳角三角函數.知1－練

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；知1－練

(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.知1－練2-1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據下列條件解直角三角形：(1)c＝30，b＝20；知1－練(2)∠B＝72°，c＝14；知1－練

知1－練例3

解題秘方：緊扣“化斜為直法”，通過作高把斜三角形轉化為兩個直角三角形求解.知1－練

知1－練

B知1－練3-2.如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝6，則△ABC的周長為_____________.知2－講知識點解直角三角形在實際問題中的應用21.利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟(1)畫出平面圖形，將實際問題抽象為數學問題，轉化為解直角三角形的問題；(2)根據已知條件的特點，靈活選用銳角三角函數，運用直角三角形的有關性質，解直角三角形；(3)得到數學問題的答案；(4)得到實際問題的答案.知2－講解直角三角形在實際問題中的應用2.

解決實際問題時，常見的基本圖形及相應的關系式如下表所示圖形關系式圖形關系式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα－tanβ)知2－講解直角三角形在實際問題中的應用續(xù)表：圖形關系式圖形關系式AB＝DE＝AE·tanβ，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)知2－講解直角三角形在實際問題中的應用續(xù)表：圖形關系式圖形關系式知2－講特別提醒1.在解直角三角形時，若相關的角不是直角三角形的內角，應利用平行線的性質或互余、互補的角的性質將其轉化為直角三角形的內角，再利用解直角三角形的知識求解.2.若問題中有兩個或兩個以上的直角三角形，當其中一個直角三角形不能求解時，則可考慮分別由兩個直角三角形找出含有相同未知元素的關系式，運用方程求解.知2－練

例4知2－練解題秘方：建立數學模型后，用“化斜為直法”，將斜三角形問題轉化為直角三角形問題求解.知2－練

(1)求小歡從東湖公園走到圖書館的途中與公共汽車站之間最短的距離；知2－練

(2)若小歡以100米/分的速度從圖書館C沿CA回到公共汽車站A，那么她在15分鐘內能否到達公共汽車站？知2－練4-1.如圖，某旅游景區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道AB，木棧道AB與景區(qū)道路CD平行，在C處測得木棧道一端A位于北偏西42°方向，在D處測得木棧道另一端B位于北偏西32°方向，已知CD＝120m，BD＝80m，求木棧道AB的長度(結果保留整數).(參考數據：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)知2－練解：如圖，過點C作CE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AB交AB的延長線于點F.易得四邊形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120m，CE＝DF.知2－練在Rt△BDF中，∠BDF＝32°，BD＝80m，∴BF＝80·sin32°≈80×0.53＝42.4(m)，DF＝80·cos32°≈80×0.85＝68(m)，∴EB＝EF－BF≈120－42.4＝77.6(m)．在Rt△ACE中，CE＝DF≈68m，∠ACE＝42°，∴AE≈68·tan42°≈68×0.90＝61.2(m)，∴AB＝AE＋EB≈61.2＋77.6≈139(m)．答：木棧道AB的長度約為139m.知2－練2023年10月26日11時14分，“神舟十七號”載人飛船在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．如圖24.4-3，在發(fā)射的過程中，飛船從地面O處發(fā)射，當飛船到達A點時，從位于地面C處的雷達站測得AC的距離是8km，仰角為30°；10s后飛船到達B處，此時測得仰角為45°．例5知2－練解題秘方：將實際問題轉化為解直角三角形問題求解.知2－練

(1)求點A離地面的高度AO；知2－練

知2－練

知2－練5-1.如圖，為測量電視塔觀景臺A處的高度，某數學興趣小組在電視塔附近一建筑物樓頂D處測得塔A處的仰角為45°，塔底部B處的俯角為22°.已知建筑物的高CD約為61米，請計算觀景臺A處的高度AB.(結果精確到1米，參考數據：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)知2－練解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E.易得四邊形BCDE是矩形，∴BE＝DC≈61米，DE＝CB.易得∠DBC＝∠BDE＝22°.知2－練知2－練

例6解題秘方：將分散的條件集中到△ABP中求解.知2－練(1)山坡坡角的度數等于_______；30°

知2